精品解析：江苏省如东县第一高级中学等校2025-2026学年高一下学期第二次阶段测试数学试卷

2025－2026学年度第二学期高一年级第二次阶段测试试卷2026.05 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2.答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置． 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在每题对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效． 4.如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚．线条、符号等需加粗、加黑． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. i D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法及复数虚部的定义求解即可. 【详解】  ，故该复数的虚部为. 2. 若向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ ，， ∴ ， ，故. 在上的投影向量为. 3. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由角的终边经过点，得， 所以. 4. 在中，，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【详解】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 5. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，，，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，，，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，，则的位置关系有平行或异面，故D错误. 6. 如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量运算法则计算即可. 【详解】因为为边上靠近的三等分点， 所以， 所以 , 因为为的中点， 所以， 所以. 7. 如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，H为EF的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】B 【解析】 【分析】 根据折叠前后的垂直关系不变量可得平面，再根据过作平面的垂线能作且只能作一条可得答案. 【详解】如图： 因为，即，又， 所以平面，故B正确， 因为过作平面的垂线能作且只能作一条， 与平面都不垂直. 所以A、C、D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：抓住折叠前后垂直关系不变量是解题关键. 8. 已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得，利用余弦定理，求得，即可求得，根据为锐角三角形，求得，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到，进而求得面积的取值范围. 【详解】因为，所以， 由正弦定理可化为， 即， 由余弦定理知， 又，故. 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 又由正弦定理，得， 所以. 又，则， 所以， 故面积的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若， B. 是纯虚数 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的模、共轭复数的运算性质，可结合复数运算性质逐项分析判断即可. 【详解】选项A：根据复数模的运算性质，两个复数商的模等于模的商，因此当时，恒成立，故A正确. 选项B：若为实数，则，此时，0是实数，不是纯虚数，故B错误. 选项C：取，，满足，但，，显然，故C错误. 选项D：根据共轭复数的运算性质，两个复数乘积的共轭等于各自共轭的乘积，即恒成立，故D正确. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的高线长 D. 外接圆的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积、解三角形相关知识，需结合向量运算、余弦定理、正弦定理、三角形面积公式逐一判断选项. 【详解】对于选项A：向量与的夹角为， 因此，A错误， 对于选项B：设中点为，则， 因此， 故边上中线长，B正确， 对于选项C：由余弦定理得， 故， 三角形面积，设边上高线为， 由得，C正确， 对于选项D：设外接圆半径为，由正弦定理，得，， 故外接圆面积，D错误. 11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 连接，总有平面 B. 点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C. 平面平面 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的判定定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断；对于B，先求出和的各边，再结合勾股定理，及三角形的性质找出二面角的平面角，再结合勾股定理，及余弦定理即可求解，进而即可判断；对于C，由线面垂直的判定定理证明平面，进而即可得证平面平面；对于D，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断． 【详解】对于A，在正方体中， 由，且平面，平面，则平面， 又，且平面，平面，则平面， 又，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，交于，则是的中点，过作于，则是的中点， 则，则， 又，， 则，即， 过作于，则，则， 则是的四等分点且靠近处，取的中点，连接， 又是等边三角形，则，则，则， 所以是二面角的平面角， 又，分别为，的中点，则， 所以在中，，故B错误； 对于C，在正方体中，由平面，且平面，所以， 又是正方形，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，将和沿着展开至同一平面， 则当，，三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，若复数满足，则复数对应的点所形成的图形是______． 【答案】 过原点且斜率为的直线 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，将模长等式转化为对应点的直角坐标方程，即可判断轨迹图形 【详解】设，则复数在复平面内对应的点为， 根据复数模的计算公式，由可得： ，  将等式两边同时平方消去根号：  ， 展开左右两侧并化简：  ，消去两侧相同项后整理得， 该方程对应过原点、斜率为的直线，即复数对应的点所形成的图形为过原点且斜率为的直线. 13. 某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的表面积为______ 【答案】 【解析】 【详解】∵ 圆锥的底面半径，母线长， ∴ 圆锥的底面积为， 圆锥的侧面积为， ∴ 该圆锥的表面积. 14. 设是半径为1的圆内接正2026边形，是圆上的动点．则的取值范围为______；的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的多边形法则，化简可得原式，进而结合条件即可求解； （2）根据条件，向量的减法运算，及数量积的运算律，进而即可求解． 【详解】由， 又是半径的圆内接正2026边形，是圆上的动点， 所以， 所以取值范围为； 又， 则， 所以 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线. （1）求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三点共线及平面向量基本定理可得； （2）直接计算两个向量的坐标，再根据坐标分别求数量积及模，进而可求向量的夹角. 【小问1详解】 因为，，所以 因为三点共线，且，故与共线. 根据共线向量性质，存在实数使得，即：. 因为​​是不共线向量，由平面向量基本定理得： ，解得. 因此的值 【小问2详解】 因为，所以， ， 所以，，. 根据向量夹角公式. 16. 已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． 【小问2详解】 因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 【小问3详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及诱导公式化简等式，即可求得； （2）由余弦定理即可解得，然后得到； （3）由正弦定理求得，判断的范围求得，从而求得，，由和角公式求得的值. 【小问1详解】 因为 由正弦定理有①. 又因为，所以代入①式有. 又因为三角形内角，因此，所以. 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得或（舍去），故； 【小问3详解】 由正弦定理，且，，， 得， 由于，则为锐角，故， 故， ， 故 . 18. 如图，在多面体中，为等边三角形，,点为边的中点. （Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）求证:平面平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）. 【解析】 【分析】(I)取中点,连结,利用三角形中位线定理可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）先证明，，可得平面 ，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅲ）取中点,连结，直线与平面所成角等于直线与平面所成角, 过作,垂足为,连接，为直线与平面所成角，利用直角三角形的性质可得结果. 【详解】(I) 取中点,连结 ， 是平行四边形， 平面，平面, 平面. (II) ， 又 平面 平面 ， 又为等边三角形，为边的中点， 平面 由(I)可知， 平面， 平面 平面平面． (III) 取中点,连结， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角, 过作,垂足为,连接. 平面平面 ,平面， 平面. 为斜线在面内的射影，为直线与平面所成角， 在中， 直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的证明以及线面角的求解方法，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 19. 定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量. （1）求函数的和谐向量； （2）已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且. （i）若点为的重心，求的最大值； （ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简得到，结合和谐向量的定义，即可求解； （2）根据题意，得到，由，求得，（ⅰ）利用余弦定理和基本不等式，求得，结合，即可求得的最大值；（ⅱ）由，求得，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量为和谐函数的和谐向量， 因为， 所以的和谐向量为. 【小问2详解】 解：由和谐向量的和谐函数为， 因为，可得，其中，可得 所以，解得. （ⅰ）在中，因为，由余弦定理得， 又因为，则，即，当且仅当时“=”成立， 因为点为的重心，可得， 所以 ，即的最大值为. （ⅱ）因为平分且与交于点，可得， 即， 即，即，所以， 由正弦定理，可得， 则 ， 因为则为锐角三角形，可得，解得， 令，可得，则， 所以 ， 由，可得，由于函数在上单调递增， 当时，，当时，，所以长度的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期高一年级第二次阶段测试试卷2026.05 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2.答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置． 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在每题对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效． 4.如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚．线条、符号等需加粗、加黑． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. i D. 2. 若向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 5. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，H为EF的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 8. 已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若， B. 是纯虚数 C. 若，则 D. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的高线长 D. 外接圆的面积为 11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 连接，总有平面 B. 点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C. 平面平面 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，若复数满足，则复数对应的点所形成的图形是______． 13. 某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的表面积为______ 14. 设是半径为1的圆内接正2026边形，是圆上的动点．则的取值范围为______；的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线. （1）求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值 16. 已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求证：； （3）求证：． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 如图，在多面体中，为等边三角形，,点为边的中点. （Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）求证:平面平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量. （1）求函数的和谐向量； （2）已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且. （i）若点为的重心，求的最大值； （ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $