6.4+三元一次方程组 课件+ 2025-2026学年冀教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦三元一次方程（组）的概念及解法，通过类比二元一次方程（组）引导学生自主定义三元相关概念，搭建从二元到三元的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以消元思想为主线，通过小明和小丽不同解法的分组讨论培养学生运算能力与推理意识，结合年龄、纸币等实际问题渗透模型意识，让学生用数学语言表达现实世界。结构化的解题步骤总结助力学生系统掌握方法，教师可借助多样化例题提升教学效率，学生能在探究中发展数学思维与应用能力。

6.4 简单的三元一次方程组 1.学习什么是三元一次方程和三元一次方程组． 2.会解简单的三元一次方程组，培养学生的计算能力、训练解题技巧． 3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想. 4.让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动去发现一些规律，体会一些数学思想，从而激发学生的求知欲望和学习兴趣. 1.什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程组的解？ 类比二元一次方程（组）及其解的概念，你能说一说什么是三元一次方程（组）？什么是三元一次方程组的解吗？ 2.解二元一次方程组的思想是什么？ 含有两个未知数，并且含有未知数的项的的次数都是1. 消元. 思考 二元一次方程组中方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解. 含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的一组方程. 类似二元一次方程，我们把含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程，叫作三元一次方程. 含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫作三元一次方程组. 三元一次方程(组) 三元一次方程组的解 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 如 图片替换区 1.情境问题中含有几个未知数? 情境问题中含有3个未知数. 2.情境问题中有几个等量关系?分别是什么？ 情境问题中含有3个等量关系.分别是： 1元纸币张数+2元纸币张数+5元纸币张数=12张， 1元纸币的张数=2元纸币的张数的4倍， 1元的金额+2元的金额+5元的金额=22元. 图片替换区 3.如果设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,那么列出相应的的方程组吗？ 观察这个方程组，你能总结出三元一次方程及三元一次方程组的定义吗？ 含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程，叫做三元一次方程；含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组；三元一次方程组中各方程的公共解叫做这个三元一次方程组的解. 概念归纳 小结 类似二元一次方程，我们把含有三个未知数，并且含未知数的次数都是1的方程，叫做三元一次方程. 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组. 三元一次方程组中各方程的公共解叫做这个三元一次方程组的解. 对于三元一次方程组 你能想到如何解吗？能不能 像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？以下是小明和小丽的想法. ① ② ③ 先①×5+②消去z，再③－①消去z，得到关于x，y的二元一次方程组；解得x，y后，代入①求出z，从而求得三元一次方程组的解. 小明的想法 先①+②消去y，再③－①消去z，这样消元比较简单. 小丽的想法 分组交流讨论 ：小组内成员分别按照小明和小丽思路去解这个方程组，并比较谁的方法更简单，他们分别是用什么方法消元的呢？ 解：由①+②，得x-2z=3，④ 由⑤，得x=9+4y，⑥ 把⑥分别代入④和①， 所以原方程组的解为 由③－①，得x-4y=9，⑤ 解得 小明的想法 小丽的想法 解：由①×5+②，得6x+4y=26，④ 由④+⑤，得7x=35， 解得x=5， 把x=5代入⑤，得y=-1， 所以原方程组的解为 由③－①，得x-4y=9，⑤ 把x=5，y=-1代入①，得z=1， 把y=-1，z=1代入①，得x=5， 此处解题方法不唯一 解三元一次方程组时，为简化计算，应先尽量消去同一个未知数，得到一个二元一次方程组，再进行求解. 得 消元 消元，化为二元一次方程组 你能按照小明的想法，试着解这个方程组吗？ 你能否有其他的方法解这个三元一次方程组？请于同学们交流 可以先消去x，或者先消去y，先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行求解. 也可以利用“代入消元法”，先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行求解. 思考：1.问题中有哪些等量关系? 2.若用二元一次方程组来求解， 如何设元和列方程组？ 3.还有其他方法吗？ 动脑筋 小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的 ，试问这家人的年龄分别是多少岁？ 若设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽的年龄为z岁， 则可列方程组为 在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个整式方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 图片替换区 “代入消元法”和“加减消元法” 回顾：二元一次方程组有哪些解法？ 你能类比解二元一次方程组的方法，来探索解三元一次方程组的方法吗？ 解：由①得z=x-4， ④ 将④分别代入②和③，得 解这个二元一次方程组，得 把x=4代入④，得z=0， 所以，原方程组的解为 例1 解方程组: ① ② ③ 与同学交流用什么方法消元更简单呢？ 消元，化为二元一次方程组 通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ， 再将 转化为 ，通过求一元一次方程的解，进而求得 二元一次方程组的解，最后求得三元一次方程组的解. 消元 “三元” “二元” “二元” “一元” 解三元一次方程组的基本思路 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 图片替换区 已知小明与爸爸、妈妈的年龄之和为92岁，爸爸比妈妈大2岁，小明与妈妈的年龄之和比爸爸大12岁，他们的年龄分别是多少？（1）在本题中，有几个等量关系？请你分别表示出来. （2）如果设爸爸的年龄是x岁，妈妈的年龄是y岁，小明的年龄是z岁，请列出方程组. （3）解这个方程组. 例2 图片替换区 图片替换区 答:爸爸、妈妈、小明的年龄分别为40岁、38岁、14岁. 已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数。 解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z，根据题意得 x+y+z=23 x-y=1 2x+y-z=20 x=9 y=8 z=6 解得 ∴甲数为9，乙数为8，丙数为6. 归纳新知 像这样的方程：x+y+z=23 和 2x+y-z=20 都含有三个未知数，并且未知项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。 像这样 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组 方程，叫做三元一次方程组。 x+y+z=23 x-y=1 2x+y-z=20 用三元一次方程组解决实际问题的步骤 1.审：审清题意，找出题目中的等量关系（三个）. 2.设：用字母表示题中的未知数. 3.列：根据等量关系列三元一次方程组. 4.解：利用代入消元法或加减消元法解三元一次方程组，求出未知数的值. 5.验：检验答案的正确性和合理性. 6.答：写答. 1.解三元一次方程组 要使解法较为简便， 首先应进行的变形为（　　） ① ② ③ A 2.若 则代数式x+y+z的值为______. 45 A.①+② B.①﹣② C.①+③ D.②﹣③ 交流 请结合下列图示，谈一谈解三元一次方程组的基本方法和步骤 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 x+y+z=5 转化 转化 消元 求解 求解 代入 得解 得解 代入 规则： 1.认真思考 +1分 2.合作交流 +2分 3.质疑 +2分 总结 解三元一次方程组的基本思想就是“转化”.通过消元，将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，通过求一元一次方程组的解，进而求得二元一次方程组的解，最后求得三元一次方程组的解. 新知探究 x+y+z=23 x-y=1 2x+y-z=20 ① ② ③ 解方程组 解：①+③得 3x+2y=43 ④ 解②④组成的二元一次方程组，得 把 代入①中，得 9+8+z=23 z=6 ∴原方程组的解是 x=9 y=8 x=9 y=8 x=9 y=8 z=6 怎么解三元一次 方程组呢？ 记得检验哦！ 新知探究 x+y+z=23 x-y=1 2x+y-z=20 ① ② ③ 解方程组 解法二：由②得 y=x-1 ④ 把④代入①中，得 x+x+1+z=23 2x+z=22 ⑤ 把 ④ 代入③中，得 2x+x-1-z=20 3x-z=21 ⑥ 解⑤⑥组成的方程组，得 ∴原方程组的解是 x=9 z=6 x=9 y=8 z=6 对于求解三元一次方程组 ① ② ③ 小亮的想法是： ×5+ ，再 － ，消去未知数z，得到一个二元一次方程组 ① ② ③ ① ④ ⑤ 请你根据生活实例，编写一道三元一次方程组的问题，并列出方程组解决问题. $