精品解析：河北省保定市竞秀区2026年初中学业水平模拟考试九年级数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试（九年级）数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 代数式的意义可以是（ ） A. 与的和 B. 与的差 C. 个相加 D. 个相乘 2. 如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（ ） A. 南偏西的方向上 B. 南偏东的方向上 C. 北偏西的方向上 D. 北偏西的方向上 3. 一台计算机每秒可做次运算，它工作了秒，则它做的总的运算次数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，主视图不会发生变化，则移走的小正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 两实数根互为倒数 D. 没有实数根 6. 如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（ ） A. 面积不变 B. 周长变小 C. 外角和变大 D. 外角和变小 7. 桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（ ）张 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 代数式，当m是整数时，则P一定能被（ ）整除． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，四边形中，．求证：四边形是矩形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为（ ） ① ② ③四边形是矩形 ④四边形是平行四边形 ⑤， A. ①④③⑤② B. ②④⑤①③ C. ⑤④①②③ D. ⑤④②①③ 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于x轴，且，，点A的坐标为．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a和k的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（ ） A. 只有甲的方案可行 B. 只有乙和丙的方案可行 C. 只有丙的方案可行 D. 甲、乙、丙的方案均可行 12. 如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形的中心O重合，且与边，分别相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为S，三条线段，，的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，S和l的值分别是（ ） A. 4， B. ，4 C. ，6 D. S和l的值不能确定 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：___． 14. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为_____． 15. 现要在矩形草坪中规划出3块大小，形状一样的小矩形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示，则每块小矩形的宽是_____m． 16. 如图，在中，，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点，与交于点，与交于点，记，，的面积为，，．若， ________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； （2）将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 18. 如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： （1）求被污染的部分； （2）若被污染的部分是常数，求的值． 19. 如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙两位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为分）分别是 ．在面试中，由十位评委对甲、乙同学的表现进行打分，每位评委最高打分，且分数为整数，面试成绩等于各位评委打分之和．对两位同学的面试成绩进行整理、描述和分析后给出了相关信息． ．评委给甲同学打分的扇形统计图 ．评委给乙同学打分的统计表 评委 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 乙分数/分 ．甲、乙两位同学面试成绩汇总表 同学 评委打分的总和 评委打分的中位数 方差 甲 乙 ？ 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____； （2）现要求笔试成绩与面试成绩的占比为，已知甲的综合成绩为分，请计算乙同学的综合成绩； （3）通过比较方差，可以判断评委对两位学生面试表现评价的一致性程度．嘉嘉已经计算甲同学面试成绩的方差，下面是他的计算过程： ； 请你计算乙的方差，并推断评委对甲、乙哪位同学的评价更一致； （4）将（1）（2）（3）的信息进行综合分析，你认为选择哪位同学作为“校园形象代言人”更合适，请说明理由． 21. 如图，射线交于点B，A，的半径为2，圆心O到的距离为1，连接，交于点G，且．一动点P从点G出发，在圆周上顺时针运动，运动一周立即停止． （1）求弦的长度； （2）求阴影部分的面积； （3）过点M作的切线，直接写出P点恰好运动到直线上时走过的路程． （参考数据：） 22. 如图1，嘉嘉把一长方体铁块放置在高为50厘米的圆柱形容器底部，然后匀速向容器内注水，直至容器注满．注水过程中，他根据实验数据绘制了如图2所示的图象，其中容器内水的高度为y（厘米），注水时间为x（分）． （1）长方体铁块的高度为_____厘米； （2）求的y关于x的函数解析式，并直接写出注满容器所需时间； （3）嘉嘉将容器中的水全部倒掉，将长方体铁块拿走，重新做注水实验，这次实验水面以5厘米／分的速度上升，他发现本次实验注水a分钟时，容器中水的高度与第一次实验注水a分钟时容器中水的高度相同，请求出a的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为P．抛物线经过点． （1）求b，c的值及点P的坐标； （2）已知点D是上一点，且位于第一象限，其到x轴的距离为3，若经过点D，请求出a的值； （3）与交于点M，N时，点E为线段的中点．点E能否为整点（横纵坐标都为整数的点），若能，求出整点个数；若不能，请说明理由． 24. 嘉嘉和淇淇一起研究图形的折叠问题：如图1，纸片中，，，，点E为边上一点．嘉嘉折叠纸片，使点B与点C重合，找到了边的中点D． （1）在图1中用尺规作图作出边的高线，垂足为N（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出_______； （2）如图2，淇淇将沿折叠，得到，与交于点G，连接． ①当时，求的长度； ②若，直接写出的长度（用含x的式子表示）； （3）如图3，嘉嘉过点A作直线于点H，连接，当最大时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试（九年级）数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 代数式的意义可以是（ ） A. 与的和 B. 与的差 C. 个相加 D. 个相乘 【答案】C 【解析】 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 2. 如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（ ） A. 南偏西的方向上 B. 南偏东的方向上 C. 北偏西的方向上 D. 北偏西的方向上 【答案】C 【解析】 【分析】利用角的和差求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C ． 3. 一台计算机每秒可做次运算，它工作了秒，则它做的总的运算次数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，主视图不会发生变化，则移走的小正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图的定义判断即可. 【详解】解：原几何体的主视图为： 移走①，得到的几何体的主视图为： ∴本选项不符合题意； 移走②，得到的几何体的主视图为： ∴本选项符合题意； 移走③，得到的几何体的主视图为： ∴本选项不符合题意； 移走④，得到的几何体的主视图为： ∴本选项不符合题意． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 两实数根互为倒数 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 其中，，，， ， ∵对任意实数 ，都有 ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故A正确，B，D错误； 方程两根的乘积为，可知两实数根互为负倒数，不是互为倒数，故C错误． 6. 如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（ ） A. 面积不变 B. 周长变小 C. 外角和变大 D. 外角和变小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，构成三角形的三边关系，多边形的外角．结合有关知识对选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A，裁剪后的图形减少了一个小三角形的面积，故裁剪后的面积变小了，所以选项A不符合题意； 选项B，如图，裁剪后四边形的周长为，故裁剪后的周长变小了，所以选项B符合题意； 因为任意四边形的外角和均为，故裁剪前后图形的外角和不变，所以选项C，D不符合题意． 7. 桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（ ）张 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先求出数字1和数字2的卡片张数，再用总卡片数减去二者的张数，即可得到数字0的卡片张数． 【详解】解：∵共有6张卡片，随机翻开数字“1”卡片的概率为， ∴数字“1”的卡片张数为； ∵随机翻开数字“2”卡片的概率为， ∴数字“2”的卡片张数为； ∴数字“0”的卡片张数为． 8. 代数式，当m是整数时，则P一定能被（ ）整除． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先利用完全平方公式化简代数式P，再根据m为整数的条件，判断P一定含有的因数，得到结果． 【详解】解： ， ∵是整数， 是整数， 一定是的倍数， 则P一定能被整除． 9. 如图，四边形中，．求证：四边形是矩形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为（ ） ① ② ③四边形是矩形 ④四边形是平行四边形 ⑤， A. ①④③⑤② B. ②④⑤①③ C. ⑤④①②③ D. ⑤④②①③ 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明结论成立． 【详解】证明：⑤，， ④四边形是平行四边形， ①， ②， ③四边形是矩形， 正确的顺序是⑤④①②③． 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于x轴，且，，点A的坐标为．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a和k的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】设矩形平移后A的坐标是（2，6-a），C的坐标是（6，4-a），得出k=2（6-a）=6（4-a），求出a，即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可． 【详解】解：由题意可得A、C落在反比例函数的图象上， 设矩形平移后A的坐标是（2，6-a），C的坐标是（6，4-a）， ∵A、C落在反比例函数的图象上， ∴k=2（6-a）=6（4-a），a=3， 即矩形平移后A的坐标是（2，3）， 代入反比例函数的解析式得：k=2×3=6， 故选：B 【点睛】本题考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力． 11. 甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（ ） A. 只有甲的方案可行 B. 只有乙和丙的方案可行 C. 只有丙的方案可行 D. 甲、乙、丙的方案均可行 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行即可判断甲的方案可行，根据外角的性质即可判断乙的方案可行，根据平行四边形的判定和性质即可判断丙的方案可行． 【详解】解：设两直线a，b所成的角（锐角）的大小为， 甲的方案：∵ ∴， 故甲的方案可行； 乙的方案：根据外角的性质得， ∴， 故乙的方案可行； 丙的方案：根据题意可知，所围成的四边形是平行四边形， 根据平行四边形的对角相等，可得， 故丙的方案可行． 综上所述，甲、乙、丙的方案均可行． 12. 如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形的中心O重合，且与边，分别相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为S，三条线段，，的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，S和l的值分别是（ ） A. 4， B. ，4 C. ，6 D. S和l的值不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，．证明，，，即可得到，． 【详解】解：如图，连接，，，过作于， 根据正六边形的性质得， ，，， ∴，和是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 同理可得 ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． ∴S和l的值分别是，4． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：． 故答案为：． 14. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】利用平行线得出相似三角形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， ∴， ∵中边上的高为米，中边上高为米， ∴， ∴若在光源不动的情况下，小明的手，则手影． 15. 现要在矩形草坪中规划出3块大小，形状一样的小矩形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示，则每块小矩形的宽是_____m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， 首先根据大长方形的长和宽分别为60 m和45 m列出二元一次方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意，得 解得 所以每块小矩形的宽是10 m． 16. 如图，在中，，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点，与交于点，与交于点，记，，的面积为，，．若， ________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形中线的性质等知识，先证明，得出，根据平行线的性质得出，同理可证，根据平行线分线段成比例定理可得出，根据三角形中线的性质可得出，同理求出，，，设，结合，可求出，则，即可求解． 【详解】解∶∵，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶4． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； （2）将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 【答案】（1）①2；②这3个数字的和为 （2）计算结果的最大值为13 【解析】 【分析】（1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可； ②根据题意得到摸出的3个数字为，2，5，再求和即可； （2）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：① ； ②∵摸出的3个小球上所标数字的积不为0， ∴摸出的3个数字为，2，5． ∴这3个数字的和； 【小问2详解】 解：当摸出的3个小球上的数字为5，0，时，计算结果最大， 即，即计算结果的最大值为13． 18. 如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： （1）求被污染的部分； （2）若被污染的部分是常数，求的值． 【答案】（1）被污染部分为 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据分式的加减法运算法则进行计算； （2）根据题意列分式方程求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知，被污染部分为： ； 【小问2详解】 解：∵被污染的部分是常数， ， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 的值为． 19. 如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ，，， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质、对顶角的性质等找到条件证明即可； （2）利用菱形的性质得到，设，则，在中，由勾股定理得，列方程并解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即：， 解得， ． 20. 某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙两位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为分）分别是 ．在面试中，由十位评委对甲、乙同学的表现进行打分，每位评委最高打分，且分数为整数，面试成绩等于各位评委打分之和．对两位同学的面试成绩进行整理、描述和分析后给出了相关信息． ．评委给甲同学打分的扇形统计图 ．评委给乙同学打分的统计表 评委 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 乙分数/分 ．甲、乙两位同学面试成绩汇总表 同学 评委打分的总和 评委打分的中位数 方差 甲 乙 ？ 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____； （2）现要求笔试成绩与面试成绩的占比为，已知甲的综合成绩为分，请计算乙同学的综合成绩； （3）通过比较方差，可以判断评委对两位学生面试表现评价的一致性程度．嘉嘉已经计算甲同学面试成绩的方差，下面是他的计算过程： ； 请你计算乙的方差，并推断评委对甲、乙哪位同学的评价更一致； （4）将（1）（2）（3）的信息进行综合分析，你认为选择哪位同学作为“校园形象代言人”更合适，请说明理由． 【答案】（1）8 （2）乙的综合成绩为85.8分 （3）评委对乙同学的评价更一致 （4）选择乙同学作为“校园形象代言人”更合适．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数的计算方法计算即可； （2）根据综合成绩的计算方法计算即可； （3）根据方差计算公式求解并比较即可； （4）对甲乙两位同学成绩的综合成绩、中位数及方差进行比较分析得出结论. 【小问1详解】 解： ， ∵评委对甲打分从低到高第个数都是， ∴评委对甲打分的中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙的综合成绩为：（分）； 【小问3详解】 解： ； ， 【小问4详解】 解：选择乙，理由如下： 因为甲、乙的综合成绩一样，乙同学成绩中位数高于甲同学，且评委对乙同学的评价更一致． 21. 如图，射线交于点B，A，的半径为2，圆心O到的距离为1，连接，交于点G，且．一动点P从点G出发，在圆周上顺时针运动，运动一周立即停止． （1）求弦的长度； （2）求阴影部分的面积； （3）过点M作的切线，直接写出P点恰好运动到直线上时走过的路程． （参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）P点恰好运动到直线上时走过的路程为或 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作于点C，根据勾股定理求出，然后根据垂径定理即可求解； （2）连接，先求出，然后根据求解即可； （3）当P点恰好运动到直线上时，则点P为切点，连接，则，解直角三角形求出，然后分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：连接，过点O作于点C， 依题意，在中，， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵过点M作的切线，P点恰好运动到直线上， ∴点P为切点，连接，则， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 当点P位于时，运动路程：， 当点P位于时，运动路程：， 综上可知，P点恰好运动到直线上时走过的路程为或． 22. 如图1，嘉嘉把一长方体铁块放置在高为50厘米的圆柱形容器底部，然后匀速向容器内注水，直至容器注满．注水过程中，他根据实验数据绘制了如图2所示的图象，其中容器内水的高度为y（厘米），注水时间为x（分）． （1）长方体铁块的高度为_____厘米； （2）求的y关于x的函数解析式，并直接写出注满容器所需时间； （3）嘉嘉将容器中的水全部倒掉，将长方体铁块拿走，重新做注水实验，这次实验水面以5厘米／分的速度上升，他发现本次实验注水a分钟时，容器中水的高度与第一次实验注水a分钟时容器中水的高度相同，请求出a的值． 【答案】（1）20 （2），21分钟注满容器 （3） 【解析】 【分析】（1）两段函数图象的交点表示水刚好没过铁块，据此求解即可； （2）根据函数图象，利用待定系数法求解； （3）结合第（2）问得到的函数解析式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：长方体铁块的高度为20厘米，理由： 因为一开始有铁块的存在，所以水面高度上升的速度会比较快，故两段函数图象的交点表示刚好没过铁块，由图象可知交点坐标为，因此长方体铁块的高度为20厘米； 【小问2详解】 解：设的y关于x的函数解析式为， 将，代入，得 解得 关于x的函数解析式为． 把代入，得 ， 解得． 所以注满容器所需时间为21分钟； 【小问3详解】 解：由题意，得第2次实验，3分钟时容器内水高（厘米）， 所以两次实验容器水高相同时，注水时间一定大于3分钟， 把代入，得． 根据题意，得， 解得． 所以的值为4.5． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用．能抓住函数图象中的关键信息，准确理解函数图象拐点的实际意义是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为P．抛物线经过点． （1）求b，c的值及点P的坐标； （2）已知点D是上一点，且位于第一象限，其到x轴的距离为3，若经过点D，请求出a的值； （3）与交于点M，N时，点E为线段的中点．点E能否为整点（横纵坐标都为整数的点），若能，求出整点个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）点E不能为整点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把，代入求出 ，，再求出顶点坐标即可； （2）令，解得，，根据点D在第一象限，得到，再把，代入计算即可； （3）联立，整理得，则，根据中点得到点E横坐标为，当为整数时，为1的因数，此时或0，不满足，得到点E横坐标不能为整数，点E不能为整点． 【小问1详解】 解：经过点，，分别代入得：，， ， ， ∴顶点． 【小问2详解】 解：∵点D是上一点，且位于第一象限，其到x轴的距离为3， ∴， 解得，， ∵点D在第一象限， ， ∵经过， ∴， ， ， 经过， ， 解得． 【小问3详解】 解：点E不能为整点，理由如下： ∵与交于点M，N， 联立， 整理得， ， ∵点E为线段的中点， ∴点E横坐标为， ∵当为整数时，为1的因数， ∴， 或0， ， 或0不符题意， ∴点E横坐标不能为整数，点E不能为整点． 24. 嘉嘉和淇淇一起研究图形的折叠问题：如图1，纸片中，，，，点E为边上一点．嘉嘉折叠纸片，使点B与点C重合，找到了边的中点D． （1）在图1中用尺规作图作出边的高线，垂足为N（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出_______； （2）如图2，淇淇将沿折叠，得到，与交于点G，连接． ①当时，求的长度； ②若，直接写出的长度（用含x的式子表示）； （3）如图3，嘉嘉过点A作直线于点H，连接，当最大时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析， （2）①；②的长度为 （3）当最大时， 【解析】 【分析】（1）按要求作于点N即可；先由勾股定理求出，再根据求； （2）①由折叠和中点可得，过作于，则，再证明四边形是矩形，得到，在中求出，最后根据求解 ②，设，，则，由折叠和等腰三角形得到，即可证明，得到，代入得到，消去即可得到； （3）取中点，过作于，连接，则，先由，得到，即可求出，再根据得到点在以为圆心，半径为的圆上运动，当与相切时，最大，此时，，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：边的高线如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵边的中点D，， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴， 过作于，则， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②，设，，则， ∵将沿折叠，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由可得， 由可得， ∴， 整理得， 即； 【小问3详解】 解：取中点，过作于，连接，则， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∴当与相切时，最大， 此时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $