第26讲 简单的三角恒等变换 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换高考核心考点，涵盖二倍角、半角公式及升幂降幂等变形，按基础回顾-必备知识-题型分类-课时精练逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破公式应用难点，体现复习系统性与针对性。 资料以题型分类为特色，如给值求值强调角关系分析与符号确定，培养数学思维与模型意识，设置例题精讲与分层精练，确保高效突破。助力学生提升三角变换运算与推理能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第26讲 简单的三角恒等变换 题型一 给角求值 1 题型二 给值求值 6 题型三 三角函数式的化简及证明 10 题型四 综合应用 16 课时精练 24 【基础回顾】 知识点1：二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝ 知识点2．半角公式(不要求记忆) sin＝±；cos ＝±；tan＝±.符号由所在象限决定． 【必备知识】 1．二倍角公式的变形公式 (1) 1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2. (升幂公式) (2) ＝()2 (升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，=(降幂公式) 2．半角正切公式的有理化 = 题型一 给角求值 识别角是否为二倍或半角关系（如与，与） 直接代入公式计算，注意符号由角的象限确定 【例题精讲】 1．已知a＝sin13°cos17°+cos13°sin17°，b＝2cos215°﹣1，c＝1﹣2sin222.5°，那么a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【答案】D 【解答】解：， ， ， 因为， 所以a＜c＜b． 故选：D． 2．设a＝2sin42°cos42°，，，则（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【答案】B 【解答】解：a＝2sin42°cos42°＝sin84°， ，， 因为b＝tan64°＞1＞sin84°＝a，，， 故c＜a＜b． 故选：B． 3．下列各式的值为的是（　　） A．sin37.5°cos7.5°﹣cos37.5°cos97.5° B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据sin37.5°cos7.5°﹣cos37.5°cos97.5°＝sin37.5°cos7.5°+cos37.5°sin7.5° ＝sin（37.5°+7.5°）＝sin45°，可知A项不符合题意； 根据，可知B项不符合题意； 根据 ，可知C项符合题意； 根据，可知D项不符合题意． 故选：C． 4．下列各式中，值为的是（　　） A．cos230°﹣sin230° B．1﹣2cos230° C．2sin30°cos30° D． 【答案】A 【解答】解：对于A，，故A是； 对于B，，故B不是； 对于C，原式＝sin60°，故C不是； 对于D，因为， 又因为，故D不是． 故选：A． 5．下列各式的值为的是（　　） A．sin15°cos15° B．cos215°﹣sin215° C． D．1﹣2sin222.5° 【答案】C 【解答】解：对于A，sin15°cos15°sin30°； 对于B，cos215°﹣sin215°＝cos30°； 对于C，tan45°； 对于D，1﹣2sin222.5°＝cos45°． 故选：C． 6．（sin15°+cos15°）2的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：（sin15°+cos15°）2＝1+2sin15°cos15°＝1+sin30°＝1， 故选：C． 7．，则S的值为（　　） A． B．1 C． D．以上都不对 【答案】A 【解答】解： （﹣sin） ． 故选：A． （多选）8．下列各式的值等于的是（　　） A．2sin67.5°cos67.5° B．sin68°cos23°﹣cos68°sin23° C．2sin222.5°﹣1 D． 【答案】AB 【解答】解：选项A，2sin67.5°cos67.5°＝sin135°，故A符合题意； 选项B，sin68°cos23°﹣cos68°sin23°＝sin（68°﹣23°）＝sin45°，故B符合题意； 选项C，，故C不合题意； 选项D，，故D不合题意． 故选：AB． （多选）9．下列等式成立的是（　　） A． B．cos75°cos15°+sin75°sin15°＝0 C． D． 【答案】AD 【解答】解：对于A，sin15°cos15°，A正确； 对于B，cos75°cos15°+sin75°＝cos60°sin15°，B错误； 对于C，2sin215°﹣1＝﹣cos30°，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD． （多选）10．下列选项化简值为1的有（　　） A．2（cos2sin2） B．（） C． D．tan20°+4sin20° 【答案】BC 【解答】解：对于A，2（cos2sin2）＝2cos2，故A错误； 对于B，（） ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，tan20°+4sin20° ，若tan20°+4sin20°＝1，则1， 可得sin20°+2sin40°＝cos20°，即sin20°﹣cos20°＝2sin40°， ∴，此式显然不成立，故D错误． 故选：BC． 题型二 给值求值 分析已知角与目标角的关系，确定使用二倍角还是半角公式 利用同角三角函数关系（）求出所需三角函数值 注意半角公式中正负号的选择，需根据角的范围确定 【例题精讲】 1．若，则tanθ＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：因为cos2θ＝2cos2θ﹣1， 所以， 由于，所以sinθ，cosθ＞0， 所以，， 所以． 故选：A． 2．若，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 所以， 即1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α， 所以． 故选：A． 3．已知，，则sin2θ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵， ∴， ∵sin2θ+cos2θ＝1， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为， 所以， 所以， 则sin（α）＝±． 故选：D． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为， 所以sinα，cosα， 则． 故选：B． 6．已知，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 所以0＜sinα＜cosα， 则， 所以． 故选：A． 7．已知，则tan2x＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得， 即，解得， 所以，解得， 由，且，得sinx＞cosx，故， ，可得，所以． 故选：C． （多选）8．已知，则（　　） A． B． C． D．1+cosα＝2sinα 【答案】ACD 【解答】解：对于A，3，可知A项正确； 对于B，tanα＝tan（2），可知B项不正确； 对于C，sin2α＝2sinαcosα，可知C项正确； 对于D，由，可得，即， 所以，可得1+cosα＝2sinα成立，D项正确． 故选：ACD． （多选）9．已知α∈（0，π），，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：根据（sinα+cosα）2＝sin2α+cos2α+2sinαcosα， 可得1+2sinαcosα，解得2sinαcosα，即sin2α，故A正确，B不正确； 根据2sinαcosα0，且α∈（0，π），可知α为钝角，sinα＞0＞cosα， 结合（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα，可得sinα﹣cosα，故C正确，D不正确． 故选：AC． （多选）10．已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解答】解：因为，①， 故sinx＜0，cosx＞0，且sin2x+cos2x＝1②， 联立①②可得sinx，cosx， 所以sinxcosx； tanx； sinx﹣cosx； tanx． 故选：ABC． 题型三 三角函数式的化简及证明 降幂化简：利用降幂公式将高次项化为低次项，如 升幂化简：利用升幂公式处理根式，如 切化弦：将正切函数化为正弦和余弦，再结合二倍角公式化简 合并同类项：将相同形式的三角函数合并化简 【例题精讲】 1．求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）4； （2）﹣1． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 1． 2．已知函数． （1）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合； （2）求f（x）的对称中心； （3）若，求的值． 【答案】（1）{x|，k∈Z}； （2）（，），k∈Z； （3）． 【解答】解：（1）由题意得f（x） ， 所以，k∈Z时，即，k∈Z时，f（x）取得最大值， 即f（x）的最大值为，取得最大值时x的集合为{x|，k∈Z}； （2）令f（x），即， 可得，k∈Z，即x，k∈Z， 所以f（x）图像的对称中心为（，），k∈Z； （3）若，则， 化简得， 所以． 3．已知向量． （1）当时，求sin2x的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）向量， 由，可得：， 化简可得：， 即； （2）由，可得， 即，显然cosx≠0， 即， 所以． 4．已知向量（2，sinα），（cosα，﹣1），其中α∈（0，），且． （1）求sin2α和cos2α的值； （2）若sin（α﹣β），且β∈（0，），求角β． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（2，sinα），（cosα，﹣1），且， ∴2cosα﹣sinα＝0，即sinα＝2cosα． 代入sin2α+cos2α＝1，得5cos2α＝1， ∵α∈（0，）， ∴cos，则sinα． 则sin2α＝2sinαcosα， cos2α； （2）∵α∈（0，），β∈（0，），∴α﹣β∈（）． 又sin（α﹣β），∴cos（α﹣β）． ∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β） ． ∵β∈（0，），∴β． 5．已知f（α）． （1）化简f（α）； （2）若α是第三象限角，且cos（α），f（α）的值； （3）若α，求f（α）的值． 【答案】（1）cosα；（2）；（3）． 【解答】解：（1）f（α）cosα； （2）因为α是第三象限角，且cos（α）， 所以sinα， 所以，， 所以； （3）f（α）． 6．已知． （Ⅰ）求tanα的值； （Ⅱ）求sin2α+sinαcosα﹣2cos2α的值． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得， 即，整理得5sinα＝2cosα，可得tanα； （Ⅱ）sin2α+sinαcosα﹣2cos2α ． 7．已知函数． （1）化简f（x）； （2）已知α，β都是锐角，，，求f（β）的值． 【答案】（1）f（x）＝﹣sinx，且； （2）． 【解答】解：（1）因为sinx，cos（﹣x）＝cosx， ， 所以， 由cosx≠0，可得f（x）的定义域满足． （2）因为，且α锐角，所以， 根据0＜α+β＜π，且，可得α+β＜π， 所以， 可得f（β）＝﹣sinβ＝﹣sin[（α+β）﹣α]＝﹣[sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα] ． 8．已知α，β为锐角，，． （1）求tanα的值； （2）求cos2α的值； （3）求α﹣β的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）因为， 所以 15sinα﹣5cosα＝sinα+2cosα，即14sinα＝7cosα， 由于cosα＝0显然不合题意，所以； （2）； （3）由（1）知，则， 因为α、β为锐角，则α+β∈（0，π），所以sin（α+β）＞0， 又因为，所以， 所以tan（α+β）＝﹣7， 所以， 因为α、β为锐角，则，所以． 9．已知，且，求： （1）sinα的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为α∈（，）， 所以， 可得sinα； （2）因为，， 所以， ， 可得． 10．已知α，β为锐角，，． （1）求cos2α的值； （2）求sin（2α+β）的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为，所以cos2α＝2cos2α﹣1＝21； （2）由α为锐角，可得sinα， 根据α+β∈（0，π），， 可得sin（α+β）， 所以sin[（α+β）+α]＝sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα ． 题型四 综合应用 与三角函数性质结合：利用二倍角公式化简函数，再求周期、值域、单调性等 与解三角形结合：在三角形中利用二倍角公式处理角的关系，结合正弦定理、余弦定理解题 与向量结合：通过向量运算得到三角函数关系，再利用二倍角和半角公式化简求解 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝﹣2sin2x+2cosx+3t，其中t为常数． （1）当t，时，若f（x）＝0，求x的值； （2）设函数f（x）在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：m+n． 【答案】（1）π； （2）①；②证明见解析． 【解答】解：（1）因为，f（x）＝﹣2sin2x+2cosx+2＝﹣2（1﹣cos2x）+2cosx+2＝2cos2x+2cosx， 当时，cosx∈[﹣1，0），而f（x）＝2cosx（cosx+1）＝0， ∴cosx＝﹣1或cosx＝0（舍），∴x＝π， 所以，x的取值为π． （2）①令k＝cosx，因为，所以cosx∈（﹣1，0），则k∈（﹣1，0）， 则2cos2x+2cosx+3t﹣2＝2k2+2k+3t﹣2，k∈（﹣1，0）， 因为y＝cosx在上单调递增， 所以关于k的方程2k2+2k+3t﹣2＝0在（﹣1，0）上有两个不相等实数根， 所以， 解得，即t的取值范围为． ②证明：令k1＝cosm＜0，k2＝cosn＜0，则k1，k2为关于k的方程2k2+2k+3t﹣2＝0的两根， 所以k1+k2＝﹣1，， 所以， 所以（cosm+cosn）2＝（﹣1）2，即， ∴cos2m﹣sin2n＝2﹣3t，由①得， ∴cos2m＜sin2n，又∵，∴cosm＞sinn， 由于，∴， ∴， 又y＝cosx在上单调递增，所以， 即． 2．已知函数（x∈R）． （1）化简f（x），并求函数f（x）的对称中心； （2）求f（x）在区间上的值域； （3）若，，求cos2x0的值． 【答案】（1），对称中心为； （2）[0，3]； （3）． 【解答】解：（1）因为， 由，解得，所以f（x）的对称中心为． （2）当时，，所以， 则f（x）∈[0，3]，所以f（x）的值域为[0，3]． （3）因为，得到， 又，则，所以cos（）， 则． 3．已知函数． （1）求函数f（x）的单调增区间； （2）若，求函数f（x）的值域． 【答案】（1）[，]，k∈Z； （2）（，1]． 【解答】解：（1）函数 1+cos2x﹣[1+cos（2x）]cos2xcos2xsin2x cos2xsin2xcos（2x）， 令，k∈Z，则x，k∈Z， 函数f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z； （2）若，则， 所以cos（2x）， 故函数f（x）的值域为（，1]． 4．已知向量（sinx，），（cosx，1﹣2cos2x），x∈R，设函数f（x）•sin2x． （1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间； （2）若，不等式f（x）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z； （2）（﹣∞，）． 【解答】解：（1）因为（sinx，），（cosx，1﹣2cos2x）， 所以f（x）•sin2x＝sinxcosx（1﹣2cos2x）sin2x＝sin2xcos2x＝2sin（2x），所以f（x）的最小正周期为Tπ， 令2kπ≤2x2kπ，解得kπ≤xkπ， 所以f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z； （2）若∀x∈[，]，不等式f（x）﹣m＞0恒成立，即f（x）＞m恒成立； 因为f（x）＝2sin（2x），x∈[，]时，2x∈[，]， x时，f（x）取得最小值为2sin2×（）， 所以m的取值范围是（﹣∞，）． 5．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的对称轴方程； （Ⅱ）若，求函数f（x）的值域． 【答案】（Ⅰ），（k∈Z）；（Ⅱ）． 【解答】解：2＝4sin（2x）+2． （Ⅰ）令，（k∈Z），整理得，（k∈Z）． 故函数f（x）的对称轴方程为，（k∈Z）． （Ⅱ）若，所以， 故，故函数f（x），即f（x）． 故函数f（x）的值域为． 6．已知函数． （1）求曲线y＝f（x）的对称轴方程； （2）若关于x的方程f（ax）+1＝0（a＞0）在[0，π]上恰有2个解，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝2sinxcosx﹣cos2x ， 令，解得， 可得y＝f（x）的对称轴方程为； （2）a＞0，x∈[0，π]时，可得ax∈[0，aπ]， 由f（ax）+1＝0，可得， 当a＞0，x∈[0，π]时，可得， 若方程f（ax）+1＝0 （a＞0）在[0，π]上恰有2个解， 则， 解得， 可得a的取值范围为． 7．已知函数其中实数ω＞0． （1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在x＝0处的切线方程； （2）若f（x）在区间（0，π）上恰有三个极值点、两个零点，求ω的取值范围． 【答案】（1）2x﹣y+1＝0； （2）． 【解答】解：（1）f（x）＝sinωx﹣2sin21＝sinωx+cosωxsin（ωx）． 因为f（x）的最小正周期为π，所以Tπ，解得ω＝2． 所以f（x）sin（2x）． 则f（0）sin1，所以切点为（0，1）． 又f′（x）＝2cos（2x），则f′（0）＝2cos22， 所以切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即2x﹣y+1＝0． （2）由（1）知，f（x）sin（ωx），ω＞0，x∈（0，π），则ωx∈（，ωπ）， 因为f（x）在区间（0，π）上恰有三个极值点，所以，，∈（，ωπ），且∉（，ωπ）， 即ωπ，解得ω． 若f（x）在区间（0，π）上恰有两个零点，则π，2π∈（，ωπ），且3π∉（，ωπ）， 即2π＜ωπ3π，解得． 综上，ω的取值范围是． 8．已知函数． （1）求函数f（x）的周期、单调增区间、对称中心坐标； （2）当时，求函数f（x）的值域； （3）当x∈（0，m）时，方程f（x）＝﹣1有3个不同的实数根，求实数m的范围． 【答案】（1）f（x）的最小正周期为π，单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；对称中心坐标为（kπ，），k∈Z； （2）[﹣1，]； （3）m的范围是（，2π]． 【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（2x）+2sinx•cos（x） ＝2sin（2x）+2sinx•cosxcos2sinx•sinxsin ＝2sin（2x）sin2x ＝2sin（2x）+sin（2x） ＝3sin（2x）．所以函数f（x）的最小正周期为Tπ， 令2kπ≤2x2kπ，解得kπ≤xkπ， 所以f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z； 令2xkπ，解得xkπ， 所以f（x）的对称中心坐标为（kπ，），k∈Z； （2）当x∈[，]时，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]， 所以3sin（2x）∈[﹣1，]，所以函数f（x）的值域为[﹣1，]； （3）当x∈（0，m）时，2x∈（，2m）， 方程f（x）＝﹣1可化为3sin（2x）1，即sin（2x）； 由题意知，方程有3个不同的实数根，则3π2m4π， 解得m≤2π，所以实数m的范围是（，2π]． 9．已知函数． （I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值； （Ⅲ）若，求cos2x0的值． 【答案】（I）T＝π，单调递增区间为[，kπ]，k∈Z； （Ⅱ）最大值为2，最小值为； （Ⅲ）． 【解答】解：（Ⅰ）由 ＝1+sin2x+cos（2x）+1+cos（2x）﹣2 ＝sin2xcos2x＝2sin（2x）， 可得函数f（x）的最小正周期， 令2k，k∈Z， 则xkπ，k∈Z， 故函数的单调递增区间为[，kπ]，k∈Z； （Ⅱ）当时，， 所以， 故函数的最大值为2，最小值为； （Ⅲ）因为，所以， 因为，所以， 所以， ． 10．已知函数，x∈R． （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数f（x）的图像向左平移个单位长度，然后把所得函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到g（x）的图像，求函数g（x）在上的值域． 【答案】（1）最小正周期π，单增区间为； （2）． 【解答】解：（1）因为 ， 所以f（x）的最小正周期， 令，k∈Z，解得，k∈Z， 可得f（x）的单调递增区间为； （2）将f（x）的图像向左平移个单位长度得到的图像， 再将的图像上所有点的横坐标缩小到原来的得到图像， 所以， 当，可得， 当，即时，g（x）单调递增， 当，即时，g（x）单调递减， 又，，， 可得g（x）在的值域为． 课时精练 一．选择题 1．已知，则（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b 【答案】D 【解答】解：，所以， 因为y＝sinx在上单调递增，又， 所以， 所以c＞a＞b． 故选：D． 2．已知sin2α＝cosα，，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由已知可得2sinαcosα＝cosα， 因为，所以cosα≠0， 所以，则． 故选：A． 3．已知，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据， 结合sin2α+cos2α＝1，可得， 解得2sinαcosα，即sin2α． 故选：B． 4．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设θ，则2θ， 由sinθ，可得cos2θ＝1﹣2sin2θ， 即． 故选：A． 5．已知，，则cosα的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由于，可得， 所以， 因为， 又因为， 可得， 可得， 又， 所以． 故选：B． 6．若sinα，，成等差数列，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得2sinα， 即， ，整理得， 结合sin2α+cos2α＝1，可得27cos2α+cos2α＝1，解得，， 所以． 故选：B． 7．已知，则（　　） A． B．7 C． D．﹣7 【答案】D 【解答】解：由题意得 ， 因为，所以7． 故选：D． 8．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 所以sinα 所以． 故选：A． 二．多选题 （多选）9．下列运算结果正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：A．sin34°sin26°﹣cos34°cos26°＝﹣cos（34°+26°），A正确； B.，B错误； C.，C错误； D.，D正确． 故选：AD． （多选）10．已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解答】解：，则，， 故，，，，得到，A错误； ，得到，C正确； ，B正确； ，D错误． 故选：BC． （多选）11．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解答】解：因为， 对于A，，选项A正确； 对于B，，选项B正确． 对于C，，选项C错误． 对于D，，选项D正确． 故选：ABD． 三．填空题 12．已知，，则cos4α﹣sin4α＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为，， 所以，， 所以． 故答案为：． 13．已知，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：， 所以 ． 故答案为：． 14．函数f（x）＝sin2x+2cos（x）+3的最小值是　　 ． 【答案】 【解答】解： ＝cos（2x）+2cos[（x）]+3 ＝1﹣2sin2（x）+2sin（x）+3 ＝4﹣[2sin2（x）+2sin（x）+1]+1 ＝5﹣[sin（x）+1]2， ∵sin（x）∈[﹣1，1]， ∴函数的最小值为5﹣（1）2＝2﹣2． 故答案为：2﹣2 四．解答题1 15．已知α是第二象限角，． （1）求sinα和tanα的值； （2）求和sin2α的值． 【答案】（1），； （2）；． 【解答】解：（1）因为α是第二象限角，， 所以，； （2），， 则， ． 16．（1）已知，求cos（α﹣β）的值； （2）若tanα＝2，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）根据条件：①，②， 则①+②得：，所以； （2）因为tanα＝2，所以． 17．已知函数f（x）＝（sinx+cosx）2+2cos2x﹣1． （1）求函数f（x）的递增区间； （2）当时，求函数f（x）的值域． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）函数f（x）＝（sinx+cosx）2+2cos2x﹣1． ， 由（k∈Z）， 解得：（k∈Z）， 所以函数f（x）的递增区间为[]（k∈Z）； （2）因为， 所以， 则， 所以函数f（x）的值域为． 18．已知函数的图像的一条对称轴方程为． （1）若，求f（x）的值域； （2）若，且，求cos2θ的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为函数图像的一条对称轴方程为， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以． 若， 则， 所以． 所以若，f（x）的值域为； （2）由（1）知， 所以． 因为，所以， 所以． 所以． 所以． 19．已知函数的最大值为3． （Ⅰ）若f（x）的定义域为[0，π]，求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若，，求的值． 【答案】（I）和； （Ⅱ）． 【解答】解：（I）因为， 所以， 因为f（x）max＝2+m＝3，所以m＝1，此时， 当x∈[0，π]时，， 令，得， 令，得x≤π， 所以f（x）的单调递增区间为和； （Ⅱ）由（I）知， 由，得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 简单的三角恒等变换 题型一 给角求值 1 题型二 给值求值 3 题型三 三角函数式的化简及证明 5 题型四 综合应用 6 课时精练 8 【基础回顾】 知识点1：二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝ 知识点2．半角公式(不要求记忆) sin＝±；cos ＝±；tan＝±.符号由所在象限决定． 【必备知识】 1．二倍角公式的变形公式 (1) 1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2. (升幂公式) (2) ＝()2 (升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，=(降幂公式) 2．半角正切公式的有理化 = 题型一 给角求值 识别角是否为二倍或半角关系（如与，与） 直接代入公式计算，注意符号由角的象限确定 【例题精讲】 1．已知a＝sin13°cos17°+cos13°sin17°，b＝2cos215°﹣1，c＝1﹣2sin222.5°，那么a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b 2．设a＝2sin42°cos42°，，，则（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 3．下列各式的值为的是（　　） A．sin37.5°cos7.5°﹣cos37.5°cos97.5° B． C． D． 4．下列各式中，值为的是（　　） A．cos230°﹣sin230° B．1﹣2cos230° C．2sin30°cos30° D． 5．下列各式的值为的是（　　） A．sin15°cos15° B．cos215°﹣sin215° C． D．1﹣2sin222.5° 6．（sin15°+cos15°）2的值为（　　） A． B． C． D． 7．，则S的值为（　　） A． B．1 C． D．以上都不对 （多选）8．下列各式的值等于的是（　　） A．2sin67.5°cos67.5° B．sin68°cos23°﹣cos68°sin23° C．2sin222.5°﹣1 D． （多选）9．下列等式成立的是（　　） A． B．cos75°cos15°+sin75°sin15°＝0 C． D． （多选）10．下列选项化简值为1的有（　　） A．2（cos2sin2） B．（） C． D．tan20°+4sin20° 题型二 给值求值 分析已知角与目标角的关系，确定使用二倍角还是半角公式 利用同角三角函数关系（）求出所需三角函数值 注意半角公式中正负号的选择，需根据角的范围确定 【例题精讲】 1．若，则tanθ＝（　　） A． B． C． D．2 2．若，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则sin2θ＝（　　） A． B． C． D． 4．设，则（　　） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 7．已知，则tan2x＝（　　） A． B． C． D． （多选）8．已知，则（　　） A． B． C． D．1+cosα＝2sinα （多选）9．已知α∈（0，π），，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）10．已知，，则（　　） A． B． C． D． 题型三 三角函数式的化简及证明 降幂化简：利用降幂公式将高次项化为低次项，如 升幂化简：利用升幂公式处理根式，如 切化弦：将正切函数化为正弦和余弦，再结合二倍角公式化简 合并同类项：将相同形式的三角函数合并化简 【例题精讲】 1．求下列各式的值： （1）； （2）． 2．已知函数． （1）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合； （2）求f（x）的对称中心； （3）若，求的值． 3．已知向量． （1）当时，求sin2x的值； （2）当时，求的值． 4．已知向量（2，sinα），（cosα，﹣1），其中α∈（0，），且． （1）求sin2α和cos2α的值； （2）若sin（α﹣β），且β∈（0，），求角β． 5．已知f（α）． （1）化简f（α）； （2）若α是第三象限角，且cos（α），f（α）的值； （3）若α，求f（α）的值． 6．已知． （Ⅰ）求tanα的值； （Ⅱ）求sin2α+sinαcosα﹣2cos2α的值． 7．已知函数． （1）化简f（x）； （2）已知α，β都是锐角，，，求f（β）的值． 8．已知α，β为锐角，，． （1）求tanα的值； （2）求cos2α的值； （3）求α﹣β的值． 9．已知，且，求： （1）sinα的值； （2）求的值． 10．已知α，β为锐角，，． （1）求cos2α的值； （2）求sin（2α+β）的值． 题型四 综合应用 与三角函数性质结合：利用二倍角公式化简函数，再求周期、值域、单调性等 与解三角形结合：在三角形中利用二倍角公式处理角的关系，结合正弦定理、余弦定理解题 与向量结合：通过向量运算得到三角函数关系，再利用二倍角和半角公式化简求解 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝﹣2sin2x+2cosx+3t，其中t为常数． （1）当t，时，若f（x）＝0，求x的值； （2）设函数f（x）在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：m+n． 2．已知函数（x∈R）． （1）化简f（x），并求函数f（x）的对称中心； （2）求f（x）在区间上的值域； （3）若，，求cos2x0的值． 3．已知函数． （1）求函数f（x）的单调增区间； （2）若，求函数f（x）的值域． 4．已知向量（sinx，），（cosx，1﹣2cos2x），x∈R，设函数f（x）•sin2x． （1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间； （2）若，不等式f（x）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围． 5．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的对称轴方程； （Ⅱ）若，求函数f（x）的值域． 6．已知函数． （1）求曲线y＝f（x）的对称轴方程； （2）若关于x的方程f（ax）+1＝0（a＞0）在[0，π]上恰有2个解，求a的取值范围． 7．已知函数其中实数ω＞0． （1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在x＝0处的切线方程； （2）若f（x）在区间（0，π）上恰有三个极值点、两个零点，求ω的取值范围． 8．已知函数． （1）求函数f（x）的周期、单调增区间、对称中心坐标； （2）当时，求函数f（x）的值域； （3）当x∈（0，m）时，方程f（x）＝﹣1有3个不同的实数根，求实数m的范围． 9．已知函数． （I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值； （Ⅲ）若，求cos2x0的值． 10．已知函数，x∈R． （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数f（x）的图像向左平移个单位长度，然后把所得函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到g（x）的图像，求函数g（x）在上的值域． 课时精练 一．选择题 1．已知，则（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b 2．已知sin2α＝cosα，，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 3．已知，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 4．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 5．已知，，则cosα的值为（　　） A． B． C． D． 6．若sinα，，成等差数列，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 7．已知，则（　　） A． B．7 C． D．﹣7 8．已知，则（　　） A． B． C． D． 二．多选题 （多选）9．下列运算结果正确的有（　　） A． B． C． D． （多选）10．已知，，则（　　） A． B． C． D． （多选）11．已知，则（　　） A． B． C． D． 三．填空题 12．已知，，则cos4α﹣sin4α＝　　 ． 13．已知，则　　 ． 14．函数f（x）＝sin2x+2cos（x）+3的最小值是　　 ． 四．解答题1 15．已知α是第二象限角，． （1）求sinα和tanα的值； （2）求和sin2α的值． 16．（1）已知，求cos（α﹣β）的值； （2）若tanα＝2，求的值． 17．已知函数f（x）＝（sinx+cosx）2+2cos2x﹣1． （1）求函数f（x）的递增区间； （2）当时，求函数f（x）的值域． 18．已知函数的图像的一条对称轴方程为． （1）若，求f（x）的值域； （2）若，且，求cos2θ的值． 19．已知函数的最大值为3． （Ⅰ）若f（x）的定义域为[0，π]，求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若，，求的值． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $