第六章 平面向量及其应用 基础通关卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 2025-2026学年高一数学下学期第六章平面向量及其应用单元卷，以“基础通关”为定位，覆盖向量概念、运算、解三角形等核心知识，通过分层设计适配单元复习，体现数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|单位向量、线性运算、投影向量、三角形形状判断|单选基础巩固（如零向量性质），多选辨析易错点（如向量命题正误判断）| |填空题|3题/15分|数量积、几何分点、方位角与仰角应用|结合几何图形（如三角形点分线段）与实际情境（方位测量）| |解答题|5题/77分|向量表示、解三角形面积与边长、向量夹角、菱形几何应用|分层设计，从基础表示（如用向量表示MN）到综合应用（如锐角三角形取值范围），体现数学语言表达与逻辑推理|

2025-2026学年高一数学下学期单元测试 第六章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（   ） A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意 C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量 【答案】B 【难度】0.86 【知识点】向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据单位向量，零向量，平面向量及相反向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，单位向量方向不确定故有无数个，故A错误； 对于B，零向量的模长为0，方向任意，故B正确； 对于C，模长为的两倍的向量可以是，故C错误； 对于D，相反向量是与原向量方向相反且长度相等的向量，故D错误. 2. 化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的加法和减法运算化简即可. 【详解】. 3. 已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】，因为，所以，解得． 4. 在中，为上一点，且，为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】应用向量的线性关系及加减法计算化简，再应用平面向量基本定理计算求解. 【详解】由题可知，，则，，. 5. 已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】已知数量积求模、求投影向量 【详解】由题知，，， 则. 设，即，，即，解得或. 当时，，则，此时共线，不合题意； 当时，，符合题意. 6. 若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案. 【详解】分别是非零向量同向的单位向量， 因为，所以角的角平分线与垂直， 即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形. 由，得. 又，所以. 因此，是等边三角形. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用 【分析】利用二倍角正弦公式得，从而得或，结合分析得，故，最后利用三角形面积公式、诱导公式列方程求边长. 【详解】由，结合二倍角正弦公式得， 又，且，则或， 所以或， 当，则，此时，且，显然不存在， 当，则，且且，则， 由， 又， 所以，则，故（负值舍去）. 8. 已知边长为4的正三角形，点是的中点，交所在的直线于点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】向量条件，说明点可以由点表示出来，因此可令点在直线上运动，再用坐标把点写出，最后把化成二次函数求最小值. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示： 因为是的中点，所以 因为点在直线上，设，则 由得 设，则 ， 则， 解得，故 于是 所以 因为，所以 当时取等号，因此最小值为 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的有（    ） A．若非零向量，，，满足，则 B． C．若，且与同向，则 D． 【答案】ABC 【难度】0.75 【知识点】平面向量的概念与表示、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【详解】对于A，若，则成立，但不一定成立，故A错误， 对于B，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以不一定成立，故B错误，符合题意； 对于C，向量既有大小又有方向，不能比较大小，故C错误，符合题意； 对于D，设向量，的夹角为， 则，故D正确，不符合题意． 10. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.62 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据余弦定理解出三角形，再根据向量共线，向量数量积及利用向量数量积求夹角余弦值的计算方法，可逐个判断选项正误． 【详解】对于A：因为， 由余弦定理， 所以，故A正确； 对于B：因为点在BC上，且， 所以，故B正确； 对于C：因为为AB的中点，， 所以， 则 ，故C不正确； 对于D：由已知，，又，所以， 又， 则， 所以，故D不正确. 11. 在中，角所对的边分别为，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．角的最大值为 C．若是锐角三角形，且，则是等边三角形 D．若是钝角三角形，则的取值范围是 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用正余弦定理判断A、B，根据基本不等式和三角形的边的关系判断C、D． 【详解】由及正弦定理， 得，所以，故A正确； 由，得 ， 由余弦定理，得 ， 当且仅当时等号成立，因为，所以， 即角的最大值为，故B正确； 由三角形的边的关系，得，即，解得， 在区间内的正整数只有1和2，当时， 是等边三角形，也是锐角三角形； 当时， ，则，为钝角，不符合题意， 综上所述，若是锐角三角形，且，则是等边三角形，故C正确； 当时，，所以， 由是钝角三角形知，所以， 即 ，解得， 当时，，不符合是钝角三角形； 当时，，所以， 由是钝角三角形知，所以，即，解得， 又由三角形的边的关系，得， 所以的取值范围是，故D错误． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量满足，则___________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【详解】， ， 设， 则， ． 13. 如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先利用线段比例关系，将用表示，再结合在上的三点共线条件，推导出的关系，再通过均值不等式求最小值，并验证等号成立的条件，最后求出最值即可. 【详解】由可得， 由得， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 14. 如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 【答案】25 【难度】0.62 【知识点】几何图形中的计算、高度测量问题、线面垂直证明线线平行 【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决. 【详解】由题意知，，，，米，. 则米，米. 过点作，交于点， 则米，，所以米， 所以米， 故楼房的高度为25米. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 【答案】(1)， (2)，，三点共线．证明见解析 【难度】0.82 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先表示出，即可得到，从而得证； 【详解】（1）， 因为． 所以. （2），，三点共线．证明如下; 由于， 所以， 所以， 因为为公共点， 所以，，三点共线． 16．（15分） 在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.68 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）先利用正弦定理求出角的正弦值，再结合角的取值范围确定角的值； （2）先根据三角形内角和定理将用和表示出来，再结合已知条件求出的值，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以由正弦定理得：， 因为，所以或. 所以当时，，符合题意； 所以当时，，符合题意. （2）在中，因为， 所以， 把，， 代入得， 又因为， 所以，，所以， 所以， 所以的面积为. 17． （15分） 已知向量，满足，，且，向量，，． (1)求与的夹角； (2)若，求实数k的值． (3)若与的夹角为锐角，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、利用数量积求参数 【分析】（1）先由求得，再根据数量积的定义求得与的夹角； （2）根据垂直向量的数量积为0，列出关于的方程，求得实数k的值； （3）利用向量夹角为锐角其数量积大于零，且两向量方向不相同，即可得解. 【详解】（1）由，得，即. 所以. 所以. 因为，所以，即与的夹角为. （2）若，则， 所以， 即，解得. （3）若与的夹角为锐角，则，且与不能同向. 由，得，即，解得； 若与共线，则，即，解得或（舍去）. 当，则，与同向； 所以x的取值范围是． 18． （17分） 如图，在菱形中，若，，，. (1)若，，求 的值； (2)求以及的值； (3)若与交于点，求的值. 【答案】(1)，，， (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模、用向量解决线段的长度问题 【分析】（1）根据题意，分别用表示向量，即可求得答案； （2）根据数量积的运算律求解对应向量的模与数量积运算即可； （3）设，用表示向量，，利用方程组求解. 【详解】（1）由题意得，， ， 因为， 所以，，，. （2）因为在菱形中，，, 所以, 由（1）得： ， . （3）设，则， 则，， 因为三点共线，所以，即， 所以，，解得， 所以. 19．（17分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.56 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角； （2）结合三角形面积公式求出的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边； （3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. （2）由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. （3）由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元测试 第六章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（   ） A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意 C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量 2. 化简：（    ） A． B． C． D． 3. 已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4. 在中，为上一点，且，为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 5. 已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 6. 若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 8. 已知边长为4的正三角形，点是的中点，交所在的直线于点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．5 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的有（    ） A．若非零向量，，，满足，则 B． C．若，且与同向，则 D． 10. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11. 在中，角所对的边分别为，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．角的最大值为 C．若是锐角三角形，且，则是等边三角形 D．若是钝角三角形，则的取值范围是 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量满足，则___________． 13. 如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 14. 如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 16．（15分） 在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 17． （15分） 已知向量，满足，，且，向量，，． (1)求与的夹角； (2)若，求实数k的值． (3)若与的夹角为锐角，求x的取值范围． 18. （17分） 如图，在菱形中，若，，，. (1)若，，求 的值； (2)求以及的值； (3)若与交于点，求的值. 19．（17分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $