精品解析：2026年广西壮族自治区崇左市大新县第二次初中学业水平考试数学卷

2026年崇左市大新县第二次初中学业水平考试数学卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列式子中是分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（ ）     A. B. C. D. 5. 对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组的解集是，则的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，直线，相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点在边上，且平分．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是⊙O的直径，，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 11. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款控制的机器人每秒完成0.0000005次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为________． 14. 若，则________． 15. 一个不透明的袋中装有个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出两个球（一次摸出两个），两个球都是红球的概率为，则摸出的两个球颜色不同的概率为_______． 16. 如图，在中，，点是斜边的中点，点在的延长线上，，延长与交于点．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 18. “逢人便说杏花村，汾酒品牌天下闻”，山西汾酒以其入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长特色而著称．某酿酒车间原来采用传统工艺酿造原酒，现在改用智能化设备酿造原酒，其日均产量比采用传统工艺提高．已知采用传统工艺酿造126千升原酒所用的时间，比采用智能化设备酿造147千升原酒所用的时间多3天．求采用智能化设备每天可酿造原酒多少千升？ 19. 在实数范围内定义一种运算★，其运算规则是，如，根据这个规则解决问题： （1） （2）解不等式： （3）小明在解方程发现，无论取何值，都有，使上式成立，求出，的值． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，，，求菱形面积． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，交于点．连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 22. 如图，某小区入口处安装“曲臂杆”，，，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，没有车辆通过时，O、C、D共线，，当车辆通过时，曲臂杆升起，部分始终与平行，当曲臂杆绕点O旋转升高到时，， E到的距离是，当曲臂杆升高到最高位置时，．求点F到地面的距离．（结果精确到米）（参考数据： ） 23. 综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线．某校科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为米时达到最高，高度为米． 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，水火箭在地面的发射点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 问题解决：已知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，为保障观测安全，在发射点正前方，处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别装有摄像头，，两个摄像头距地面的高度均为米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为米，求两个测量标杆之间的水平距离； （3）在此次实验中，水火箭不能落在着落区域，其中点到发射点的距离为米，点到发射点的距离为米．如图，若在点处放置一个高度为米的发射架，从发射架顶端点发射水火箭时，水火箭正好落在着落区域（包含，两点），请直接写出发射架的高度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年崇左市大新县第二次初中学业水平考试数学卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列式子中是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义即可判断． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的相关运算法则，需根据同底数幂乘法，完全平方公式，合并同类项法则，平方差公式分别计算各选项，判断正误即可． 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； 选项B：∵根据完全平方公式展开， ∴，B错误； 选项C：∵和不是同类项，不能合并， ∴无法计算为，C错误； 选项D：∵根据平方差公式计算， ∴ ，D正确． 3. 在函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时满足二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，据此列不等式求解即可. 【详解】∵函数 中， 是二次根式且在分母位置， ∴被开方数需满足 ，同时分母满足 ， 联立得 ， 解得 ． 4. 如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 5. 对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则，结合已知条件列出关于,的二元一次方程组，解出,后计算的值即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得：， ∴． 6. 如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设每块墙砖的长为，宽为，利用“3块横放比1块竖放高”和“2块横放比2块竖放低”这两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为 ∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为  ∴ 可得方程：，即  ∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为  ∴可得方程：，即  ∴ 联立可得方程组：． 7. 若关于的不等式组的解集是，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知解集对应端点，建立关于的方程，求出的值后即可计算． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集是， ∴，解得， ∴． 8. 如图，直线，相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由“对顶角相等”得到，利用求解即可． 【详解】解：直线，相交于点， ， ， ， 即， ． 9. 如图，在中，，，点在边上，且平分．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得，，再利用角平分线的定义、等角对等边可得，进而得到，即；最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（已舍去负值）． 10. 如图，已知是⊙O的直径，，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，得出，证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、， 是⊙O的直径， ， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ． 11. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，在中利用三角函数或勾股定理求出的长，进而求出的长，最后在中求出的长． 【详解】解：，，  是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， 是的中点， ， 在中，， ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值． 【详解】解：把代入， 得， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， ， 把，代入， 得， ， 一次函数的解析式为； 令，则， 一次函数与轴的交点为， 此时，最大，即为所求， 令，则， ， 如图，过点向轴作垂线， 则， ，， 由勾股定理可得：， 故所求的最大值为． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款控制的机器人每秒完成0.0000005次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将数据0.0000005用科学记数法表示为． 14. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式，用含的代数式表示，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：， ， ∴ ． 15. 一个不透明的袋中装有个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出两个球（一次摸出两个），两个球都是红球的概率为，则摸出的两个球颜色不同的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知“两个球都是红球”的概率求出蓝球的个数，然后根据题意，列出表格，可得一共有42中等可能结果，其中摸出的两个球颜色不同的有24种，再计算摸出两个颜色不同的球的概率即可． 【详解】解：∵从袋中随机摸出两个球（一次摸出两个），两个球都是红球的有种情况， ∵两个球都是红球的概率为， ∴一共有种等可能情况， ∵一次摸出两个，且， ∴袋子中意共有7个球， ∴蓝球有3个， 根据题意，列出表格，如下： 红1 红2 红3 红4 蓝1 蓝2 蓝3 红1 （红2，红1） （红3，红1） （红4，红1） （蓝1，红1） （蓝2，红1） （蓝3，红1） 红2 （红1，红2） （红3，红2） （红4，红2） （蓝1，红2） （蓝2，红2） （蓝3，红2） 红3 （红1，红3） （红2，红3） （红4，红3） （蓝1，红3） （蓝2，红3） （蓝3，红3） 红4 （红1，红4） （红2，红4） （红3，红4） （蓝1，红4） （蓝2，红4） （蓝3，红4） 蓝1 （红1，蓝1） （红2，蓝1） （红3，蓝1） （红4，蓝1） （蓝2，蓝1） （蓝3，蓝1） 蓝2 （红1，蓝2） （红2，蓝2） （红3，蓝2） （红4，蓝2） （蓝1，蓝2） （蓝3，蓝2） 蓝3 （红1，蓝3） （红2，蓝3） （红3，蓝3） （红4，蓝3） （蓝1，蓝3） （蓝2，蓝3） 一共有42种等可能结果，其中摸出的两个球颜色不同的有24种， 所以摸出的两个球颜色不同的概率为． 16. 如图，在中，，点是斜边的中点，点在的延长线上，，延长与交于点．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，先根据勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，解直角三角形，得出，根据以及三角形的外角的性质可得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作于点 ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴； ∵点是斜边的中点， ∴， 在中，； ∵， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. “逢人便说杏花村，汾酒品牌天下闻”，山西汾酒以其入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长特色而著称．某酿酒车间原来采用传统工艺酿造原酒，现在改用智能化设备酿造原酒，其日均产量比采用传统工艺提高．已知采用传统工艺酿造126千升原酒所用的时间，比采用智能化设备酿造147千升原酒所用的时间多3天．求采用智能化设备每天可酿造原酒多少千升？ 【答案】采用智能化设备每天可酿造原酒9.8千升 【解析】 【分析】设采用传统工艺每天可酿造原酒x千升，则采用智能化设备每天可酿造原酒千升．根据题意，列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设采用传统工艺每天可酿造原酒x千升，则采用智能化设备每天可酿造原酒千升． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，并且符合实际意义． 当时，． 答：采用智能化设备每天可酿造原酒千升． 19. 在实数范围内定义一种运算★，其运算规则是，如，根据这个规则解决问题： （1） （2）解不等式： （3）小明在解方程发现，无论取何值，都有，使上式成立，求出，的值． 【答案】（1） （2） （3） ， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件中的新定义进行计算即可； （2）根据已知条件中的新定义列出关于的不等式，按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式即可； （3）根据新定义把方程化成一般形式，根据无论取何值，都有，使上式成立，列出关于，的方程组，解方程组求出，即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵， ∴，解得． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ． ∵无论取何值，都有，使上式成立， ，解得． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，，，求菱形面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； （2）12 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得，，再结合已知条件，得，结合，可知四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）由（1）可知，，，根据勾股定理可求得，由菱形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ， 菱形的面积． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，交于点．连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，与交于点H，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用垂径定理得到，利用三角形的中位线定理得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点． 是直径， 平分， ， ， ， ， ， ． 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：的半径为5， ，． 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ， ． 由（1）知， ， ， ， ， ． ． 22. 如图，某小区入口处安装“曲臂杆”，，，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，没有车辆通过时，O、C、D共线，，当车辆通过时，曲臂杆升起，部分始终与平行，当曲臂杆绕点O旋转升高到时，， E到的距离是，当曲臂杆升高到最高位置时，．求点F到地面的距离．（结果精确到米）（参考数据： ） 【答案】 【解析】 【分析】过点E作交于H，于M，过点F作交于G，于N ， 先推导出，，，，得到四边形是矩形，，求出，，得到，则，继而 推导出，得到，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点E作交于H，于M，过点F作交于G，于N ， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴点F到地面的距离为． 23. 综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线．某校科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为米时达到最高，高度为米． 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，水火箭在地面的发射点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 问题解决：已知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，为保障观测安全，在发射点正前方，处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别装有摄像头，，两个摄像头距地面的高度均为米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为米，求两个测量标杆之间的水平距离； （3）在此次实验中，水火箭不能落在着落区域，其中点到发射点的距离为米，点到发射点的距离为米．如图，若在点处放置一个高度为米的发射架，从发射架顶端点发射水火箭时，水火箭正好落在着落区域（包含，两点），请直接写出发射架的高度的取值范围． 【答案】（1）（） （2）两个测量标杆之间的水平距离为米 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，设抛物线的函数表达式为， 代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，它距离地面的高度为9米， 把代入，解方程即可求解； （3）依题意，，，分别代入，求得的值，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为（）． 【小问2详解】 解：∵两个摄像头距地面的高度均为2米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为7米， ∴当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，它距离地面的高度为9米， 把代入中，得， 解得，， ∴两个测量标杆之间的水平距离为（米）． 答：两个测量标杆之间的水平距离为米． 【小问3详解】 解：依题意，，， 新抛物线的解析式为， 将，代入解析式得，， 解得：； 将，代入解析式得， 解得：； ∴水火箭正好落在着落区域（包含，两点），发射架的高度的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $