精品解析：江苏省苏州市新草桥中学2024-2025学年高一下学期3月学业水平调研数学试题

苏州新草桥中学2024-2025年第二学期3月学业水平调研 高一数学试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量不是向量的是 A. 力 B. 速度 C. 质量 D. 加速度 【答案】C 【解析】 【分析】由向量概念直接判断即可 【详解】质量只有大小，没有方向，不是向量. 故选C 【点睛】本题考查向量的基本概念，是基础题 2. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先把目标函数变形为与原函数结构相似的形式，再利用三角函数图象平移规律确定平移方向和单位． 【详解】， 由到，需要向右平移个单位， 故选：A． 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】； ； 原式 . 故选：C 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式及二倍角的正切公式化简即可得解. 【详解】由可得， 即， 所以. 故选：B 6. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出的范围，结合余弦函数的图象可求的取值范围. 【详解】当时，． 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得． 故选：C． 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，通过两角差余弦公式求解即可； 【详解】因为，所以，因为，则角在第四象限， 所以， 则， 故选：C． 8. 定义矩阵，若，则 A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称 C. 在区间上的最大值为1 D. 周期为的奇函数 【答案】C 【解析】 【详解】 当时， 故函数在区间上的最大值为1.故选C. 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两角和差的余弦公式判断AD，根据二倍角的正弦公式判断B，根据两角和的正切公式判断C. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC 10. 已知且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据同角三角关系可得，进而分析判断. 【详解】因为，解得或， 且，则，可得. 可得，，，， 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 方程在区间内有3个根 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数图象可求出函数的最小正周期，进而可求出，再利用待定系数法求出，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可. 【详解】由图可知函数最小正周期，故A正确； ，所以，则， 又， 所以，所以， 又，所以，故B错误； 所以， 由，得， 所以在区间上单调递减，故C正确； 令，得或， 所以或， 又，所以或或或， 所以方程在区间内有4个根，故D错误. 故选：AC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 给出下列四个命题： ①若，则； 　　　　②向量不可以比较大小； ③若，，则； 　④，． 其中正确的命题为___________．（填正确命题的序号） 【答案】②③ 【解析】 【详解】①，但方向不定，故不能推出，故错误； ②因为向量既具有大小又有方向，方向不能比较大小，故向量不能比较大小，故正确； ③由向量相等的定义可得若，，则，故正确； ④ 由向量相等的定义可得 ，，反过来 ，，与共线，方向可以不同，故错误. 故答案为： ②③. 13. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定函数，结合周期性，在长为一个周期的区间内求的解即可. 【详解】函数的周期为， 由，得， 即，解得， 在长为一个周期的区间上，取，得，当时，， 显然函数在上单调递减，在上单调递增， 由在上的值域为，则当时，， 故， 当时，，于是， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数．若方程在区间内无解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式将函数化简，求出函数的零点，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】因为，， 令，解得， 所以的零点分别为，，，，，， 因为方程在区间内无解，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由三角恒等变换公式化简函数解析式，再结合正弦函数的性质计算. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为 （2）单调增区间为 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）结合函数的图象与性质即可求出结果； （2）利用整体代入法即可求出函数单调区间； （3）根据求得，进而根据函数的图象与性质即可求出结果. 【小问1详解】 最小正周期，令， 所以，所以对称轴方程为； 【小问2详解】 令， 所以，所以的单调增区间为； 【小问3详解】 当时， 所以，所以， 当，即时取得最大值， 当，即时取得最小值， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值； （2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果. 【小问1详解】 解：因为，， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 解：因为， ， 又因为，所以， 由（1）知，， 所以． 因为，，则，所以． 17. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值； （2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 解：函数 ， 则， 因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且， 所以，函数的最小正周期为，则， 可得． 由，得，所以，， 所以，，故函数在上的最小值为． 【小问2详解】 解：设，因为，所以． 因为不等式恒成立， 设， 所以在上恒成立． 则，即， 解得，故的取值范围为． 18. 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m. （1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ （2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？ 【答案】（1）当A，D距离圆心O为m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. （2）当A，D距离圆心O为 m时，步行小路的距离最远． 【解析】 【分析】（1）设，利用直角三角形的边角关系以及倍角公式得出，再由正弦函数的性质得出最值； （2）由，结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 连接OB，如图所示，设， 则，且. 因为A，D关于原点对称，所以. 设矩形ABCD的面积为S，则. 因为，所以当，即时，（m2）． 此时（m）． 故当A，D距离圆心O为m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 又，所以， 当，即时，， 此时， 即当A，D距离圆心O为 m时，步行小路的距离最远． 19. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若，，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用整体代入思想即可得到对称轴方程. （2）先利用图形的变化“左加右减”得到的图象，进而求出函数的解析式，再求出值域；又由整体思想转化得到的值. 【小问1详解】 因为， 令，，解得，， 所以图象的对称轴方程是，． 【小问2详解】 由题知，， 于是 ． （ⅰ）因为，所以， 即的值域是． （ⅱ）若，即， 因为，所以， 所以，， 所以， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州新草桥中学2024-2025年第二学期3月学业水平调研 高一数学试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量不是向量的是 A. 力 B. 速度 C. 质量 D. 加速度 2. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 3. （ ） A. B. C. D. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义矩阵，若，则 A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称 C. 在区间上的最大值为1 D. 周期为的奇函数 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 方程在区间内有3个根 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 给出下列四个命题： ①若，则； 　　　　②向量不可以比较大小； ③若，，则； 　④，． 其中正确的命题为___________．（填正确命题的序号） 13. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是________． 14. 已知函数．若方程在区间内无解，则的取值范围是________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 17. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m. （1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ （2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？ 19. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $