第八章 正弦定理与余弦定理 基础通关练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理的基础应用与综合拓展，通过多样化题型构建从概念理解到实际应用的知识逻辑链，培养数学推理与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-2、填空9-10|定理直接应用，判断条件关系、求边/角|从定理概念到基本运算，体现数与形的转化| |综合应用|解答12-13、单选4-5|结合面积、角平分线，综合运用定理|从单一求解到多知识点整合，培养应用意识| |易错辨析|多选7-8、单选3/6|三角形解的个数、锐角三角形取值范围|针对定理应用中的逻辑漏洞，强化推理严谨性|

第六章 正弦定理与余弦定理·基础通关 1. 在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】正弦定理边角互化的应用、充要条件的证明 【分析】利用正余弦函数的单调性以及大边对大角判断即可得出结论． 【详解】判断： 根据正弦定理，则， 因为，等价于； 根据大边对大角，可得：； 因为，余弦函数在上单调递减， 故；充分性得证； 判断： 因为余弦函数在上单调递减，， 故，根据大角对大边可知； 根据正弦定理，故； 必要性得证； 综上，“”是“”的充要条件． 2. 在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得答案. 【详解】因，由正弦定理边角互化可得： ，设， 则. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】法一：由余弦定理，即有两个不相等的正根，则，即可求出的范围，再求出角的范围. 法二：根据正弦定理得到，即可求出的取值范围，再结合、的关系求出的范围. 【详解】法一：因为，，要使三角形有且只有两个，即会出现两个符合题意的值， 由余弦定理，即， 依题意可得关于的方程有两个不相等的正根， 则，解得， 又，解得， 综上可得. 法二：由正弦定理，所以， 所以，则， 由且，所以， 所以由，解得， 综上可得. 故选：A 4. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由余弦定理结合得，利用正弦定理得，进而得，由已知求得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理有：，又，所以， 又由正弦定理有：， 又， 所以， 又为三角形的内角， 所以或（舍去），所以，又， 所以    ，所以， 所以， 故选：D. 5. 在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【详解】 因为BD平分，所以， 又因为，所以，， 在中，, 在中，， 所以． 6. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】将两边平方结合二倍角公式可得，由正弦定理将边转化为角可计算出，由为锐角三角形可得，结合正弦定理得，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 由正弦定理得，即， 所以， 所以，即， 所以或（舍去）， 则， 因为三角形为锐角三角形， 则，所以， 解得，所以， 因为 ， 所以的取值范围为. 故选：D. 7. （多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰三角形 D．对任意，都有 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】比较余弦值的大小、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】对于A，根据正弦定理及三角形的性质判断即可；对于B，根据正弦定理及两角差的正弦公式化简判断即可；对于C，根据正弦定理及二倍角公式化简判断即可；对于D，由三角形内角和性质，余弦函数的性质判断即可. 【详解】对于A，由，根据正弦定理得，则，故A正确； 对于B，由，根据正弦定理得， 则，即，所以为等腰三角形，故B正确； 对于C，由，根据正弦定理得， 则，则或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由，则， 因为函数在上单调递减，则， 即，故D正确. 故选：ABD. 8. （多选）已知锐角三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、余弦定理解三角形 【分析】根据基本不等式及条件求A即可判断AB选项，由正弦定理及三角恒等变换判断C，由余弦定理求出的范围判断D即可. 【详解】由题意得，所以，则. 由题设及基本不等式可得 解得，又，所以， 可得，即解得，故A错误. 将代入， 可得，即，所以，故B正确； 由正弦定理得，且， 得. 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，则，故C正确； 由余弦定理得， 又，可得，则，故D正确. 故选：BCD. 9. 在中，，，，则______. 【答案】或 【难度】0.82 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】应用正弦定理求解. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，所以， 则或 10. 已知的三内角，，满足，则的面积与外接圆的面积之比为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理进行边角互化，进而可得面积之比. 【详解】由， 得， 即， 即， 所以的面积与外接圆的面积之比为， 故答案为：. 11. 记的内角的对边分别是，已知. (1)求的大小； (2)若边上的高等于，求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）根据题目条件求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，即， 所以， 又，可知. （2） 如图，在中，设边上的高为，则， 在中，， 所以 又因为，可得， 所以，， 所以. 12. 在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且， （i）求角的取值范围； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合诱导公式、二倍角公式计算可得； （2）（i）根据三角形为锐角三角形求出的范围；（ii）由面积公式可得，再由正弦定理求出的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 因为，所以． 由，可得， 所以， 所以， 因为，则，所以，所以， 因为，所以，则； （2）（i）因为为锐角三角形， 所以，， 由（1）知，，即，所以，即角的取值范围为； （ii）由题设及（1）知，的面积， 由正弦定理得 ． 因为，所以，则，， 所以，从而． 因此面积的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 正弦定理与余弦定理·基础通关 1. 在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 5. 在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（    ） A． B． C． D． 6. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. （多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰三角形 D．对任意，都有 8. （多选）已知锐角三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足，则（   ） A． B． C． D． 9. 在中，，，，则______. 10. 已知的三内角，，满足，则的面积与外接圆的面积之比为______． 11. 记的内角的对边分别是，已知. (1)求的大小； (2)若边上的高等于，求的面积. 12. 在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且， （i）求角的取值范围； （ii）求面积的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $