专题10 压轴真题专项训练（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦中考压轴题型，通过8大专题构建"题型建模-综合攻坚"双阶训练体系，融合几何变换、代数推理与新定义问题，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式综合|7题|含新定义、规律探究、阅读理解|从概念辨析到代数推理，构建根式运算与应用体系| |勾股定理应用|10题|结合旋转、翻折、实际应用|以定理为核心，延伸至几何模型与动态问题| |特殊平行四边形|10题|多结论判断、动态综合|从性质判定到多结论论证，强化空间观念| |几何最值|8题|动点轨迹、对称转化|渗透转化思想，构建"图形变换-最值模型"逻辑链| |四边形折叠|7题|含等边、正方形折叠综合|通过折叠实现空间转化，培养几何直观| |新定义/阅读理解|15题|自定义概念、跨学科应用|从信息提取到模型构建，提升数学表达能力|

专题10 压轴真题专项训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式综合 1 题型二、勾股定理的应用 9 题型三、特殊平行四边形多结论判断 31 题型四、几何最值问题 49 题型五、四边形折叠问题 65 题型六、特殊平行四边形综合证明与计算 83 题型七、新定义问题 101 题型八、阅读理解型问题 118 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式综合 1．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据的定义得到，，，…，进而求出，即可计算出的值为2025． 【详解】解：∵，，，…， ∴ ， ∴ ． 故选：D 2．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 3．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③． 【详解】解：由题意得：， ∵，是的小数部分， ∴，则，故①正确； ∵， ∴， 即 ∴，即， ∵b、c为有理数 ∴，解得， ∴，故②正确； ∵ ， ∴ ，故③正确， 故正确的有①②③，共3个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键． 4．设，其中n为正整数，则____． 【答案】 【分析】计算通项公式，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论． 【详解】∵n为正整数， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和． 5．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整． ； ； …… 由此，我们可以解决下面这个问题： ，求出S的整数部分． 解： …… ∴S的整数部分是________． 【答案】见解析；18 【分析】根据题目给出的不等式，变形确定s的整数界点值，根据夹逼法确定整数值． 【详解】∵ ； ； ； ∴18＜S＜19， ∴S整数部分为18， 故答案为：； ； ；18； 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，不等式的性质，估算的思想，熟练确定S位于哪两个整数之间是解题的关键． 6．阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． 7．【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离．    【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）直接利用材料中的定义求解即可； （2）先对分母进行有理化，再求解即可； （3）①先求出的长度，再利用面积法求解； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F再表示出的面积，求出P点到各边的距离即可． 【详解】（1）∵ ∴的有理化因式为； （2）① ； （3） 设中边上的高为h， ∴，即 ∴ ∴点A到边的距离为； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F    ∵平分，， ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化运算，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题，本题涉及了三角形的面积公式和角平分线的性质，学生应牢记相关概念，并能正确运用等面积法建立方程． 题型二、勾股定理的应用 8．如图，是边长为6的等边三角形，点E在上且，点D是直线上一动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接的最小值是（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】过点E作交于M，在的延长线上取点N，使，连接交于H，则可得，从而，从而易得，即点F在直线上运动；过点A作于G，当F与G重合时，取得最小值，利用含角直角三角形的性质即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点E作交于M，在的延长线上取点N，使，连接交于H； 则； 由题意知，， ∴； ∵， ∴， ∴，； 设直线交于点H； ∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴，； ∵， ∴， 即，即点F在垂直于的直线上运动； 过点A作于G，当F与G重合时，取得最小值， 在中，， 则， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点F的运动路径是解题的关键． 9．如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】过点C作，且在上取点，使得，连接，根据等边三角形的性质可证得，得到，则．连接，则，当点B，F，共线时，m的值最小．根据等边三角形的性质与勾股定理即可解答． 【详解】解：如图1，过点C作，且在上取点，使得，连接．   是等边三角形，，， ，， ， ，， ， ， ∴． 连接，则， 共线时，m的值最小，为，如图2，． ∵在等边三角形中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴在中，， 即m的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线，将线段进行转化是解题的关键． 10．如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，交于点，于点，过点作于点，易证为等边三角形，进而证明，进而求出的长，利用求出的长，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，于点，过点作于点， ∵等边的边长为6，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵等边， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，难度大，综合性强，属于选择题中的压轴题． 11．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点， 正方形面积为5，正方形面积为1， ，，，， 是直角三角形，， ， ， 即， ， ， ， ， 以为边长的正方形面积为10． 故选：． 12．如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、翻折性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用等角对等边证明是解答的关键．先利用同角的余角相等得到，再证明得到，，然后证明，得到，进而利用等角对等边得到，设，，结合翻折性质得到，，，然后利用勾股定理求得，最后由求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分交的延长线于点， ∴，又，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∵将点沿翻折，点刚好落在点处， ∴，则,， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， ∴ ， 即的面积为． 故答案为：． 13．如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论： ， ， ， ，其中正确的有______． 【答案】 【分析】如图，设与交于点，求解，，结合，求解，可得正确；证明，求解，证明，可得正确；证明，，可得错误；证明，可得，可得正确． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴可知所在直线垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， 由上可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故正确； 综上：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 14．如图，在中，，若是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，连接． (1)求证： (2)试说明 (3)把点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的值为或3或或1 【分析】（1）根据等腰直角得出，，结合可证，然后根据“”证明即可得出； （2）由（1）知，则，由可得，可知，由勾股定理可得，，即可得证； （3）分四种情况：①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，结合全等三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 由勾股定理可得：， 又∵是等腰直角三角形，则，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接， 由（1）（2）可知，，， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去），即：， ∴； ②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接， ∵，则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， 则， 即 解得：，负值舍去； ③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接， 同理，可得，，， 则， 即， 解得：，负值舍去； ④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接， 同理，可得，，， 则， ∴ 解得：， ∴； 综上所述，的值为或3或或1． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等，通过“”证明三角形全等是解题的关键． 15．【阅读材料】调查数据显示，某小区居民平均每周去卖场的频数F与卖场的占地面积s（单位：）以及卖场与居住小区的距离h（单位：m）有关，如图1是频数F与之间关系的散点图．根据散点图可知，F与之间关系可合理估计为（k 为定值，）； 【理解应用】如图2，乙卖场（B点）位于甲卖场（O点）的正东方向，安居小区（A点）位于甲卖场的东偏南方向，过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与，甲卖场的占地面积为．记乙卖场的占地面积为p，甲乙两卖场之间的距离为q，安居小区居民平均每周去甲卖场与乙卖场的频数分别为与． (1)求；（用含k的代数式表示） (2)若，，求p的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的应用，已知式子的值求代数式的值，勾股定理，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理求出，再结合，即可作答． （2）因为，，则，然后得出，即，整理得，即，再解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与， ∴， ∵，且甲卖场的占地面积为． ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ 则 ∵， ∴ ∵， 即， ∴， 即， 即． 16．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)千米 (4) 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （4）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点． 17．阅读与理解： 勾股定理是初等几何的一个基本定理，我国清代数学家梅文鼎给出了其中一种证明方法，如图1所示：以的三边分别向外作三个正方形；延长和交于点，连接并延长分别交和于点，，延长交于点，延长交于点．然后，通过证明，得到，，所以，进一步得到四边形为平行四边形．因为，所以与正方形同底等高，与长方形等底等高，所以正方形与长方形的面积相等．同理可得正方形与长方形的面积相等．证得正方形与正方形的面积和等于正方形的面积，从而证得勾股定理． （1）如图2，以三边为直径向外分别作三个半圆，其半圆的面积分别表示为、、则它们的数量关系为_____；如图3，以三边为直角边分别作等腰直角三角形，等腰直角三角形，等腰直角三角形．若图中阴影部分的面积分别为、、、，则它们的数量关系为_____（用含、、、的式子表示）． 思考与拓展： 从梅文鼎的证明方法中，不难发现是以平行四边形的面积作为“桥梁”，用等积变换得到三个正方形的面积关系．进一步思考：将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作法如下（如图4）： ①分别以直角边、为边向外作和； ②分别延长，交于点； ③作射线与相交于点，在射线上截取； ④过点作的平行线，并在直线上截取，连接、，即得． （2）如图4，在和中，若，，，，，求的面积． 【答案】（1）图2：；图3：；（2） 【分析】（1）图2：分别用表示出、、，然后根据即可得出、、的关系； 图3：设，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． （2）先证明当四边形，四边形，四边形均为矩形，且时，；再证当四边形，四边形，四边形均为平行四边形，且时，；然后分别求出和即可求解． 【详解】解：（1）图2： ， ∵， ∴， ∴； 图3，分别交、于点、点 ∵均是等腰直角三角形 ∴， 设，，   ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）如图5，当四边形，四边形，四边形均为长方形，且时，求证： 证明：过作交直线，于，，过作交，于，． ∵， ∴， ∴． ∵与等底等高， ∴ ∴； 同理可证，， ． 如图4，当四边形，四边形，四边形均为平行四边形，且时， 证明：过分别作的垂线，    ∵，， ∴ ∴， 同理可得， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 同理：， ∴， ∴， ． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式． 题型三、特殊平行四边形多结论判断 18．如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①；②；③；④若，则． 其中正确的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】在上取一点，使得，连接、，证明，得出，，从而推出，证明，得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可判断①；连接，证明四边形是平行四边形，得出，，求出，结合等腰直角三角形的性质即可判断③；连接交于，证明，得出，即可判断②；设，，则，表示出，，由等腰直角三角形的性质可得，结合得出，求解即可判断④，从而即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接、， ， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故①正确； 连接， ， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； 连接交于， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 设，，则， ∴，， ∵，， ∴， 若，则， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的有①④，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 19．如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、二次根式的计算，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．利用正方形和等边三角形的性质证明，得到，得到可判断①；利用得到，利用平角的定义可判断②；连接交于点，则，由，得到垂直平分，利用勾股定理求出和的长，得到正方形的边长为，求出的长可判断③；最后利用三角形的面积公式可判断④和⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，， 等边， ，， ， ， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， ，故②正确； 连接交于点，则， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ，故③错误； ， ，故④正确； ，， ，故⑤正确； 其中正确的有①②④⑤，正确的个数为4． 故选：B． 20．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】如图：连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； 如图：连接，由折叠得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图：过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得∶， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质、三线合一的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 21．如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形三边关系即可推出，进而得出，据此即可判断①过点D作交于点N，利用证明，根据全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定与性质推出，根据勾股定理求出，根据三角形三边关系得出，根据不等式的性质推出，据此即可判断②；过点A作交的延长线于点M，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理及线段的和差推出，据此即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故①错误，不符合题意； ， ， ∴， ， ， 过点D作交于点N， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； 过点A作交的延长线于点M， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， 故③正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 22．如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点，点在边上，，连接分别交和于点，，动点在上，于点，连接，有下列4个结论①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明出，再根据全等三角形的性质及角的和差即可判断①；证明出和为等腰三角形即可判断②；如图：连接，先证明可得，再说明即可判断③；过点P作于点M，过点H作于点N．根据角平分线的性质定理和垂线段最短可判断出的最小值为的长．再证明为为等腰直角三角形且即可判断④． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故①正确； ∵的平分线交边于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，故②正确； 如图：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，即， ∴,故③错误； 如图，过点P作于点M，过点H作于点N． ∴的平分线交边于点， ∴， ∴， ∴的最小值为的长． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴的最小值是，故④正确， 故正确的有①②④共3个． 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的定义和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题关键． 23．如图，在矩形中，O为的中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是的中点，且，则下列结论：①；②；③四边形为菱形；④．其中正确的是 ________．（填序号）      【答案】①③④ 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出是等边三角形，判断出③正确；设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断出③正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； 设，则， 由勾股定理得， ， ∵O为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②错误； ∵， ， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边是解题的关键． 24．如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交于点，下列说法：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形中位线的性质，由正方形的性质可得，，，进而可得，即得，即可判断①；证明，得到，再由平行线的性质得，即得，即可判断②；由得，由余角性质得，得到，即得，又由全等三角形的性质得，即得，即可判断③；设正方形的边长为，则正方形边长为，，过点作于，可得，分别求出两个图形的面积即可判断④；掌握以上性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵四边形和都是正方形，， ∴正方形的边长为正方形边长的， ∴为的中点， 又∵为的中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即为的中点， 又∵， ∴， ∴，故③正确； 设正方形的边长为，则正方形边长为，，， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的结论有①②③， 故答案为：①②③． 25．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，，点F在射线上，且，过点F作的平行线交的延长线于点H，与相交于点G，连接，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③的面积为；④；其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识，利用函数思想解决问题是解题的关键． 由“”可证，故①正确，由全等三角形的性质可得，，可证是等腰直角三角形，故②正确，建立平面直角坐标系，先求的解析式，可得点G坐标为点，可求的面积，故③错误，分别求出，，可判断④，即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故②正确， 如图，以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则点，点，点，点，点， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴的面积，故③错误， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 题型四、几何最值问题 26．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，，过点作交直线于点，利用直角三角形斜边中线定理得到，根据等边三角形的性质得到，，得出垂直平分，进而得出，利用含30度角的直角三角形得到，最后利用垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，过点作交直线于点， ∵在中，，点为中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定、垂线段最短，添加适当的辅助线证出平分是解题的关键． 27．如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（   ）    A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由可证得，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，由，得为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得的最小值． 【详解】连接并延长与的延长线交于点K，过点M作于T，如图所示：    ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长． ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，点M为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的最小值为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键． 28．如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，．先证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，，再证明为等腰直角三角形，有勾股定理得出，由三角形中位线判定和性质可得出，最后利用三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 即， 在和中， ∴， ∴，，， ∵，是中点，， ∴， 又∵，S是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵是中点，S是的中点， ∴， 在中， ， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了综合性的三角形问题，等角对等边，等腰直角三角形的判定以及性质， 全等三角形的判定以及性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质，三角形三边关系的应用，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 29．如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，如图，过点作与，可证，得到，过点作，并使，连接，则，，可得四边形是平行四边形，得到，即得，可知当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出，进而可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作与，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 过点作，并使，连接，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：．      30．如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题．过点E作于点，取的中点，连接，，根据证明，可得，所以再证明，然后根据直角三角形性质可得，当共线时，有最小值，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点，取的中点，连接，， ∵四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 当共线时，有最小值， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 31．在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)，探究见详解 (3) 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，，进而由平行线性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角确定，等量代换即可得证； （2）连接，如图所示，由垂直平分线的判定与性质得到，在中，由勾股定理可得，进而结合平行四边形中即可得到的数量关系； （3）由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上，作出图形，分情况讨论得到动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，从而由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，求出线段长即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ， ； （2）解：， 探究如下： 连接，如图所示： 为中点，且， 是线段的中垂线， 则， 由（1）知，即是直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，，又，则； （3）解：由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上， 在中，， 为中点， ， 当点在射线上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， ， ， 在中，，，，则； 当点在线段上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， 在中，，，，则； 当点在射线上，过点作于，如图所示： ， 在中，，，，则； 综上所述，当点为直线上一动点，以为边作平行四边形时，动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，如图所示： 连接，其中点为定点、点为直线上的动点，则由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，为，如图所示： ，， ，， ，， ， 在中，，，，则， 则的最小值为． 【点睛】本题考查几何综合，难度较大，涉及平行四边形性质、平行线性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关几何性质并灵活运用是解决问题的关键． 32．如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在，，或， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； （2）解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． （3）解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 33．如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系． (3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】（1）连结，交于点O，先证明矩形是正方形，根据正方形的性质可得点P与点O重合，进一步求解即得答案； （2）过点P作于点F，交于点E，根据勾股定理得，，，，，从而可推得结论； （3）以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F，根据（2）的解题思路，首先得到，从而求得，再根据两点之间线段最短，可得，即，当点C、D、E三点共线时，取最小值，从而可求得答案． 【详解】（1）解：连结，交于点O， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，，， ， ， ， 点P与点O重合， ， ； （2）解：过点P作于点F，交于点E， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 即； （3） 解：以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， 当点C、D、E三点共线时，取最小值， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确理解各小题之间思考方法上的关联是解题的关键． 题型五、四边形折叠问题 34．如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，由此即可判断①正确；由，从而可得，然后根据平行线的判定可得，根据菱形的判定即可得②正确；先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据即可判断③错误；当最短时，则，过点作于点，连接，交于点，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理可得，，然后根据建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判断④正确． 【详解】解：是等边三角形，且， ，， 由折叠的性质得：， ，是定值，则结论①正确； ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形，则结论②正确； 如图，当点与重合时， ， ， 由折叠的性质得：， ，， ， ，则结论③错误； 当最短时，则， 如图，过点作于点，连接，交于点， ， ， ， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ，   设，则，， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ，则结论④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、折叠的性质、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理解直角三角形、菱形的判定，用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 35．如图，正方形，E，F分别在边上，将正方形沿折叠，点D的对应点是点G，点C的对应点H在边上，与交于点M，连接．下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合正方形的性质和轴对称的性质，过点E作于N，则为矩形，可证明，，可判断①正确；利用直角三角形两锐角互余可判断②正确；延长交于R，与交于点T，连接，证明R，T，H在同一直线上，过点H作交与W，可知，，证明，进而可证，则为等腰直角三角形，得，可判断③正确；延长延长使得，可证，结合，可证，得，而，进而可得，可判断④正确；即可求解． 【详解】解：在正方形中，， 过点E作于N，则为矩形， ∴， 由轴对称可知，，则， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由轴对称可知，， 则， ∴， 又∵， ∴，故②正确； 延长交于R，与交于点T，连接， 由轴对称可知，， 又∵， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， ∴，则 由轴对称可知，点C与点H关于对称，则， ∴ 又∵， ∴，即R，T，H在同一直线上， 则， 过点H作交与W，可知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，则为等腰直角三角形， ∴，故③正确； 延长使得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由上可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 36．如图，在正方形中，点E为中点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接交于点G，延长交于点H，连接并延长交于点I，连接．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质．利用等边对等角可证明，，再利用三角形内角和定理即可证明；利用等角的余角相等求得，根据即可证明；证明是等腰直角三角形，即可得到平分；利用勾股定理结合面积法得到和，即可证明． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴；①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质得是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，②正确； 在和中，，，， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴平分；③正确； 作，，垂足分别为， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，④正确． 故选：D． 37．如图，已知长方形纸片的长，宽，点均在上(在左侧)，先将纸片沿折叠，记点的对应点为，再将纸片沿折叠，使得的对应线段，连接，若折叠过程保持，分别在长方形的外部和内部，当时，的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 连接，交于，设交于点，利用全等三角形的性质证明，再证明共线，求出，设，，利用勾股定理构建方程组求解即可． 【详解】解：连接，交于，设交于点，如图： ∵四边形是长方形纸片， ∴， 由翻折的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 根据勾股定理可得，， 可得： 故答案为： 38．如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)存在，最小值 (3)存在点P使得为等腰三角形，的度数为或 【分析】（1）过点D作于点F，利用矩形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理求得，利用折叠的性质得到，再利用勾股定理，含角的直角三角形的性质求得，即可得出结论； （2）过点E作并延长交于点H，连接，交于点M，利用全等三角形的判定与性质得到点E与点H关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法解答：当点P在点O的下方时，①时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；存在的情形；当点P在点O的上方时，此种情况不存在；当点P在点C的上方时，同样也不存在为等腰三角形． 【详解】（1）解：过点D作于点F，如图， ∵点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴点D的坐标为； （2）解：在直线上存在点M，使得的周长最小． 过点E作并延长交于点H，连接，交于点M，如图， ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E与点H关于对称， ∴． 则由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为． ∵点N为的中点， ∴， 由（1）知：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴的周长的最小值为； （3）解：当点P在点O的下方时， ①时，如图， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∵， ∴， ∴． ③不存在的情形； 当点P在点O的上方时，如图， 若，则， ∴， ∴， ∴与重合，此种情况不存在． 当点P在点C的上方时，如图， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点P使得为等腰三角形，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 39．【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析，（2），（3）①4；②． 【分析】（1）运用翻折变换的性质、正方形的性质及全等三角形的判定即可证得结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质和判定及翻折变换的性质即可求得答案； （3）①利用等边三角形的判定和性质即可求得答案； ②过点作于点M，过点作于点，运用勾股定理可得，根据菱形性质及翻折可得：，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：过点作于点，如图， 则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由翻折得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点落在边上时，如图，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查勾股定理、折叠的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 40．如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明； （2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形四边形是平行四边形； ②，理由见解析： ∵为等边三角形； ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对折可得：， ∵四边形四边形是平行四边形； ∴， ∴， 如图，过作于，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型六、特殊平行四边形综合证明与计算 41．如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 过点D作，交于点H，连接，证明，得到，，再根据得到．证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，，则，，进而得到，根据得到，最后由即可解答． 【详解】解：过点D作，交于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 42．如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点E在线段上，动点在线段上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 【答案】D 【分析】本题分为五个阶段，开始与点O重合、远离点O、位于线段中点、逐渐靠近终点和到达终点．根据矩形的性质得，，则有，由轴对称性得．则有和，可判定，则四边形是平行四边形；当E，F，O三点重合时，，则有，故四边形是菱形；当E，F分别为，的中点时，设，则，，可证明是等边三角形，结合勾股定理和对称性可得，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，则四边形是矩形；当F，E分别与D，B重合时，，都是等边三角形，则四边形 是菱形． 【详解】解：如图2所示，当E，F，O三点重合时，， ∴，即， ∴四边形是菱形． 如图1中， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴， ∵对称， ∴． ∵对称 ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 如图3所示，当E，F分别为，的中点时，设，则，， 在中，，，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵E为中点， ∴，， ∴． 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 四边形是矩形． 当F，E分别与D，B重合时，，都是等边三角形，则四边形 是菱形， ∴在整个过程中，四边形 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、对称性、平行四边形的判定、菱形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理逆定理和等边三角形的性质，解题的关键是熟悉对称性和利用动态思维解题． 43．如图，正方形中，点分别在上，与相交于点，若，边长，则线段的长为_____． 【答案】/ 【分析】过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P；由平行线性质得，从而；由正方形性质证明，则有；再证明，则；由已知易得四边形是平行四边形，则有，从而求得；设，则，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识．作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 44．如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是______． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有．进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，那么，．连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得即可求得面积． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵点是边的中点， 是的中位线， ． 在正方形中，， ， ， ∴ ∴四边形是平行四边形， ， ． 连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小． 将此时的点记为点，由正方形的对称性可知． ∴． 又， 则的面积为． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系的应用和勾股定理，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质和找到最小值． 45．如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，见解析 (2)EP，FP，EF之间的数量关系为：； 【分析】（1）如图，过点作于点，结合正方形的性质证明四边形是矩形，得，，根据勾股定理及正方形的性质得，，继而得到，在中，推出，求得，得到，进一步推出，即可得证； （2）如图，设平行四边形的边与交于点，证明四边形是矩形，推出平分，即与的交点为符合条件的点，然后在中，，，，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； 证明：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形； （2），，之间的数量关系为：． 如图，设平行四边形的边与交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即平分， 即与的交点为符合条件的点， 在中，，，， ∴，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握特殊四边形形的判定与性质是解题的关键． 46．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)性质探究：如图1，已知：四边形中，E、F、G、H分别是、的中点，交于点O，，且，求证：四边形是“中方四边形”； (2)问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； (3)拓展应用：如图3；已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）由中点条件及三角形中位线的性质易得四边形是平行四边形；再由，且，可得四边形是正方形，从而结论得证； （2）连接，证明，则得，由（1）即可得四边形是“中方四边形”； （3）分别取的中点E、F、H，连接；由四边形是“中方四边形”得四边形是正方形，则有；由三角形中位线定理得，则，当点H在线段上时，取得最小值，从而取得最小值，进而求得最小值． 【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵， ∴； ∵是的中位线， ∴， ∴； ∴四边形是矩形； ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形是“中方四边形”； （2）证明：如图，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，， ∴， 即； ∴， ∴； ∵ ， ∴； ∵，， ∴由（1）知，四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别取的中点E、F、H，连接； ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴； ∵的中点分别是E、F、H， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， 故当点H在线段上时，取得最小值， 从而取得最小值，且最小值为． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了平行四边形的判定，矩形的判定及正方形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，有一定的综合性，三角形中位线定理的应用是解题的关键． 47．在矩形中，，，、分别是、中点，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形，说明理由． (2)若四边形为矩形，求的值． (3)若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则的值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ∴，， ， ，分别是，中点， ，， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ，， ， ； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于， 四边形为菱形， ，，， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ，即， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 48．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）是；（2）或；（3）2或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“角差三角形”的定义即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“角差三角形”，分三种情况，或，，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∵ ∴顶角为的等腰三角形是“角差三角形”； 故答案为：是； （2）∵是“角差三角形”， ，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“角差三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，此时点D与点A重合，不符合题意． 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，二次根式，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 题型七、新定义问题 49．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可． 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 50．关于x的新函数定义如下： （1）当时，： （2）当（p是正整数，q是整数，，且p，q不含除1以外的公因数）时，； （3）当x为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有： ③若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值； ④若，则满足的自变量x的取值共有12个． 正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①根据函数的定义求值即可；②举一个反例说明即可；③根据定义，由y的值求出相应的x值即可；④根据y的范围，设，求出，再由p的可能取值，确定q的所有可能取值即可． 【详解】解：①∵是无理数， ∴当时，；故①符合题意； ②∵a、b是互不相等且不为0的有理数， 设，则， 设，则， ∴，则，故②不符合题意； ③当时，或或……，故③不符合题意； ④∵， ∴x一定是有理数，且， 设，则， ∴， ∵， ∴p的可能取值为1，2，3，4，5， 当时，q可以取2022，2023，共2个， 当时，q可以取4045，共1个， 当时，q可以取6067，6068，共2个， 当时，q可以取8089，8091，共2个， 当时，q可以取10111，10112，10113，10114，共4个， ∴的自变量x的取值共有11个，故④不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，函数的特点，理解新函数的特征是解本题的关键． 51．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点P是“成双点”， 即线段上的点为“成双点”， 同理线段上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ，解得：， ∴k的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 52．平面直角坐标系中，第一象限内点，我们定义：和两个值中的最大值为点P的“倾斜系数”k．比如：点的“倾斜系数”为3．如图，现有边长为2的正方形沿直线运动，是正方形上任意一点，且点P的“倾斜系数”，则a的取值范围为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键．分点与点重合且，以及当P点与B点重合时，且，两种情况进行求解即可． 【详解】解：由题意知，满足条件的P点在直线和之间， ①当P点与D点重合时，且时，P点在直线，有最小临界值； 如图：此时 连接，延长交x轴于E，此时， ∵点在直线上，则：， ∴，即： ∴ 解得 此时点的坐标为且， ∴ ②当P点与B点重合时，且时，P点在直线，有最大临界值； 如图：此时 连接，延长交x轴于F，此时， ∵点在直线上，则：， ∴， ∴， ∴，即：， 则， 解得 此时点的坐标为且 ∴ 综上所述，若点P的“倾斜系数”，则； 故答案为：． 53．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当 时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴分界点为点， 如图， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， ∵直线与组成的新的图形有两个交点，且直线过定点， ∴当直线过点A时，，此时； 当直线过点B时，，此时； ∴直线与组成的新的图形有两个交点， 的取值范围是． 故答案为： 54．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“友好函数”． 例如：图①是函数的图象，则它关于点的“友好函数”的图象如图②所示，且它的“友好函数”的解析式为． (1)请在网格中画出函数关于点的“友好函数”图像，并直接写出它的解析式． (2)如图③，点是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“友好函数”． ①当时，若函数的函数值取值范围是，求自变量的取值范围； ②如图④，以点、、、为顶点的矩形，当矩形与函数的图象只有两个公共点时，求的取值范围； ③在②中若函数图像上方与矩形围成图形面积为时，直接写出值？ 【答案】(1),图见解析 (2)① ②或 ③1 【分析】本题围绕“友好函数”的定义展开，涉及到函数图象的绘制、解析式的求解、函数值与自变量取值范围的关系以及函数图象与矩形的位置关系等知识点． 要根据“友好函数”的定义，通过找到原函数关于给定对称点的对称部分来绘制图象和确定解析式； ①需先确定时“友好函数”的解析式，再根据函数值范围求自变量范围； ②要通过分析函数与矩形的位置关系，代入顶点坐标来确定的取值范围； ③需要结合函数与矩形的位置关系以及面积公式来求解的值； 【详解】（1）解：如图所示， ∵函数， ∴当时，，即：点在原函数上， 取原函数中的部分， 点关于直线的对称点为， 设时，“友好函数”的解析式为， 将和代入， 得， 解得， 所以“友好函数”的解析式为 ； （2）①如下图所示， 当时，函数关于点的“友好函数”是： ， 当时，可得， 解得：， 当时，可得， 解得：， 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为:； ②当时，， ∴过点， 令，， ∴过， 关于直线对称的图像过， 设这个函数为， ∵过，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， 把)代入， ∴， ， 把代入， ∴， ∴， ∵矩形与函数的图象只有两个公共点时， ∴或， 故答案为：或； ③函数的解析式为， 设交点坐标 ， ∵，则， 把代入， ∴，即点， 把代入， ∴，即点， 由图得梯形 ， 梯形， 由图可得矩形， ∵函数图像上方与矩形围成图形面积为， ∴， 即， 解得（舍去）或； 【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“友好函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 55．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值． 【详解】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵函数与的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，设函数、的“星辰函数”为， ①∵点在“星辰函数”上， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在点的上方， ∴， ∴， ∵，则， ∴ ∴． 56．在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． (1)已知，点，． ①在点，，，中，线段的“相随点”是______； ②若点为线段的“相随点”，连接，直接写出的最小值：______． (2)已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)或 【分析】（1）①首先求出，然后根据平行四边形的性质得到，，然后设，然后分别验证求解即可； ②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可； （2）首先得出正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，设，然后分情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）①∵点，． ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴， ∵点P在直线上 ∴设 ∴若，且 ∴， ∴ ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且 ∴， ∴ ∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意； ∴若，且 ∴， ∴ ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且 ∴， ∴，，矛盾，不符合题意； 综上所述，线段的“相随点”是，； ②∵点Q为线段的“相随点”， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴设， ∴ ∴ ∴点Q在直线上运动 如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接， ∴ ∴ ∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵点O和点关于直线对称 ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为； （2）∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行， ∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标， ∵点，点，设 设所在直线表达式为， ∴，解得 ∴所在直线表达式为， 若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时， ∴， ∴，解得 当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴点在上 ∴ 解得 ∴； 若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时， ∴，解得 当点C在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴点在上 ∴ 解得 ∴； 综上所述，t的取值范围或． 【点睛】此题考查了一次函数与四边形综合题，新定义问题，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确分析题目，掌握以上知识点． 题型八、阅读理解型问题 57．阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1），结合集合中的元素满足互异性以及定义可得，，分别是5，7，9，即可求解； （2）根据等差数列求和公式先求出的通项公式，然后再表示出，再利用裂项求和计算即可； （3）设，设 ，根据不等式的同向可加性得到，可得这里有个元素，则上面为集合的所有元素，同理：，这里有个元素，则上面为集合的所有元素，发现可找出，故，由上得，，同理：，故，因此，故证毕． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵，，，，，是中的元素， ∴，，分别是5，7，9， ∴, ∴， （2）证明：由题意得， ， ， ∴ ∴ ， ∵当无穷大时，趋近于0， ∴， ∴， ∴； （3）证明：设， 设 ， ∴， ∴这里有个元素， ∵， ∴上面为集合的所有元素， 同理：， ∴这里有个元素， ∴上面为集合的所有元素， ∴， ∴， 由上得，， 同理：， ∴， ∴， ∴若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的加法运算，不等式的性质，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 58．【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】如图①，若，则四边形______（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，______； (3)【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； (4)【拓展提高】如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，请直接写出的长． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)或； (3)，理由见解析； (4)． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性。 （1）利用勾股定理的逆定理证明，从而是等腰直角三角形，又因为 是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知是等腰三角形，当时，由勾股定理可求得，当时，由勾股定理可求得； （3）利用证明，得； （4）当时，作交直线于点H，证明四边形是凹四边形，不合题意舍去；当时，构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题． 【详解】（1）解： ，， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形． 故答案为：是； （2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线， 因为，，， 是等腰三角形， 当时， 由勾股定理得： 当时，由勾股定理得： 综上：或． 故答案为：2或4； （3）解：由题意知∶和都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴； （4）解：由题意知：是等腰直角三角形， 由题意知：是等腰直角三角形，当时，如图，作交直线于点H， ，， ， ，即点H在线段上， ， ， 四边形是凹四边形，不合题意舍去； 当时， 如图， 由（3）同理得， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ，由勾股定理得 ， ， 综上：． 59．折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养． 【操作发现】 如图，一张菱形纸片，，，E，F分别为边，上的两个动点，小明将菱形纸片沿着EF翻折，得到四边形，点A，B的对应点分别为点，．他发现了：点E从点A开始运动到点D结束的过程中，总能找到一个点F，使得点，C，三点在同一直线上． 【深入探究】 操作 探究内容 图形 操作一 当点E位于中点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点D，，C，四个点在同一直线上. 操作二 将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且得到是直角三角形. 操作三 当点E位于靠近点D的三等分点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且与交于点G. 【解决问题】 （1）根据操作一探究内容，求证：； （2）根据操作二探究内容，当为直角三角形时，求的长度； （3）根据操作三探究内容，直接写出的长度． 【答案】（1）证明过程详见解答；（2）或；（3）． 【分析】（1）可证得是等边三角形，进而得出四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）当时，可得出，从而得出，求得的值；当时，可得出，从而得出，求得的值； （3）连接，在上截取，连接，作，交的延长线于点H，作于点Q，可证得，从而得出，，，可证得，从而得出，，进而得出，，，利用求得结果． 【详解】（1）证明：菱形纸片沿着翻折，得到四边形， ，，， 点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ∴； （2）解：当时， 菱形纸片沿着翻折，得到四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述：或； （3）解：如图， 连接，在上截取，连接，作，交的延长线于点H，作于点Q， ∴， 点位于靠近点的三等分点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 菱形纸片沿着翻折，得到四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， 设，则，如图， 作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次根式的混合运算等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 60．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则直角梯形的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点B为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点，点，可求点F坐标为，点H坐标为． ③由点A和点H的坐标求出直线的关系式为． ④因为点M的横坐标为6，且点M在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点N坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出直角梯形的面积为______． 【迁移探究】如图3，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础下，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点，请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图4，在题（1）建立的直角坐标系下，沿着直线折叠得到，请求点的坐标． 【答案】初步运用：；迁移探究：（1）；（2）存在，或；（3） 【分析】初步运用：先求出、的坐标，得出、，再根据计算即可得解； 迁移探究：（1）以直线为轴，直线为轴，以点为原点建立直角坐标系，求出直线的解析式为；同理可得：直线的解析式为，联立求解即可； （2）分三种情况：当点在边上时；当点在边上时；当点在边上时；分别求解即可； （3）由折叠可得：，，证明，从而得出，得出点、到的距离相等，推出，进而得出直线的解析式为，设，作轴于，则，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：初步运用：∵直线的关系式为， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴； 迁移探究：（1）如图，以直线为轴，直线为轴，以点为原点建立直角坐标系， ， ∵，，， ∴，，，， 设直线的解析式为， 将，代入直线可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴； （2）存在， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 当点在边上时，如图， ， ∵是一个等腰三角形，， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴， ∴， ∴； 当点在边上时，，，且，此时不可能为等腰三角形； 当点在边上时，如图，设， ， ∵是一个等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，或； （3）由折叠可得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、到的距离相等， ∴， 由（1）可得直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设，如图，作轴于， ， 则，， ∴由勾股定理可得，，即， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数综合、待定系数法求一次函数解析式、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 61．阅读理解：对于线段和点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q是线段的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知三个点：，则这三点中，可以做为线段的“等距点”是_______，线段的“完美等距点”是_______； (2)若坐标原点O为线段的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点H在坐标平面内，且H是线段的“完美等距点”，请直接写出点H的坐标．（注意：在平面内有两点，其两点间的距离公式为） 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可； （3）先求出或，根据 “完美等距点”的定义得到，构造“三垂直全等”求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是“等距点”； ∵， ∴， ∴C不是“等距点”； ∵， ∴， ∴是“等距点”， ∵， ，， ∴是“完美等距点”， 故答案为：，； （2）解：∵点是直线上一动点， ∴， ∴， 而，，原点O为线段的“等距点” ∴， ∴， ∴， 解得：, ∴或； （3）解：设，由， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∵H是线段的“完美等距点”， ∴， 线段上方的点H记为，过点作轴的垂线，再过点分别作垂线的垂线，垂足为，如图： 则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 设， 则， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， 点线段下方的点H记为，构造同样辅助线， 同理可求：； 当时，线段上方的点H记为，线段下方的点H记为，构造同样的辅助线，如图： 同上可求：， 综上所述，“完美等距点”的坐标为：或或或． 【点睛】本题综合考查了正比例函数与几何知识的应用，考查了两点间距离公式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 【详解】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、、于点、，，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 同理：， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，分别以的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，，其中，连接交于点，连接．若与的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，，，再根据三角形面积公式得出，从而可得为直角三角形，即，过点作交于，连接，则，从而可得为等腰直角三角形，进而得出，证明，得出，，再证明，得出，结合题意求出，，由勾股定理可得，，设点到的距离为，再由等面积法计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，，， ∵与的面积之和等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 如图，过点作交于，连接， ， 则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点到的距离为， ∵， ∴， ∴点到的距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】选项A结合直角三角形斜边中线定理，将转化为两线段和的最小值问题，通过两点之间线段最短及勾股定理计算验证； 选项B先通过全等三角形转化线段，再利用勾股定理和完全平方公式推导线段和的最大值； 选项C、D则通过作对称点构造将军饮马模型，将折线段和转化为直线段，结合勾股定理求最小值，以此判断各选项的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，； 对于选项A，如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴是斜边的中线， ∴，则， 当点，，共线时，有最小值，由勾股定理得，故选项A错误； 对于选项B，∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最大值为，故选项B正确； 对于选项C，如图，取的中点，以为对称轴作点，的对称点，，则，， ∵， ∴，， 当点，，，共线时，最小， 由勾股定理得，故选项C正确； 对于选项D，以为对称轴作点的对称点，则， ∴，当点，，共线时，和最小， 由勾股定理得，即的最小值为，故选项D正确； 综上，结论错误的是选项A． 4．（2026·安徽宣城·一模）如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】先推导出点P在平行于且与的距离为1的直线上运动，过P作直线交于，过点D作于，根据垂线段最短，结合含30度角的直角三角形的性质和矩形的性质可判断选项A、B；在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，根据轴对称性质结合勾股定理判断选项C、D，进而可得答案． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴，则点P在平行于且与的距离为1的直线上运动， 如图，过P作直线交于，过点D作于， 则， 当时，最小，最小值为，故选项A正确，不符合题意； 当时，最小，最小值为的长， 过D作延长线于K，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴，即的最小值为，故选项B正确，不符合题意； 在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，连接交直线l于点，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为，故选项D正确，不符合题意； 连接并延长交直线l于点，此时最大，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误，符合题意． 5．（25-26九年级上·安徽·期中）如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短、全等三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长，理解垂线段最短是解题的关键．根据题意证明，可得的周长为，当最小时周长最小，而，进而可得当时最小，求得此时的周长即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 的周长为 ， 是等腰直角三角形， ， 如图，当时，最小，   正方形的边长为8， ， ， 的周长的最小值为， 故选：A． 6．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查正方形折叠的性质、等边三角形判定、角度计算与线段关系，运用折叠对称性与几何推理思想，关键是结合正方形性质和折叠性质分析各结论，易错点是折叠后线段、角度的等量关系推导错误；解题思路是根据正方形折叠的对称性，逐一分析每个结论，结合等边三角形判定、角度计算和线段比例推导． 【详解】解：①折叠后是的对称轴（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），因此，即①正确； ②设正方形边长为，由折叠可知是正方形的中垂线，故，． 折叠后， ∵在中，， ∴， ∴为等边三角形； 即②正确； ③∵四边形为正方形， ∴, 又∵，为等边三角形； ∴，， ∴为等腰三角形； ∴, ∴； 即③正确； ④设正方形边长为2，则，，； 在中， ， ， ∵，为等边三角形，是的中点， ∴，， ∴即④正确． 故选D． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是________； （2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点，点A，点B的坐标，根据即可求解； （2）分点在线段上和在点的右边进行讨论计算即可求解． 【详解】解：（1）令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式是． 故答案为：． （2）由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴， 当点在线段的处时，如图， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得， ∴点的坐标为； 当在点的右边处时，如图， 连接并延长交于点， ∵， ∵轴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴点与点关于点对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，则的面积_____________． 【答案】 【分析】本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，解题的关键是：一是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律．先由直线与y轴的夹角是，得出…都是等腰直角三角形．得出，得出点的横坐标为1，得到当时，，点的坐标为 ，点的横坐标当时，得出点的坐标为，以此类推，最后得出结果． 【详解】解：在第一象限内任取直线上一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点Q、R，则分别代表点P的纵坐标与横坐标，即有：，则四边形是正方形，平分 ∴直线与y轴的夹角是， ∴…都是等腰直角三角形． 令，代入直线中得，得到点A的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴当时，点的坐标为， ∴， ∴点的横坐标 当时，得出点的坐标为， ， 以此类推，得， ， 当时得到：， 时得到：， ∴， 的面积 故答案为：． 9．（25-26九年级下·湖北黄石·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 【答案】(1) (2)存在点P， (3)或或或 【分析】（1）由非负数的性质得，即可得出结论； （2）过点C作轴于点E，求出，再由面积法求出，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①，时，过点P作轴于点F，证，得，当点P在第二象限时，，点P的坐标为；当点P在第三象限时，，点P的坐标为； ②，时，过点P作轴于点G，同①得，则，当点P在第一象限时，，点P的坐标为；当点P在第三象限时，，点P的坐标为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：存在点P，使的面积与的面积相等，理由如下： 如图1，过点C作轴于点E，则轴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积， ∴， 解得：， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； （3）解：分两种情况： ①，时，如图2，过点P作轴于点F， 则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点P在第二象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； ②，时，如图3，过点P作轴于点G， 则， 同①得：， ∴， 当点P在第一象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，“小K点”的坐标为或或或． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出： （1）如图①，已知中，，，，点D为边上任意一点，连接．若与面积相等，则线段_________． 问题探究： （2）如图②，，点M和N分别是射线和上的动点，且．点P在内，为等边三角形．连接．求线段的最大值． 问题解决： （3）如图③，矩形为一块试验田示意图，，．点E是边的中点，点F在边上，点G在矩形内，且，的面积为．现计划修两条小路和（小路的宽度不计），预计在和中分别种植甲，乙两种经济作物．请问小路是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，的最小值为，此时的面积为 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据与面积相等可知，再根据直角三角形斜边中线定理即可求解； （2）取的中点，连接、，根据直角三角形斜边中线定理求出，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据两点之间线段最短的性质即可求解； （3）过点作交于点，取的中点，取的中点，连接、、、，根据矩形的性质与判定得到，则，得到，进而得到，根据直角三角形斜边中线定理求出，根据勾股定理求出，再根据两点之间线段最短的性质求出的最小值，再利用三角形之间的面积比例关系即可求出的面积． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵与面积相等， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图，取的中点，连接、， 则， ∵ ∴， ∵为等边三角形，点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最大值为； （3）如图，过点作交于点，取的中点，取的中点，连接、、、， ∵点E是边的中点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴当三点共线时，的最小值为； 当三点共线时，连接，如图， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴综上所述，的最小值为，此时的面积为． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、矩形的性质与判定、线段最值问题、勾股定理、二次根式的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要几何推理和较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期末）我们新定义一种三角形：两边平方的差等于第三边平方的两倍的三角形，叫作“倍差三角形”．例如：某三角形三边长分别是3、、，因为，所以这个三角形是倍差三角形． (1)判断边长分别为2、、4的三角形是否为倍差三角形？并说明理由； (2)小鲲同学认为存在一个三角形既是直角三角形也是倍差三角形，为了验证他的想法是否正确，他尝试进行了如下证明： 如图1，在中，，，，． … （请补充他的证明过程） (3)如图2，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O为坐标原点，顶点分别在轴正半轴上，将长方形沿对角线所在的直线折叠，使得点B落在点D处，交y轴于点N，点B坐标为，若为倍差三角形，请求出a的值及D点坐标． 【答案】(1)这个三角形是倍差三角形，理由见解析 (2)小鲲同学的想法不正确，证明见解析 (3)a的值为，点D的坐标为 【分析】（1）根据倍差三角形的定义进行计算验证判断即可； （2）由勾股定理可得或，分三种情况验证倍差三角形定义，均推出无意义结论，由此求解即可； （3）根据长方形的性质和折叠的性质可利用证得，则有，，设，，在中，，由为倍差三角形可分析得出，进而可得出，通过方程消元整理可得，在中，再次利用勾股定理解得n值，进而求；过点D作轴，轴，利用等面积法有，进而可得点D的横坐标，最后再次利用勾股定理即可求得点D的纵坐标． 【详解】（1）解：这个三角形是倍差三角形，理由如下： ， 这个三角形是倍差三角形； （2）证明：在中，，，，， ， 则有或， 而倍差三角形要求“两边平方差第三边平方的2倍”，即需满足： 或或， ①若，结合，则，即，无意义； ②若，结合，则，则，无意义； ③若， 是斜边，，， ，等式不成立； 综上所述，直角三角形无法满足倍差三角形的定义， 不存在既是直角三角形又是倍差三角形的三角形，小鲲同学的想法不正确； （3）由题意得：在长方形中，，，， 由折叠可知：，，， 在和中， ， ， ，， 设，， 在中，， 即， 由于为倍差三角形， ， ，无法满足倍差三角形定义， 则， ， 在中，， ， 即， ， 在中，， 即， ， ， 即，， ， 如图，过点D作轴，轴， 在中，， 即， ，即， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上，a的值为，点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了新定义几何图形的理解与应用，勾股定理及变形应用，长方形、图形折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系中利用面积法、勾股定理求点的坐标等，紧扣倍差三角形的定义，排除无效边长平方差组合，确定有效等式，利用折叠和长方形的性质证明三角形全等，得到关键等量关系，设立恰当的未知数结合勾股定理列方程，通过消元法求解，求坐标时用面积法求出关键线段，结合垂线构造直角三角形确定坐标是解题的关键． 12．（25-26八年级下·湖北随州·期中）已知正方形的边长为，点F从点B出发，沿射线方向以的速度移动，点E从点D出发，向点A以的速度移动（不与点A重合），设点E，F的运动时间为． (1)如图①，在点E，F移动的过程中，连接，则的形状是______． (2)如图②，连接，设交于点M，连接，求证：； (3)如图③，点G，H分别在边上，且，连接，当与的夹角为时，求t的值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过证明得到，则易推知是等腰直角三角形； （2）过点作，交于点，，，可证，得到； （3）连接，，设与交于，通过证明四边形是平行四边形得到，由勾股定理计算得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：等腰直角三角形， 理由如下： 四边形是正方形， ， ∴， 根据题意可得：， 在和中， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， 由题意得，， 如图，过点作，交于点，   ， 则， ， ， 在与中， ， ， ； （3）解：如图3，连接，，设与交于，    由（）得为等腰直角三角形， ∴， 由题意得，， ， ∵正方形中，， 四边形是平行四边形， ， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ． 13．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 (3)①；②或 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理得出，，即可证明结论； （3）①连接、，设，交于点M，证明，得出，证明，根据解析式（2）得出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可； ②当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；当时，同理可得． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； （2）解：猜想：． 理由：∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． （3）解：连接、，设，交于点M，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 当时， 同上可求此时， 过点P作于点D， 同上可证：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， 综上：或． 14．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 15．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线分别交轴，轴于点，点，其中，，直线交直线于点，分别交轴，轴于点，点． (1)如图，当时． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，若的面积等于面积的2倍，求点的坐标． (2)若直线与的夹角等于，求的值． 【答案】(1)①；②或． (2)或． 【分析】（1）①先运用待定系数法求得直线的解析式为，当时，直线，即，然后联立即可求得点C的坐标；②先求得，、，易得，则；再求得；设点，则，然后分点P在点C的左侧和右侧两种情况解答即可． （2）联立可得，如图：过B作于D，易得是等腰直角三角形可得，即，然后根据两点间距离公式列方程组求解即可． 【详解】（1）解：①设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，直线，即， 联立，解得：， ∴． ②∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点，则， 如图：当点P在点C的左侧时，， ∴，解得：， ∴； 如图：当点P在点C的右侧时，， ∴，解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或． （2）解：联立，解得：， ∴， 如图：过B作于D， ∵直线与的夹角等于， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 设，， ∴，， ， ∴， 解得：或． 16．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对于给定的一次函数（，为常数），把形如（，为常数）的函数称为一次函数的关联函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． ②若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． (2)如图1，一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，的面积为，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足，它的关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1)①3；②1或 (2) (3)或或． 【分析】（1）①写出一次函数的关联函数，再根据点E的坐标中横坐标的符号代入相应的解析式中即可求解； ②分n为非负与负的情况考虑即可； （2）易得一次函数（，k、b为常数）的关联函数，由点P在上得k、b的方程；再由面积条件得点N的坐标，从而得k、b的中一个方程，解方程组即可求解； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当关联函数图象经过点A时，与平行四边形有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：①一次函数的关联函数为， ∵点中横坐标为负， ∴； ②当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，n的值为1或； （2）解：一次函数（，k、b为常数）的关联函数为， ∵P点坐标是， ∴点P在函数图象上， 即； 如图，设与y轴交于点F， ∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，， ∴轴， ∴， ∵的面积为， 即， ∴， ∵， ∴， ∵点N在函数图象上， ∴， 联立①②，解得：， ∴； （3）解：∵满足， ∴， 则，即， 当时，，即过定点， ∴一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象过点与， ∴，且点在平行四边形内， 设关联函数与y轴的交点为G， 如图2，点G沿y轴向上平移的过程中，当关联函数图象经过点A时，平行四边形有三个交点， 把代入中，得， 解得：， ∴， ∴当时，关联函数的图象恰好与平行四边形有两个交点， 即， ； 当点继续沿y轴向上平移，关联函数图象经过点时，与平行四边形有三个交点，当关联函数经过点时，则，不符合题意，如图3， ∴当时，关联函数与平行四边形恰好有两个交点， 即， 解得：； 当点继续沿y轴向上平移，如图4， 此时，关联函数与平行四边形恰好有两个交点， 即，解得：； 综上，当关联函数与平行四边形恰好有两个交点，k的取值范围为或或． 17．（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算 ，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4)准确性较高，原因见解析 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于， ， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 压轴真题专项训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式综合 1 题型二、勾股定理的应用 4 题型三、特殊平行四边形多结论判断 9 题型四、几何最值问题 12 题型五、四边形折叠问题 15 题型六、特殊平行四边形综合证明与计算 18 题型七、新定义问题 21 题型八、阅读理解型问题 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式综合 1．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 3．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 4．设，其中n为正整数，则____． 5．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整． ； ； …… 由此，我们可以解决下面这个问题： ，求出S的整数部分． 解： …… ∴S的整数部分是________． 6．阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 7．【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离．    题型二、勾股定理的应用 8．如图，是边长为6的等边三角形，点E在上且，点D是直线上一动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接的最小值是（　　） A． B． C．4 D．6 9．如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 10．如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 11．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 12．如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为_______． 13．如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论： ， ， ， ，其中正确的有______． 14．如图，在中，，若是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，连接． (1)求证： (2)试说明 (3)把点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，直接写出的值． 15．【阅读材料】调查数据显示，某小区居民平均每周去卖场的频数F与卖场的占地面积s（单位：）以及卖场与居住小区的距离h（单位：m）有关，如图1是频数F与之间关系的散点图．根据散点图可知，F与之间关系可合理估计为（k 为定值，）； 【理解应用】如图2，乙卖场（B点）位于甲卖场（O点）的正东方向，安居小区（A点）位于甲卖场的东偏南方向，过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与，甲卖场的占地面积为．记乙卖场的占地面积为p，甲乙两卖场之间的距离为q，安居小区居民平均每周去甲卖场与乙卖场的频数分别为与． (1)求；（用含k的代数式表示） (2)若，，求p的范围． 16．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 17．阅读与理解： 勾股定理是初等几何的一个基本定理，我国清代数学家梅文鼎给出了其中一种证明方法，如图1所示：以的三边分别向外作三个正方形；延长和交于点，连接并延长分别交和于点，，延长交于点，延长交于点．然后，通过证明，得到，，所以，进一步得到四边形为平行四边形．因为，所以与正方形同底等高，与长方形等底等高，所以正方形与长方形的面积相等．同理可得正方形与长方形的面积相等．证得正方形与正方形的面积和等于正方形的面积，从而证得勾股定理． （1）如图2，以三边为直径向外分别作三个半圆，其半圆的面积分别表示为、、则它们的数量关系为_____；如图3，以三边为直角边分别作等腰直角三角形，等腰直角三角形，等腰直角三角形．若图中阴影部分的面积分别为、、、，则它们的数量关系为_____（用含、、、的式子表示）． 思考与拓展： 从梅文鼎的证明方法中，不难发现是以平行四边形的面积作为“桥梁”，用等积变换得到三个正方形的面积关系．进一步思考：将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作法如下（如图4）： ①分别以直角边、为边向外作和； ②分别延长，交于点； ③作射线与相交于点，在射线上截取； ④过点作的平行线，并在直线上截取，连接、，即得． （2）如图4，在和中，若，，，，，求的面积． 题型三、特殊平行四边形多结论判断 18．如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①；②；③；④若，则． 其中正确的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 20．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 21．如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③ 22．如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点，点在边上，，连接分别交和于点，，动点在上，于点，连接，有下列4个结论①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．如图，在矩形中，O为的中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是的中点，且，则下列结论：①；②；③四边形为菱形；④．其中正确的是 ________．（填序号）      24．如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交于点，下列说法：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 25．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，，点F在射线上，且，过点F作的平行线交的延长线于点H，与相交于点G，连接，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③的面积为；④；其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号） 题型四、几何最值问题 26．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 27．如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（   ）    A．2 B． C． D．4 28．如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 29．如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 30．如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为____________． 31．在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 32．如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 33．如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系． (3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 题型五、四边形折叠问题 34．如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 35．如图，正方形，E，F分别在边上，将正方形沿折叠，点D的对应点是点G，点C的对应点H在边上，与交于点M，连接．下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．如图，在正方形中，点E为中点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接交于点G，延长交于点H，连接并延长交于点I，连接．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 37．如图，已知长方形纸片的长，宽，点均在上(在左侧)，先将纸片沿折叠，记点的对应点为，再将纸片沿折叠，使得的对应线段，连接，若折叠过程保持，分别在长方形的外部和内部，当时，的长为_____． 38．如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 39．【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 40．如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 题型六、特殊平行四边形综合证明与计算 41．如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 42．如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点E在线段上，动点在线段上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 43．如图，正方形中，点分别在上，与相交于点，若，边长，则线段的长为_____． 44．如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是______． 45．如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 46．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)性质探究：如图1，已知：四边形中，E、F、G、H分别是、的中点，交于点O，，且，求证：四边形是“中方四边形”； (2)问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； (3)拓展应用：如图3；已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，若，求的最小值． 47．在矩形中，，，、分别是、中点，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形，说明理由． (2)若四边形为矩形，求的值． (3)若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则的值为 ．（直接写出结果） 48．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 题型七、新定义问题 49．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．关于x的新函数定义如下： （1）当时，： （2）当（p是正整数，q是整数，，且p，q不含除1以外的公因数）时，； （3）当x为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有： ③若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值； ④若，则满足的自变量x的取值共有12个． 正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．平面直角坐标系中，第一象限内点，我们定义：和两个值中的最大值为点P的“倾斜系数”k．比如：点的“倾斜系数”为3．如图，现有边长为2的正方形沿直线运动，是正方形上任意一点，且点P的“倾斜系数”，则a的取值范围为___________ 53．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当 时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是______． 54．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“友好函数”． 例如：图①是函数的图象，则它关于点的“友好函数”的图象如图②所示，且它的“友好函数”的解析式为． (1)请在网格中画出函数关于点的“友好函数”图像，并直接写出它的解析式． (2)如图③，点是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“友好函数”． ①当时，若函数的函数值取值范围是，求自变量的取值范围； ②如图④，以点、、、为顶点的矩形，当矩形与函数的图象只有两个公共点时，求的取值范围； ③在②中若函数图像上方与矩形围成图形面积为时，直接写出值？ 55．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 56．在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． (1)已知，点，． ①在点，，，中，线段的“相随点”是______； ②若点为线段的“相随点”，连接，直接写出的最小值：______． (2)已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 题型八、阅读理解型问题 57．阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 58．【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】如图①，若，则四边形______（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，______； (3)【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； (4)【拓展提高】如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，请直接写出的长． 59．折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养． 【操作发现】 如图，一张菱形纸片，，，E，F分别为边，上的两个动点，小明将菱形纸片沿着EF翻折，得到四边形，点A，B的对应点分别为点，．他发现了：点E从点A开始运动到点D结束的过程中，总能找到一个点F，使得点，C，三点在同一直线上． 【深入探究】 操作 探究内容 图形 操作一 当点E位于中点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点D，，C，四个点在同一直线上. 操作二 将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且得到是直角三角形. 操作三 当点E位于靠近点D的三等分点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且与交于点G. 【解决问题】 （1）根据操作一探究内容，求证：； （2）根据操作二探究内容，当为直角三角形时，求的长度； （3）根据操作三探究内容，直接写出的长度． 60．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则直角梯形的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点B为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点，点，可求点F坐标为，点H坐标为． ③由点A和点H的坐标求出直线的关系式为． ④因为点M的横坐标为6，且点M在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点N坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出直角梯形的面积为______． 【迁移探究】如图3，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础下，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点，请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图4，在题（1）建立的直角坐标系下，沿着直线折叠得到，请求点的坐标． 61．阅读理解：对于线段和点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q是线段的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知三个点：，则这三点中，可以做为线段的“等距点”是_______，线段的“完美等距点”是_______； (2)若坐标原点O为线段的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点H在坐标平面内，且H是线段的“完美等距点”，请直接写出点H的坐标．（注意：在平面内有两点，其两点间的距离公式为） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，分别以的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，，其中，连接交于点，连接．若与的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（2026·安徽宣城·一模）如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 5．（25-26九年级上·安徽·期中）如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是________； （2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，则的面积_____________． 9．（25-26九年级下·湖北黄石·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出： （1）如图①，已知中，，，，点D为边上任意一点，连接．若与面积相等，则线段_________． 问题探究： （2）如图②，，点M和N分别是射线和上的动点，且．点P在内，为等边三角形．连接．求线段的最大值． 问题解决： （3）如图③，矩形为一块试验田示意图，，．点E是边的中点，点F在边上，点G在矩形内，且，的面积为．现计划修两条小路和（小路的宽度不计），预计在和中分别种植甲，乙两种经济作物．请问小路是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的面积；若不存在，请说明理由． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期末）我们新定义一种三角形：两边平方的差等于第三边平方的两倍的三角形，叫作“倍差三角形”．例如：某三角形三边长分别是3、、，因为，所以这个三角形是倍差三角形． (1)判断边长分别为2、、4的三角形是否为倍差三角形？并说明理由； (2)小鲲同学认为存在一个三角形既是直角三角形也是倍差三角形，为了验证他的想法是否正确，他尝试进行了如下证明： 如图1，在中，，，，． … （请补充他的证明过程） (3)如图2，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O为坐标原点，顶点分别在轴正半轴上，将长方形沿对角线所在的直线折叠，使得点B落在点D处，交y轴于点N，点B坐标为，若为倍差三角形，请求出a的值及D点坐标． 12．（25-26八年级下·湖北随州·期中）已知正方形的边长为，点F从点B出发，沿射线方向以的速度移动，点E从点D出发，向点A以的速度移动（不与点A重合），设点E，F的运动时间为． (1)如图①，在点E，F移动的过程中，连接，则的形状是______． (2)如图②，连接，设交于点M，连接，求证：； (3)如图③，点G，H分别在边上，且，连接，当与的夹角为时，求t的值． 13．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 14．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 15．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线分别交轴，轴于点，点，其中，，直线交直线于点，分别交轴，轴于点，点． (1)如图，当时． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，若的面积等于面积的2倍，求点的坐标． (2)若直线与的夹角等于，求的值． 16．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对于给定的一次函数（，为常数），把形如（，为常数）的函数称为一次函数的关联函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． ②若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． (2)如图1，一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，的面积为，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足，它的关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则k的取值范围是______． 17．（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算 ，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $