专题06 爪型三角形的突破11种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦爪型三角形11类考法，以特殊线段（中线、角平分线等）和等分点为线索，构建从基础计算到综合应用的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中线相关|4题型（含双中线、最值）|求长度/已知长度求量/范围|基于余弦定理，结合面积公式，从单一中线到多中线综合| |角平分线相关|4题型（含与中线综合）|求长度/已知长度求量/范围|应用角平分线定理，关联三角形全等与相似，渗透转化思想| |高线与等分点|3题型（高线、三等分点、四等分点）|长度计算/位置关系|融合三角形高公式与线段比例，体现数形结合的数学思维|

专题06 爪型三角形的突破11种常考考法归类 题型一 求中线长 题型七 与角平分线有关的范围问题 题型二 已知中线长求其他量 题型八 中线与角平分线的综合问题 题型三 与中线长有关的最值（范围）问题 题型九 高线问题 题型四 双中线问题 题型十 三等分点所在直线的相关问题 题型五 求角平分线长 题型十一 四等分点所在直线相关问题 题型六 已知角平分线长求其他量 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求中线长 1．（2026高三·全国·专题练习）在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 2．（2026高一·河南新乡·阶段检测）三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 3．（2026高一·重庆·阶段检测）在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长． 4．（2026高一·福建宁德·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 题型2 已知中线长求其他量 5．（2026·河北张家口·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·专题练习）在中，为上的中线，，，，则________，________． 7．（2026高一·福建厦门·期中）在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．（2026高一·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 9．（2026高一·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 10．（2026高一·重庆綦江·期中）在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 11．（2026·辽宁·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 12．（2026高一·四川达州·期中）在中，角的对边分别是，且，. (1)求角的大小； (2)若边上的中线，求的面积. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 13．（2026高三·河北唐山·期中）在中，角、、的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，是边上的中线，，求的面积. 14．（2026·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 15．（2026高三·贵州贵阳·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 16．（2026·重庆·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 题型3 与中线长有关的最值（范围）问题 17．（2026高一·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 18．（2026高一·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 19．（2026高三·河北保定·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 20．【多选】（2026高一·江苏·期中）在锐角中，角所对的边分别为，则（   ） A． B．的取值范围是 C．存在，其面积为1 D．边上的中线长的取值范围是 21．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 题型4 双中线问题 22．（2026·四川泸州·模拟预测）已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为__________. 23．（2026高一·江苏苏州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求角A的大小； (2)当时， （ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值； （ⅱ）求值． 24．（2026高一·山西晋中·阶段检测）在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（  ） A． B． C． D． 题型5 求角平分线长 25．（2026·江苏南通·模拟预测）已知内角所对的边分别为，，且成等差数列． (1)求的面积； (2)若的角平分线交于，求． 26．（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 27．（2026高一·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． (1)若，的角平分线交于点，求线段的长； (2)求的取值范围． 28．（2026高三·云南楚雄·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求； (2)已知的角平分线CD交AB于点，若，求的面积及CD的长． 29．（2026高一·广东深圳·期中）在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（    ） A． B． C． D． 30．（2026高一·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点在BC边上． (1)若AD为的中线，求的值； (2)若AD为的角平分线，求线段AD长． 31．（2026高一·重庆·阶段检测）已知中，，，分别为内角，，的对边，且； (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 32．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 33．（2026高一·全国·专题练习）中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 题型6 已知角平分线长求其他量 34．（2026·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 35．（2026·山东滨州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积，且. (1)求C； (2)若C的角平分线交AB于D，且，求b. 36．（2026高一·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 37．（2026高一·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为；且． (1)求角； (2)若角平分线，求的面积的最小值． 38．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）的内角，，所对的边分别是，，，已知． (1)求； (2)是的角平分线，且，求的最小值. 39．（2026高一·福建厦门·期中）在中，角所对的边分别为，已知，为边上一点，且. (1)求角的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若为角平分线，求的最小值. 40．（2026高二·云南怒江·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 41．（2026高三·浙江绍兴·期末）已知在中，角是的角平分线，且. (1)若，求的长； (2)若，求的面积. 题型7 与角平分线有关的范围问题 42．（2026高一·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 43．（2026高一·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 44．（2026高一·重庆·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 题型8 中线与角平分线的综合问题 45．【多选】（2026高三·山西临汾·期末）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 46．（2026高一·天津·阶段检测）已知的内角的对边为，且. (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 47．（2026高一·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 48．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 49．（2026高一·广东佛山·期中）在中，内角所对的边分别是，且． (1)求． (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围． 50．（2026高三·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 51．（2026高一·全国·专题练习）在中，已知． (1)若为的中线，且，，求的长； (2)若为的角平分线，且，，求的长． 52．【多选】（2026·云南·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，．若边上的中线，角A的角平分线交于点E，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 题型9 高线问题 53．（2026高一·山东泰安·阶段检测）在中，，，，为的一条高线，则________． 54．（2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 55．（2026高一·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 56．（2026高一·北京顺义·期中）已知在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， (1)求A的大小; (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①边上的高线长为， ②， ③ 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 57．（2026高二·北京东城·阶段检测）已知在中，内角所对边分别为，． (1)求的大小； (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①②边上的高线长为；③. 58．（2026高三·北京·期中）在中，. (1)求的大小； (2)若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. ①； ②的面积为； ③边上的高线长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 59．（2026高二·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 60．（2026高三·北京·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，然后解决下列问题： (1)求角B和的面积； (2)求AC边上的高线BD的长. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，. 61．（2026高一·北京西城·期末）已知在中，． (1)求A的大小； (2)若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长． ①的面积为；②；③AB边上的高线CD长为． 62．（2026高二·贵州贵阳·期中）在中，A，B，C所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求BC边上的高线AD的最大值. 63．（2026·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且． (1)若为边上的高线，求的最大值； (2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积． 题型10 三等分点所在直线的相关问题 64．（2026·河北廊坊·模拟预测）在中，其所对的边分别为，为边上靠近点A的三等分点，，，，则（   ） A． B． C．1 D．3 65．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，，点为边上靠近点的三等分点，求的长. 66．（2026高一·安徽阜阳·期中）如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．当最小时，BD的长为______． 67．（2026高一·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 68．（2026高一·广东广州·期中）如图，在中，点为边上靠近点的三等分点，，．    (1)若，求三角形的面积； (2)当最小时，求的长． 69．（2026高二·四川成都·阶段检测）如图，已知，，为边上靠近点的三等分点. (1)若，，求. (2)若直线平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 70．（2026高一·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，，，. (1)求和三角形的面积； (2)若为边上靠近的三等分点，求的长. 71．（2026·安徽安庆·模拟预测）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 72．（黑龙江大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若点D为AC边上靠近点C的三等分点，且，求的值. 题型11 四等分点所在直线相关问题 73．（2026高一·安徽·阶段检测）如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ）    A． B． C． D． 74．（2026高二·广东深圳·期中）已知中，角对应的边分别为，是上的四等分点（靠近点）且，则的最大值是___________． 75．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 76．（2026高三·江苏·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，向量，，且. (1)求角A的大小； (2)若点D为边BC上靠近B的四等分点，且，求的面积. 77．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，， （1）求BC的长度； （2）若E为AC上靠近A的四等分点，求. $专题06 爪型三角形的突破11种常考考法归类 题型一 求中线长 题型七 与角平分线有关的范围问题 题型二 已知中线长求其他量 题型八 中线与角平分线的综合问题 题型三 与中线长有关的最值（范围）问题 题型九 高线问题 题型四 双中线问题 题型十 三等分点所在直线的相关问题 题型五 求角平分线长 题型十一 四等分点所在直线相关问题 题型六 已知角平分线长求其他量 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求中线长 1．（2026高三·全国·专题练习）在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 【答案】 【详解】法1：由余弦定理，. 所以. 又， 所以， 所以. 法2：在中，由中线长定理可知， 则，解得． 2．（2026高一·河南新乡·阶段检测）三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】先求出三边边长，再根据中线向量可求中线的长度. 【详解】由正弦定理有， 设，其中，则， 故，故， 所以，设边上的中线为，则， 则 ， 故. 3．（2026高一·重庆·阶段检测）在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理得出，再利用余弦定理求出，最后利用同角三角函数关系即可； （2）利用面积公式得出，再利用可计算. 【详解】（1）由以及正弦定理得，， 因为，所以由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为的面积为，所以， 得，则，， 因为是边上的中线，所以， 则， 故边上的中线的长为. 4．（2026高一·福建宁德·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，进而求得结果. （2）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可. （3）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理计算结果. 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. （2）由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. （3）由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 题型2 已知中线长求其他量 5．（2026·河北张家口·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的余弦，再利用余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 在中，，， 由余弦定理得. 6．（2026高一·全国·专题练习）在中，为上的中线，，，，则________，________． 【答案】 【分析】由已知在中，利用正弦定理可得，进而可求的值，在中，由余弦定理解得，可求，由余弦定理可得的值. 【详解】因为，，，所以在中， 由正弦定理可得：， 所以． 因为在中，由余弦定理，， 可得：，即：， 所以解得：或（舍去）， 所以,由余弦定理可得：, . 故答案为：①;②． 7．（2026高一·福建厦门·期中）在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】解法1，设，利用余弦定理可得，令，可得，利用三角变换和三角函数性质求得，得解； 解法2，作，则是的重心，设，可得，，根据运算，结合三角函数性质得解； 解法3，作，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，可得，由三角形面积公式结合基本不等式求解. 【详解】解法1：令，在内由余弦定理，可知 ，化简得：，故， 所以的面积，令，所以， 又， 所以，所以，所以，当且仅当时，取等号. 解法2：如图，作，垂足为，交于，则是的重心，， 设，所以，，故的面积等于， 所以的面积，当且仅当时取等号. 解法3：如图，作，垂足为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系. 设，，则，， 所以的面积，当且仅当时取等号. 8．（2026高一·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再整理即可证明； （2）由（1）可得，进而得到即可求解； （3）根据余弦定理可得，再利用双余弦得到，再解方程组即可． 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 9．（2026高一·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模长公式得到，代入数量积的坐标公式，然后边化角得到角的三角函数式，求出角； （2）利用向量中线公式得出边的长，根据面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 10．（2026高一·重庆綦江·期中）在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得，利用余弦定理计算可得，即可得、，从而可计算出，即可得其周长. 【详解】（1）由正弦定理将角化为边可得， 即，即， 由余弦定理可得，即， 故，即，又，故； （2），则 ，即， 由余弦定理可得， 故，， 则， 故的周长为. 11．（2026·辽宁·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可. （2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可. （3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. （2）因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 12．（2026高一·四川达州·期中）在中，角的对边分别是，且，. (1)求角的大小； (2)若边上的中线，求的面积. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简即可求出； （2）根据题意列出，化简得，又由余弦定理得即可求出； （3）利用定理得到，再利用为锐角三角形，得到，进而得到的取值范围. 【详解】（1）由有， ，即， ，，又，故． （2）由平方得， 所以，即，所以， 又由余弦定理得，所以， 所以的面积为. （3）由题意得，又， ， 又为锐角三角形，则有，得， 所以，所以，故． 13．（2026高三·河北唐山·期中）在中，角、、的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，是边上的中线，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解， （2）利用向量法结合中线长公式求出边的值，再利用三角形面积公式求解 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，由正弦定理得，即， 且，则，可得， 因为，所以， （2）由题意得，则， 即有，且，解得：，所以， 故的面积为. 14．（2026·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ，则， . （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即， 又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 15．（2026高三·贵州贵阳·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先由正弦定理化简等式，结合两角和的正弦公式和三角形中角的范围计算角的大小； （2）根据平面向量运算以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值. 【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得： ． 中，，， ，， 或． （2）为锐角，， 为的中点，，， ，即， 根据重要不等式知：， ，当且仅当时，等号成立． 因此，的面积最大值为 16．（2026·重庆·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两角和差的正弦公式对已知条件进行化简整理，得到，即可求解. （2）由余弦定理及中线可得，结合三角形外接圆性质得到，，根据垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律得到，，进而求解即可. 【详解】（1）在中，，所以，同理可得，. 由，得， 即， 整理得， 又，所以，所以，即， 又，所以. （2）在中，由余弦定理，得， 又，所以， 即，也即， 解得， 令，的中点分别为，，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以. 题型3 与中线长有关的最值（范围）问题 17．（2026高一·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 18．（2026高一·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 19．（2026高三·河北保定·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 20．【多选】（2026高一·江苏·期中）在锐角中，角所对的边分别为，则（   ） A． B．的取值范围是 C．存在，其面积为1 D．边上的中线长的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，由结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合及锐角可得，，再根据正弦定理及二倍角公式可得，进而求解判断即可；对于C，表示出，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设的中点为，根据平面向量的数量积可得，结合，，可得，利用换元法求出其范围，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由， 根据正弦定理，得， 则 ， 即， 则， 即 ， 在锐角中，，则， 则，即，故A正确； 对于B，由，则， 在锐角中，，即，则， 由正弦定理，得，故B错误； 对于C，由，，，，即， 根据正弦定理，得，则，即， 则 ， 因为函数在上单调递减， 且时，，时，， 所以，则， 则存在，其面积为1，故C正确； 对于D，设的中点为，则， 所以 ， 又， 而，则， 则， 令，则， 令，则， 因为函数在上单调递增，且时，，时，， 则，即，则， 所以， 即边上的中线长的取值范围是，故D正确. 21．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再利用三角形内角和与辅助角公式，结合角的范围即可求得结果； （2）先通过余弦定理得到与的关系，再用向量表示出，结合正弦定理转化为角的三角函数，最后根据锐角三角形角的范围即可求出取值范围. 【详解】（1）根据题意可知，， 由正弦定理得：， 即， 所以， 即． 又，则， 故，即，所以 ． 又，所以 ， 即，故． （2）根据余弦定理得：， 即． 又因为，两边平方得． 根据正弦定理可知，，故，， 所以 ． 又由于是锐角三角形，因此可得，解得． 因此，所以，即， 所以，则． 题型4 双中线问题 22．（2026·四川泸州·模拟预测）已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】    取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由，又因为， 所以， 再由余弦定理可知， 令，则， 即 因为，所以， 即， 因为，所以的最小值为， 故答案为： 23．（2026高一·江苏苏州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求角A的大小； (2)当时， （ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值； （ⅱ）求值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）运用正弦定理对进行转化，得出，再由角的范围得出角即可； （2）（ⅰ）运用余弦定理得出，再应用向量基本定理结合为重心得出，最后应用数量积公式及运算律结合基本不等式计算求解；（ⅱ）应用数量积公式计算结合正弦定理化简，再应用三角恒等变换化简求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，， 即， 整理得. 因为，所以， 所以，即，化简. 又因为，所以，即得. （2）由余弦定理得，且，即得，即， 在中，，所以， ， 所以 ， 因为，所以，解得，当且仅当时取等号. 所以，所以当且仅当时取最大值. （ⅱ）由正弦定理，得， 又因为，所以， 所以 ， 所以，所以. 24．（2026高一·山西晋中·阶段检测）在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求三角形内角的余弦值，可以建立平面直角坐标系求出点坐标，进而求出三角形对应边长，利用解三角形的余弦定理求出角的余弦值. 【详解】以点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，点的坐标为，过点作于点， 在中，，，， 点的坐标为，是中点，点的坐标为，是中点， 点的坐标为，设直线的解析式为，将点的坐标为代入，得，解得， 直线，设直线的解析式为，将点，的坐标代入，得，解得， 直线，联立直线与直线方程组得，解得，即点的坐标为， 根据两点间距离公式：，，， 根据余弦定理可得：，，解得. 题型5 求角平分线长 25．（2026·江苏南通·模拟预测）已知内角所对的边分别为，，且成等差数列． (1)求的面积； (2)若的角平分线交于，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由成等差数列，则，即， ，又， 解得，则，， ； （2）平分，   ，则， 解得， ， ， 解得． 26．（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用二倍角公式化简，由三角恒等变换结合三角形内角和即可求解. （2）通过余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1），， 即， 所以，又因为，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以. （2）由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得： 27．（2026高一·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． (1)若，的角平分线交于点，求线段的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图： 因为，又，则， 所以． 解得． （2）因为在的延长线上，故， 所以 ， 因为，所以，得， 所以的取值范围为． 28．（2026高三·云南楚雄·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求； (2)已知的角平分线CD交AB于点，若，求的面积及CD的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由三角恒等变换化简求解即可； （2）利用余弦定理及面积公式解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为，所以，可得， 又因为，所以. （2）由（1）知，又， 利用余弦定理得，可得， 因为，所以， 所以的面积，     又因为的角平分线CD交AB于点， 所以， 可得， 解得. 29．（2026高一·广东深圳·期中）在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【详解】在中，，由余弦定理得， 解得，又，由， 得，则， 所以. 30．（2026高一·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点在BC边上． (1)若AD为的中线，求的值； (2)若AD为的角平分线，求线段AD长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出，再由进行计算； （2）根据，结合三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为，由余弦定理知， 即，解得或（舍去）， 因为AD为的中线， 则； （2）因为为的角平分线， 所以， 即，解得. 31．（2026高一·重庆·阶段检测）已知中，，，分别为内角，，的对边，且； (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由正弦定理将条件变为，化简后用余弦定理即可； （2）首先需列出，代入已知条件即可得出. 【详解】（1）在中，由正弦定理及得： ，化简可得：， 由余弦定理得，又，所以. （2）是的角平分线，则， 由可得 ， 因为，，即有，故. 32．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 33．（2026高一·全国·专题练习）中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 【答案】/ 【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长. 【详解】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 题型6 已知角平分线长求其他量 34．（2026·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）替换得到，即可求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【详解】（1） 得到 得到，，， 又，. （2）由得， 得， 化简得，即，         所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值，     此时，面积为． 35．（2026·山东滨州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积，且. (1)求C； (2)若C的角平分线交AB于D，且，求b. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而得到； （2）在（1）基础上，利用三角形面积得到方程，由正弦定理可得，从而求出b. 【详解】（1），， 又，故， 故，又，故； （2）由（1）中可知，， ， ， 又，， 故， 因为，，所以，， 故， 由正弦定理得，即，， 所以， 又，故，解得， 故. 36．（2026高一·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    37．（2026高一·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为；且． (1)求角； (2)若角平分线，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换，计算即可求解； （2）如图，由得，结合基本不等式和三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， ， ， 由，得，则， 又，所以. （2）如图，为的角平分线， ，即， 得，解得（当且仅当时取等号）， 所以， 即的面积的最小值为. 38．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）的内角，，所对的边分别是，，，已知． (1)求； (2)是的角平分线，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式及三角函数平方关系求解即可. （2）根据三角形面积关系得到，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，整理得，解得， 又，所以. （2）在中，，是的角平分线，且， 而， 则，即， 整理得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 39．（2026高一·福建厦门·期中）在中，角所对的边分别为，已知，为边上一点，且. (1)求角的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若为角平分线，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，从而求出. （2）先计算出，两边平方求出，又，联立两式解得，进而求出. （3）若AD为角平分线，则，再利用正弦定理，结合三角恒等变换化简，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而， 因此，由，得，则， 即，由，得，所以. （2）由，得， 由（1）知，，则 ，整理得， 又，则，由余弦定理得， 所以. （3）由AD为角平分线，得， 在中，由正弦定理，得， 即，则，， 因此 ，由，得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 40．（2026高二·云南怒江·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）本题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换，通过两角差的正弦公式推导角的等量关系，从而证明. （2）本题先由（1）的结论结合正弦定理得到与的关系，再利用角平分线的性质得到三角形内角的关系，结合正弦定理建立关于的方程，求解得到的值. 【详解】（1）由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. （2）由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 41．（2026高三·浙江绍兴·期末）已知在中，角是的角平分线，且. (1)若，求的长； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，进而求出，在中，根据正弦定理可求出；（2）由题意知，设，在中，由余弦定理可得到与x的关系，在和中，由余弦定理可求得x，进而可求得面积. 【详解】（1）因为所以，所以. 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）由知，， 由角平分线定理可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 在中，由余弦定理得，解得或， 当时，，，由得 ， 解得，与矛盾，所以. 所以，，所以的面积为. 题型7 与角平分线有关的范围问题 42．（2026高一·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角； （2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出； （3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域． 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. （2）由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. （3） 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 43．（2026高一·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 44．（2026高一·重庆·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. （2）因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. （3）如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 题型8 中线与角平分线的综合问题 45．【多选】（2026高三·山西临汾·期末）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 【答案】ABD 【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用 判断D. 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 46．（2026高一·天津·阶段检测）已知的内角的对边为，且. (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由正弦定理得：，， ，又，. （2）由（1）知：，，解得：； 为的中线，， ， ，即中线的长为； 为内角的平分线，， ，， . 47．（2026高一·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. （2）（i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. 48．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，， 故. （2） 由余弦定理可知，，代入， 可得，解得. 设， ，即， 解得，因此. （3）由余弦定理得，， 即. ，两边平方得. 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则. 49．（2026高一·广东佛山·期中）在中，内角所对的边分别是，且． (1)求． (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）先把已知条件中的用展开，约去后可直接求得再由正弦定理得到外接圆直径为，从而 （2）由结合正弦定理得到，，的值，由边上的角平分线为，利用三角形面积公式得到，得到由余弦定理结合得到从而得到的值. （3）由为边上的中线得到，将此式子两边平方得到，由和余弦定理得到，利用正弦定理求出和且结合两角差的正弦公式通过计算得到，又结合正弦函数的图像和性质得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由已知 又所以 而 故 代入得 展开后可得 消去相同项，得 因为三角形内角满足所以 从而即 又因为所以 （2）由小问（1）知 由正弦定理得 故且 已知，边上的角平分线为， 则， 即，即，因此 由余弦定理即 又因为所以 代入上式得从而 所以 （3）由为边上的中线，得到， 则 因为，由余弦定理 即. 所以，即， 因为，所以， 可知且 所以 因为 所以，所以， 所以，因此 因为，于是故 50．（2026高三·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出，应用角的范围求出角； （2）先根据中线得出，再左右两边平方结合余弦定理得出为直角三角形，最后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解. 【详解】（1）根据题意，且， 由正弦定理得， 化简得，因为， 所以，又， 所以； （2）根据题意，在中，边上的中线长为， 得， 两边平方得 化简，故有， 解得（舍去）或. 在中，， 又，故为直角三角形， 在中，，所以， 又， 所以根据正弦定理得 ， 解得. 51．（2026高一·全国·专题练习）在中，已知． (1)若为的中线，且，，求的长； (2)若为的角平分线，且，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式化简可得，解法一：由，结合向量数量积运算律及余弦定理化简计算即可求解；解法二：在和中，由余弦定理化简计算求解；解法三：在和中，由余弦定理化简计算求解. （2）解法一：设，由得，结合正弦定理及余弦定理化简计算即可求解；解法二：同解法一，根据同角三角函数基本关系及二倍角公式得，，在利用正弦定理化简计算即可；解法三：由得，同解法一结合二倍角公式得，代入计算即可求解；解法四：在△和△中，由余弦定理及结合解法一计算即可求解. 【详解】（1），由正弦定理及倍角公式， 得， 又，， ，，． 解法一：为中线，， ， 又，∴， 由余弦定理推论，得， 代入上式得，，； 解法二：在和中，由余弦定理得 得，代入②，得， ，， ； 解法三：在△和△中，由余弦定理，得 ，，上述两式相加， 得，， ； （2）解法一：设，则，， 由，得，，，， 又，，． 在中，由正弦定理，得， 即，． 在中，，， 由余弦定理，得； 解法二：同解法一，得，，，， 又为锐角，， 由倍角公式：， ， 在中，由正弦定理，， ． 解法三：由，得 ， ， 同解法一，得，，， 由倍角公式：，又为锐角，， ． 解法四：在△和△中，由余弦定理，得 ①， ②， ，，①②，得 ，， 同解法一，得，，. 52．【多选】（2026·云南·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，．若边上的中线，角A的角平分线交于点E，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出判断A；利用余弦定理及数量积的运算律求出判断B；利用数量积的定义计算判断C；由三角形面积公式求出面积判断D. 【详解】在中，由及正弦定理， 得，而，则 对于A，，则，A正确； 对于B，由余弦定理得，又，两边平方得 ，解得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，因为，为中点，所以， 由角A的角平分线交于点E，得，则， 因此点到边的距离，，D正确. 故选：ABD 题型9 高线问题 53．（2026高一·山东泰安·阶段检测）在中，，，，为的一条高线，则________． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求出，再根据即可得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为， 所以. 故答案为：. 54．（2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 55．（2026高一·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假． 【详解】A：设为的中线，由可得,可得， 即，所以A正确； B中，设，设为的角平分线，所以， 由三角形等面积法可得， 可得， 所以，即，所以B正确； 设为边上的高，由等面积法可得， 所以，因为，由余弦定理可得， 所以， 所以， 即，所以C正确； D中，由C可得，所以D不正确． 故选：D． 56．（2026高一·北京顺义·期中）已知在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， (1)求A的大小; (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①边上的高线长为， ②， ③ 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1) (2)选择条件①，的周长为；选择条件②，的周长为； 选择条件③，不符合要求. 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再结合三角函数关系得到A的大小. （2）对于每个条件，分别根据已知条件结合正弦定理、余弦定理以及三角形的性质来判断是否存在且唯一，若存在则求出其周长. 【详解】（1）已知在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，， 根据正弦定理可得， 在中，可知， 则，即， 又，所以. （2）选择条件①，边上的高线长为， 由（1）知，则， 由余弦定理得， 所以存在且唯一，其周长为. 选择条件②，， 由（1）知，由余弦定理知，则， 整理得，而，解得， 所以存在且唯一，其周长为. 选择条件③，， 由（1）知，由正弦定理得， 因为，则， 所以存在两解，不符合要求. 57．（2026高二·北京东城·阶段检测）已知在中，内角所对边分别为，． (1)求的大小； (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①②边上的高线长为；③. 【答案】(1)； (2)选择条件①时，周长为 ；选择条件②时，周长为；选择条件③时，三角形存在不唯一 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）选择①，利用余弦定理求解判断，并求出周长；选择②，由直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理求解判断 并求出周长；选择③，利用正弦定理求出并判断即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 又，所以. （2）选择条件①，，由（1）知，， 由余弦定理，可得，整理得， 而，解得，所以存在且唯一，其周长； 选择条件②，边上的高线长为，由（1）知，， 则， 由余弦定理，得， 所以存在且唯一，其周长； 选择条件③，，由（1）知，， 由正弦定理得，因为,则, 故存在两解，不符合题意,存在且不唯一，不符合题意. 58．（2026高三·北京·期中）在中，. (1)求的大小； (2)若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. ①； ②的面积为； ③边上的高线长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2)选择条件②③，答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）选择条件①，利用正弦定理解三角形并判断解的个数；选择条件②③，借助三角形面积公式及余弦定理求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，即， 而，解得，又， 所以. （2）选择条件①，，由正弦定理得，而， 因此角有两解，即不唯一； 选择条件②，的面积为，由， 解得，由余弦定理得， 所以唯一，其周长为. 选择条件③，边上的高线长为，则的面积， 由，解得， 由余弦定理得， 所以唯一，其周长为. 59．（2026高二·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可； （2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由倍角公式可得，则， 又因为，则， 所以， 即． 且，则，可得， 又因为，所以． （2）若选择①：若为的中线，设（）， 由余弦定理可得，， 因为，可得， 即，整理得，可知， 又因为，解得或（舍去）， 所以； 若选择②：若为的角平分线，则， 在中，由余弦定理得，即， 可知，即，可知，， 所以； 若选择③：若为的高线，则， 则，即，则， 可知，可知，, 所以． 60．（2026高三·北京·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，然后解决下列问题： (1)求角B和的面积； (2)求AC边上的高线BD的长. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，. 【答案】(1)选②：，. (2) 【分析】（1）选②：由正弦定理及三角恒等变换得，代入面积公式求解. （2）由面积公式求高线BD的长 【详解】（1）选②：由及正弦定理得， ， 所以， 即， 因为，所以 ， 又因为，所以. 又，，所以，即， 故存在且唯一， 所以， 综上：，. 下面说明条件①③不满足的理由： 条件①：因为，所以， 由正弦定理得，所以， 又因为，所以. 又，，由余弦定理得， 所以，即，此方程有两解， 故满足条件的有两解，所以①不满足. 条件③：由得，即，不成立， 所以满足条件的不存在，所以③不满足. （2）由（1）得， 所以. 61．（2026高一·北京西城·期末）已知在中，． (1)求A的大小； (2)若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长． ①的面积为；②；③AB边上的高线CD长为． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理将已知的等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简计算即可； （2）若选①，则由三角形的面积公式结合已知条件可求出，再利用余弦定理求出，从而可求出三角形的周长，若选②，由不能确保三角形唯一，所以不合题意，若选③，由AB边上的高线CD长可求出，再利用余弦定理求出，从而可求出三角形的周长. 【详解】（1）由正弦定理，得． 所以． 因为，所以，所以． 因为，，所以，即． 又因为，所以． （2）选择① 因为，即， 即，所以． 又因为，即， 所以，所以的周长为． 若选择②，因为，且， 所以不唯一，所以②不合题意， 选择③ 因为AB边上的高线CD长为，即，所以． 又因为，即 所以，所以的周长为． 62．（2026高二·贵州贵阳·期中）在中，A，B，C所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求BC边上的高线AD的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，由正弦定理得，化简得，结合求解即可； （2）由余弦定理结合基本不等式求三角形面积得最大值即可求出高线AD的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 又因为，所以， 因为，所以. （2）由（1）可知：，又， 所以由余弦定理得：, 所以，所以， 当且仅当时，等号成立. 所以, BC边上的高线AD的最大值. 63．（2026·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且． (1)若为边上的高线，求的最大值； (2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合余弦定理和重要不等式可以求出的范围，再利用面积公式即可求出的最大值；另外，根据已知条件可以确定点是圆上一个动点，数形结合求解即可. （2）方法一：根据三角恒等变换结合正弦定理余弦定理可以求出边的值，再利用角平分线定理求出，根据与的倍数关系进而求解即可. 方法二：同方法一可以求出，判断出为直角，进而求出的边长和角度求解即可. 方法三：由已知求出角，进而求得边，在△中以为底，为高，代入求解即可. 【详解】（1）方法一：由余弦定理得 ， 所以（当且仅当时取等号）． 又因为， 所以． 故的最大值为. 方法二：由知，点A在的优弧上运动（如图所示）． 显然，当点A在的中垂线上时，即点位于点处时，边上的高最大． 此时△为等腰三角形， 又，故△为正三角形， 根据得．故的最大值为. （2）方法一：因为， 所以， 所以， 即． 由正弦定理得， 结合（1）可得，所以， 所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为是边上的中线，所以， 所以． 方法二：同方法一可得． 又因为，所以△是以角为直角的直角三角形． 由于平分是边的中线，且 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 方法三：由得， 则． 又因为，所以． 由是角平分线知， 在中易得， 又因为，所以， 所以． 题型10 三等分点所在直线的相关问题 64．（2026·河北廊坊·模拟预测）在中，其所对的边分别为，为边上靠近点A的三等分点，，，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】过点作，利用等腰三角形的性质得到，再由条件求出，在中建立等式，求解. 【详解】 如图，过点作， 因为，所以是中点，且 又因为为边上靠近点A的三等分点，所以， 又因为，所以， 则，. 又因为，联立， 因为，所以，解得 在中，由余弦定理得 ， 解得，所以 65．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，，点为边上靠近点的三等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简求解； （2）由题意可得，根据向量数量积运算律计算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，， 即，， 又因为， 所以，且， 所以，因为，所以. （2）因为点为边上靠近点的三等分点， 所以， ， ， 所以，即的长为. 66．（2026高一·安徽阜阳·期中）如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．当最小时，BD的长为______． 【答案】 【分析】设，余弦定理表示出，结合基本不等式求最小值和最小值成立的条件. 【详解】设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故，即的最小值为， 此时也取最小值，有，即此时. 故答案为： 67．（2026高一·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 68．（2026高一·广东广州·期中）如图，在中，点为边上靠近点的三等分点，，．    (1)若，求三角形的面积； (2)当最小时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案. （2）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案. 【详解】（1）在中，，，故，， 由正弦定理得，即， 而， 故， 故， 故的面积为 . （2）设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故， 即取到最小值即取最小值时，， 即此时. 69．（2026高二·四川成都·阶段检测）如图，已知，，为边上靠近点的三等分点. (1)若，，求. (2)若直线平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用向量的线性运算，得到，在中，令，，根据余弦定理得，，再结合条件即可求出结果； （2）根据角平线的性质得出，在中，利用余弦定理和条件得出，再利用等面积法得到，再结果的范围即可求出结果. 【详解】（1）由题意，，， 所以， 因为，， 所以， 故，则，即， 故， 不妨记，，则， 又， 所以，解得，则， 所以. （2）设与内切圆的半径分别为与，因为直线BD平分，所以由角平分线性质定理得，记，则， 记，则， 因为， 所以 ， 因为，即，则， 所以，即 设顶点到的距离为，因为， 又，， 所以， 则， 令，则，， 所以， 因为，所以，则，故， 所以，即， 所以，故， 所以与内切圆半径之比的取值范围为. 70．（2026高一·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，，，. (1)求和三角形的面积； (2)若为边上靠近的三等分点，求的长. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）先求出，由正弦定理求出，再由三角形的面积公式求解即可； （2）由，两边同时平方代入求解即可得出答案. 【详解】（1）因为，，所以， ， 由正弦定理可得：，则，解得：. 三角形的面积. （2）为边上靠近的三等分点，则， 所以， 所以， ，解得：. 71．（2026·安徽安庆·模拟预测）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合正弦定理和余弦定理求解即可； （2）结合向量的线性运算、正弦定理和三角形的内角和定理可得，根据，求解即可. 【详解】（1）因为， 即， 所以， 即， 所以， 即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）由题意可得， 所以, 所以, 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即 ， ， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 所以，即， 又因为， 所以， 所以实数的取值范围为. 72．（黑龙江大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若点D为AC边上靠近点C的三等分点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化以及两角和差的正弦公式化简即可； （2）设，，利用余弦定理得出，再利用正弦定理求出即可. 【详解】（1）由以及正弦定理得， 则， ∵，∴， 因为，所以； （2）因为，且， 所以. 设，则. 在中，由（1）知， 由余弦定理得， 故. 在中利用正弦定理得，得， 因为，所以，故. 题型11 四等分点所在直线相关问题 73．（2026高一·安徽·阶段检测）如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求得，在中，利用余弦定理求得，然后由求解. 【详解】由题意得， 解得， 在中，， 所以， 所以， 解得. 故选：D. 74．（2026高二·广东深圳·期中）已知中，角对应的边分别为，是上的四等分点（靠近点）且，则的最大值是___________． 【答案】/ 【分析】根据题意及正弦定理化简得，进而有，设，则，再结合正弦定理，化简得，结合三角函数的性质，即可求. 【详解】因为，正弦边角关系得， 可得，即， 所以，，则， 设，则，且， 在中，且，则， 在中，由，则， 由，即， 由正弦定理知（为的外接圆半径）， 所以， 则，即， 又，故当，即时，所以. 故答案为：    75．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合余弦定理角化边得，接着由余弦定理即可得解. （2）先由和求出角，接着由正弦定理形式的面积公式求出，再由余弦定理 即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理可得，整理得.     所以由余弦定理可得， 又，所以. （2）因为，， 所以， 即，         又，故，则， 所以，所以.       所以，所以，   所以在中，，，由余弦定理可得 ，即. 76．（2026高三·江苏·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，向量，，且. (1)求角A的大小； (2)若点D为边BC上靠近B的四等分点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由，利用平面向量共线的坐标运算，得出，且，进而得出，即可求出，结合三角形的内角，即可求出的值； （2）设，由点为边靠近点的四等分点，得，由三角形内角和可算出，在中，利用余弦定理求出，从而得出和，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积. 【详解】（1）由题可知，，，且， 所以，即， 所以， 又，所以，即， 所以， 若，则，与矛盾，所以，所以， 又为的内角，所以，所以的值为. （2）设，由点为边靠近点的四等分点，得， 由（1）得，且已知，则， 在中，根据余弦定理：， 得， 解得：，所以，所以， 所以的面积为.    77．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，， （1）求BC的长度； （2）若E为AC上靠近A的四等分点，求. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）计算得到 ， ，利用余弦定理计算得到答案 . （2）根据余弦定理得到 ，利用正弦定理计算得到答案. 【详解】（1）因为 ， ，在中， ，， ，，又 ， ， 在中，， . （2）由（1）知AB=2， ， ， 中，， ， 在 ， ， . 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力. $