精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高三年级下学期第一次热身练数学试卷

2026春季学期高三年级第一次热身练 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 总分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法及充分条件、必要条件的定义判定即可. 【详解】若则显然成立，满足充分性； 由可得，推不出，不满足必要性，所以A正确. 3. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，让这3个数和临界值比较，判断大小. 【详解】，且，所以， ，，即， 所以. 4. 下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断各函数是否为偶函数即可. 【详解】A：由函数定义域为，不关于原点对称，不可能为偶函数； B：由，故不为偶函数； C：且定义域为R，故为偶函数； D：且定义域为R，故为奇函数. 故选：C 5. 下列命题中 ①一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 ②若，则 ③根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ④用简单随机抽样的方法从10个个体中抽取3个个体，则每个个体被抽到的概率都是 其中错误命题的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数计算方式，正态分布概念，预报值与精确值定义，古典概率知识可判断命题正误. 【详解】命题①：该组数据共10个，已按从小到大排序，计算 ，根据百分位数计算规则，当为整数时，第百分位数为第项与第项数据的平均数，即第分位数为，故①为假命题； 命题②：若 ，其正态分布密度曲线对称轴为，故 ； 若 ，对称轴为 ，故 ，因此 ，故②为假命题； 命题③：经验回归方程得到的预报值是响应变量的估计值，受随机误差影响，并非响应变量的精确值，故③为假命题。 命题④：因共有10个个体，从中抽取3个，则每个个体被抽中概率为，故④为假命题. 综上，错误命题共4个. 6. 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最小正周期可得，据此可得对称中心，然后验证选项可得答案. 【详解】因最小正周期为，则，结合，可得. 则，其对称中心横坐标满足 ， 所以对称中心可为： . 选项A：令，得 ，不符合； 选项B：令，得 ，不符合； 选项C：令，得 ，不符合； 选项D：令，得，符合要求. 7. 等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列的通项公式与前项和公式求解首项和公差，得到的表达式后对裂项，通过裂项相消法计算前10项和 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，结合可得：，即， 由等差数列前项和公式，结合可得： ，即 . 将代入上式，解得，， 因此 ，故 . 设 的前10项和为，则：  8. 已知圆锥的高是底面半径的2倍，且圆锥的底面半径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥和圆柱的体积相等得到圆柱的母线和半径的关系，再利用侧面积公式求解. 【详解】设圆锥的高，底面半径，母线和体积分别为， 圆柱的高，底面半径，母线和体积分别为， 由题意知，，， 则，即，解得， 所以， 则， 故选：B 9. 已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，得出焦点坐标和渐近线方程，进而得出向量坐标，结合且，构造方程组求出，联立渐近线方程得出，进而求出，从而求出双曲线的方程． 【详解】 双曲线的左焦点，渐近线为， 向量， ①， ②， 联立①②得， ， 解得或（，舍去）， ，即， 代入①得， 在渐近线上， ，解得， ，解得，， 双曲线的方程为． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数为实数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数为实数，可求得，进而根据复数模长的公式，即可求解. 【详解】由题意，复数为实数， 则，解得， 所以. 11. 若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得，再根据二项展开式的通项公式求出的系数. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为64， 所以，解得， 二项式的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 12. 以抛物线的焦点为圆心且与直线相切的圆中，面积最大的圆的标准方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求圆的圆心，再根据直线恒过定点，确定最大半径. 【详解】直线恒过定点，抛物线的焦点为， 当直线与圆相切，切点为点，此时圆的面积最大，半径为， 所以面积最大的圆的标准方程为. 13. 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”，根据题意，第一个空，利用全概率公式，由求解，第二个空，利用贝叶斯公式求解； 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 14. 在平面四边形中，，，，则_____；点E是边的中点，延长线段至点F，使得，若点H为线段上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据判断四边形的形状，再结合得出四边形的具体特征，进而求出； 建立平面直角坐标系，求出各点坐标，设出点的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】已知，所以四边形是平行四边形，则， 即， 设 ， ，则， 由平面向量基本定理可得即，所以， 已知，则 ， 所以， 又因为，所以. 以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 由，，可得，， 因为四边形是平行四边形，所以， 又因为点E是边的中点，所以， 由，得， 设，则， 即，解得，所以， ， 因为点H为线段上的动点，可设， 所以，， 则 ， 当时，取得最小值. 15. 已知函数有三个零点，且的图象关于直线对称，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】,则有即可求得，再由可得有2个根且都不等于，即可求解. 【详解】， 则，定义域为， 所以的图像关于直线对称，所以， 显然为函数的一个零点， 故有2个不相等的根，且都不等于， 所以，解得， 所以，所以的取值范围是. 三、解答题（共75分） 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角A的大小； （2）若， （i）求的面积； （ii）求的值． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简已知条件，求出，结合三角形内角的性质求出； （2）（i）根据余弦定理结合三角形面积公式求出三角形面积；（ii）利用正弦定理求出，结合三角形边角关系求出，进而利用二倍角公式求出，最后利用两角和的正弦公式求解． 【小问1详解】 由正弦定理得，代入得： ， ， ， 则， ， 即，故， ， ． 【小问2详解】 （i）已知，由余弦定理： ，代入数值得： ，即， 解方程得或（舍去）， ， ； （ii）， 则， 由正弦定理得，， ， ， ， ， ， ． 17. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由求解； （3）先求点到平面BCN的距离为，再由三棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，为的中点， 又N为的中点，， 又平面，且平面， 平面. 【小问2详解】 由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 因为平面即平面，，， ， 取，则，从而， 设所求线面角为， ， ， 所以与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，， ， 已知，则， 所以 . 18. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的离心率为，面积为，F为其右焦点，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，过P作直线PB交椭圆C于另一点B，且的面积为1，求直线PB的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用新定义及椭圆的性质计算即可； （2）设直线方程利用韦达定理、弦长公式、点线距离公式计算解方程即可. 【小问1详解】 设，由题意可知：，解之得， 所以椭圆方程为：； 【小问2详解】 由上可知，则，易知直线斜率不存在时不符合题意； 不妨设直线方程为，则， 联立直线与椭圆方程得， 则， 且， E到直线的距离为， 所以 ， 将 代入上式可得： ， 解之得或，即直线PB的方程为或. 19. 已知数列满足． （1）数列的前n项和为，且 （i）判断与的大小关系，并求的最大值和最小值； （ii）数列满足，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式； （2）已知数列是个连续正整数1，2，…，m的一个排列，且满足 ，若，求m的所有可能取值． 【答案】（1）（i），的最大值为，最小值为； （ii）若， ，若，. （2）4 【解析】 【分析】（i）由绝对值不等式求最大值，由求最小值. （ii）先由单调性求得，再根据累加法求解. （2）当时，必有 ，所以只需对的情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，，即，解得， 当时，，与相减得， 即，又因为，所以， ，所以， 因为， 故的最大值为， 因为，所以，所以 ， 故的最小值为. （ii）是递增数列，， ， 又因为，所以 ， 所以； 是递减数列，， ， 又因为， 所以， 所以， 由得或， 当时，若， 由累加法得 ， 符合上式，所以， 当时，若， 由累加法得 时，所以. 【小问2详解】 当时， .所以，不符合题意. 当时，数列为 ，此时，符合题意. 当时，， 因为 在上单调递增，所以 ， 所以当时， , 故不存在满足题意. 综上所述，. 20. 已知实数，设函数． （1）时，求在点处的切线斜率； （2）当时，求函数的单调区间； （3）证明：当时，对任意恒成立． 【答案】（1） （2）的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由计算即可； （2）求导通分后，对分子有理化，再因式分解，进而求出单调性； （3）现将化简为， 再令，并视其为的二次函数，配方后，再分和两种情况进行讨论即可. 【小问1详解】 时，，则， 故在点处的切线斜率为. 【小问2详解】 当时，，， ， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问3详解】 设 ， 因为，所以证明就等价于证明， 令，， 配方得 ， （i）当时，， 则， 记， ， 因为 ， , 则当时，,当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； （ii）当时，， 令，， 故在上单调递增，所以， ， 由（i）知在 上单调递减，故 ，而 所以， . 由（i）（ii）可得：当时，对任意 恒成立， 所以当时，对任意 恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季学期高三年级第一次热身练 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 总分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中 ①一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 ②若，则 ③根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ④用简单随机抽样的方法从10个个体中抽取3个个体，则每个个体被抽到的概率都是 其中错误命题的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的高是底面半径的2倍，且圆锥的底面半径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数 为实数，则_________． 11. 若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 12. 以抛物线的焦点为圆心且与直线相切的圆中，面积最大的圆的标准方程为_________． 13. 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 14. 在平面四边形中，，，，则_____；点E是边的中点，延长线段至点F，使得，若点H为线段上的动点，则的最小值为_____． 15. 已知函数 有三个零点，且的图象关于直线对称，则的取值范围是_____． 三、解答题（共75分） 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角A的大小； （2）若， （i）求的面积； （ii）求的值． 17. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的离心率为，面积为，F为其右焦点，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，过P作直线PB交椭圆C于另一点B，且的面积为1，求直线PB的方程． 19. 已知数列满足． （1）数列的前n项和为，且 （i）判断与的大小关系，并求的最大值和最小值； （ii）数列满足，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式； （2）已知数列是个连续正整数1，2，…，m的一个排列，且满足 ，若，求m的所有可能取值． 20. 已知实数，设函数 ． （1）时，求在点处的切线斜率； （2）当时，求函数的单调区间； （3）证明：当时，对任意 恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $