江苏苏州市2025-2026学年高一下学期数学6月练习卷1

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以向量、立体几何、三角函数为主体，通过茅山老子像测量等真实情境题，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量夹角、圆台表面积|基础概念辨析，如第4题单位向量夹角考查空间观念| |多选题|3/18|空间线面关系、复数性质、独立事件|第11题结合硬币抛掷实验，考查概率中互斥与独立的推理意识| |填空题|3/15|长方体外接球、向量夹角、动态平行四边形|第14题双空设计，动态变量取值范围体现数学思维的严谨性| |解答题|5/77|向量运算、正方体线面证明、函数零点、解三角形|第18题以茅山老子像为情境，通过仰角测量、视角优化考查数学语言表达现实世界；第19题角平分线与面积最值综合，发展创新意识|

苏州市2025-2026学年第2学期高一6月练习卷1 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦二倍角公式计算即可. 【详解】. 故选：B 2. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故复数的虚部为. 故选：A. 3.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两角差的正切公式计算求解. 【详解】因为，则. 故选：A. 4.已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直、数量积的运算律以及定义求得即可得解. 【详解】设向量，的夹角为， 已知，是单位向量，若， 则，解得， 所以. 故选：C. 5. 已知向量，若在上的投影向量为，则实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用投影向量公式结合数量积坐标公式计算求解. 详解】向量， 因为在上的投影向量为，则实数. 故选：B. 6. 已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台的母线长，结合圆台的表面积公式可求得该圆台的表面积. 【详解】取圆台的轴截面，如下图所示： 、为圆台的两条母线，由题意可知，，且，， 延长、交于点，则是边长为的等边三角形， 因为，，故为的中位线，则、分别为、的中点， 故，即圆台的母线长为， 因此，该圆台的表面积为. 故选：D. 7. 已知圆锥底面半径为，其侧面展开图是半圆.用一个平行于底面的平面截此圆锥，截去一个高为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形的轴截面，利用勾股定理及相似比求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可得解. 【详解】设圆锥母线为，由题意可得：， 解得， 如图，作出轴截面，其中分别为圆台的上下底面圆的圆心， 则， 可得， . 故选：D. 8. 已知满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和的正切公式可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值. 【详解】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面，下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若， ，则 D. 若，， 则 【答案】BC 【解析】 【分析】由空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一分析四个选项即可. 【详解】若，，则直线,可以平行或异面，故A错误； 由面面平行的推论可知，若，，则，故B正确； 两直线垂直于同一平面，则两直线平行，即， ，则，故C正确； 若，，则或，故D错误. 故选：BC. 10.已知复数、，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则也为纯虚数 C. 若，则是实数 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】设，根据共轭复数的定义、复数的模长公式、复数运算可判断AC选项；取，，结合复数的运算、复数的概念可判断BD选项. 【详解】对于A选项，设，若，则， 所以，A对； 对于B选项，不妨取，，则为纯虚数， 但为实数，B错； 对于C选项，设，若，则， 所以为实数，C对； 对于D选项，不妨取，，则， 但且，D错. 故选：AC. 11. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则与互斥 B. 若，则与不相互独立 C. 若，则与不互斥 D. 若，则与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】当和时，求，利用事件互斥和两事件相互独立的定义分别判断即可. 【详解】设正面1，反面为0， 当时，样本空间为共4个样本点， 所以，， 所以，所以不互斥，故A错误； ， 所以与不相互独立，故B正确； 当时，样本空间为，共8个样本点， 所以共6个样本点，，共4个样本点， 所以，所以与不互斥，故C正确； ，所以与相互独立，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的几何性质，确定球心与半径，利用球的体积公式，可得答案. 【详解】由题意，取长方体的体对角线中点为，可作图如下： 易知点到长方体八个顶点的距离相等，即为外接球球心， 则外接球的半径，所以球的体积. 故答案为：. 13.已知向量满足，则与的夹角为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用模长的平方等于向量的平方以及数量积公式求解. 【详解】，而， 所以，又， 因此与垂直，夹角为. 故答案为：. 14. 在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则________；若，，则的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：用作基底表示，，利用数量积的运算律计算即可；第二空，用作基底表示，，结合数量积的运算律，以及二次函数的最值的求法可求的取值范围. 【详解】第一空：因为，所以， 又，所以， 所以 ； 第二空：因为，所以， 所以， ， 所以 ， 又因为，所以.. 故答案为：3;[1,3] 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，其中，且. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行可得，再结合正切二倍角公式计算即可； （2）由两角差正弦再结合同角三角函数基本关系及二倍角公式化简计算即可. 【小问1详解】 ，且， ， ； 【小问2详解】 由及得； ， ，且， . 16.如图，在正方体中. （1）求证：平面； （2）若平面，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，只要证出即可； （2）根据题意可证得由线面垂直的判定定理得平面，再结合面面垂直判定定理即得证． 【小问1详解】 由正方体的结构特征可知， ，且，所以四边形为平行四边形， 即有，而平面，平面，故平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 由四边形为正方形可知，， 而平面，所以平面， 又平面∴． 因为平面，平面，所以， 由四边形为正方形可知，， 而平面，所以平面， 又平面∴， 而平面，故平面． 又因为平面，所以平面平面. 17.已知函数，. （1）设，将表示成的函数，并写出的取值范围； （2）若，求函数的值域； （3）若函数存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得出，即可得出函数的表达式及定义域； （2）当时，利用二次函数的基本性质求出函数的值域，即为函数的值域； （3）分、、三种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 令， 所以， 故，. 【小问2详解】 当时，的值域即为的值域． ，， 由二次函数单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 故，，故， 因此函数的值域为. 【小问3详解】 若函数存在零点，即函数在区间上存在零点， 即关于的方程在上有解， ①当时，不存在； ②当时，由可得， 当且仅当即时取等号，此时； 同理可得：当时，. 综上：实数的取值范围是． 18.镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． （1）求铜像连同底座的高度； （2）若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ （3）在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，由三角函数的定义表示出，在中由余弦定理列出方程即可求解； （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，分别表示出，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解； （3）根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 由题可知，， 设，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 解得，所以铜像连同底座高度为． 【小问2详解】 设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示， 则，， 在中，，在中，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故组员甲应在距离铜像底座中心处拍照的视角最大． 【小问3详解】 以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示， 则他站位的轨迹为，轨迹长度为． 19.中，内角所对的边分别为，为的角平分线，且，. （1）求的值，并说明理由； （2）求面积的最大值； （3）求与内切圆半径之比的取值范围. 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理边角转化结合诱导公式计算求解； （2）应用余弦定理结合同角三角函数关系及边长关系计算求出最大值； （3）根据边长关系及余弦定理，再应用面积及内切圆半径关系式结合值域计算. 【小问1详解】 设． 在中，；在中，， 所以，则； 因，所以； 【小问2详解】 由（1）知：． 在中，，则， 由得， 所以 因为且， 所以且，解得； 所以当时，； 【小问3详解】 不妨设与内切圆的半径分别为与． 因为且，所以且，解得； 记，则， 所以， 因为（为顶点到AB的距离）， 又， ， 所以，则 ， 因为，所以，所以， 所以与内切圆半径之比的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2025-2026学年第2学期高一6月练习卷1 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4.已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 5. 已知向量，若在上的投影向量为，则实数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥底面半径为，其侧面展开图是半圆.用一个平行于底面的平面截此圆锥，截去一个高为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面，下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若， ，则 D. 若，， 则 10.已知复数、，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则也为纯虚数 C. 若，则是实数 D. 若，则 11. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则与互斥 B. 若，则与不相互独立 C. 若，则与不互斥 D. 若，则与相互独立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为________. 13.已知向量满足，则与的夹角为____________. 14. 在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则________；若，，则的取值范围是________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，其中，且. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 16.如图，在正方体中. （1）求证：平面； （2）若平面，求证：平面平面. 17.已知函数，. （1）设，将表示成的函数，并写出的取值范围； （2）若，求函数的值域； （3）若函数存在零点，求实数的取值范围. 18.镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． （1）求铜像连同底座的高度； （2）若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ （3）在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） 19.中，内角所对的边分别为，为的角平分线，且，. （1）求的值，并说明理由； （2）求面积的最大值； （3）求与内切圆半径之比的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $