第九章 统计 章末复习卷 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学第九章统计章末复习卷，以现实情境（如新能源汽车续航、智能音箱购买、空气质量监测）为载体，全面覆盖统计核心知识，强化数据意识与运算推理能力，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|平均数、百分位数、抽样概率|结合小区用气、植树量折线图考查数据特征分析| |多选|3/18|频率分布直方图、数据波动|以新能源汽车续航、预算收入图表考查信息提取| |填空|3/15|平均数、方差计算|分层抽样下总体方差估计，强化运算能力| |解答|5/77|独立性检验、协方差、频率分布|智能音箱购买与性别关联分析，协方差定义应用，体现数学语言表达现实问题|

第九章 统计章末复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】D 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 2．某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（   ） A．21 B．22 C．22.5 D．23 【答案】D 【详解】上四分位数即75%分位数，题干的10个数据已经从小到大排列好，， 则75%分位数取从小到大的第8个数，即23. 3．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是样本容量和总体数量的比值. 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是. 故选：B 【点睛】本题考查了简单随机抽样每个个体被抽到的概率相等，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 4．以下四个命题中错误的是（    ） A．若样本、、、的平均数是，方差是，则数据、、、的平均数是，方差是 B．是的充分不必要条件 C．样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率 D．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于”和事件“向上点数不小于”是对立事件 【答案】A 【分析】利用平均数和方差公式可判断A选项的正误；解不等式，利用集合的包含关系可判断B选项的正误；根据频率直方图的概念可判断C选项的正误；根据对立事件的概念可判断D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A选项，样本、、、的平均数为， 方差为， 数据、、、的平均数是， 方差为，A选项错误； 对于B选项，解不等式，得，， 所以，是的充分不必要条件，B选项正确； 对于C选项，由频率分布直方图的概念可知，样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率，C选项正确； 对于D选项，抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于”即为：向上的点数为或或， 事件“向上点数不小于”即为：向上的点数为或或， 这两个事件互为对立事件，D选项正确. 故选：A. 【点睛】本题考查命题正误的判断，涉及平均数、方差的计算、充分不必要条件的判断、频率直方图和对立事件概念的理解，考查推理能力，属于中等题. 5．2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1~11班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是（    ） A．各班植树的棵数不是逐班增加的 B．4班植树的棵数低于11个班的平均值 C．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数 D．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳 【答案】C 【分析】从图中直接观察可以判定AD正确，结合平均数的定义，将比4班多的里面取出部分补到比4班少的班中，可以使得4班的植树量最少，从而判定B正确；结合中位数的定义可以判定C错误. 【详解】从图可知，2班的植树量少于1班，8班的植树量少于7班，故A正确； 4班的指数棵数为10，11个班中只有2、3、8班三个的植树棵数少于10，且大于5棵，其余7个班的植树棵数都超过10棵，且有6、7、9、10、11班五个班的植树棵数都不少于15棵，将这五个班中的植树棵数各取出5棵，加到2、3、8班中取，除4班外，其余各班的植树棵数都超过了4班，所以4班植树的棵数低于11个班的平均值，故B正确； 比6班植树多的只有9、10、11三个班，其余七个班都比6班少，故6班所对应的植树棵数不是中位数，故C是错误的； 1到5班的植树棵数的极差在10以内，6到11班的植树棵数的极差超过了15，另外从图明显看出，1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳，故D正确； 综上，不正确的只有C， 故选：C. 【点睛】本题考查频数折线图的意义，涉及平均数，中位数，波动大小的判定，难点是平均数的估算，这里采用取长补短法进行估算，可以避免数字的计算. 6．已知一组样本数据的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先根据平均数的性质确定删除的数据，再利用方差公式列出关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】由题意知：原数据的平均数为6，方差为24， 即，因此： 又因为删除某个数据后平均数没有变化，则被删去的数据等于原平均数6， 因此被删数据与平均数的差的平方为 ， 所以删除该数据后，新的方差为：, 因为 ，所以：， 所以 ，解得 . 7．一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（    ） A．6 B．4 C．11 D．11.5 【答案】C 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列：， ，所以这组数据的上四分位数为第个数据，即. 8．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（    ） A．可能取到数字4 B．中位数可能是2 C．极差可能是4 D．众数可能是3 【答案】B 【详解】设这5个数字为，，，，， 对于A，若取到数字4，不妨设，则，可得， 可知这4个数中至少有2个1，不妨设， 则这5个数字的方差，不符合题意，故A错误； 对于C，因为这5个数字的平均数为2，若这5个数字不完全相同， 则这5个数字至少有1个1，不妨设，若极差是4，则最大数为5，不妨设， 则这5个数字的平均数， 则，可知这3个数有2个1，1个2， 此时这5个数字的方差，不符合题意， 若这5个数字完全相同，则极差为0，故C错误； 对于B，例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故B正确， 对于D，因为5个数的平均数为2，若3是众数，则3出现2次，则另外三个数只能是1，1，2，方差为， 此时众数不为3，矛盾； 若3出现2次以上，则此时3个数的和至少为9，显然不可能，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，续航里程在内的频率为：，A正确； 对于B，频率分布直方图中，所有组的频率和为1，组距为100， 因此：，解得，因此选项B正确； 对于C，由于前2组的频率为0.3，由题意知第一四分位数为a， 则有； 由于前3组的频率为0.6，第二四分位数为b， 则有，C错误； 由于前4组的频率为0.85，第三四分位数为c， 则有， 故，则，D正确. 10．株洲市生态环境局记录了5月日连续7天的预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：），如下表： 日期 21 22 23 24 25 26 27 预测误差 2 0 3 2 2 则以下结论正确的是（    ） A．这组数据的众数是2 B．这组数据的中位数是 C．若第8天的预测误差为2，则加入该数据后的平均数变大 D．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 【答案】ACD 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的计算，及各统计量的含义逐项判断即可. 【详解】首先将原7个预测误差数据从小到大排序： ， 选项A：数据中2出现的次数最多（共3次），因此众数为2，A正确； 选项B：7个数据的中位数为排序后第4个数据，即2，不是，B错误； 选项C：原数据的平均数为 ， 加入第8天数据2后，新平均数为 ，因此平均数变大，C正确； 选项D：加入第8天数据1后，新平均数为 ， 原方差， 新方差， 因此方差变小，D正确. 11．地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【答案】BCD 【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的正误，判断结果. 【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公共预算收入为（亿元），可知选项A错误； 9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确； 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确； 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为，所以D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．有4个实数，任意取3个的和分别为24，28，32，36，那么这四个实数的平均数为______． 【答案】10 【详解】令这四个实数分别为，不妨令，因此， 解得，所以这四个实数的平均数为10. 13．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______． 【答案】10.8 【分析】根据已知条件先求出全班的数学均分，代入方差公式求解即可. 【详解】解：设男生平均分为，男生的方差为；女生的平均分为，女生的方差为， 则全班50个学生的数学平均分， 所以全班50个学生数学成绩的方差， 代入数据可得， 因此，全班50个学生的数学成绩的方差为. 14．某果园种植了一批苹果树，分为、两个品种，为调查苹果产量（单位：kg），采用分层随机抽样原则抽取了20个样本．现由于某种原因，这些原始样本数据不可查得，已知样本中品种12棵，平均产量为30，方差为14；品种8棵，平均产量为35，方差为10，则利用已知数据可估计出这20颗苹果树产量的总体方差为______． 【答案】18.4 【分析】根据平均数和方差的定义和性质，由两组数据的均值和方差，计算总的均值和方差即可. 【详解】设品种12棵产量为，品种8棵产量为， 则品种平均产量为30得，解得； 同理，则两组合并总均值； 由品种方差为14得，解得； 同理， 则两组合并总方差为； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．假设某大学有2万名学生，其中女生占，为调查学生消费情况，分别在男生、女生中各随机抽取100人进行调查，得到男生的月平均消费水平为1200元，女生的月平均消费水平为1000元，试估计全校学生月平均消费水平． 【答案】1060元 【分析】用各层样本均值的加权平均数估计总体均值. 【详解】用各层样本均值的加权平均数估计总体均值：（元）． 16．语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下： “小爱同学”智能音箱 “天猫精灵”智能音箱 合计 男 45 60 105 女 55 40 95 合计 100 100 200 （1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？ （2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？ 附： 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关. 【解析】（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案； （2）根据列联表和给出的公式，求出，与临界值比较，即可得出结论. 【详解】解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人， 由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”， 估计购买“小爱同学”的女性有人. 估计购买“天猫精灵”的女性有人. 则， ∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人. （2）由题可知， ， ∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关. 【点睛】本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力. 17．近几年市加大雾霾治理的投入，空气质量与前几年相比有了很大改善，并于年市入选中国空气优良城市.已知该市设有个监测站用于监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有、、个监测站，并以个监测站测得的的平均值为依据播报该市的空气质量. （1）若某日播报的为，已知轻度污染区平均值为，中度污染区平均值为，求重度污染区平均值； （2）如图是年月份天的的频率分布直方图，月份仅有天在内. ①某校参照官方公布的，如果周日小于就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率； ②环卫部门从月份不小于的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中值在的天数的概率. 【答案】（1）；（2）①；②. 【分析】（1）设重度污染区平均值为，根据题意得出关于的等式，即可求得的值； （2）①根据频率分布直方图计算出不小于的天数，进而利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； ②记在上的天的编号为、、、、，在上的天的编号为、，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）设重度污染区平均值为，，； （2）①在上的有天， 在上的有天， 在上的有天， 所以月份不小于的共天. 即能参加户外活动的概率为； ②由①在上的天的编号为、、、、，在上的天的编号为、， 从天中抽取两天的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种情况. 满足条件的基本事件有：、、、、、、、、、，共种， 所以，抽取的这两天中值在的天数的概率为. 【点睛】本题考查平均数的计算，同时也考查了古典概型的概率的计算，一般列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题. 18．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1)，85； (2)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分位数公式即可得到答案； （2）计算出相关区间内的数据，代入分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 19．统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先根据平均数的计算公式分别求出甲乙两同学的数学平均成绩和物理成绩，再根据协方差公式分别代入计算即可； （2）根据方差的计算公式分别计算即可求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，根据平均数的计算公式即可求出甲、乙的数学与物理总成绩，再根据方差的计算公式即可求出他们数学物理总成绩的方差，即可猜想出一般情况下和之间的等量关系式； （3）把证明转化成证明，然后分等于0和不等于0两种情况讨论，在这种情况中，利用均值不等式放缩，再用累加法即可得证. 【详解】（1） 甲的数学成绩x与物理成绩y的协方差： 乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差： （2）解甲的数学成绩x与物理成绩y的方差为： 乙的数学成绩x与物理成绩y的方差为：                      甲的数学与物理总成绩： 乙的数学与物理总成绩：                  由甲、乙同学成绩数据可知： （3）欲证， 只需证 即证 以下证明（※）式： ①当时，（※）式显然成立 ②当时，由均值不等式     …… 则上述n个不等式相加可得： 所以则（※）式成立， 所以成立 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计章末复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 2．某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（   ） A．21 B．22 C．22.5 D．23 3．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 4．以下四个命题中错误的是（    ） A．若样本、、、的平均数是，方差是，则数据、、、的平均数是，方差是 B．是的充分不必要条件 C．样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率 D．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于”和事件“向上点数不小于”是对立事件 5．2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1~11班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是（    ） A．各班植树的棵数不是逐班增加的 B．4班植树的棵数低于11个班的平均值 C．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数 D．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳 6．已知一组样本数据的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（    ） A．6 B．4 C．11 D．11.5 8．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（    ） A．可能取到数字4 B．中位数可能是2 C．极差可能是4 D．众数可能是3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 10．株洲市生态环境局记录了5月日连续7天的预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：），如下表： 日期 21 22 23 24 25 26 27 预测误差 2 0 3 2 2 则以下结论正确的是（    ） A．这组数据的众数是2 B．这组数据的中位数是 C．若第8天的预测误差为2，则加入该数据后的平均数变大 D．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 11．地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．有4个实数，任意取3个的和分别为24，28，32，36，那么这四个实数的平均数为______． 13．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______． 14．某果园种植了一批苹果树，分为、两个品种，为调查苹果产量（单位：kg），采用分层随机抽样原则抽取了20个样本．现由于某种原因，这些原始样本数据不可查得，已知样本中品种12棵，平均产量为30，方差为14；品种8棵，平均产量为35，方差为10，则利用已知数据可估计出这20颗苹果树产量的总体方差为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．假设某大学有2万名学生，其中女生占，为调查学生消费情况，分别在男生、女生中各随机抽取100人进行调查，得到男生的月平均消费水平为1200元，女生的月平均消费水平为1000元，试估计全校学生月平均消费水平． 16．语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下： “小爱同学”智能音箱 “天猫精灵”智能音箱 合计 男 45 60 105 女 55 40 95 合计 100 100 200 （1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？ （2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？ 附： 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．近几年市加大雾霾治理的投入，空气质量与前几年相比有了很大改善，并于年市入选中国空气优良城市.已知该市设有个监测站用于监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有、、个监测站，并以个监测站测得的的平均值为依据播报该市的空气质量. （1）若某日播报的为，已知轻度污染区平均值为，中度污染区平均值为，求重度污染区平均值； （2）如图是年月份天的的频率分布直方图，月份仅有天在内. ①某校参照官方公布的，如果周日小于就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率； ②环卫部门从月份不小于的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中值在的天数的概率. 18．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 19．统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $