精品解析：2025年河北省保定市竞秀区二模数学试题

2025年初中学业水平考试适应性训练 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题．每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，点是直线外一点，点，，，，在直线上，，比较线段，，，，的长短，其中最短的是（　　） A. B. C. D. 2. 手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A. 收入50元 B. 支出40元 C. 收入10元 D. 支出10元 3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示是一游戏转盘，将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，则两次指针指向的数之积为2的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将一副三角板放置在一组平行线内，其中，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭；十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄句，10句合，则5合为（　　） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 8. 如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 9. 已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　） A. 数量多的狗群每个群有狗条 B. 依题意 C. 有最小值，但没有最大值 D. 是正确解，但不是唯一解 11. 如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①点的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形的边长为6；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 12. 如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A. 甲、乙、丙都对 B. 甲、乙对，丙不对 C. 甲、丙对，乙不对 D. 甲对，乙、丙不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：____． 14. 已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为___________． 15. 如图，平面直角坐标系内，点、点分别位于两轴正半轴上，，反比例函数的图象交线段于点，，且、分别为的三等分点，且的面积为3，则的值为___________． 16. 光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在数学活动课上，杨老师设计了一个游戏活动．如图所示的，，，分别 代表一种运算，可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序． 根据以上规则，解答下列问题： （1）计算经过的顺序所得式子的运算结果； （2）若经过的顺序所得的结果记为，经过的顺序所得的结果记为，发现无论取何值时，的值均为非负数，请说明理由． 18. （1）化简：． （2）从，1，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 19. 如图，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）将向左平移，当边的中点落在这个一次函数的图象上时，求平移的距离． 20. 为了解某校九年级学生体育现场测试的成绩情况，从九（1）班和九（2）班学生成绩中各随机抽取了10名学生的成绩，嘉琪对两组数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．图为1班、2班体育测试成绩的频数分布折线图： b．表1：1班体育测试成绩各分数段人数统计表： 成绩（分） 25 26 27 28 29 30 人数（人） 1 1 m 1 1 3 c．表2：两个班级体育测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 1班 27、30 2班 27.9 28 根据以上信息，回答下列问题； （1）表1中___________；请补全图中的折线统计图； （2）表2中___________，___________，___________； （3）若规定27分及以上为优秀，请结合两个班学生的体育成绩情况，估计该校九年级1500人中此次测试成绩优秀的学生有多少人？ 21. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，投石车在春秋时期就已经开始使用，是古代战车的一种，上装机枢，弹发石块．校园科技节活动中，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在活动当天进行投石试验展示． 【实验操作】图2是投石机的侧面示意图．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．已知，木架米．杠杆的初始位置与地面成角，即．当点上升到点时甩出石头，此时、O、在同一直线上． 【问题解决】 （1）求的长度； （2）甩出石头时，杠杆顶端与地面的距离的长度． 22. 如图，已知为的直径，，弦于点，是上一点，是弧的中点，连结交于点，连结、． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并求出当时，四边形的面积． 23. 如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； （1）___________；求拱桥抛物线的解析式； （2）如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； （3）如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 24. 如图，按如图方式放置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，于点，有一，将其斜边放置于上，点与点重合，此时点恰好落在上，，将绕点逆时针旋转得到，当与重合时，点开始在边上滑动，点也随之在上滑动（如图所示）． （1）___________；求证： （2）先尺规作图再解答： ①在图中利用尺规作的垂直平分线，并画出当点恰好在直线上时的； ②求出此时的长． （3）如图，当与重合后，点开始以1个单位长度/秒的速度在边上匀速滑动，求运动时间为多少时，点与点的距离恰好为． （4）点与点的最大距离是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试适应性训练 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题．每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，点是直线外一点，点，，，，在直线上，，比较线段，，，，的长短，其中最短的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂线段最短，解答即可． 本题考查了垂线段最短，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是垂线段，故最短， 故A，C，D都是错误的，B正确， 故选：B． 2. 手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A. 收入50元 B. 支出40元 C. 收入10元 D. 支出10元 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，解题关键是理解题意列出算式并进行正确的运算．根据题意列出算式，然后根据计算结果和正数表示收入，负数表示支出，求出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴小陈当天微信收支的最终结果是收入10元． 故选：C． 3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可． 【详解】解：A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，完全平方公式和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图所示是一游戏转盘，将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，则两次指针指向的数之积为2的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，看两次指针指向的数之积为2的结果占总结果数的多少即可． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有8种等可能出现的结果，其中两次指针指向的数之积为2的结果有3种， 所以两次指针指向的数之积为2的概率为， 故选：C． 6. 如图，将一副三角板放置在一组平行线内，其中，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意得出，，再依次判断即可． 【详解】解：根据三角板的特点可得， 根据题意可得， ∴，故A错误； ，故D正确； ，故C错误； ，故B错误； 故选：D． 7. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭；十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄句，10句合，则5合为（　　） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，根据题意先列式，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意可得：5合为粟． 故选B． 8. 如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质，三角形内角和定理，求出，解得到，再解得到，由折叠的性质可得，，则可证明三点共线，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质可得，， ∴三点共线， ∴， 故选：C． 9. 已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 10. 电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　） A. 数量多的狗群每个群有狗条 B. 依题意 C. 有最小值，但没有最大值 D. 是正确解，但不是唯一解 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理清狗群数量多的一方与狗群数量少的一方存在的数量关系． 设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的那个群为条，且狗群数量都是奇数，据此逐一分析判断即可． 【详解】A、设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的每个群为条，此选项错误； B、依题意应该是：，此选项错误； C、依题意得(x为奇数)，解得：(x为奇数)，故x的最小值为1，x的最大值为73．此选项错误； D、由C可知，(x为奇数)，故是正确解，但不是唯一解，符合题意，故此选项正确． 故选：D． 11. 如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①点的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形的边长为6；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点可知点Q的速度是点P速度的3倍，进而可判断②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B，进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点Q到达点C时，的面积最大，求出的面积可判断③正确；当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，．证明，求出，的面积为，当在上运动时， 则，，根据三角形面积公式即可求出，可判断④正确． 【详解】解：∵动点，同时从点出发，同时到达点D， ∴点Q的速度是点P速度的3倍， ∵点以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故①正确； 由图象可知，2秒后点Q到达点B， ∴，即菱形的边长为6，故②正确； 作于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即时，的面积为5，此时， ∴， ∴， ∴， 作于点T，则， ∴， ∴， 当时， ∴ 解得， ∴ 故③正确； 当点Q运动到点D时，， 当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 当在上运动时， ∵， ∴ ∴ 则， ∴ 即曲线段的函数解析式为，故④正确． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，从函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，数形结合是解答本题的关键． 12. 如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A. 甲、乙、丙都对 B. 甲、乙对，丙不对 C. 甲、丙对，乙不对 D. 甲对，乙、丙不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，根据题意分别求出表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，找出规律逐一判断即可，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：甲：设点表示， 则表示的数为，表示的数为， 、互为相反数， ∴，解得：， ∴点表示，故甲说法正确； 乙：∵点表示； ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∵点到原点的距离为， ∴或，故乙说法错误； 丙：设点表示， ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∴，故丙说法正确； 综上可知：甲、丙对，乙不对， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 14. 已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根于系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：设其中一个根为，另一个根为， ， 解得：， 故答案为：4． 15. 如图，平面直角坐标系内，点、点分别位于两轴正半轴上，，反比例函数的图象交线段于点，，且、分别为的三等分点，且的面积为3，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，如图所示，先由已知三角形面积得到，再由等腰直角三角形的判定与性质，结合三角形面积公式求出，过点作，如图所示，再由、分别为的三等分点，由相似三角形的判定与性质，数形结合求出，最后根据反比例函数的图象交线段于点，将代入函数表达式即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 与以上所在边为底，则高相同，均为， 、分别为的三等分点， ， 的面积为3， ， 在中，，，则是等腰直角三角形， ，解得， 过点作，如图所示： ， ， ， ， 、分别为的三等分点， ，则，， ，， ， 反比例函数的图象交线段于点， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形面积公式、三等分点性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象与性质等知识．找准三角形面积之间的关系，数形结合，求出点坐标是解决问题的关键． 16. 光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，如图，连接，作于．解直角三角形求出正六边形的半径即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于． 由题意， ∴是等边三角形， ∴， 设,则, 在中，则有， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在数学活动课上，杨老师设计了一个游戏活动．如图所示的，，，分别 代表一种运算，可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序． 根据以上规则，解答下列问题： （1）计算经过的顺序所得式子的运算结果； （2）若经过的顺序所得的结果记为，经过的顺序所得的结果记为，发现无论取何值时，的值均为非负数，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：依题意得，，， 无论取何值时，的值均为非负数． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的混合运算法则求解即可； （2）依题意得到，，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：依题意经过的顺序所得式子的运算结果为； 【小问2详解】 略 18. （1）化简：． （2）从，1，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2）当时，4 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值； （1）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可； （2）根据分式有意义的条件把代入（1）中化简后的代数式进行计算即可. 【详解】解：（1） ； （2）当，3时，分式无意义， 当时，原式. 19. 如图，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）将向左平移，当边的中点落在这个一次函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，正确求出对应的函数解析式是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据两点中点坐标计算公式求出点D的坐标，进而得到平移后点D的对应点的纵坐标为，据此求出平移后点D的对应点坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：点在的图象上， 一次函数的表达式； 【小问2详解】 解：，， 的中点的坐标为，即， ∴平移后点D的对应点的纵坐标为， 在，当时，，解得， 平移的距离为 20. 为了解某校九年级学生体育现场测试的成绩情况，从九（1）班和九（2）班学生成绩中各随机抽取了10名学生的成绩，嘉琪对两组数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．图为1班、2班体育测试成绩的频数分布折线图： b．表1：1班体育测试成绩各分数段人数统计表： 成绩（分） 25 26 27 28 29 30 人数（人） 1 1 m 1 1 3 c．表2：两个班级体育测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 1班 27、30 2班 27.9 28 根据以上信息，回答下列问题； （1）表1中___________；请补全图中的折线统计图； （2）表2中___________，___________，___________； （3）若规定27分及以上为优秀，请结合两个班学生的体育成绩情况，估计该校九年级1500人中此次测试成绩优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）3， 补全图形如下： （2），， （3）1200人 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键． （1）计算出成绩为27分的学生人数，补全折线统计图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的定义即可得到结论； （3）运用样本估计总体即可得到结论． 【小问1详解】 解：， 图略； 【小问2详解】 解：； 10个分数按从小到大顺序排列，最中间的两个分数是27分和28分， 所以，中位数； 2班成绩中，29分出现次数最多，一共出现3次， 故众数； 故答案为：27.9；27.5；29； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级1500人中此次测试成绩优秀的学生有1200人． 21. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，投石车在春秋时期就已经开始使用，是古代战车的一种，上装机枢，弹发石块．校园科技节活动中，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在活动当天进行投石试验展示． 【实验操作】图2是投石机的侧面示意图．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．已知，木架米．杠杆的初始位置与地面成角，即．当点上升到点时甩出石头，此时、O、在同一直线上． 【问题解决】 （1）求的长度； （2）甩出石头时，杠杆顶端与地面的距离的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求的长度即可； （2）先计算，再利用正弦函数解答即可． 本题考查了特殊角的三角函数应用，解直角三角形三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解： 在中， ． 【小问2详解】 解：，， ， 在中，， 杠杆顶端与地面的距离的长度为． 22. 如图，已知为的直径，，弦于点，是上一点，是弧的中点，连结交于点，连结、． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并求出当时，四边形的面积． 【答案】（1） 证明：弦， ，， 是弧的中点， ， ， ， 又，， ， ． （2）菱形，4 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出，，根据是弧的中点，得出，即可得，圆周角定理得出，证明，即可得． （2）根据，，得出四边形是平行四边形，结合，证出是菱形，连接，求出，，，在中，勾股定理求出，从而求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， 是菱形， 连接， ，， ，， ， 在中，， ， ． 【点睛】该题考查了全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； （1）___________；求拱桥抛物线的解析式； （2）如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； （3）如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】题目主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质，二次函数的综合应用，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据题意得出，，顶点，即，设拱桥抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设的解析式为，利用待定系数法确定的解析式为，得出此时点坐标为，然后代入函数解析式求解即可； （3）过点作轴于点，交于点，根据题意得出，设，则，得出关于的二次函数求解即可． 【小问1详解】 解：； 由题知，，，顶点，即， 设拱桥抛物线的解析式为， ， 解得， 拱桥抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设的解析式为， ， ， 的解析式为， 当时， ，此时点坐标为 ， 解得：，， 此时点坐标为， 照明灯照不到的水面区域的宽度； 【小问3详解】 存在， 如图，过点作轴于点，交于点， 顶点为， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值为1， 的最大值为． 24. 如图，按如图方式放置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，于点，有一，将其斜边放置于上，点与点重合，此时点恰好落在上，，将绕点逆时针旋转得到，当与重合时，点开始在边上滑动，点也随之在上滑动（如图所示）． （1）___________；求证： （2）先尺规作图再解答： ①在图中利用尺规作的垂直平分线，并画出当点恰好在直线上时的； ②求出此时的长． （3）如图，当与重合后，点开始以1个单位长度/秒的速度在边上匀速滑动，求运动时间为多少时，点与点的距离恰好为． （4）点与点的最大距离是___________． 【答案】（1）；见解析 （2）①如图，即为所求； ② （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）根据点A坐标可得，则可利用勾股定理得到；只需要证明，即可证明； （2）①作线段的垂直平分线l，以A为圆心，以的长为半径画弧交直线l于点M，以点A为圆心，的长为半径画弧，以M为圆心，的长为半径画弧，二者交于点N，连接，则即为所求；②连接，由旋转的性质可得，证明，再证明即可证明，得到；证明，得到，由旋转的性质可得，则由线段垂直平分线的性质可得，则； （3）过点F作于H，求出，得到，则，证明，求出，则，则由题意得到，则，解方程即可打得到答案； （4）作的外接圆，设圆心为R，过点R作于S，则由垂径定理可得，，解直角三角形得到；再证明，则，可得，进而得到；由是中的一条弦，则当是的直径时，有最大值，最大值为，即点F与点A的最大距离是． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，， ∴， ∴； 由题意得，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，作线段的垂直平分线l，以A为圆心，以的长为半径画弧交直线l于点M，以点A为圆心，的长为半径画弧，以M为圆心，的长为半径画弧，二者交于点N，连接，则即为所求； ②如图所示，连接， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∵点M在线段的垂直平分线上， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点F作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点与点的距离恰好为，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：如图所示，作的外接圆，设圆心为R，过点R作于S， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ∵是中的一条弦， ∴当是的直径时，有最大值，最大值为 ∴点F与点A的最大距离是． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质，坐标与图形，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，解题的关键在于正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $