学易金卷：八年级数学下学期期末模拟卷（新教材北京版，范围：八下全册）

**基本信息** 立足北京版八年级下册，以核心素养为导向，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，融合新能源充电、浮力实验等真实情境，考查图形与几何、函数与代数、统计与概率等模块，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题16分|图形性质（如轴对称与中心对称）、平行四边形内角、方差比较|基础概念辨析，结合图形直观考查空间观念| |填空题|8题16分|函数自变量取值、一元二次方程根的判别式、统计方差|知识细节考查，融入新能源充电情境体现应用意识| |解答题|11题68分|解方程、矩形证明、图形变换、统计分析、菱形构造、一次函数应用、实验田面积计算、浮力实验数据处理、新定义“纠缠方程”、正方形综合、“等垂点”探究|综合性强，突出动态几何（如动点面积函数）、跨学科实验（浮力数据）、新定义问题，体现推理能力与模型意识|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]IB]IC]ID] 6.[A]IB]ICI[D] 3.[A][B][C][D] 7AJIBJICI[DI 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 11. 13 16 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(4分) F C A E 19.(6分) y 5 4 3 2 1 5 -4:-3-2-10 1:23:4:5 20.(5分) 抽取的学生视力频数分布直方图 人数 40 30H 22 20 13---- 10 V4.04.34.64.95.255 0 视力值 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) A D B 22.（7分) y B D ○ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(7分) A D HG 24.(6分→ F/N 4 32 1 匪 0123456789h/cm 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(7分) 26.(7分) y D A D M M B N B C (图1) (图2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(7分) y个 y个 y=3x-5 y y=3x-5 3,B A 5 5 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×！【1[/小 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.AIIBIICIIDI 5.[AIIBIICI[DI 2.[AJ[BIICI[DI 6.[AIIBIICIID] 3.AJIBIICIID] 7AJIB]ICIID] 4.1AJ[BIICIIDI 8.[AIIBIICI[D] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9 10. 11. 13 三、解答题：本题共11小题，共8分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(4分) D ⊙ E 19.(6分) A 5 4 .3 2 C 5 -4 3-2-1 12:3 4 2 -}- 3 4 20.(5分) 抽取的学生视力频数分布直方图 人数个 40 30 2 10 V4.04.34.64.95.25.5 0 视力值 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) A D 22.(7分) y B D A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(7分) A E B HG 24.(6分) F/N 4 3 2 1 0123456789h/cm 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(7分) 26.(7分) O A D M B N B (图1) (图2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(7分) y个 y=3x-5 y y=3x-5 3,B o 0 5 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级下册。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A＝（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 3．在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了10次，球的落地位置如图所示．已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这10次成绩的方差的描述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．已知一次函数y＝3x+m的图象经过点A（m，y1），B（m+3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 5．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6. 如图，已知函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与函数y＝kx﹣3（k为常阳数且k≠0）的图象相交于点P（4，﹣6），则关于x的不等式ax+b≤kx﹣3的解集是（　　） A．x＜﹣6 B．x≤﹣6 C．x＜4 D．x≤4 7. 如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．动点P从点A出发，沿着 A→D→C的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．在此过程中四边形CEPF的面积y与运动时间x的函数关系图象如图②所示，则AB的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 8．AC为平行四边形ABCD的对角线，∠CAE＝45°，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，AE，CF交于点H，连接BH和DH，射线CF交线段DA的延长线于点G．①∠ABE＝∠CHE；②CH＝CD；③；④BH2+AC2＝DH2．上述结论正确的有（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．函数的自变量x的取值范围是 　 ． 10. 关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 　 ． 11．某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差S甲2与乙的方差S乙2的大小：S甲2　 　 S乙2．（填“＞”“＝”或“＜”） 12. 如图，已知函数y＝﹣x+1和y＝kx+2图象交于点P，点P的纵坐标为1.5，则关于x、y的方程组的解是 　 　 ． 13. 在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（0，2），则n的值为　 　 ． 14. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，OE⊥BC于点E．若AC＝4，∠DBC＝30°，则OE的长为 　 　 ． 15. 近年新能源汽车越来越受到人们的追捧，为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量y1（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线ABC，用普通充电器时，汽车电池电量y2（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段AD，若该汽车电池电量从10%充至90%，则快速充电器比普通充电器少 　 　 h． 16. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OMFG的最小值是_______. 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （6分）解方程： （1）3（x+1）2＝12； （2）x2﹣3x+1＝0． 18．（4分）如图，已知▱ABCD，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F．求证：四边形DECF是矩形． 19. （6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．并分别写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并分别写出点A，B，C的对应点A2，B2，C2的坐标； （3）△ABC的面积为　 ． 20. （5分）每年的6月6日为“全国爱眼日”，某初中学校为了解本校学生视力健康状况，从全校880名学生中随机抽取100名学生，进行视力状况调查．（注：数据以左、右眼睛较低视力值为准．） 抽取的学生视力频数分布表 视力范围 频数 百分比 4.0≤x＜4.3 10 10% 4.3≤x＜4.6 22 22% 4.6≤x＜4.9 a 35% 4.9≤x＜5.2 20 20% 5.2≤x＜5.5 13 b 合计 100 100% （1）频数分布表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）补全频数分布直方图； （3）4.9≤x＜5.2数据如下： 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 在4.9≤x＜5.2这组数据中，中位数为　 　 ； （4）视力达到5.0及以上的同学视力达到正常视力水平，那么根据抽取的结果预估全校880人视力达到正常视力水平的一共多少人？ 21．（6分）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，可以通过平行四边形巧妙地构造菱形．下面作法就是其中一种． 作法：在平行四边形ABCD中，作BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，连接EF． （1）根据以上作法，用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：四边形AEFB为菱形． 22. （7分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）求△DOB的面积； （3）点P在x轴上，当△CBP的面积为6时，请求出点P的坐标．（要求写过程） 23．（7分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 24. （6分）小明利用数学知识研究浮力的相关问题时，进行了如下操作：将用弹簧测力计悬挂的圆柱体，先置于盛有某种液体的烧杯液面上方，然后缓慢下降，浸入液体中不同深度，如图所示．在这个过程中，小明记录了圆柱体下表面浸入液体的深度h（单位：cm）与弹簧测力计读数F1（单位：N）的部分数据，并计算出圆柱体所受浮力F2（单位：N），如表： h（cm） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F1（N） 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 2.6 2.2 2.2 2.2 2.2 F2（N） 0 0.4 0.8 1.2 a 2.0 2.4 2.4 2.4 2.4 （1）表中a的值为 　 　 ； （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值对应的点（h，F1），（h，F2），并画出F1，F2的图象； （3）结合以上数据和函数图象，解决下列问题： ①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2　 　 （填“增大”、“减小”或“不变”）；完全浸入后，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2　 　 （填“增大”、“减小”或“不变”）； ②当弹簧测力计读数F1与圆柱体所受浮力F2大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度h约为 　　 cm（结果保留小数点后一位）． 25. （7分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． （1）判断一元二次方程（2x+3）2＝9是否为“纠缠方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“纠缠方程”，证明：x＝﹣1为“纠缠方程”的根； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 26. （7分）在正方形ABCD中，点M在对角线BD上，连接AM，过点M作MN⊥AM，交直线BC于点N． （1）如图1，当点N在BC上时，求证：AM＝MN； （2）如图2，当点N在CB的延长线上时，，BN＝1，求AD的长． 27. （7分）在平面直角坐标系中，有A（m，0），B（0，n）两点，若存在点C使得∠ABC＝90°，且AB＝BC，则称点C为m的“等垂点”．例如：在A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0）三点中，因为∠ABC＝90°，且AB＝BC，所以点C为1的“等垂点”． （1）①点A（2，0），B（0，2），则C（2，4）　 　 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点A（4，0），B（0，3），则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为　 　 ． （2）如图2，若一次函数y＝3x﹣5上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． （3）若在直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“等垂点”，且直线y＝kx+b（k＞0）与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP＝4，OP＝3，连接MP，设EM＝a，直接写出△EPM面积S关于a的表达式． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C A B D A C 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．x≠2 10．k≤2且k≠0 11．＞ 12． 13．4 14．1 15．1.5 16．5 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） 【解析】（1）解：3（x+1）2＝12， （x+1）2＝12÷3， （x+1）2＝4， x+1＝±2， x+1﹣1＝﹣1±2， x＝﹣1±2， x＝1或x＝﹣3， 所以方程的解为x1＝1，x2＝﹣3．（3fen ） （2）解：方程x2﹣3x+1＝0中的a＝1，b＝﹣3，c＝1， 方程根的判别式为Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，方程有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即．（6分） 18．（4分） 【解析】证明：已知▱ABCD中，AD∥BC， ∵CF∥DE交AD的延长线于点F， ∴四边形DECF是平行四边形，（2分） ∵DE⊥BC交CB的延长线于点E， ∴∠DEC＝90°， ∴四边形DECF是矩形．（4分） 19．（6分） 【解析】解：（1）△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，如图1即为所求； 由图可知，A1（2，﹣4），B1（4，﹣2），C1（1，﹣1）；（2分） （2）△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，如图2即为所求； 由图可知，A2（4，2），B2（2，4），C2（1，1）；（4分） （3）由图可知：， 故答案为：4．（6分） 20．（5分） 【解析】解：（1）a＝100×35%＝35，b＝13÷100×100%＝13%； 故答案为：35，13%；（2分） （2）补全图形如下： （3分） （3）在4.9≤x＜5.2这组数据中，中位数为5.05， 故答案为：5.05；（4分） （4）880264（人）， 答：预估全校880人视力达到正常视力水平的一共264人．（5分） 21．（6分） 【解析】（1）解：图形如图所示： （2分） （2）证明：∵BG平分∠ABC， ∴∠GBA＝∠GBF， ∵BG⊥AF， ∴∠BGA＝∠BGF＝90°， ∵BG＝BG， ∴△GBA≌△GBF（ASA）， ∴AB＝BF，（4分） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE， ∴AB＝AE， ∴AE＝BF， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∵AB＝AE， ∴四边形AEFB是菱形．（6分） 22．（7分） 【解析】解：（1）把A（﹣2，﹣2），B（1，4）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝2x+2；（2分） （2）当x＝0时，y＝2x+2＝2， ∴D（0，2）， ∴△DOB的面积2×1＝1；（4分） （3）设P（t，0）， 当y＝0时，2x+2＝0， 解得x＝﹣1， ∴C（﹣1，0）， ∵△CBP的面积为6， ∴|t+1|×4＝6， 解得t＝2或t＝﹣4， ∴P（2，0）或（﹣4，0）．（7分） 23．（7分） 【解析】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）．（1分） （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x．（4分） （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米．（7分） 24．（6分） 【解析】解：（1）由表格可知，h增加1cm，F2增加0.4N， ∴a＝1.2+0.4＝1.6． 故答案为：1.6．（1分） （2）补充点及图象如图所示： （3分） （3）①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2增大；完全浸入后，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2不变． 故答案为：增大，不变． ②由图象可知，当弹簧测力计读数F1与圆柱体所受浮力F2大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度h约为5.8cm． 故答案为：5.8．（6分） 25．（7分） 【解析】（1）解：一元二次方程（2x+3）2＝9不是“纠缠方程”． 理由如下：由条件可知4x2+12x+9＝9，即x2+3x＝0． ∵a＝1，b＝3，c＝0， ∴3≠1+0，即b≠a+c． ∴一元二次方程（2x+3）2＝9不是“纠缠方程”；（2分） （2）证明：由条件可知b＝a+c． ∴ax2+（a+c）x+c＝0，即ax2+ax+cx+c＝0． 因式分解，得（x+1）（ax+c）＝0， 解得x1＝﹣1，． ∴x＝﹣1为“纠缠方程”的根；（4分） （3）解：∵3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”， ∴﹣m＝3+n，即n＝﹣（m+3）． ∴3x2﹣mx﹣（m+3）＝0． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴3m2﹣m2﹣（m+3）＝0． 整理方程，得2m2﹣m﹣3＝0， 解得m1＝﹣1，． ∴m的值为﹣1或．（7分） 26．（7分） 【解析】（1）证明：如图1，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q， ∴∠APM＝∠NQM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°， ∴MP＝MQ， ∴四边形BQMP是正方形， ∴∠PMQ＝90°， ∵MN⊥AM， ∴∠AMN＝90°， ∴∠AMP＝∠NMQ＝90°﹣∠PMN， ∵∠APM＝∠NQM＝90°， ∴△APM≌△NQM（ASA）， ∴AM＝MN；（3分） （2）解：如图2，过点M作VT⊥AD于点V，交BC于点T， ∴∠AVM＝90°， 在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠AVM＝90°，∠CBD＝∠ADB＝45°， ∴四边形ABTV是矩形， ∴∠BTM＝∠AVM＝90°，AV＝BT，AB＝VT， ∵∠CBD＝45°， ∴∠BMT＝180°﹣∠BTM﹣∠CBD＝45°， ∴∠CBD＝∠BMT， ∴BT＝MT＝AV， ∵∠AMN＝90°， ∴∠AMV＝90°﹣∠NMT＝∠MNT， ∴△AVM≌△MTN（AAS）， ∴MV＝NT， ∵∠ADB＝45°，， ∴MV＝DVMD＝2， ∴MV＝NT＝2， ∵BN＝1， ∴BT＝MT＝AV＝NT﹣BN＝1， ∴AD＝AV+DV＝1+2＝3．（7分） 27．（7分） 【解析】解：（1）①∵B（0，2），C（2，4），点A（2，0）， ∴， ∵∠ABC＝90°， ∴， ∴AB＝BC， 则C（2，4）是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作CF⊥EF于点F，CH⊥y轴于点H，过点A作AE⊥EF于点E，如图所示： ∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝3，AB＝BC， 同理得：△ABE≌△BCF， ∴BE＝CF＝OA＝4，BF＝AE＝BO＝3， ∴BH＝CF＝4，CH＝BF＝3， ∴OH＝BH﹣OB＝4﹣3＝1， ∴C（﹣3，﹣1）； 当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝3，AB＝BC， ∴∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠BCE＝∠CBE+∠ABO＝90°， ∴∠BCE＝∠ABO， ∵AB＝BC， ∴△ABO≌△BCE， ∴BE＝OA＝4，CE＝BO＝3， ∴CF＝OE＝OB+BE＝3+4＝7， ∴C（3，7）． 故答案为：（3，7）或（﹣3，﹣1）．（2分） （2）设A（5，0），B（0，n）， 当n＞0时，如图，过C作CE⊥y轴于点E， ∵CE⊥y轴， ∴∠CEB＝∠AOB＝90°， ∵∠CBA＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠ABO＝∠BAO， ∵AB＝BC， ∴△CBE≌△BAO， ∵A（5，0），B（0，n）， ∴CE＝OB＝n，BE＝AO＝5， 即C（n，n+5）或（﹣n，n﹣5）， ∵点C在y＝3x﹣5上， ∴n+5＝3n﹣5或n﹣5＝﹣3n﹣5， 解得n＝5或n＝0（舍）， ∴C（5，10）． 当n≤0时，如图，过C作CM⊥y轴于点M， 同理可得C（n，n+5）或（﹣n，n﹣5）， ∵点C在y＝3x﹣5上， ∴﹣n+5＝3n﹣5或5﹣n＝﹣3n﹣5， 解得n＝5（舍）或n＝0， ∴C（0，﹣5）． 综上所述：（5，10）或（0，﹣5）．（5分） （3）∵直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点E（﹣5，0），与y轴交于点F（0，5）， ∴， 解得：， ∴直线解析式为y＝x+5， 如图，过点P分别作PQ⊥x轴于点Q，PH⊥y轴于点H，PN⊥EF交EF于点N， ∵EP＝4，OP＝3，OE＝5， ∴EP2+OP2＝OE2， ∴△EPO为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴．（7分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级下册。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A＝（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 3．在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了10次，球的落地位置如图所示．已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这10次成绩的方差的描述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．已知一次函数y＝3x+m的图象经过点A（m，y1），B（m+3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 5．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6. 如图，已知函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与函数y＝kx﹣3（k为常阳数且k≠0）的图象相交于点P（4，﹣6），则关于x的不等式ax+b≤kx﹣3的解集是（　　） A．x＜﹣6 B．x≤﹣6 C．x＜4 D．x≤4 7. 如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．动点P从点A出发，沿着 A→D→C的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．在此过程中四边形CEPF的面积y与运动时间x的函数关系图象如图②所示，则AB的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 8．AC为平行四边形ABCD的对角线，∠CAE＝45°，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，AE，CF交于点H，连接BH和DH，射线CF交线段DA的延长线于点G．①∠ABE＝∠CHE；②CH＝CD；③；④BH2+AC2＝DH2．上述结论正确的有（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．函数的自变量x的取值范围是 　 ． 10. 关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 　 ． 11．某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差S甲2与乙的方差S乙2的大小：S甲2　 　 S乙2．（填“＞”“＝”或“＜”） 12. 如图，已知函数y＝﹣x+1和y＝kx+2图象交于点P，点P的纵坐标为1.5，则关于x、y的方程组的解是 　 　 ． 13. 在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（0，2），则n的值为　 　 ． 14. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，OE⊥BC于点E．若AC＝4，∠DBC＝30°，则OE的长为 　 　 ． 15. 近年新能源汽车越来越受到人们的追捧，为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量y1（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线ABC，用普通充电器时，汽车电池电量y2（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段AD，若该汽车电池电量从10%充至90%，则快速充电器比普通充电器少 　 　 h． 16. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OMFG的最小值是_______. 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （6分）解方程： （1）3（x+1）2＝12； （2）x2﹣3x+1＝0． 18．（4分）如图，已知▱ABCD，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F．求证：四边形DECF是矩形． 19. （6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．并分别写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并分别写出点A，B，C的对应点A2，B2，C2的坐标； （3）△ABC的面积为　 ． 20. （5分）每年的6月6日为“全国爱眼日”，某初中学校为了解本校学生视力健康状况，从全校880名学生中随机抽取100名学生，进行视力状况调查．（注：数据以左、右眼睛较低视力值为准．） 抽取的学生视力频数分布表 视力范围 频数 百分比 4.0≤x＜4.3 10 10% 4.3≤x＜4.6 22 22% 4.6≤x＜4.9 a 35% 4.9≤x＜5.2 20 20% 5.2≤x＜5.5 13 b 合计 100 100% （1）频数分布表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）补全频数分布直方图； （3）4.9≤x＜5.2数据如下： 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 在4.9≤x＜5.2这组数据中，中位数为　 　 ； （4）视力达到5.0及以上的同学视力达到正常视力水平，那么根据抽取的结果预估全校880人视力达到正常视力水平的一共多少人？ 21．（6分）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，可以通过平行四边形巧妙地构造菱形．下面作法就是其中一种． 作法：在平行四边形ABCD中，作BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，连接EF． （1）根据以上作法，用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：四边形AEFB为菱形． 22. （7分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）求△DOB的面积； （3）点P在x轴上，当△CBP的面积为6时，请求出点P的坐标．（要求写过程） 23．（7分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 24. （6分）小明利用数学知识研究浮力的相关问题时，进行了如下操作：将用弹簧测力计悬挂的圆柱体，先置于盛有某种液体的烧杯液面上方，然后缓慢下降，浸入液体中不同深度，如图所示．在这个过程中，小明记录了圆柱体下表面浸入液体的深度h（单位：cm）与弹簧测力计读数F1（单位：N）的部分数据，并计算出圆柱体所受浮力F2（单位：N），如表： h（cm） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F1（N） 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 2.6 2.2 2.2 2.2 2.2 F2（N） 0 0.4 0.8 1.2 a 2.0 2.4 2.4 2.4 2.4 （1）表中a的值为 　 　 ； （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值对应的点（h，F1），（h，F2），并画出F1，F2的图象； （3）结合以上数据和函数图象，解决下列问题： ①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2　 　 （填“增大”、“减小”或“不变”）；完全浸入后，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2　 　 （填“增大”、“减小”或“不变”）； ②当弹簧测力计读数F1与圆柱体所受浮力F2大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度h约为 　　 cm（结果保留小数点后一位）． 25. （7分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． （1）判断一元二次方程（2x+3）2＝9是否为“纠缠方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“纠缠方程”，证明：x＝﹣1为“纠缠方程”的根； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 26. （7分）在正方形ABCD中，点M在对角线BD上，连接AM，过点M作MN⊥AM，交直线BC于点N． （1）如图1，当点N在BC上时，求证：AM＝MN； （2）如图2，当点N在CB的延长线上时，，BN＝1，求AD的长． 27. （7分）在平面直角坐标系中，有A（m，0），B（0，n）两点，若存在点C使得∠ABC＝90°，且AB＝BC，则称点C为m的“等垂点”．例如：在A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0）三点中，因为∠ABC＝90°，且AB＝BC，所以点C为1的“等垂点”． （1）①点A（2，0），B（0，2），则C（2，4）　 　 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点A（4，0），B（0，3），则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为　 　 ． （2）如图2，若一次函数y＝3x﹣5上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． （3）若在直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“等垂点”，且直线y＝kx+b（k＞0）与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP＝4，OP＝3，连接MP，设EM＝a，直接写出△EPM面积S关于a的表达式． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第9页（共10页） 试题 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形； B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C既是轴对称图形又是中心对称图形； D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 故选：C． 2．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A＝（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 【答案】D． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D， ∵∠B+∠D＝100°， ∴2∠B＝100°， ∴∠B＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝130°， 故选：D． 3．在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了10次，球的落地位置如图所示．已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这10次成绩的方差的描述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C． 【解析】解：根据方差来衡量数据波动大小、离散程度可知：甲的成绩比乙的成绩更加分散， ∴． 故选：C． 4．已知一次函数y＝3x+m的图象经过点A（m，y1），B（m+3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【答案】A． 【解析】解：∵3＞0， ∴y随x的增大而增大． ∵m＜m+3， ∴y1＜y2， 故选：A． 5．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B． 【解析】解：设这个多边形的边数是n， 根据题意得（n﹣2）×180°＝360°×3， 解得n＝8， 故选：B． 6. 如图，已知函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与函数y＝kx﹣3（k为常阳数且k≠0）的图象相交于点P（4，﹣6），则关于x的不等式ax+b≤kx﹣3的解集是（　　） A．x＜﹣6 B．x≤﹣6 C．x＜4 D．x≤4 【答案】D． 【解析】解：由函数图象可知，当x≤4时，函数y＝ax+b的图象在直线y＝kx﹣3的下方， 所以关于x的不等式ax+b≤kx﹣3的解集是x≤4． 故选：D． 7. 如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．动点P从点A出发，沿着 A→D→C的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．在此过程中四边形CEPF的面积y与运动时间x的函数关系图象如图②所示，则AB的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A． 【解析】解：当点P运动到点D处时，如图， ∴四边形CEPF的面积为y＝2， ∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEPF为矩形， ∵AC＝BA， ∴∠ACD＝∠BCD，AD＝BD， ∴DE＝DF， ∴矩形DECF为正方形， ∴DE2＝2， ∴DE， ∵∠A＝45°， ∴ADDE＝2， ∴AB＝4， 故选：A． 8．AC为平行四边形ABCD的对角线，∠CAE＝45°，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，AE，CF交于点H，连接BH和DH，射线CF交线段DA的延长线于点G．①∠ABE＝∠CHE；②CH＝CD；③；④BH2+AC2＝DH2．上述结论正确的有（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C． 【解析】解：∵AE⊥BC，∠CAE＝45°， ∴∠AEC＝90°，∠CAE＝∠ACE＝45°， ∴EA＝EC， ∵CF⊥AB， ∴∠AFH＝∠CEH＝90°， ∵∠AHF＝∠CHE， ∴∠BAE＝∠ECH， ∵∠AEB＝∠CEH＝90°， ∴△AEB≌△CEH（ASA）， ∴AB＝CH，∠ABE＝∠CHE，故①正确， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴CD＝CH，故②正确， 假设BEEC， ∵△AEB≌△CEH， ∴BE＝EH， ∴EHECAE， ∴点H是AE的中点，显然与题意矛盾，故③错误， ∵AB∥CD，CF⊥AB， ∴CF⊥AC， ∴∠HCD＝90°， ∴DH2＝CH2+CD2＝2CH2， ∵BH2+AC2＝2EH2+2EC2＝2（EH2+EC2）＝2CH2， ∴BH2+AC2＝DH2，故④正确． 故选：C． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．函数的自变量x的取值范围是 　 ． 【答案】x≠2． 【解析】解：根据题意得x﹣2≠0， 解得x≠2， 故答案为：x≠2． 10. 关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 　 ． 【答案】k≤2且k≠0． 【解析】解：由条件可知k≠0．判别式 Δ≥0． 其中Δ＝16﹣4•k•2＝16﹣8k， ∴16﹣8k≥0， ∴k≤2， 综上，k≤2且k≠0． 故答案为：k≤2且k≠0． 11．某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差S甲2与乙的方差S乙2的大小：S甲2　 　 S乙2．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】＞． 【解析】解：由折线统计图可知，甲的得分的波动比乙大，所以甲的方差大于乙的方差，即S甲2＞S乙2． 故答案为：＞． 12. 如图，已知函数y＝﹣x+1和y＝kx+2图象交于点P，点P的纵坐标为1.5，则关于x、y的方程组的解是 　 　 ． 【答案】． 【解析】解：把y＝1.5代入y＝﹣x+1，得出x＝﹣0.5， 则函数y＝﹣x+1和y＝kx+2图象交点P（﹣0.5，1.5）， 所以关于x、y的方程组的解是． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（0，2），则n的值为　 　 ． 【答案】4． 【解析】解：将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后的函数解析式为y＝﹣2x+6﹣n， 根据题意，将点（0，2）代入得6﹣n＝2， 解得n＝4， 故答案为：4． 14. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，OE⊥BC于点E．若AC＝4，∠DBC＝30°，则OE的长为 　 　 ． 【答案】1． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝4， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC＝2，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OB＝OA＝OC， ∵∠DBC＝30°， ∴∠DBA＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝2， ∵OE⊥BC于点E， ∴BE＝CE， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OEAB＝1． 故答案为：1． 15. 近年新能源汽车越来越受到人们的追捧，为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量y1（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线ABC，用普通充电器时，汽车电池电量y2（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段AD，若该汽车电池电量从10%充至90%，则快速充电器比普通充电器少 　 　 h． 【答案】1.5． 【解析】解：设线段BC对应的函数关系式为y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）， 将坐标B（0.5，70）和C（1.5，100）分别代入y1＝k1x+b1， 得， 解得， ∴线段BC对应的函数关系式为y1＝30x+55（0.5≤x≤1.5）， 设线段AD对应的函数关系式为y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）， 将坐标A（0，10）和D（3，100）分别代入y2＝k2x+b2， 得， 解得， ∴线段AD对应的函数关系式为y2＝30x+10（0≤x≤3）， 当y1＝90时，得30x+55＝90， 解得x， 当y2＝90时，得30x+10＝90， 解得x， 1.5（h）， ∴快速充电器比普通充电器少1.5h． 故答案为：1.5． 16. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OMFG的最小值是_______. 【答案】5． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°， 又∵AE＝BF， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°， ∵点M是DF的中点， ∴， 如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH， ∵∠FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH， ∴△FBG≌△FBH（SAS）， ∴FH＝FG， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半， ∵AG＝2GB，AB＝6， ∴BH＝BG＝2， ∴AH＝8， 在Rt△ADH中，由勾股定理得． ∴的最小值为5. 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （6分）解方程： （1）3（x+1）2＝12； （2）x2﹣3x+1＝0． 【解析】（1）解：3（x+1）2＝12， （x+1）2＝12÷3， （x+1）2＝4， x+1＝±2， x+1﹣1＝﹣1±2， x＝﹣1±2， x＝1或x＝﹣3， 所以方程的解为x1＝1，x2＝﹣3． （2）解：方程x2﹣3x+1＝0中的a＝1，b＝﹣3，c＝1， 方程根的判别式为Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，方程有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即． 18．（4分）如图，已知▱ABCD，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F．求证：四边形DECF是矩形． 【解析】证明：已知▱ABCD中，AD∥BC， ∵CF∥DE交AD的延长线于点F，∴四边形DECF是平行四边形， ∵DE⊥BC交CB的延长线于点E， ∴∠DEC＝90°， ∴四边形DECF是矩形． 19. （6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．并分别写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并分别写出点A，B，C的对应点A2，B2，C2的坐标； （3）△ABC的面积为　 ． 【解析】解：（1）△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，如图1即为所求； 由图可知，A1（2，﹣4），B1（4，﹣2），C1（1，﹣1）； （2）△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，如图2即为所求； 由图可知，A2（4，2），B2（2，4），C2（1，1）； （3）由图可知：， 故答案为：4． 20. （5分）每年的6月6日为“全国爱眼日”，某初中学校为了解本校学生视力健康状况，从全校880名学生中随机抽取100名学生，进行视力状况调查．（注：数据以左、右眼睛较低视力值为准．） 抽取的学生视力频数分布表 视力范围 频数 百分比 4.0≤x＜4.3 10 10% 4.3≤x＜4.6 22 22% 4.6≤x＜4.9 a 35% 4.9≤x＜5.2 20 20% 5.2≤x＜5.5 13 b 合计 100 100% （1）频数分布表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）补全频数分布直方图； （3）4.9≤x＜5.2数据如下： 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 在4.9≤x＜5.2这组数据中，中位数为　 　 ； （4）视力达到5.0及以上的同学视力达到正常视力水平，那么根据抽取的结果预估全校880人视力达到正常视力水平的一共多少人？ 【解析】解：（1）a＝100×35%＝35，b＝13÷100×100%＝13%； 故答案为：35，13%； （2）补全图形如下： （3）在4.9≤x＜5.2这组数据中，中位数为5.05， 故答案为：5.05； （4）880264（人）， 答：预估全校880人视力达到正常视力水平的一共264人． 21．（6分）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，可以通过平行四边形巧妙地构造菱形．下面作法就是其中一种． 作法：在平行四边形ABCD中，作BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，连接EF． （1）根据以上作法，用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：四边形AEFB为菱形． 【解析】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵BG平分∠ABC， ∴∠GBA＝∠GBF， ∵BG⊥AF， ∴∠BGA＝∠BGF＝90°， ∵BG＝BG， ∴△GBA≌△GBF（ASA）， ∴AB＝BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE， ∴AB＝AE， ∴AE＝BF， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∵AB＝AE， ∴四边形AEFB是菱形． 22. （7分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）求△DOB的面积； （3）点P在x轴上，当△CBP的面积为6时，请求出点P的坐标．（要求写过程） 【解析】解：（1）把A（﹣2，﹣2），B（1，4）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝2x+2； （2）当x＝0时，y＝2x+2＝2， ∴D（0，2）， ∴△DOB的面积2×1＝1； （3）设P（t，0）， 当y＝0时，2x+2＝0， 解得x＝﹣1， ∴C（﹣1，0）， ∵△CBP的面积为6， ∴|t+1|×4＝6， 解得t＝2或t＝﹣4， ∴P（2，0）或（﹣4，0）． 23．（7分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【解析】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）． （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x． （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 24. （6分）小明利用数学知识研究浮力的相关问题时，进行了如下操作：将用弹簧测力计悬挂的圆柱体，先置于盛有某种液体的烧杯液面上方，然后缓慢下降，浸入液体中不同深度，如图所示．在这个过程中，小明记录了圆柱体下表面浸入液体的深度h（单位：cm）与弹簧测力计读数F1（单位：N）的部分数据，并计算出圆柱体所受浮力F2（单位：N），如表： h（cm） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F1（N） 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 2.6 2.2 2.2 2.2 2.2 F2（N） 0 0.4 0.8 1.2 a 2.0 2.4 2.4 2.4 2.4 （1）表中a的值为 　 　 ； （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值对应的点（h，F1），（h，F2），并画出F1，F2的图象； （3）结合以上数据和函数图象，解决下列问题： ①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2　 　 （填“增大”、“减小”或“不变”）；完全浸入后，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2　 　 （填“增大”、“减小”或“不变”）； ②当弹簧测力计读数F1与圆柱体所受浮力F2大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度h约为 　　 cm（结果保留小数点后一位）． 【解析】解：（1）由表格可知，h增加1cm，F2增加0.4N， ∴a＝1.2+0.4＝1.6． 故答案为：1.6． （2）补充点及图象如图所示： （3）①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2增大；完全浸入后，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2不变． 故答案为：增大，不变． ②由图象可知，当弹簧测力计读数F1与圆柱体所受浮力F2大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度h约为5.8cm． 故答案为：5.8． 25. （7分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． （1）判断一元二次方程（2x+3）2＝9是否为“纠缠方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“纠缠方程”，证明：x＝﹣1为“纠缠方程”的根； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【解析】（1）解：一元二次方程（2x+3）2＝9不是“纠缠方程”． 理由如下：由条件可知4x2+12x+9＝9，即x2+3x＝0． ∵a＝1，b＝3，c＝0， ∴3≠1+0，即b≠a+c． ∴一元二次方程（2x+3）2＝9不是“纠缠方程”； （2）证明：由条件可知b＝a+c． ∴ax2+（a+c）x+c＝0，即ax2+ax+cx+c＝0． 因式分解，得（x+1）（ax+c）＝0， 解得x1＝﹣1，． ∴x＝﹣1为“纠缠方程”的根； （3）解：∵3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”， ∴﹣m＝3+n，即n＝﹣（m+3）． ∴3x2﹣mx﹣（m+3）＝0． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴3m2﹣m2﹣（m+3）＝0． 整理方程，得2m2﹣m﹣3＝0， 解得m1＝﹣1，． ∴m的值为﹣1或． 26. （7分）在正方形ABCD中，点M在对角线BD上，连接AM，过点M作MN⊥AM，交直线BC于点N． （1）如图1，当点N在BC上时，求证：AM＝MN； （2）如图2，当点N在CB的延长线上时，，BN＝1，求AD的长． 【解析】（1）证明：如图1，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q， ∴∠APM＝∠NQM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°， ∴MP＝MQ， ∴四边形BQMP是正方形， ∴∠PMQ＝90°， ∵MN⊥AM， ∴∠AMN＝90°， ∴∠AMP＝∠NMQ＝90°﹣∠PMN， ∵∠APM＝∠NQM＝90°， ∴△APM≌△NQM（ASA）， ∴AM＝MN； （2）解：如图2，过点M作VT⊥AD于点V，交BC于点T， ∴∠AVM＝90°， 在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠AVM＝90°，∠CBD＝∠ADB＝45°， ∴四边形ABTV是矩形， ∴∠BTM＝∠AVM＝90°，AV＝BT，AB＝VT， ∵∠CBD＝45°， ∴∠BMT＝180°﹣∠BTM﹣∠CBD＝45°， ∴∠CBD＝∠BMT， ∴BT＝MT＝AV， ∵∠AMN＝90°， ∴∠AMV＝90°﹣∠NMT＝∠MNT， ∴△AVM≌△MTN（AAS）， ∴MV＝NT， ∵∠ADB＝45°，， ∴MV＝DVMD＝2， ∴MV＝NT＝2， ∵BN＝1， ∴BT＝MT＝AV＝NT﹣BN＝1， ∴AD＝AV+DV＝1+2＝3． 27. （7分）在平面直角坐标系中，有A（m，0），B（0，n）两点，若存在点C使得∠ABC＝90°，且AB＝BC，则称点C为m的“等垂点”．例如：在A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0）三点中，因为∠ABC＝90°，且AB＝BC，所以点C为1的“等垂点”． （1）①点A（2，0），B（0，2），则C（2，4）　 　 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点A（4，0），B（0，3），则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为　 　 ． （2）如图2，若一次函数y＝3x﹣5上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． （3）若在直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“等垂点”，且直线y＝kx+b（k＞0）与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP＝4，OP＝3，连接MP，设EM＝a，直接写出△EPM面积S关于a的表达式． 【解析】解：（1）①∵B（0，2），C（2，4），点A（2，0）， ∴， ∵∠ABC＝90°， ∴， ∴AB＝BC， 则C（2，4）是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作CF⊥EF于点F，CH⊥y轴于点H，过点A作AE⊥EF于点E，如图所示： ∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝3，AB＝BC， 同理得：△ABE≌△BCF， ∴BE＝CF＝OA＝4，BF＝AE＝BO＝3， ∴BH＝CF＝4，CH＝BF＝3， ∴OH＝BH﹣OB＝4﹣3＝1， ∴C（﹣3，﹣1）； 当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝3，AB＝BC， ∴∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠BCE＝∠CBE+∠ABO＝90°， ∴∠BCE＝∠ABO， ∵AB＝BC， ∴△ABO≌△BCE， ∴BE＝OA＝4，CE＝BO＝3， ∴CF＝OE＝OB+BE＝3+4＝7， ∴C（3，7）． 故答案为：（3，7）或（﹣3，﹣1）． （2）设A（5，0），B（0，n）， 当n＞0时，如图，过C作CE⊥y轴于点E， ∵CE⊥y轴， ∴∠CEB＝∠AOB＝90°， ∵∠CBA＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠ABO＝∠BAO， ∵AB＝BC， ∴△CBE≌△BAO， ∵A（5，0），B（0，n）， ∴CE＝OB＝n，BE＝AO＝5， 即C（n，n+5）或（﹣n，n﹣5）， ∵点C在y＝3x﹣5上， ∴n+5＝3n﹣5或n﹣5＝﹣3n﹣5， 解得n＝5或n＝0（舍）， ∴C（5，10）． 当n≤0时，如图，过C作CM⊥y轴于点M， 同理可得C（n，n+5）或（﹣n，n﹣5）， ∵点C在y＝3x﹣5上， ∴﹣n+5＝3n﹣5或5﹣n＝﹣3n﹣5， 解得n＝5（舍）或n＝0， ∴C（0，﹣5）． 综上所述：（5，10）或（0，﹣5）． （3）∵直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点E（﹣5，0），与y轴交于点F（0，5）， ∴， 解得：， ∴直线解析式为y＝x+5， 如图，过点P分别作PQ⊥x轴于点Q，PH⊥y轴于点H，PN⊥EF交EF于点N， ∵EP＝4，OP＝3，OE＝5， ∴EP2+OP2＝OE2， ∴△EPO为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $