3 第1章 三角形-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版·新教材）

16.解：原式=xy(x-y)2,当xy=3,x-y=-1时，原式=3. 17.解：(1)48x十24；(2)根据题意得：60(x-3)+36<48x+24<60(x-2),解得12<x <14,,x取整数，∴.x=13,此时，48x十24=48×13十24=648（人）.故这两个年级学生的总 人数是648人 18.解：设A种糖果购进x千克，则B种糖果购进3x千克，根据题意列方程，得： 480-2=1260 3x 解得x=30. 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意. 3.x=90. 答：A种糖果购进30千克，B种糖果购进90千克. 三、八年级上册分章复习 第1章三角形 [基础过关] -、1.1<x<62.23.40°4.5 二、5.B6.B7.B8.D9.B10.B11.C12.D 三、13.解：(1)，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=40°，∠ACB=70°， ∴.∠BAC=180°-40°-70°=70°， ,AE平分∠BAC, A∠BAE=∠BAC=3S (2),AD是BC边上的高， .∠ADB=90°， ∴.∠B+∠BAD=90°， .∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°， .∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-35°=15°. [综合提升] 1.42.C3.B ·2· 4.解：合理.因为他这样做相当于是利用“SSS”证明△BED≌△CGF,所以可得∠B=∠C. 5.解：此时轮船没有偏离航线.理由：设轮船在C处，如图所示，航行时C与A,B的距离 相等，即CA=CB,OC=OC.已知AO=BO,由“SSS”可证明△AOC≌△BOC,所以∠AOC= ∠BOC,即没偏离航线. [中考热身] 1.C2.C 3.（1)证明：由题意，得AC=CB,∠ACB=90°，AD⊥DE,BE⊥DE, .∠ADC=∠CEB=90°， .∠ACD+∠ECB=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴.∠ECB=∠DAC 在△ADC和△CEB中， f∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, .△ADC≌△CEB(AAS); (2)解：由题意，得AD=4a,BE=3a, .'△ADC≌△CEB, ∴.CD=BE=3a, 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2+CD2=AC2, .(4a)2+(3a)2=252, 解得a=5. 答：砌墙砖块的厚度a为5cm. 4.(1)证明：△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠A=∠EBC,BE=AF,.△BCE ≌△ABF,.CE=BF;(2)解：由(1)得△BCE≌△ABF,∴.∠PCB=∠ABF,.∠PCB十 ·3 ∠PBC=∠ABF+∠PBC=∠EBC=60°，∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°，∴.∠BPC= 180°-（∠PCB+∠PBC)=180°-60°=120°. 第2章特殊三角形 [基础过关] -、1.36°2.33.44.65°5.2 二、6.C7.D8.C9.C 三、10.BD=CD或BE=CF.说明△BDE≌△CDF.11.先证Rt△ABD≌Rt△A'B'D', 再证△ABC≌△A'B'C. [综合提升] 1.6cm或14cm2.4√3cm23.C 4.(1)证明：，△ABC为等腰直角三角形，.∠BAE+∠EAC=90°.，BD⊥AE,CE⊥ AE,.∠ADB=∠CEA=90°，∠BAE+∠DBA=90°，∴.∠EAC=∠DBA.,AB=CA, .△ABD≌△CAE,.BD=AE,AD=EC,.BD=AE=AD+DE=EC+DE;(2)BD= DE-EC;(3)BD=DE-CE. [中考热身] 1.D2.B3.D4.C5.C 6.证明：，AD∥BC,.∠DBC=∠ADB.又.BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC. .∠ABD=∠ADB,.AB=AD 第3章一元一次不等式 [基础过关] -1≤-22.-833.>14<号a>26,g 、1 7.28.37 二、9.D10.A11.C12.A13.C14.C 三、15.x<-号2)号<<316-1C<2,原不等式组的整数解为-101 [综合提升] 1.C2.B3.C4.A ·4·八年级数学 三、八年级上册分章复习 第1章 三角形 (2)三角形的角平分线 果要点回顾 三角形一个内角的平分线 与它的对边相交，这个角的顶点 1.三角形的概念 与交点之间的线段. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 表示法：如图，①AD是 组成的图形叫作三角形。 △ABC的∠BAC的平分线； 三角形有三条边、三个内角、三个顶点.组成三 角形的线段叫作三角形的边；相邻两边所组成的角 8∠1=4-=aAC 叫作三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形 注意：a.三角形的角平分线是线段； 的顶点.三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形 b.三角形三条角平分线全在三角形的内部： ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c c.三角形三条角平分线交于三角形内部一点； 表示，AC可用b表示，BC可用a表示. d.用量角器画三角形的角平分线. 注意：(1)三条线段不在同一直线上，且首尾顺 (3)三角形的高线 次相接。 从三角形的一个顶点向它的 第 (2)三角形是一个封闭的图形. 对边所在的直线作垂线，顶点和 (3)△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的 垂足之间的线段， 分 △没有意义. 表示法：如图，①AD是 2.三角形的三边关系 △ABC的BC边上的高线： 三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边 ②AD⊥BC于D; 之差小于第三边. ③∠ADB=∠ADC=90. 础 注意：(1)三边关系的依据：两点之间，线段最短 注意：a.三角形的高线是线段； (2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第 b.锐角三角形三条高线全在三角形的内部，直 三边 角三角形有两条高线是边，钝角三角形有两条高线 3.三角形的中线、角平分线、高线 在三角形的外部； (1)三角形的中线 c.三角形三条高线所在直线交于一点. 三角形中，连接一个顶点和 4.全等图形 它对边中点的线段， (1)能够完全重合的图形叫作全等图形， 表示法：如图，①AD是 (2)特征：形状、大小都相等， △ABC的BC边上的中线； 5.全等三角形 ②BD=DC=2BC. (1)两个能重合的三角形叫作全等三角形. (2)性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等. 注意：a.三角形的中线是线段； 6.三角形全等的判定 b.三角形三条中线全在三角形的内部： ①三边对应相等(SSS); c.三角形三条中线交于三角形内部一点： ②两边及夹角对应相等(SAS): d.中线把三角形分成两个面积相等的三 ③两角及夹边对应相等(ASA); 角形 ④两角及一角对边对应相等(AAS)】 暑假大串联 》名题精讲 【例1】如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上， 则下列结论正确的是 A.45° B.54° C.40° D.50 【解题思路】先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据角平分线的性质求得∠BAD的度 数，最后根据平行线的性质求得∠ADE的度数， 【解答过程】解：∠B=46°，∠C=54°，.∠BAC A.∠1+∠6>180 =80,:AD平分∠BAC,∠BAD=2∠BAC= B.∠2+∠5<180° 40°，，DE∥AB,∴.∠ADE=∠BAD=40°，故选 C.∠3+∠4<180° 择C. D.∠3+∠7>180 【例3】如图，ABDE,AC∥DF,AC=DF,不能判 【解题思路】由直尺的两边互相平行，根据平行线 断△ABC≌△DEF的是 () 第 的性质可得到相等的角，并结合对顶角的性质等知 识通过等角代换，把各选项中的两个角转化为同一 个三角形的内角或外角，然后结合三角形的内角和 分 定理、三角形外角的性质等知识进行分析、判断. 【解答过程】解：如图所示，由于直尺的两边互相平 A.AB=DE B.∠B=∠E 夯 行，则AB∥CD,从而可知∠2=∠7，∠3=∠5，∠8= C.EF=BC D.EF∥BC 基 ∠4，∠3十∠4=180°，由此可直接判断选项C错误； 【解题思路】由已知条件可得两个三角形全等具备 础 ∠6=∠4，∴.∠8=∠6，.∠1+∠6=∠1+ 了一边和一角相等两个条件，再结合备选项中的条 ∠8.又，∠1+∠8+∠9=180°，∠1+∠8<180°， 件，运用全等三角形的判定定理进行判别即可 则∠1十∠6<180°，故选项A错误； 【解答过程】解：AB∥DE,AC∥DF,.∠A= ∵∠2+∠5=∠2+∠3=∠9+∠8+∠3=∠9 ∠D.又AC=DF,当AB=DE时，△ABC≌△DEF +180°，.∠2+∠5=∠2+∠3>180°，故选项B (SAS);当∠B=∠E时，△ABC≌△DEF(AAS); 当EF=BC时，无法判定两个三角形全等；当EF∥ 错误； ∠3+∠7=∠2+∠3>180°，可知选项D正 BC时，又AB∥DE,可得∠B=∠E,则△ABC≌ 确.故选择D. △DEF(AAS),故选择C. D 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是选C,没有 理解“SSA”此判定方法对一般三角形不成立. 【方法规律】当题目中已知两边“SS”时，根据三角 形全等的判定条件，可选择“SAS”或“SSS”进一步探 天9 索推理的思路；若已知一边一角“SA”时，可根据题意 再补上一角或另一边，应用“SAS”或“ASA”或 【例2】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°， “AAS”进行说理；若已知两角“AA”时，则应补上一 AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E, 边，利用“AAS”或“ASA”进行推理.总之，应根据具 则∠ADE的大小是 体条件灵活选择适当的判定方法 八年级数学 8.已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为 基础过关 () A.30 B.75 一、填空题 C.105° D.30或75 1.三角形的三边长分别为5,1十2x,8,则x的 9.下列说法：①形状相同的图形是全等图形； 取值范围是 ②全等图形的大小相同，形状也相同；③全等三角形 2.四条线段的长分别为5cm,6cm,8cm, 的面积相等；④面积相等的两个三角形全等；⑤若 13cm,以其中任意三条线段为边可以构成 △ABC2△A1B1C1,△A1BC12△A2B,C2,则 个三角形 △ABC≌△A,B,C2.其中正确的说法有 3.如图是一块三角形木板的残余部分，量得 A.2个 B.3个 ∠A=105°，∠B=35°，则这块三角形木板缺少的角 C.4个 D.5个 的度数是 10.已知△ABC的六个元素如图，则甲、乙、丙三 个三角形中和△ABC全等的图形是 () 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC, CA58 72 AB=5,CD=2,则△ABD的面积是 第 2 50 分 人50° 分 C 丙 夯 A.甲、乙 B.乙、丙 C.只有乙 D.只有丙 二、选择题 11.在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B′，∠B 础 5.以下列各组线段为边，能组成三角形的是 =∠B',补充条件后仍不一定能保证△ABC≌ ( △A'B'C',则补充的这个条件是 A.2 cm,3 cm,5 cm A.BC=B'C' B.∠A=∠A1 B.5 cm,6 cm,10 cm C.AC=A'C' D.∠C=∠C1 C.1 cm,1 cm,3 cm 12.如图所示，在△ABC中，∠BAC,∠ABC, D.3 cm,4 cm,9 cm ∠ACB的三等分线相交于D,E,F(其中∠CAD= 6.等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9， 2∠BAD,∠ABE=2∠CBE,∠BCF=2∠ACF),且 则它的周长是 △DFE的三个内角分别为∠DFE=54°、∠FDE= A.17 B.22 60°、∠FED=66°，则∠BAC= ( C.17或22 D.13 7.话合条件∠A=2∠B=3∠C的AABC是 2 ( A.锐角三角形 0 B.直角三角形 C.钝角三角形 A.54 B.609 D.等边三角形 C.66 D.48 暑假大串联 三、解答题 3.为了测量河两岸相对点A,B的距离，小明先 13.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB= 在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出 70°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC. BF的垂线DE,使A,C,E在同一条直线上（如图所 (1)求∠BAE的度数； 示)，可以证明△EDC≌△ABC,得ED-AB,因此测 (2)求∠DAE的度数. 得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理 由是 () A.SAS B.ASA C.SSS D.HL 4.如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺. 他是这样操作的： ①分别在BA和CA上取BE=CG; 第一部分 ②在BC上取BD=CF; ③量出DE的长am,FG的长bm. 如果a=b,则说明∠B和∠C是相等的.他的这 种做法合理吗？为什么？ 实基 综合提升 No 1.如图所示，延长△ABC的中线AD到点E, 使DE=AD,连接BE,EC,那么在四边形ABEC中 共有 对全等的三角形， 2.如图，某同学把一块三角形状的玻璃打碎成 了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， 那么最省事的方法是 A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①②去 八年级数学 5.如图，O为码头，A,B两个灯塔与码头的距 3.(西宁中考题)课间，小明拿着老师的等腰直 离相等，OA,OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划 角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示 沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔 (1)求证：△ADC≌△CEB; A,B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？画出 (2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小 图形并说明你的理由， 明求出砌墙砖块的厚度α的大小（每块砖的厚度相 等) 羽中考热身 第 1.(黔西南州中考题)如图，已知AB=AD,那 分 4.(龙岩中考题)如图，E,F分别是等边三角形 么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌ ABC的边AB,AC上的点，且BE=AF,CE,BF交 △ADC的是 () 夯 于点P (1)求证：CE=BF; 础 (2)求∠BPC的度数. A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90 2.(深圳中考题)如图，△ABC和△DEF中， AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列哪一个条件无法 证明△ABC≌△DEF B A.AC∥DF B.∠A=∠D C.AC-DF D.∠ACB=∠F 9