11.4直角三角形 培优作业 2025--2026学年鲁教版七年级数学下册

**基本信息** 同步练习按“夯基础”“练能力”分层，基础题巩固勾股定理、互逆命题、HL定理等核心知识点，能力题综合应用培养推理与创新，适配新授课“基础+提升”需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|单一知识点（勾股定理应用、互逆命题判断、HL定理基础）|选择填空解答结合，如赵爽弦图、折叠问题，培养几何直观与运算能力| |练能力|综合应用（动态问题、新定义探究、多知识点结合）|含探究性问题，如垂美四边形性质、动点问题，发展推理能力与创新意识|

第11章 三角形的证明及其应用 4 直角三角形 第1课时 勾股定理与互逆命题 夯基础 1.三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是 ( ) A.三个内角度数之比为3：4：5 B.三边之比为5:12:13 C.一个内角等于另外两个内角之差 D.三边长分别为 ,2, 2.已知下列命题:①若a>b,则 ②若a>1,则( ③两个全等的三角形的面积相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有 ( ) A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 3.如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ( ) A.24 B.36 C.40 D.44 4.已知,如图长方形 ABCD 中,AB =3 cm, AD=9 cm,将此长方形折叠,使点 B 与点D 重合,折痕为 EF,则△ABE 的面积为( ) A.3 cm² B.4 cm² C.6 cm² D.12 cm² 5.我们已经学习了一些定理，例如： ①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 ②全等三角形的对应角相等 ③三组对应边相等的两个三角形全等 ④等腰三角形的两个底角相等 上述定理中存在逆定理的是 (填序号). 6.如图所示摆放的5个正方形,面积分别为 S₁,S₂,S₃,S₄,S₅,其中 则 7.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C 都在格点上,以 A 为圆心,AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点 D，则CD 的长为 . 8.如图,已知△ABC 中,AB=17,AC=10,BC 边上的高AD=8,则△ABC 的周长为 ,面积为 . 9.如图,正方体的棱长为3cm，已知点 B 与点 C 间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点 A 爬到点 C，需要爬行的最短距离为 . 10.如图，学校有一块三角形空地 ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形 ABDE 和三角形 EDC，分别摆放两种不同的花卉.经测量，∠EDC=90°, DC=15, DE=20, DB=35, AB=40,AE=5,求四边形 ABDE 的面积(单位:米). 11.如图，为让居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A,B,且 A,B 均位于地下管道AC 的同侧，售卖机 A，B之间的距离为500米，管道分叉口 M 与 B 之间的距离为 300 米，MN⊥AB 于点 N,M 到AB 的距离为240米，假设所有管道的材质相同. (1)求 B,N 之间的距离; (2)珍珍认为：从管道 AC 上的任意一处向售卖机 B 引出的分叉管道中，BM 是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确. 练能力 12.如图,已知四边形ABCD 中,AB∥CD,BC=AD=4,AB=CD=10,∠DCB=90°,E为CD 边上的一点,DE=7,动点 P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边AB 向终点 B 运动,连接 PE,BE,设点 P运动的时间为t秒. (1)求 BE 的长; (2)若△BPE 为直角三角形,求 t 的值. 13.【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形； 【性质探究】(1)如图1,垂美四边形 ABCD的两对角线交于点 O，试探究 AB，CD，BC，AD 之间有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】(2)如图2,分别以 Rt△ACB的直角边AC 和斜边 AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=8,AB=10,求GE 长. 第2课时 “HL”定理 夯基础 1.用三角尺可以画角平分线.如图所示，在已知∠AOB 的两边上分别取点M,N,使 OM=ON,再过点 M 画 OA 的垂线,过点 N 画OB 的垂线，两垂线交于点 P，那么射线OP就是∠AOB 的平分线.小明发现说明此画法的合理性时需要证明△POM 与△PON全等，其依据是 ( ) A. SAS B. SSS C. AAS D. HL 2.如图所示,已知在△ABC 中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB 交 AB 于点 D,若∠B=28°,则∠AEC= ( ) A.28° B.59° C.60° D.62° 3.如图,在△ABC 和△DFE中,∠A=∠D=90°,AC=DE,若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明 Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件: . 4.如图,在△ABC 和△DBC 中,∠A =∠D = 90°,BC = 13,AC=CD=12,则点 A,D 距离是 . 5.如图,四边形ABCD 中,AB=AC,BF⊥AC 交AC 于点 E,AD⊥CD,∠ABE=∠ACD.若BF=11,CD=8,则CE 的长为 . 6.如图,△ABC 与△EFG中,AB=EF,BC=FG,AD⊥BC 于点D,EH⊥FG 于点 H,且 AD = EH.求证:AC=EG. 7.如图,已知AB=CD,DE⊥AC 于点 E,BF⊥AC 于点 F,且AE=CF,连接BD 交EF 于点M. (1)求证:DE=BF; (2)若DE=2,BD=6,求 EF 的长. 练能力 8.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,分别以 AB,AC 为边作等边△ABD 和等边△ACE,连接DE,若AB=6,AC=10,则ED= ,若延长线段ED 交BC 于点 F,则CF= . 第1课时勾股定理与互逆命题 1. A 2. A 3. D 4. C 5.①③④ 6.8 8.488 49.5cm 10.解:∵∠EDC=90°,DC=15,DE=20, ∴AC=AE+CE=30. ∵BC=BD+CD=35+15=50,AB=40, ∴△ABC 是直角三角形,且∠A=90°, 15×20=600-150=450(平方米), 答：四边形ABDE 的面积为450平方米. 11.解:(1)∵MN⊥AB, ∴∠BNM=90°. 在 Rt△BMN 中,BM=300 m, MN=240 m,由勾股定 理得 180m, 即B，N 之间的距离为180米； (2)珍珍的观点正确，理由如下： 由(1)得 BN=180 m, ∴AN=AB-BN=500-180=320(m). 在 Rt△AMN 中, 由勾股定理得 400m. 250 000, ,即 BM⊥AM, ∴BM 是垂线段, ∴BM 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确. 12.解:(1)∵CD=10,DE=7, ∴CE=10-7=3, 在 Rt△CBE中, (2)当∠BPE=90°时,AP=10-3=7,则t=7÷1=7(秒), 当∠BEP=90°时, 即 解得 综上所述，当t=7或 时,△BPE 为直角三角形. 13.解: 证明:∵AC⊥BD, ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理，得 (2)如图,连接 BE,CG,设AB 与CE 交于点M, ∵∠CAG=∠BAE=90°, ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE, 在△GAB 和△CAE中, ∴△GAB≌△CAE(SAS), ∴∠ABG=∠AEC. ∵∠AEC+∠AME=90°, ∴∠ABG+∠BMC=90°,即CE⊥BG, ∴四边形CGEB 是垂美四边形， 则 第2课时 “HL”定理 1. D 2. B 3. BC=FE(或BE=CF) 5.44. 6.证明:∵AD⊥BC于点D,EH⊥FG于点H,∴∠ADB=∠EHF=90°, 在 Rt△ABD 和 Rt△EFH 中, ∴Rt△ABD≌Rt△EFH(HL), ∴∠B=∠F, 在△ABC 和△EFG 中, ∴△ABC≌△EFG(SAS),∴AC=EG. 7.解:(1)证明:∵AE=CF, ∴AE+EF=CF+FE,即AF=CE,在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中, ∴△ABF≌△CDE(HL), ∴DE=BF; (2)∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠BFM=∠DEM=90°, 在△BMF 和△DME 中, ∴△BMF≌△DME(AAS), ∴MB=MD,ME=MF, 解析：如图，连接AF， ∵分别以 AB,AC 为边作等边△ABD 和等边△ACE, ∴AD=AB,AE=AC,∠BAD=60°. ∵∠EAC-∠DAC=∠BAD-∠DAC, ∴∠EAD=∠CAB, 在△ADE和△ABC 中, ∴△ADE≌△ABC(SAS), ∴ED=BC,∠ADE=∠ABC=90°,在 Rt△ABC 中,AB=6,∠ABC=90°, ∴ED=BC=8. ∵∠ADF=180°-∠ADE=90°, ∴∠ADF=∠ABC=90°, 在 Rt△ADF 和 Rt△ABF 中, ∴Rt△ADF≌Rt△ABF(HL), ∴∠DAF=∠BAF. 又∵∠BAD=∠DAF+∠BAF=60°, ∴∠DAF=∠BAF=30°, ∴AF=2BF, 设BF=x,则AF=2x, 整理得 ∵x>0, 学科网（北京）股份有限公司 $