第六章 二元一次方程组章末复习二（典题精练）课件2025-2026学年冀教版七年级数学下册

第六章 二元一次方程组 章末复习一（典题精练） 情境与方程交融，应用与模型共生 1、文化情境 【典例1】《九章算术》是我国古代的数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图6-1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与对应的常数项，把图6-1(1)所示的算筹图用方程组形式表示就是 ，类似地，图6-1(2)所 示的算筹图可表示为（ ） A 【典例2】“幻方”最早记载于《大戴礼》中,现将1,2,3,4,5,7,8,9这八个数字填入如图6-2(1)所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.若按同样的要求重新填数，如图6-2(2)所示，则x-y的值是 ，m-n的值是 . -3 3 【解析】根据题意，得 x+1=y+(-2) m+(-2)=n+1 所以 x-y=-3 m-n=3. 1、跨学科情境 【典例3】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题.由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷.如下诗歌: 周瑜寿属 而立之年督东吴， 早逝英年两位数; 十比个位正小三， 个位六倍与寿符. 哪位同学算得快， 多少年寿属周瑜? 诗歌的意思是:周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数字比个位数字小3,个位数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数. 解:设这个两位数的十位数字是x， 个位数字是y。 根据题意，得 解得 所以这个两位数是36. 【典例4】一根金属棒在0°C时的长度是bm，温度每升高1°C，它就伸长am，当温度为x(°C)时，金属棒的长度y(m)可用公式 y=ax+b 计算.已测得当 x=100°C 时, y=2.002m; 当x=500°C时，y=2.01m. 若这根金属棒加热后长度伸长到2.015m，则此时金属棒的温度是C. 解得 所以 解析：将x=100°C，y=2.002m 和 x=500°C，y=2.01m 分别代人y=ax+b，得 当 y=2.015时， 解得 x=750°C 3、数学情境 【典例5】利用两块完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图6-3(1)所示的方式放置、再交换两木块的位置，按图6-3(2)所示的方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度等于（ ） A.70 cm B.75 cm C.80 cm D.85 cm 解得 a=85. 所以桌子的高度为85 cm. 【解析】设桌子的高度为acm. 依题意得 D 4、生活情境 【典例6】小明新买了一辆山地自行车，说明书中关于轮胎的使用说明如下: 小明看了说明书后，和爸爸讨论： 小明经过计算，得出这对轮胎能行驶的最长路 程是（ ） A.9 500 km B.9 800 km C.9 900 km D. 10 000 km C 【解析】设行驶xkm后前后轮胎调换使用，这对轮胎能行驶的最长路程为ykm， 依题意可列方程组: ①+②得 解得 y=9900 【典例7】根据以下素材，探索完成任务: 【素材1】北京时间2024年5月3日17时27分,我国嫦娥六号月球探测器发射任务取得了圆满成功! 嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅. 某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A,B,C三个场馆，且购买1张A场馆门票和两张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元, C场馆门票为每张15元. 【素材2】由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观. 参观当天刚好有优惠活动; 每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票. 如何设计购买方案 【任务1】确定场馆门票价格 (1)求A场馆和B场馆的门票的单价. 【任务2】探究经费的使用 (2)在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆、9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额. 【任务3】拟定购买方案 (3)到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元,请你写出符合条件的所有购买方案. 问题解决 解: (1) 设A场馆门票的单价为x元, B场馆门票的单价为y元. 根据题意，得 答: A场馆门票的单价为50元, B场馆门票的单价为40元. 解得 (2) 根据题意得 50 x 12+40 x (30-12-9) = 960 (元). 答:在大家初步意向下所需花费的最少门票总额为960元. (3) 设购买m张A场馆门票， n张B场馆门票，则购买(30-2m-n)张C场馆门票. 根据题意，得 50m+40n+15(30-2m-n)=750 所以 又因为m,n均为正整数， 所以 所以共有两种购买方案， 方案1: 购买10张A场馆门票，4张B场馆票，6张C场馆门票; 方案2: 购买5张A场馆门票， 8张B场馆门票，12张C场馆门票。 或 思想方法 1、整体思想 在研究某些数学问题时，把需要解决的问题看成一个整体，通过研究问题的整体形式达到解题的目的，这就是我们经常用到的整体思想。在本章中，利用方程组解决问题时，经常用到整体思想. 【典例8】已知方程组 ，那么x+y= ，x-y= . 【分析】观察方程组中两个方程与所求式子的特点, 由(①+②)÷3，可求得x+y的值； 由②-①，可求得x-y的值. 4 2 解：由①+②，得3x+3y=12，所以x+y=4。 由②-①，得x-y=2. 2、转化思想 转化就是把待解决的问题，通过适当的方法转化为已经解决或已经知道其解决方法的问题。在本章中，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，将二元一次方程组转化为一元一次方程，将复杂形式的方程组通过换元转化为二元一次方程组，将函数问题转化为方程问题，将实际问题转化为数学问题，都体现了“转化”的数学思想. 【典例9】解方程组。 【分析】观察方程组发现固定结构模式: , 所以可将其换元为m,n,进而求解关于m,n的方程组， 最后由 =m, =n，求出x，y的值。 解：设 =m, =n， 原方程组可化为 解这个方程组，得 由 得 $