第26讲 导数同构 分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦导数同构核心应用，以考点-考法分层架构整合25道典型题，覆盖方程求解、大小比较、零点研究等全场景，构建从基础变形到综合证明的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同构变形与解方程求值|4题|构造同构式解决求值问题|从同构概念出发，训练结构识别与变形能力| |同构比较大小与求最值|7题|利用单调性比较大小及最值求解|延伸同构应用，强化函数性质与同构结合| |同构研究零点与交点|2题|方程根的个数及函数交点问题|深化同构思想在函数图像与方程中的应用| |同构解决不等式恒成立|9题|参数范围求解及恒成立证明|综合同构与导数工具，提升复杂问题处理能力| |同构证明不等式与极值点偏移|6题|不等式证明及极值点偏移问题|高阶应用同构思想，培养逻辑推理与创新意识|

第26讲 导数同构 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 B B A A 6 7 8 9 10 B A D A 11 12 13 14 15 C （1） （2）见解析 （1） （2）见解析 B 16 17 18 19 20 D （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （1）见解析 （2）① ②见解析 （1）见解析 （2）见解析 21 22 23 24 25 （1）只有一个零点 （2）见解析 （1） （2）（i） （ii）见解析 （1）递增区间为，递减区间为 （2）见解析 （3）见解析 （1）见解析 （2）① ②见解析 （1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3）见解析 考点一：同构变形与解方程、求值 考法1：构造同构解方程或求值 1.（2026·安徽A10联盟·5月模拟）已知正实数满足，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得，，，则等价于.设，则，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立.由得，，则，又，所以，即，则. 【点拨】本题考查利用同构思想解方程，通过构造函数并利用其最值性质是解题关键. 2.设，满足，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】可化为：.记，定义域为.因为，所以在上单调递增.又，所以为奇函数.所以由可得：，所以. 【点拨】本题考查同构方程组的求解，通过构造奇函数并利用其单调性得出变量间的关系. 3.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对两边取自然对数，得①，对两边取自然对数，得，即②，因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，设，，则，所以在上单调递增，所以方程的解只有一个，所以，所以. 【点拨】本题考查同构方程的识别与求解，通过两边取对数构造出形式相同的方程，结合函数的单调性确定变量关系. 4.（2026·山东济宁·三模）已知实数满足，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意，方程为.因为存在和，所以即，且.原方程变形为：.两边同除以，得：.即.注意到.令，则方程变为.此变形不直观，重新变形：.两边同除以，得.即.设，.则.注意到.所以.令，则.因为，设，则，单调递增.又，所以是唯一解.即，.所以.令.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.所以，解得.即的取值范围是. 【点拨】本题考查同构方程的求解，通过代数变形构造出单调函数，从而将方程转化为变量间的关系式. 考点二：利用同构比较大小与求最值 考法2：利用同构比较大小 5.已知，且，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设函数，，当，，此时单调递增，当，，此时单调递减，由题，，，得，，，因为，所以，则，且，所以.故选：A. 【点拨】本题考查利用同构比较大小，将已知等式变形为的形式，结合函数的单调性即可比较大小. 6.已知，且，其中为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】构造，，则恒成立，则，当时，，，当时，，，所以在单调递增，在单调递减，因为，所以，，又，所以，D错误，因为，所以，，所以，所以，A错误，B正确.令，则，，当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，，即，因为，所以，因为，所以，因为在单调递减，所以，即，因为在上单调递减，所以，C错误.故选：B. 【点拨】本题考查利用同构比较大小，通过构造函数并分析其单调性与极值点，结合三角函数的性质进行综合判断. 考法3：利用同构求函数最值 7.（2025·江西萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令，原不等式可化为：，代入，化简可得：，令，得到，再令，可得：，由对勾函数的单调性，可知在上单调递减，所以当时，取得最小值，所以的最大值为，也即的最大值为，所以的最大值为，故选：A. 【点拨】本题考查利用同构求函数最值，通过赋值法将双变量不等式转化为单变量不等式，再利用换元法和基本不等式求最值. 8.（2025·河北NT20·二模）若存在，使得成立，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，则，对求导，所以.当时，，，所以，在上单调递减.当时，，当时，，所以的值域是.对求导，所以.令，即，解得.当时，，，所以在上单调递减.当时，，当时，，所以的值域是.又，所以，那么.设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为.故选：D. 【点拨】本题考查利用同构求最值，通过构造函数并利用其单调性将等式转化为变量间的关系，再构造新函数求最值. 9.（2026·湖南师大附中·5月模拟）已知函数，若，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得，则，由，则，令，则，令，可知函数在上单调递增，所以当时，有，即，可得，所以，令，则，所以，令，则，令，即，解得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以函数在处取得极小值，也是最小值，为，所以的最小值为. 【点拨】本题考查利用同构求最值，通过取对数构造同构函数，利用单调性得到变量间的关系，再转化为单变量函数求最值. 10.（2025·河北衡水中学·综合评价）若正实数满足，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为，所以，所以，即，令，则有，设，则，由得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，从而，所以，设，则，由得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以的最小值为. 【点拨】本题考查利用同构求最值，通过代数变形构造出的形式，利用其最大值为0的性质得到等量关系. 11.已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为仅在时取等号，故为上的单调递增函数，故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，可得，恒成立，，即恒成立，当时，，恒成立，当时，构造函数，恒成立，当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，故需，设，，在上递增，在递减，，故的最小值为. 【点拨】本题考查利用同构求最值，通过函数的单调性脱去函数符号，再构造同构函数将不等式转化为变量间的关系. 考点三：利用同构研究零点与交点问题 考法4：利用同构研究函数零点或方程根的个数 12.（2026·华中师大一附中·5月模拟）已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】即方程有两个不相等的实根，令，则，又因为单调递增，所以，即有两个不相等的实根，令，求导得在单调递增，在单调递减，，时，时，由图象得. 【点拨】本题考查利用同构研究方程根的个数，通过构造函数将方程转化为两个函数图象的交点问题，再利用导数求最值. 考法5：利用同构求函数交点问题 13.已知函数和有相同的最大值. （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1），当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，由，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有，，. （2）由（1）知，两个函数图象如下图所示： 由图可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设且，由，又，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，于是有，. 【点拨】本题考查利用同构求函数交点问题，通过构造同构式将不同函数的交点转化为同一函数的自变量关系. 14.已知函数和有相同的最大值，并且. （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1），.若，则时，时，所以在定义域内先减后增，无最大值.若，则，最大值为，但不满足.若，令，得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以时取得最大值，最大值为，.若，则时，时，所以在定义域内先减后增，无最大值.若，则，最大值为，但不满足.若，令，得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以时取得最大值，最大值为.综上，，解得. （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，有唯一的零点，有唯一的零点.它们的大致图像如图所示，设曲线与在上交于点， 当直线经过点时，直线与曲线还有另一个交点，设，，，不妨设直线与曲线还有另一个交点，则，则，故①，同理得②，由①②知，与是直线与曲线交点的横坐标，故是存在的.因为且，所以，又，所以，，从而有，故结论成立. 【点拨】本题考查利用同构求函数交点问题，通过构造同构式将不同函数的交点转化为同一函数的自变量关系. 考点四：利用同构解决不等式恒成立问题 考法6：指对数混合同构求参数范围 15.（2026·山东东营·二模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，令，则，因为，所以在上单调递增，所以，即，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以.故选：B. 【点拨】本题考查指对数混合同构求参数范围，通过构造函数将不等式转化为变量间的关系，再利用导数求最值. 16.（2026·湖南湘一名校联盟·二模）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得，即，即.设，则，因为，所以在上单调递增，所以，即.设，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，所以，. 【点拨】本题考查指对数混合同构求参数范围，通过构造函数将方程转化为变量间的关系，再利用导数求最值. 17.（2026·河北衡水·4月检测）若，，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题可得，，，由不等式可知，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，又时，，时，，所以.因为，所以，所以原不等式等价于，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，所以要使对成立，所以，解得，又，所以，则的取值范围为.故答案为. 【点拨】本题考查指对数混合同构求参数范围，通过换元法将双变量不等式转化为单变量不等式，再利用导数求最值. 18.完成下列各问 （1） 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （2） 已知函数，若恒成立，则正数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （3） 已知函数，若恒成立，则正数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （4） 已知不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （5） 已知函数，其中，若恒成立，则实数与的大小关系是＿＿＿＿＿＿； （6） 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （7） 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （8） 已知不等式，对恒成立，则的最大值为＿＿＿＿＿＿； （9） 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 【解析】（1），.又，，令，得或，令，得，所以在，递减，在递增，所以，当时，，时，，. （2），当时，原不等式恒成立；当时，，由于，当且仅当等号成立，所以. （3），当时，原不等式恒成立；当时，，由（1）中可得，当时，等号成立，所以，当且仅当等号成立，所以. （4），由于，所以. （5）.由于，当且仅当等号成立，所以. （6），由于，，两者都是当且仅当等号成立，则，所以. （7），由于，，两者都是当且仅当等号成立，则，所以. （8），由于，，两者都是当且仅当等号成立，所以，，则，所以. （9），当且仅当，即时等号成立.由有解，，，易知在上递增，在递减，，所以. 【点拨】本题考查指对数混合同构求参数范围，通过构造同构式将不等式转化为基本不等式或利用导数求最值. 考法7：其他类型同构求参数范围 19.（2026·河北沧州十二校·一模）已知函数，（为自然对数的底数，） （1） 证明：当时，； （2） 关于的方程的一个实数根为，其中， ①求实数的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）见解析 （2）① ②见解析 【解析】（1）设，，则；所以在上单调递减，在上单调递增；因为，，所以时恒成立，即. （2）①由得，两边取对数得，令，则，，从而有；设，.则；所以，在上单调递增；因为，，；故实数的取值范围. ②方法一：要证，只需证，因为，，要证，只需证时，，只需证.上式显然成立；要证，只需证，因为，所以，由（1）知时，，所以，即，解得，所以；于是成立. 方法二：要证，只需证，因为，只需证，只需证，上式显然，，要证，只需证，因为，故只需证，只需证，两边平方，消去，只需证，注意到，所以只需证，只需证，只需证，构造函数，，则，当时，，所以在上单调递增，当，，所以在上单调递减，又，，所以在的最大值小于，故成立. 【点拨】本题考查利用同构求参数范围及证明不等式，通过取对数将方程转化为变量间的关系，再构造函数求最值. 考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移 考法8：利用同构证明不等式 20.已知函数，. （1） 讨论的单调区间； （2） 当时，证明. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1）的定义域为，，①当时，，此时在上单调递减，②当时，由可得，由，可得，在上单调递减，在上单调递增，③当时，由可得，由，可得，在上单调递增，在上单调递减. （2）设，则，由（1）可得在上单调递增，，当时，，当时，，在上单调递减，当时，，，，. 【点拨】本题考查利用同构证明不等式，通过构造函数并利用其单调性将双变量不等式转化为单变量函数的大小比较. 21.已知函数. （1） 讨论函数的零点的个数； （2） 证明：. 【答案】（1）只有一个零点 （2）见解析 【解析】（1）函数定义域为，则，故在，递增，当时，，没有零点；当时，单调递增，，，由函数零点存在定理得在区间内有唯一零点，综上可得，函数只有一个零点. （2）法一：要证，即证，令，定义域为，则，由（1）知，在区间内有唯一零点，设其为，则①，因，且在区间上单调递增，所以当时，，，单调递减，当时，，，单调递增；所以，由式①可得，，所以，又时，恒成立，所以，得证. 法二：问题转化为证明，令，易知，(当且仅当时“”成立)又，则，故(当且仅当时“”成立). 【点拨】本题考查利用同构证明不等式，通过构造函数并利用其单调性与极值点将不等式转化为函数的最值问题. 考法9：利用同构处理极值点偏移问题 22.（2026·广东梅州·一模）已知函数，. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若曲线与在处有相同的切线， （i）求的值； （ii）若，证明：. 【答案】（1） （2）（i） （ii）见解析 【解析】（1），因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，当且仅当时取等号，所以. （2）（i）因为，所以，又，由题意可得，即，解得，此时，，符合题意. （ii）由（i）知，，，所以在上单调递减，又，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又，所以，因为在上单调递减，所以，要证，即证，因为，所以，又时，单调递增，所以只需证，即证，即证，即证，令，则，令，则，所以在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递增，所以，即成立，所以. 【点拨】本题考查利用同构处理极值点偏移问题，通过构造函数并利用其单调性将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题. 23.（2026·江西南昌·一模）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证：. （3）当时，设，且满足，求证：. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为 （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1），由，当时，，即在为增函数；当时，，即在为减函数.所以的递增区间为，递减区间为. （2）由，解得，又因为，则，所以切线方程为，设，则，令，解得，当时，，当时，，可知在为增函数，在为减函数，故，所以. （3）由（1）可知，①若，则，不符合题意；所以，②若，则，③若，，又因为在为减函数，所以，所以，综上所述，又因为，由，所以，即，即，设，所以，方法一：设，所以，因为在为单调递增，当时，，，，所以存在，使得，即，又因为，，即在为减函数；又因为，，即在为增函数；所以，又因为，则有，又因为，，所以，即在为增函数，又因为，所以，即.方法二：设，因为在单调递增，又因为所以所以，即在为增函数，又因为，所以，即. 【点拨】本题考查利用同构处理极值点偏移问题，通过构造函数并利用其单调性将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题. 24.（2026·浙江强基联盟·3月联考）已知函数，（为自然对数的底数，） （1）证明：当时，； （2）关于的方程的一个实数根为，其中， ①求实数的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）① ②见解析 【解析】（1）设，，则；所以在上单调递减，在上单调递增；因为，，所以时恒成立，即. （2）①由得，两边取对数得，令，则，，从而有；设，.则；所以，在上单调递增；因为，，；故实数的取值范围. ②方法一：要证，只需证，因为，，要证，只需证时，，只需证.上式显然成立；要证，只需证，因为，所以，由（1）知时，，所以，即，解得，所以；于是成立. 方法二：要证，只需证，因为，只需证，只需证，上式显然，，要证，只需证，因为，故只需证，只需证，两边平方，消去，只需证，注意到，所以只需证，只需证，只需证，构造函数，，则，当时，，所以在上单调递增，当，，所以在上单调递减，又，，所以在的最大值小于，故成立. 【点拨】本题考查利用同构处理极值点偏移问题，通过代数变形将不等式转化为单变量函数的最值问题，再利用导数证明. 25.（2026·湖南湘一名校联盟·二模）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若过点可作曲线的两条切线，求的取值范围； （3）若曲线的切线过点，其中，求证：曲线上除切点外的点都在直线的上方. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3）证明见解析 【解析】（1）函数的定义域为.求导得：.令，解得，令，解得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）设切点坐标为，其中，由（1）知切线斜率，则切线方程为，因为切线过点，代入整理得：，过点可作两条切线，等价于关于的方程在其定义域内有两个不同的实根，当时无意义，故，令且，.当时，，在和上单调递减；当时，，在单调递增.又当且时，；当且时，，当，且时，.由图知，要使有两根，需，故的取值范围是； （3）证明：设切点为，由（2）知.切线的方程为，要证曲线上除切点外的点都在直线上方，即证：对恒成立.将代入上式，即证：，令，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.因此，当时，，即曲线上除切点外的点都在直线的上方. 【点拨】本题考查利用同构处理极值点偏移问题，通过构造函数并利用其单调性将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题. 第 2 页，共 17 页 $第26讲 导数同构 · 分类练习 考点一：同构变形与解方程、求值 考法1：构造同构解方程或求值 1.（2026·安徽A10联盟·5月模拟）已知正实数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 2.设，满足，则（ 　　） A. B. C. D. 3.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·山东济宁·三模）已知实数满足，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考点二：利用同构比较大小与求最值 考法2：利用同构比较大小 5.已知，且，，，则（ 　　） A. B. C. D. 6.已知，且，其中为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 考法3：利用同构求函数最值 7.（2025·江西萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 8.（2025·河北NT20·二模）若存在，使得成立，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 9.（2026·湖南师大附中·5月模拟）已知函数，若，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 10.（2025·河北衡水中学·综合评价）若正实数满足，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 11.已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 考点三：利用同构研究零点与交点问题 考法4：利用同构研究函数零点或方程根的个数 12.（2026·华中师大一附中·5月模拟）已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法5：利用同构求函数交点问题 13.已知函数和有相同的最大值. （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 14.已知函数和有相同的最大值，并且. （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 考点四：利用同构解决不等式恒成立问题 考法6：指对数混合同构求参数范围 15.（2026·山东东营·二模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 16.（2026·湖南湘一名校联盟·二模）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 17.（2026·河北衡水·4月检测）若，，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 18.完成下列各问 （1） 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （2） 已知函数，若恒成立，则正数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （3） 已知函数，若恒成立，则正数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （4） 已知不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （5） 已知函数，其中，若恒成立，则实数与的大小关系是＿＿＿＿＿＿； （6） 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （7） 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； （8） 已知不等式，对恒成立，则的最大值为＿＿＿＿＿＿； （9） 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿； 考法7：其他类型同构求参数范围 19.（2026·河北沧州十二校·一模）已知函数，（为自然对数的底数，） （1） 证明：当时，； （2） 关于的方程的一个实数根为，其中， ①求实数的取值范围； ②证明：. 考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移 考法8：利用同构证明不等式 20.已知函数，. （1） 讨论的单调区间； （2） 当时，证明. 21.已知函数. （1） 讨论函数的零点的个数； （2） 证明：. 考法9：利用同构处理极值点偏移问题 22.（2026·广东梅州·一模）已知函数，. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若曲线与在处有相同的切线， （i）求的值； （ii）若，证明：. 23.（2026·江西南昌·一模）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证：. （3）当时，设，且满足，求证：. 24.（2026·浙江强基联盟·3月联考）已知函数，（为自然对数的底数，） （1）证明：当时，； （2）关于的方程的一个实数根为，其中， ①求实数的取值范围； ②证明：. 25.（2026·湖南湘一名校联盟·二模）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若过点可作曲线的两条切线，求的取值范围； （3）若曲线的切线过点，其中，求证：曲线上除切点外的点都在直线的上方. 第 2 页，共 17 页 $