2025-2026学年鲁教版（五四 制）数学八年级下册期末综合测试卷

**基本信息** 初中数学期末卷以基础巩固与综合应用为核心，通过环保销售、旗杆测量等实践情境及正方形旋转探究，考查数学抽象、推理与模型意识，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式意义、矩形正方形判定（第2题）|基础概念与辨析结合| |填空题|6/18|菱形边长计算（第11题）、动态几何（第14题）|动态问题与综合应用| |解答题|8/72|实践测量（第23题）、正方形旋转探究（第24题）|实践操作与创新探究|

期末综合测试卷 时间: 120分钟 满分: 120分· 得分： 等级： 一、选择题(本题共10个小题，每小题均给出标号为A，B，C，D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，每小题3分，共30分) 1.若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( ) A. x≤1 B. x≥1 C.x≤-1 D.x≥-1 2.下列说法： ①对角线相等的平行四边形是矩形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； ③有两边相等的平行四边形是菱形； ④有一个角是60°的平行四边形是菱形； ⑤顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形. 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是( ) A.25 B.25 C.25 D.50 4.关于x的一元二次方程. 则该方程根的情况是( ) A.方程无实根 B.两根之和为-2k C.有两个负实数根 D.若两根之积为3，则k=2 5.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD 的边长为5,AB 边在y轴上,B(0,-2).若将正方形ABCD 绕点O 逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',则点 D'的坐标为 ( ) A.(-3,5) B.(5,-3) C.(-2,5) D.(5,-2) 6.如图,E是矩形ABCD 的边CD 的中点,连接BE,AF⊥BE 于点F,AF 的延长线交BC 于点G，连接DF，则图中相似三角形有 ( ) A.4对 B.6对 C.8对 D.5对 7.小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式： 这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若 连接AC和BD 相交于E,过E作EF⊥BC于F,则 若 且以AB，CD为宽和长的矩形的面积等于2，则以AB，CD 的长度为根的一元二次方程为 ( ) A. B. C. D. 8.定义新运算；对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 max{a，b}表示a，b中的较大值，如：等等；按照这个规定，若 3x-5,则x的值是 ( ) A.5 B.5或-2 C.5或3 D.3或0 9.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE 上的点,且DF=DC,则AF 的长为 ( ) A. B. C. D. 10.如图,已知正方形ABCD 的边长为4,点 P 是对角线BD上一点,PE⊥BC 于点E,PF⊥CD 于点F,连接AP,EF.给出下列结论:①AP=EF ②∠PFE=∠BAP ③△ADP 一定是等腰三角形 ④四边形 PECF 的周长为4 ⑤EF 的最小值为 其中正确结论的个数是 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程 m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 . 12.已知实数m,n,p 满足等式. ,则p= 13.已知矩形ABCD中,BC>AB,在AD 上取一点E 使.AB=AE,点B 和点 F 关于直线CE 对称，且有 贞 14.如图,在矩形 ABCD 中, 点E 是边CD 的中点，点F是对角线AC 上一动点，作点 C 关于直线EF 的对称点 P，若 ,则CF的长为 . 15. 如图,菱形ABCD 的边长为4, 点E，F分别是边AB，对角线BD 上的动点，且满足 若点 G 是CE的中点，则线段 FG 的最小值为 16. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A的坐标为(1,0),点D 的坐标为(0,2).延长CB交x轴于点 ，作正方形 延长 交x轴于点 作正方形 ，按这样的规律进行下去，正方形 的面积为 三、解答题(本题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤，共72分) 17.(6分)计算: (2)若 求 的值. 18.(6分)解方程: 19.(7分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点和 均为格点(网格线的交点).已知点 A 和 的坐标分别为(-1,-3)和(2,6). (1)在所给的网格图中描出边AB 的中点D，并写出点 D 的坐标； (2)以点O为位似中心，将 放大得到 使得点A 的对应点为 请在所给的网格图中画出 20.(8分)如图,平行四边形 ABCD 对角线AC,BD 相交于点O,点 P 为平行四边形ABCD外一点，且. 垂足为 P，求证：四边形ABCD 是矩形. 21.(9分)已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为 上 为整数，求整数m的值. 22.(10分)某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元.由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价.据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒.根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利 元； (2)为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元? (3)在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15 000元?请说说你的理由. 23.(12分)数学实践: 学习了相似三角形的知识后，小明利用周末来到河边，准备利用所学知识测量河对岸一根旗杆PQ 的高度.以下是他的实践报告，请根据报告内容，写出任务解决的求解过程. 实践任务 测量河对岸旗杆 PQ 的高度 实践工具 带刻度的标杆、皮尺 实践过程 ①小明直立于地面，眼睛到地面的距离为. ，在他和旗杆之间直立一根带刻度的标杆CD ②眼睛看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的M点 ③向旗杆方向前进一定的距离 眼睛再次看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的N点 ④画出几何示意图如图，测量相关数据，并利用相似三角形的知识求旗杆的高度 PQ 测量数据 米 米 米;DM=4米 DN=2.8米 任务解决 24.(14分) 如图1,在正方形ABCD中,点 N,M分别在边BC,CD上,连接AM,AN,MN.已知 ,将△AMD 绕点A 顺时针旋转90°,点D与点B 重合,得到△ABE.易证:△ANM≌△ANE,从而得DM+BN=MN. 【实践探究】 (1)在图1条件下,若CN=6,CM=8,则正方形ABCD 的边长是 ; (2)如图2,点M,N分别在边CD,AB上,且BN=DM.点E,F分别在BM,DN上,∠EAF=45°，连接EF，猜想三条线段EF，BE，DF 之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,点M,N分别在边DC,BC上,连接AM,AN,已知 求DM 的长. 1. D 2. C 3. B 4. D 5. A 6. B 7. A 8. B 9. B 解析:过点 F 作 MN⊥AB 于点 M,交CD 于点 N,证明△EMF∽△EBC 可得,FM=2EM,则NF=2-2EM,CN=BM=1-EM,可得 DN=1+EM,在 Rt△DNF中，再由勾股定理求出 则，AM= 最后在 Rt△AFM中,由勾股定理即可求出AF 的长. 10. B 解析:①连接PC,设 PC 与 EF 相交于点H,证明四边形 PECF 是矩形得EF=CP,再证明△ABP 和△CBP 全等得AP=CP，由此可对结论①进行判断； ②根据矩形性质得 PF∥BC,HE=HC,进而得∠PFE =∠CEH =∠ECH,再由△ABP 和 △CBP 全 等 得 ∠BAP =∠ECH，由此可对结论②进行判断； ③假设△ADP一定是等腰三角形，有两种情况:(1)当 AP=PD 时,则∠PAD=∠ADP=45°,进而得∠DPA=90°;(Ⅱ)当DP=AD 时,则∠DPA=∠DAP,进而得∠DPA = 67. 5°, 即当∠DPA = 90°或∠DPA=67.5°时,△PAD 是等腰三角形,这与点 P 是对角线BD 上一点相矛盾，因此假设是错误的，据此可对结论③进行判断； ④证明△BPE是等腰直角三角形得BE=PE,则 PE+CE=BC=4,进而得四边形PECF 的周长为2(PE+CE)=8,由此可对结论④进行判断； ⑤连接AC交BD 于点O,根据EF=CP 得当CP 最小时，则EF 为最小，根据正方形性质及勾股定理求出，OC=2 ，再根据“垂线段最短”得 CP≥OC=2 ，由此得EF 的最小值2 ，据此可对结论⑤进行判断； ⑥证明△BPE 和△PFD 都是等腰直角三角形，由勾股定理 EC²),在 Rt△PEC 中,由勾股定理得 由此得 据此可对结论⑥进行判断，综上所述即可得出答案. 11. 12.5 解析:连接BF 交CE 于点 H, ∵点 B 和点 F 关于直线CE 对称, ∴CE 垂直平分BF. ∵BF⊥CE,DF⊥CE, ∴B，D，F 三点在同一条直线上. ∵四边形ABCD 是矩形,点 E 在AD 上, ∴∠EDC=∠DCB=∠CHD=90°, ∴∠DCE=∠CBD=90°-∠BDC, ∴△EDC∽△DCB, 设AB=CD=x,AD=BC=y,则 AB=AE=x, ∴DE=y-x, 整理，得 解关于x 的方程，得 (不符合题意，舍去)， 14.3或9 解析：根据题意画出示意图，连接PC,交直线 EF 于点G,延长 PE 交AC 于点 H，当点 P 在AC上方时，如图1，由勾股定理求出 ，进而得到 3 ，由点 C 关于直线EF 的对称点 P，得到PE=CE=3 ,∠EGC=∠EGP=90°,求出∠CEH = ∠CAD = 60°, 进 而 得到∠PEC=120°,再求出∠CPE=∠PCE= 证明△CEF 是等腰三角形,可得 CF=2CH.在 Rt△CEH中，解直角三角形求出 进而求解；当点 P 在 AC 下方时，如图2，先求出 结合对称的性质易证△CEP 是等边三角形,易求EH=PH= 解直角三角形求出 HF= ，由由CF=CH-HF即可求解. 解析：延长EF 到点 H,使HF=EF,连 接CH，连接并延长BH 交CD 于点P,因为点G 是CE 的中点，所以 CH =2FG.由菱形的性质得∠PCB=∠A,CB∥AD,CB=AD=AB=4,而 EF∥AD,所以 BC∥EF,推导出∠CBP = ∠EHB, ∠PCB = ∠BEH,∠EFB =∠ABD,则△PCB ∽△BEH, 所以 则 求得 作 CL⊥BP 于点L,PQ⊥BC 交BC 的延长线于点Q,则∠Q=90°,∠PCQ=∠ABC=60°,所以∠CPQ=30°,则 求得BQ=5,PQ= 则 由 ，求得 由 CH≥CL,得 则 所以 FG 的最小值为 于是得到问题的答案. 解析：先利用勾股定理求出AD 的长，得到AB=BC=AD,再利用三角形相似得到A₁B₁,A₂B₂,找出规律，即可得到结果. 17.解:(1)原式 2 3×1=5. 18.解: 即 ∴(x-2)(3x-2)=0, 则x-2=0或3x-2=0, 解得 19.解:(1)如图,点 D 即为所求. 由图可得,点D 的坐标为(-2,-1); (2)如图,△A₁B₁C, 即为所求. 20.证明:连接OP, ∵PA⊥PC,PB⊥PD, ∴△APC 和△BPD 都是直角三角形, ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∵在直角△APC中,OP 是斜边中线, ∵在直角△BPD 中,OP 是斜边中线, ∴OP= BD,∴AC=BD, ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴平行四边形ABCD 是矩形. 21.(1)证明: m)=1>0, ∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)解: 即(x-m)[x-(m+1)]=0, 解得:x=m或x=m+1. ∴一元二次方程 m=0的两根为m,m+1, 如果 为整数,则m=-4或-2或0或2, ∴整数m的所有可能的值为-4或-2或0或2. 22.解:(1)14 000; (2)设每盒应降价x元，则每盒的销售利润为(120-x)元,平均每天可售出(100+2x)盒, 根据题意,得(120-x)(100+2x)=14400,化简，得 解得 ∵要更多的让利消费者，∴每盒应降价40元； (3)在本次销售活动中该商场每天利润不能达到15000元，理由如下： 假设在本次销售活动中该商场每天利润能达到15000元，设每盒应降价y元，则每盒的销售利润为(120-y)元，平均每天可售出(100+2y)盒, 根据题意,得(120-y)(100+2y)=15000,化简，得 ,0，∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即在本次销售活动中该商场每天利润不能达到15 000元. 23.解:延长 A₁A₂交CD 于F 点,交 PQ 于E点，如图， 米,A₁B₁⊥B₁Q, 米，A₁F=B₁D=5米,A₁A₂=B₁B₂=3米, 米. ∵DM=4 米,DN=2.8米,∴MF=4- 1.6=2.4(米),NF=1.2米. ∵MF∥PE,∴△A₁MF∽△A₁PE, 即 ∵NF∥PE,∴△A₂NF∽△A₂PE, 即 ②×2得 解得EF=10(米), 解得 PE=7.2(米), ∴PQ=PE+EQ=7.2+1.6=8.8(米),答:旗杆的高度 PQ 为8.8米. 24.解:(1)12; 理由如下：如图2，将△AFD 绕点A 顺时针旋转90°,点 D 与点 B 重合,得到△ABH,连接EH, ∴∠ADF=∠ABH,DF=BH,∠DAF=∠BAH,AH=AF. ∵∠EAF = 45°, ∴∠DAF +∠BAE =45°=∠BAH+∠BAE, ∴∠HAE=45°=∠EAF. 又∵AH=AF,AE=AE, ∴△EAH≌△EAF(SAS), ∴HE=EF. ∵BN=DM,BN∥DM, ∴四边形 BMDN 是平行四边形， ∴DN∥BM,∴∠AND=∠ABM.. ∵∠ADN+∠AND=90°, ∴∠ABH+∠ABM=90°=∠HBM, (3)如图3,延长AB至P,使 BP=BN=2,过 P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q，延长AN 交PQ 于E,连接EM, 则四边形 APQD 是正方形,∴PQ=DQ=AP=AB+BP=8, 设DM=x,则MQ=8-x, ∵PQ∥BC,∴△ABN∽△APE, 由(1),得 在 Rt△QEM 中,由勾股定理,得 解得x=4, 即 DM 的长是4. 学科网（北京）股份有限公司 $