湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学纠错小卷9

**基本信息** 聚焦立体几何空间关系，通过多题型覆盖线面平行垂直、空间角、体积等核心考点，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间位置关系|多选题1-4|判断共面、共点、线面平行垂直|从几何体结构到点线面关系判定，构建空间直观认知| |空间量计算|填空题5-6、解答题7-10|轨迹长度、周长最小值、体积与距离|从定性分析到定量计算，形成“位置关系→度量计算”逻辑链|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学纠错小卷9（原卷版） 时间：2026-5-22 范围：人教版必修2第八章（8.1---8.5） 一、多选题 1．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D．在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 2．如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 3.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 4.（多选）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1为正方形，底面ABCD为长方形，M，N，P分别为CC1，DD1，A1D1的中点，则下列结论错误的是（　） A．A1B∥平面PD1C B．A1B⊥平面AMN C．BC1∥平面AMN D．BC1⊥平面PMN 二、填空题 5．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为____________. 6.如图，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F分别是棱AB，的中点，E为棱AC上的动点，则DEF周长的最小值为_____． 3． 解答题 7.如图，长方体中，，点M为的中点．    (1)求证：平面BDM； (2)求点C到平面BDM的距离． 8.如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 9.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 10.如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学纠错小卷9（解析版） 时间：2026-5-22 范围：人教版必修2第八章（8.1---8.5） 一、多选题 1．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D．在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 1．ABC 【分析】对于A，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于B，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于C，先考虑侧面，再考虑两个底面；对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条直线. 【详解】对于A，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故A正确； 对于B，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故B正确； 对于C，先考虑侧面，3个侧面将空间分为7部分，再考虑两个底面，两个底面切割后将空间分为个部分，C正确； 对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条经过重心且垂直于平面的直线，D错误. 2．如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 2．ABD 【分析】由线面平行的判定定理判断A；由异面直线所成角定义计算判断B；由三棱锥体积计算公式计算判断C；根据等体积法计算判断D. 【详解】对A选项，如图，连接，则为中点，    又为的中点，所以， 又平面平面， 平面，故A选项正确； 对B选项，由A可知，为与所成角或其补角， 由正方体性质可知，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 3.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（　C　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 如图所示，取BC1中点E，连接DE，BE，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B1的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE是异面直线BD与AC所成的角（或所成角的补角），∵AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，∴DE，BD＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE＝60°，∴异面直线BD与AC所成的角为60°． 4.（多选）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1为正方形，底面ABCD为长方形，M，N，P分别为CC1，DD1，A1D1的中点，则下列结论错误的是（　ABC　） A．A1B∥平面PD1C B．A1B⊥平面AMN C．BC1∥平面AMN D．BC1⊥平面PMN 【解析】 对于A：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，易得A1B∥D1C，所以A1，B，C，D1四点共面，可得A1B⊂平面A1BD1C，即A1B⊂平面PD1C，所以A不正确；对于B：连接BM，由题意易得四边形ABMN为矩形，因为A1B与AB不垂直，所以A1B与平面ABMN不垂直，所以B不正确；对于C：因为BC1∩平面ABMN＝B，所以BC1与平面ABMN不平行，即BC1与平面AMN不平行，所以C不正确； 对于D：如图所示，易得MN⊥平面BCC1B1，而BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥EF，取B1C1的中点Q，连接QM，PQ，易得PQ∥MN，即P，Q，M，N四点共面，由题意可得QM∥B1C，因为侧面BCC1B1为正方形，所以B1C⊥BC1，所以BC1⊥QM，又因为MN∩QM＝M，MN，QM⊂平面PQMN，所以BC1⊥平面PQMN，即BC1⊥平面PMN，所以D正确． 二、填空题 5．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为____________. 【分析】取的中点分别为，证明平面即可确定轨迹并求出其长度. 【详解】取的中点分别为，连接， 由分别为的中点，得，同理得， 由，得四边形是平行四边形，则，， 同理，，因此点共面， 而，面，面，则平面， 又平面，于是点在平面内，又点在上底面（含边界）， 因此点在面与面的交线上，点的轨迹为线段， 所以点的轨迹长度为. 6.如图，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F分别是棱AB，的中点，E为棱AC上的动点，则DEF周长的最小值为_____．【答案】+2 【解析】由正三棱柱，可得底面ABC， ∴AB，AC． 在RtADF中，DF＝＝2． 把底面ABC展开与侧面在同一个平面，如图所示， 只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值． 在ADF中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得： DF＝＝． ∴DEF周长的最小值＝+2． 故答案为：+2． 3． 解答题 7.如图，长方体中，，点M为的中点．    (1)求证：平面BDM； (2)求点C到平面BDM的距离． 【详解】（1）在长方体中，令， 则为中点，连接，    由为的中点，得，而平面，平面， 所以平面. （2）设点C到平面BDM的距离为， 长方体中，, 所以， ， ， 所以，又， 由可得，, 即，所以. 故点C到平面BDM的距离为. 8.如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可得证； （2）证明平面，利用线面平行的性质即可证明； （3）过作的平行线交于，求出，证明平面，再根据平面即可得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴点为的中点，又为的中点， ， 平面PAC，平面， 平面. （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下： 由，为中点得， 过作的平行线交于，连接，， 由于，则， ，平面，平面， 平面， 由（1）知平面， 又，平面， ∴平面平面， 又平面， 平面， 所以侧棱上存在一点，使得平面，且. 9.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 10.如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）设，连接，可得，进而可得线面平行； （2）根据题意可知点到平面的距离相等，转换顶点结合锥体体积公式运算求解. 【详解】（1）设，连接， 由题意可知：为的中点，且为的中点，则， 且平面，平面，所以平面. （2）由题意可知：为的中点，则点到平面的距离相等， 则三棱锥的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $