学易金卷：七年级数学下学期期末模拟卷（新教材北京版，范围：七下全册）

**基本信息** 本卷聚焦北京版七年级下册内容，通过碳纳米管、新能源汽车等真实情境，融合动态几何、统计分析等创新题型，全面考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|平移、科学记数法、幂运算、内错角|以校徽图案、碳纳米管情境考查图形变换与数感| |填空题|8/16|因式分解、加权平均数、折叠几何|结合演讲比赛评分、长方形纸带折叠考查运算与空间观念| |解答题|11/68|方程组、不等式、统计图表、动态几何探究|设计新能源汽车销售（模型意识）、三角板旋转（推理能力）等综合题，分层考查知识迁移与创新应用|

2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级下册。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（　　） A． B． C． D． 2．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔软性，可以拉伸，我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示为（　　） A．52×10﹣9 B．0.52×10﹣10 C．5.2×10﹣9 D．5.2×10﹣10 3．下列运算一定正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（a3）2＝a6 C．（ab）3＝ab3 D．a2+2a2＝3a4 4．如图，∠ABD与∠BDC是（　　） A．直线AD，BC被直线BD所截形成的内错角 B．直线AB，CD被直线BD所截形成的内错角 C．直线AB，CD被直线AC所截形成的内错角 D．直线AD，BC被直线AC所截形成的内错角 5．某学校准备为七年级学生开设美术与手工课程、音乐课程、设计课程、舞蹈课程、戏剧课程、影视课程共6门艺术类选修课，选取了部分学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 美术与手工课程 音乐课程 设计课程 舞蹈课程 戏剧课程 影视课程 人数 40 50 20 这次调查的学生中，喜欢美术与手工课程的有（　　） A．20人 B．30人 C．36人 D．50人 6．已知关于x的不等式（1+2a）x＞1的解集为，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到6万公里时报废，安装在后轮时行驶达到4万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（　　） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 8．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道MN，PQ上分别放置A，B两盏激光灯．如图，A灯发出的光束AC自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束BD自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动15°，B灯每秒转动5°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BP之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．如果一个角等于70°，那么这个角的补角是 　 　 °． 10. 因式分解：a2﹣ab＝ 　 11．在“青春跟党走，逐梦新征程”主题演讲比赛中，某选手的情感传递、语言表达、演讲内容这三个方面得分分别为：92分、80分、84分，若三项得分按2：3：5的比例计算，该选手最终的成绩是　 　 分． 12. 关于x、y的方程组，则x+y的值为　 　 ． 13. 已知不等式ax﹣3＞2x与x＞3的解集相同，则a的值为　 　 ． 14. 如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝74°，则∠GMN＝　 　 ． 15. 将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55.5°；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝ ∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有　 　 （填序号）． 16. 7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当AB的长变化时，3S1﹣4S2的值始终保持不变，已知b＝3，则a＝　 　 ． 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （5分）解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 18．（7分）解方程组： （1）； （2）． 19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在正方形网格的格点上，其中点C的坐标为（1，2）． （1）写出点A，B的坐标； （2）将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，分别写出三角形A′B′C′的三个顶点的坐标； （3）求三角形ABC的面积． 20．（8分）先化简，再求值： （1）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1； （2），其中b﹣a＝﹣8． 21．（5分）如图，在△DEF中，过点E作直线AB，C为DF上一点，连接BC交EF于点G，且DE∥CB，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数． 22. （5分）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位家长对课后延时服务的评分数据（记为x），并对数据进行整理、描述和分析，制作了课后延时服务家长评分数据的频数分布表如下： 分组 划记 频数（人） 百分比 0≤x＜60 2 4% 60≤x＜70 正 5 10% 70≤x＜80 正正正 15 b 80≤x＜90 正正正 a 36% 90≤x≤100 正正 10 20% （1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）下面是A，B，C三位同学分别绘制的课后延时服务家长评分数据的频数分布直方图， 其中只有一位同学的作图正确，则作图正确的同学是 ； （3）已知该校共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分． 23. （6分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 （1）该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ （2）由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 24. （6分）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 25. （7分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足1+0＝1，所以是“美好方程组”． （1）试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； （2）若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，求a的值； （3）若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，且m，n为正整数，直接写出m，n的值 　 ． 26. （7分）【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP． （1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　 　 ； 【总结归纳】 （2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP． ①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）． 27. （7分）一副三角板按如图1放置，AC与AE重合．若先固定其中一块三角板ADE（含30°的角），再将另一块三角板ABC（含45°的角）绕点A顺时针方向旋转α°的角（0°＜α＜180°），根据要求解答下列问题． （1）如图2，当α＝15°时，图中AB与DE的位置关系是 　 　 ； （2）若将三角板ABC旋转到AB与AE重叠时（如图3），则α＝　 　 度； （3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数； （4）如图4，连结BD．当0°＜α≤45°时，探究∠DBC+∠CAE+∠BDE是一个定值，并说明理由． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B B B A B D 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．110 10．a（a﹣b） 11．84.4 12．-4 13．3 14．64° 15．①⑤ 16．8 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分） 【解析】解：原不等式去分母得3（x﹣4）≤6﹣2（7﹣x）， 去括号得3x﹣12≤6﹣14+2x，（2分） 移项得3x﹣2x≤6﹣14+12， 合并同类项得x≤4．（4分） 在数轴上表示不等式的解集如下． （5分） 18．（7分） 【解析】解：（1）， 1 ×2+②得：9x＝18， 解得：x＝2，（1分） 将x＝2代入①，得：4﹣y＝5， 解得：y＝﹣1．（2分） 故原方程组的解为：．（3分） （2）原方程组可化为：， ②×5+①得：46y＝46，（4分） 解得：y＝1，（5分） 把y＝1代入①得：x＝7．（6分） 故原方程组的解为：．（7分） 19．（5分） 【解析】解：（1）根据图形可得A（2，﹣1）、B（4，3）；（1分） （2）A、B、C三点经过平移后， 坐标变为A'（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）， 将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，如图即为所求； （3分） （3）三角形ABC的面积为：．（5分） 20．（8分） 【解析】解：（1）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b）（2a﹣b） ＝b2﹣2ab+4a2﹣b2 ＝﹣2ab+4a2，（3分） 当a＝2，b＝1时，原式＝﹣2×2×1+4×22＝﹣4+4×4＝﹣4+16＝12；（4分） （2） ＝（a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2﹣2b2+2ab）b ＝（﹣4b2+4ab）b ＝﹣12b+12a，（6分） 当b﹣a＝﹣8时，原式＝﹣12（b﹣a）＝﹣12×（﹣8）＝96．（8分） 21．（5分） 【解析】（1）证明：∵DE∥CB， ∴∠AED＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠AED＝∠D， ∴AB∥CD；（3分） （2）解：∵∠B+∠F＝102°，∠B＝∠D， ∴∠D+∠F＝102°， ∵∠D+∠F+∠DEF＝180°， ∴∠DEF＝78°．（2分） 22．（5分） 【解析】解：（1）b100%＝30%， ∴a＝150×36%＝18， 故答案为：18，30%；（2分） （2）由题意得：作图正确的同学是B， 故答案为：B；（3分） （3）600×（36%+20%）＝336（名）， 答：估计其中大约有336名家长的评分不低于80分．（5分） 23．（6分） 【解析】解：（1）设该4S店购进种新能源汽车x辆，B种新能源汽车y辆， 由题意得：， 解得：， 答：该4S店购进种新能源汽车4辆，B种新能源汽车5辆；（3分） （2）设购进A种新能源汽车m辆，B种新能源汽车n辆， 由题意得：15m+12n＝240， 整理得：m＝16n， ∵m、n均为正整数， ∴或或，（5分） ∴有3种购买方案： 1 购买A种新能源汽车12辆，B种新能源汽车5辆； 2 购买A种新能源汽车8辆，B种新能源汽车10辆； ③ 购买A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车15辆．（6分） 24．（6分） 【解析】解：（1）原式＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1）；（1分） （2）原式＝x2+8x+16﹣9 ＝（x+4）2﹣32 ＝（x+4+3）（x+4﹣3） ＝（x+7）（x+1）；（3分） （3）原式＝x2﹣4x+4+y2+6y+9+5 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+5， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2+5≥5， ∴当x＝2，y＝﹣3时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值，最小值为5．（6分） 25．（7分） 【解析】解：（1）， 由②得：y＝2x+4③， 将③代入①： x+2（2x+4）＝3， 解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入③，得y＝2×（﹣1）+4＝2， 检验：x+y＝﹣1+2＝1，满足“美好方程组”定义， ∴该方程组是“美好方程组”；（2分） （2）， ∵方程组是“美好方程组”， ∴x+y＝1③， 联立②③，得， 解得， 把代入①：得3×＝a﹣1， a＝﹣2， ∴a的值为﹣2；（5分） （3）∵方程组是“美好方程组”， ∴x+y＝1③， ①+②得：3x+2y， 由③得x＝1﹣y， 代入上式：3（1﹣y）+2y（m+n）， 3﹣y（m+n）， 再联立①②消元，可得2m+3n＝12， ∵m，n为正整数， ∴当n＝2时，2m＝12﹣6＝6，得m＝3（符合题意）， 当n＝1或n≥3时，m不为正整数，舍去， ∴m＝3，n＝2． 故答案为：m＝3，n＝2．（7分） 26．（7分） 【解析】解：（1）过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图所示： ∵AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝29°， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A＝40°，∠CPE＝∠C＝29°， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C＝69°， ∴∠APC＝69°， 故答案为：69°；（1分） （2）∠A，∠APC与∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C； 过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A，∠CPE＝∠C， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C，（3分） （3）①由（2）的结论得：∠MPN＝∠BMP+∠DNP，∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1， ∵MP1平分∠BMP，NP1平分∠DNP， ∴∠BMP＝2∠BMP1，∠DNP＝2∠DNP1， ∴∠MPN＝2∠BMP1+2∠DNP1， ∵∠MPN＝100°， ∴∠BMP1+∠DNP1∠MPN＝50°， ∴∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1＝50°；（5分） ②∠MP1N+∠MPN的度数为3α，理由如下： 过点P作PF∥AB（点F在点P的左侧），如图3所示： ∵MP1平分∠BMP，∠BMP1＝α， ∴∠BMP＝2∠BMP1＝2α， ∴ND平分∠P1NP， ∴设∠P1ND＝∠PND＝β， ∵AB∥CD，PF∥AB， ∴AB∥PF∥CD， ∴∠MPF＝∠BMP＝2α，∠NPF＝∠PND＝β， ∴∠MPN＝∠MPF﹣∠NPF＝2α﹣β， 由（2）的结论得：∠MP1N＝∠BMP1+∠P1ND＝α+β， ∴∠MP1N+∠MPN＝α+β+2α﹣β＝3α．（7分） 27．（7分） 【解析】解：（1）当α＝15°时， 依题意得：∠EAC＝15°， ∵△ADE是含有30°的三角板，△ABC是含有45°角的三角板， ∴∠E＝30°，∠BAC＝45°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝45°﹣15°＝30°， ∴∠E＝∠BAE， ∴AB∥DE， 即AB与DE的位置关系是平行， 故答案为：平行．（1分） （2）将三角板ABC旋转到AB与AE重叠时，α＝∠BAC＝45°， 故答案为：45．（2分） （3）①当AB与△ADE的一边平行时， ∵AB与AE，AD交于点A， ∴只有AB∥DE， 当AB∥DE时，且0°＜α＜180°，如图1所示： ∵AB∥DE，∠E＝30°， ∴∠BAE＝∠E＝30°， 又∵∠BAC＝45°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝45°﹣30°＝15°， ∴旋转角α＝15°； ②当BC与△ADE的一边平行时，且0°＜α＜180°， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当BC∥AD时，如图2示： 此时AB与AE重合，∠EAC＝∠BAC＝45°， ∴旋转角α＝45°； （ⅱ）当BC∥DE时，如图3所示： 设AB与DE交于点T， ∵BC∥DE，∠B＝90°， ∴∠ATE＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠EAT＝60°， ∴∠EAC＝∠EAT+∠BAC＝60°+45°＝105°， ∵旋转角α＝105°， ③当BC与△ADE的一边平行时，且0°＜α＜180°， ∵AB，AD，AE交于点A， ∴只有BC∥AE时，如图4所示： 此时AB，AD重合， ∴∠EAC＝∠EAD+∠BAC＝90°+45°＝135°， ∴旋转角α＝135°； ④当AC与△ADE的一边平行时， ∵AC，AD，AE交于点A， ∴只有AC∥DE， 当AC∥DE时，且0°＜α＜180°，如图5所示： ∵AC∥DE，∠E＝30°， ∴∠EAC＝180°﹣∠E＝180°﹣30°＝150°， ∴旋转角α＝150°； 综上所述：旋转角α所有可能的度数为15°或45°或105°或135°或150°．（4分） （4）设BD于AC交于M，于AE交于N，如图6所示： 在△AMN中， ∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180°， ∵∠ANM＝∠E+∠BDE，∠AMN＝∠C+∠DBC， ∵∠C＝30°，∠E＝45°， ∠ANM＝45°+∠BDE，∠AMN＝30°+∠DBC， ∴45°+∠BDE+∠CAE+30°+∠DBC＝180°， ∴∠DBC+∠CAE+∠BDE＝180°﹣45°﹣30°＝105°， ∴∠DBC+∠CAE+∠BDE＝105°为定值．（7分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级下册。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（　　） A． B． C． D． 2．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔软性，可以拉伸，我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示为（　　） A．52×10﹣9 B．0.52×10﹣10 C．5.2×10﹣9 D．5.2×10﹣10 3．下列运算一定正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（a3）2＝a6 C．（ab）3＝ab3 D．a2+2a2＝3a4 4．如图，∠ABD与∠BDC是（　　） A．直线AD，BC被直线BD所截形成的内错角 B．直线AB，CD被直线BD所截形成的内错角 C．直线AB，CD被直线AC所截形成的内错角 D．直线AD，BC被直线AC所截形成的内错角 5．某学校准备为七年级学生开设美术与手工课程、音乐课程、设计课程、舞蹈课程、戏剧课程、影视课程共6门艺术类选修课，选取了部分学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 美术与手工课程 音乐课程 设计课程 舞蹈课程 戏剧课程 影视课程 人数 40 50 20 这次调查的学生中，喜欢美术与手工课程的有（　　） A．20人 B．30人 C．36人 D．50人 6．已知关于x的不等式（1+2a）x＞1的解集为，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到6万公里时报废，安装在后轮时行驶达到4万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（　　） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 8．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道MN，PQ上分别放置A，B两盏激光灯．如图，A灯发出的光束AC自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束BD自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动15°，B灯每秒转动5°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BP之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．如果一个角等于70°，那么这个角的补角是 　 　 °． 10. 因式分解：a2﹣ab＝ 　 11．在“青春跟党走，逐梦新征程”主题演讲比赛中，某选手的情感传递、语言表达、演讲内容这三个方面得分分别为：92分、80分、84分，若三项得分按2：3：5的比例计算，该选手最终的成绩是　 　 分． 12. 关于x、y的方程组，则x+y的值为　 　 ． 13. 已知不等式ax﹣3＞2x与x＞3的解集相同，则a的值为　 　 ． 14. 如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝74°，则∠GMN＝　 　 ． 15. 将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55.5°；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝ ∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有　 　 （填序号）． 16. 7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当AB的长变化时，3S1﹣4S2的值始终保持不变，已知b＝3，则a＝　 　 ． 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （5分）解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 18．（7分）解方程组： （1）； （2）． 19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在正方形网格的格点上，其中点C的坐标为（1，2）． （1）写出点A，B的坐标； （2）将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，分别写出三角形A′B′C′的三个顶点的坐标； （3）求三角形ABC的面积． 20．（8分）先化简，再求值： （1）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1； （2），其中b﹣a＝﹣8． 21．（5分）如图，在△DEF中，过点E作直线AB，C为DF上一点，连接BC交EF于点G，且DE∥CB，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数． 22. （5分）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位家长对课后延时服务的评分数据（记为x），并对数据进行整理、描述和分析，制作了课后延时服务家长评分数据的频数分布表如下： 分组 划记 频数（人） 百分比 0≤x＜60 2 4% 60≤x＜70 正 5 10% 70≤x＜80 正正正 15 b 80≤x＜90 正正正 a 36% 90≤x≤100 正正 10 20% （1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）下面是A，B，C三位同学分别绘制的课后延时服务家长评分数据的频数分布直方图， 其中只有一位同学的作图正确，则作图正确的同学是 ； （3）已知该校共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分． 23. （6分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 （1）该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ （2）由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 24. （6分）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 25. （7分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足1+0＝1，所以是“美好方程组”． （1）试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； （2）若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，求a的值； （3）若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，且m，n为正整数，直接写出m，n的值 　 ． 26. （7分）【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP． （1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　 　 ； 【总结归纳】 （2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP． ①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）． 27. （7分）一副三角板按如图1放置，AC与AE重合．若先固定其中一块三角板ADE（含30°的角），再将另一块三角板ABC（含45°的角）绕点A顺时针方向旋转α°的角（0°＜α＜180°），根据要求解答下列问题． （1）如图2，当α＝15°时，图中AB与DE的位置关系是 　 　 ； （2）若将三角板ABC旋转到AB与AE重叠时（如图3），则α＝　 　 度； （3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数； （4）如图4，连结BD．当0°＜α≤45°时，探究∠DBC+∠CAE+∠BDE是一个定值，并说明理由． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第9页（共10页） 试题 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][DJ 5A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 10. 11. 12 13 14. 15. 16. 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(5分) -4-3-2-1012345 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 19.(5分) y B C 0 A 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(5分) E D C 22.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(6分) 24.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(7分) 26.(7分) M B B A- B A D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(7分) ⊙ E(C) 0 图1 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【]【/] 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]IB]IC]ID] 6.[AJ[B]IC][D] 3.[A][B][C][D] 7[AJIB][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9 10 13 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(5分) -4-3-2-1012345 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 19.(5分) y 0 A 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(5分) E G D C 22.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) 24.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 25.(7分) 26.(7分) M A M A D D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(7分) A E(C) 图1 图2 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意； B、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意； C、能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项符合题意； D、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意； 故选：C． 2．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔软性，可以拉伸，我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示为（　　） A．52×10﹣9 B．0.52×10﹣10 C．5.2×10﹣9 D．5.2×10﹣10 【答案】D 【解析】解：用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可，所以0.00000000052＝5.2×10﹣10． 故选：D． 3．下列运算一定正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（a3）2＝a6 C．（ab）3＝ab3 D．a2+2a2＝3a4 【答案】B 【解析】解：A、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意； B、（a3）2＝a6，故此选项符合题意； C、（ab）3＝a3b3，故此选项不符合题意； D、a2+2a2＝3a2，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，∠ABD与∠BDC是（　　） A．直线AD，BC被直线BD所截形成的内错角 B．直线AB，CD被直线BD所截形成的内错角 C．直线AB，CD被直线AC所截形成的内错角 D．直线AD，BC被直线AC所截形成的内错角 【答案】B 【解析】解：∵∠ABD的两边为AB、BD，∠BDC的两边为BD、CD， ∴这两个角在截线BD的两侧，且夹在AB与CD之间， 因此∠ABD与∠BDC是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角． 故选：B． 5．某学校准备为七年级学生开设美术与手工课程、音乐课程、设计课程、舞蹈课程、戏剧课程、影视课程共6门艺术类选修课，选取了部分学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 美术与手工课程 音乐课程 设计课程 舞蹈课程 戏剧课程 影视课程 人数 40 50 20 这次调查的学生中，喜欢美术与手工课程的有（　　） A．20人 B．30人 C．36人 D．50人 【答案】B 【解析】解：这次调查的学生数为40÷20%＝200（人）， 喜欢影视课程的人数为：200×18%＝36（人）， 喜欢设计课程的人数为：200×12%＝24（人）， ∴200﹣40﹣24﹣50﹣20﹣36＝30（人）， ∴喜欢美术与手工课程的人数为30人． 故选：B． 6．已知关于x的不等式（1+2a）x＞1的解集为，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵关于x的不等式（1+2a）x＞1的解集为， ∴1+2a＜0， ∴a， 故选：A． 7. 随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到6万公里时报废，安装在后轮时行驶达到4万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（　　） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 【答案】B 【解析】解：设该汽车行驶x万公里后，将前后轮胎进行对换，行驶的最大里程为a万公里， 由题意可得，当前后轮同时报废时，行驶的里程数最大， ， 解得， 即这两对轮胎最多可以行驶4.8万公里， 故选：B． 8．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道MN，PQ上分别放置A，B两盏激光灯．如图，A灯发出的光束AC自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束BD自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动15°，B灯每秒转动5°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BP之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 【答案】D 【解析】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BP要180°÷5°＝36s． ∴t≤36﹣2＝34s， 由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1： ∠MAC＝∠DBQ，即15t＝5（t+2）， 解得：t＝1； 如图2， 此时∠NAC+∠QBD＝180°， 即15t﹣180+5（2+t）＝180， 解得：t＝17.5， 综上：当B灯光束第一次到达BP之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是1秒或17.5秒． 故选：D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．如果一个角等于70°，那么这个角的补角是 　 　 °． 【答案】110． 【解析】解：70°角的补角是180°﹣70°＝110°， 故答案为：110． 10. 因式分解：a2﹣ab＝ 　 【答案】a（a﹣b）． 【解析】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）． 故答案为：a（a﹣b）． 11．在“青春跟党走，逐梦新征程”主题演讲比赛中，某选手的情感传递、语言表达、演讲内容这三个方面得分分别为：92分、80分、84分，若三项得分按2：3：5的比例计算，该选手最终的成绩是　 　 分． 【答案】84.4． 【解析】解：根据加权平均数公式计算可得： （分）． 故答案为：84.4． 12. 关于x、y的方程组，则x+y的值为　 　 ． 【答案】-4． 【解析】解：关于x、y的方程组， 将方程组中的两个方程相加，得3x+3y＝﹣12，即x+y＝﹣4， 故答案为：﹣4． 13. 已知不等式ax﹣3＞2x与x＞3的解集相同，则a的值为　 　 ． 【答案】3． 【解析】解：由ax﹣3＞2x得， （a﹣2）x＞3． 因为此不等式的解集与x＞3相同， 所以， 解得a＝3， 经检验a＝3是原方程的解． 故答案为：3． 14. 如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝74°，则∠GMN＝　 　 ． 【答案】64°． 【解析】解：∵AD∥BC，∠DEF＝74°， ∴∠EFM＝∠DEF＝74°，∠EFC＝180°﹣∠DEF＝180°﹣74°＝106°， 根据折叠的性质，可得∠EFH＝∠EFC＝106°， ∴∠MFH＝∠EFH﹣∠EFM＝106°﹣74°＝32°， ∵∠H＝∠C＝90°， ∴∠FMH＝90°﹣∠MFH＝90°﹣32°＝58°， ∴∠FMN＝∠FMH＝58°， ∴∠GMN＝180°﹣∠FMH﹣∠FMN＝180°﹣58°﹣58°＝64°， 故答案为：64°． 15. 将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55.5°；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝ ∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有　 　 （填序号）． 【答案】①⑤． 【解析】解：①∵∠1＝25.5°，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC＝55.5°， ∵∠2＝55.5°， ∴∠2＝∠1+∠ABC， 所以，m∥n，故①符合题意； ②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n， 即∠2＝2∠1，不能判断直线m∥n，故②不符合题意； ③∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故③不符合题意； ④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n，故④不符合题意； ∵∠ABC＝∠2﹣∠1， ∴∠2＝∠ABC+∠1， ∴m∥n，故⑤符合题意； 故答案为：①⑤． 16. 7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当AB的长变化时，3S1﹣4S2的值始终保持不变，已知b＝3，则a＝　 　 ． 【答案】8． 【解析】解：设AB＝x， 则S1＝（x﹣3b）•a＝ax﹣3ab，S2＝（x﹣2a）•2b＝2bx﹣4ab， ∴3S1﹣4S2＝3（ax﹣3ab）﹣4（2bx﹣4ab） ＝3ax﹣9ab﹣8bx+16ab ＝（3a﹣8b）x+7ab， 由条件可知3a﹣8b＝0， ∵b＝3， ∴3a﹣24＝0， 解得：a＝8． 故答案为：8． 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （5分）解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【解析】解：原不等式去分母得3（x﹣4）≤6﹣2（7﹣x）， 去括号得3x﹣12≤6﹣14+2x， 移项得3x﹣2x≤6﹣14+12， 合并同类项得x≤4． 在数轴上表示不等式的解集如下． 18．（7分）解方程组： （1）； （2）． 【解析】解：（1）， ①×2+②得：9x＝18， 解得：x＝2， 将x＝2代入①，得：4﹣y＝5， 解得：y＝﹣1． 故原方程组的解为：． （2）原方程组可化为：， ②×5+①得：46y＝46， 解得：y＝1， 把y＝1代入①得：x＝7． 故原方程组的解为：． 19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在正方形网格的格点上，其中点C的坐标为（1，2）． （1）写出点A，B的坐标； （2）将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，分别写出三角形A′B′C′的三个顶点的坐标； （3）求三角形ABC的面积． 【解析】解：（1）根据图形可得A（2，﹣1）、B（4，3）； （2）A、B、C三点经过平移后， 坐标变为A'（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）， 将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，如图即为所求； （3）三角形ABC的面积为：． 20．（8分）先化简，再求值： （1）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1； （2），其中b﹣a＝﹣8． 【解析】解：（1）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b）（2a﹣b） ＝b2﹣2ab+4a2﹣b2 ＝﹣2ab+4a2， 当a＝2，b＝1时，原式＝﹣2×2×1+4×22＝﹣4+4×4＝﹣4+16＝12； （2） ＝（a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2﹣2b2+2ab）b ＝（﹣4b2+4ab）b ＝﹣12b+12a， 当b﹣a＝﹣8时，原式＝﹣12（b﹣a）＝﹣12×（﹣8）＝96． 21．（5分）如图，在△DEF中，过点E作直线AB，C为DF上一点，连接BC交EF于点G，且DE∥CB，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数． 【解析】（1）证明：∵DE∥CB， ∴∠AED＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠AED＝∠D， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠B+∠F＝102°，∠B＝∠D， ∴∠D+∠F＝102°， ∵∠D+∠F+∠DEF＝180°， ∴∠DEF＝78°． 22. （5分）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位家长对课后延时服务的评分数据（记为x），并对数据进行整理、描述和分析，制作了课后延时服务家长评分数据的频数分布表如下： 分组 划记 频数（人） 百分比 0≤x＜60 2 4% 60≤x＜70 正 5 10% 70≤x＜80 正正正 15 b 80≤x＜90 正正正 a 36% 90≤x≤100 正正 10 20% （1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）下面是A，B，C三位同学分别绘制的课后延时服务家长评分数据的频数分布直方图， 其中只有一位同学的作图正确，则作图正确的同学是 ； （3）已知该校共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分． 【解析】解：（1）b100%＝30%， ∴a＝150×36%＝18， 故答案为：18，30%； （2）由题意得：作图正确的同学是B， 故答案为：B； （3）600×（36%+20%）＝336（名）， 答：估计其中大约有336名家长的评分不低于80分． 23. （6分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 （1）该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ （2）由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【解析】解：（1）设该4S店购进种新能源汽车x辆，B种新能源汽车y辆， 由题意得：， 解得：， 答：该4S店购进种新能源汽车4辆，B种新能源汽车5辆； （2）设购进A种新能源汽车m辆，B种新能源汽车n辆， 由题意得：15m+12n＝240， 整理得：m＝16n， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①购买A种新能源汽车12辆，B种新能源汽车5辆； ②购买A种新能源汽车8辆，B种新能源汽车10辆； ③购买A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车15辆． 24. （6分）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 【解析】解：（1）原式＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1）； （2）原式＝x2+8x+16﹣9 ＝（x+4）2﹣32 ＝（x+4+3）（x+4﹣3） ＝（x+7）（x+1）； （3）原式＝x2﹣4x+4+y2+6y+9+5 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+5， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2+5≥5， ∴当x＝2，y＝﹣3时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值，最小值为5． 25. （7分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足1+0＝1，所以是“美好方程组”． （1）试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； （2）若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，求a的值； （3）若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，且m，n为正整数，直接写出m，n的值 　 ． 【解析】解：（1）， 由②得：y＝2x+4③， 将③代入①： x+2（2x+4）＝3， 解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入③，得y＝2×（﹣1）+4＝2， 检验：x+y＝﹣1+2＝1，满足“美好方程组”定义， ∴该方程组是“美好方程组”； （2）， ∵方程组是“美好方程组”， ∴x+y＝1③， 联立②③，得， 解得， 把代入①：得3×＝a﹣1， a＝﹣2， ∴a的值为﹣2； （3）∵方程组是“美好方程组”， ∴x+y＝1③， ①+②得：3x+2y， 由③得x＝1﹣y， 代入上式：3（1﹣y）+2y（m+n）， 3﹣y（m+n）， 再联立①②消元，可得2m+3n＝12， ∵m，n为正整数， ∴当n＝2时，2m＝12﹣6＝6，得m＝3（符合题意）， 当n＝1或n≥3时，m不为正整数，舍去， ∴m＝3，n＝2． 故答案为：m＝3，n＝2． 26. （7分）【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP． （1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　 　 ； 【总结归纳】 （2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP． ①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）． 【解析】解：（1）过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图所示： ∵AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝29°， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A＝40°，∠CPE＝∠C＝29°， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C＝69°， ∴∠APC＝69°， 故答案为：69°； （2）∠A，∠APC与∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C； 过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A，∠CPE＝∠C， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C， （3）①由（2）的结论得：∠MPN＝∠BMP+∠DNP，∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1， ∵MP1平分∠BMP，NP1平分∠DNP， ∴∠BMP＝2∠BMP1，∠DNP＝2∠DNP1， ∴∠MPN＝2∠BMP1+2∠DNP1， ∵∠MPN＝100°， ∴∠BMP1+∠DNP1∠MPN＝50°， ∴∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1＝50°； ②∠MP1N+∠MPN的度数为3α，理由如下： 过点P作PF∥AB（点F在点P的左侧），如图3所示： ∵MP1平分∠BMP，∠BMP1＝α， ∴∠BMP＝2∠BMP1＝2α， ∴ND平分∠P1NP， ∴设∠P1ND＝∠PND＝β， ∵AB∥CD，PF∥AB， ∴AB∥PF∥CD， ∴∠MPF＝∠BMP＝2α，∠NPF＝∠PND＝β， ∴∠MPN＝∠MPF﹣∠NPF＝2α﹣β， 由（2）的结论得：∠MP1N＝∠BMP1+∠P1ND＝α+β， ∴∠MP1N+∠MPN＝α+β+2α﹣β＝3α． 27. （7分）一副三角板按如图1放置，AC与AE重合．若先固定其中一块三角板ADE（含30°的角），再将另一块三角板ABC（含45°的角）绕点A顺时针方向旋转α°的角（0°＜α＜180°），根据要求解答下列问题． （1）如图2，当α＝15°时，图中AB与DE的位置关系是 　 　 ； （2）若将三角板ABC旋转到AB与AE重叠时（如图3），则α＝　 　 度； （3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数； （4）如图4，连结BD．当0°＜α≤45°时，探究∠DBC+∠CAE+∠BDE是一个定值，并说明理由． 【解析】解：（1）当α＝15°时， 依题意得：∠EAC＝15°， ∵△ADE是含有30°的三角板，△ABC是含有45°角的三角板， ∴∠E＝30°，∠BAC＝45°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝45°﹣15°＝30°， ∴∠E＝∠BAE， ∴AB∥DE， 即AB与DE的位置关系是平行， 故答案为：平行． （2）将三角板ABC旋转到AB与AE重叠时，α＝∠BAC＝45°， 故答案为：45． （3）①当AB与△ADE的一边平行时， ∵AB与AE，AD交于点A， ∴只有AB∥DE， 当AB∥DE时，且0°＜α＜180°，如图1所示： ∵AB∥DE，∠E＝30°， ∴∠BAE＝∠E＝30°， 又∵∠BAC＝45°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝45°﹣30°＝15°， ∴旋转角α＝15°； ②当BC与△ADE的一边平行时，且0°＜α＜180°， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当BC∥AD时，如图2示： 此时AB与AE重合，∠EAC＝∠BAC＝45°， ∴旋转角α＝45°； （ⅱ）当BC∥DE时，如图3所示： 设AB与DE交于点T， ∵BC∥DE，∠B＝90°， ∴∠ATE＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠EAT＝60°， ∴∠EAC＝∠EAT+∠BAC＝60°+45°＝105°， ∵旋转角α＝105°， ③当BC与△ADE的一边平行时，且0°＜α＜180°， ∵AB，AD，AE交于点A， ∴只有BC∥AE时，如图4所示： 此时AB，AD重合， ∴∠EAC＝∠EAD+∠BAC＝90°+45°＝135°， ∴旋转角α＝135°； ④当AC与△ADE的一边平行时， ∵AC，AD，AE交于点A， ∴只有AC∥DE， 当AC∥DE时，且0°＜α＜180°，如图5所示： ∵AC∥DE，∠E＝30°， ∴∠EAC＝180°﹣∠E＝180°﹣30°＝150°， ∴旋转角α＝150°； 综上所述：旋转角α所有可能的度数为15°或45°或105°或135°或150°． （4）设BD于AC交于M，于AE交于N，如图6所示： 在△AMN中， ∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180°， ∵∠ANM＝∠E+∠BDE，∠AMN＝∠C+∠DBC， ∵∠C＝30°，∠E＝45°， ∠ANM＝45°+∠BDE，∠AMN＝30°+∠DBC， ∴45°+∠BDE+∠CAE+30°+∠DBC＝180°， ∴∠DBC+∠CAE+∠BDE＝180°﹣45°﹣30°＝105°， ∴∠DBC+∠CAE+∠BDE＝105°为定值． 11 / 18 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