天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高三年级下学期第二次热身练数学试卷

2026春季学期高三年级第二次热身练 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 总分150分，考试时间120分钟 第I卷（满分45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分． 1．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题：，命题：，则命题是命题的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．函数（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的个数是（ ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．定义新运算：，已知数列（）满足，，则（ ） A．239 B．225 C．211 D．261 8．已知函数（，），若对任意实数都成立，，且函数在区间上单调，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．已知，是双曲线：上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（满分105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10． ． 11．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 12．抛物线（），过焦点的所有弦中，最短弦长为2，过作倾斜角的直线交圆 ：于、两点，则弦长 ． 13．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球， （i）若随机抽取一个罐子，则从罐中抽到红球的概率为 ； （ii）若从两个罐子中各摸出1个球后进行交换，交换2次后，白球还在A罐的概率是 ． 14．在中，，，，点在线段上（点不与端点，重合），延长到，使得，（为常数）， （i）若，则 ． （ii）线段的长度为 ． 15．已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为 ． 三、解答题（共75分） 16．（本小题满分14分） 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，且，求的值． 17．（本小题满分15分） 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且且，是的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分15分） 已知椭圆：（）的离心率为，，，分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于，的一动点，面积的最大值为． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 19．（本小题满分15分） 对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． （1）分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； （2）已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 20．（本小题满分16分） 已知函数 （1）若在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）若在上的极大值大于1，求实数的取值范围； （3）当时，记，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $