6.3.1 二元一次方程组的应用（教学课件） 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的应用，课堂导入通过“大马小马驮物”问题引导学生找出等量关系，设未知数列方程组求解，为后续植树、配套等实际问题应用搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，通过审找设列解答的规范步骤，培养学生用数学眼光抽象等量关系，用数学思维推理运算，用数学语言建立模型的能力。如配套问题、工程问题及《九章算术》古题实例，既落实核心素养，又帮助学生掌握解题方法，便于教师系统教学。

第6章 二元一次方程组 6.3.1 二元一次方程组的应用 图片替换区 1.掌握二元一次方程组的两种解法，培养计算的能力. 2.理解实际问题题意，并正确列出二元一次方程组，培养抽象概括的能力. 3.掌握解决应用题的规范步骤，培养分析问题、解决问题的能力. 4.能够运用二元一次方程组解决一些简单的实际问题，提高数学应用能力. 一、课堂导入 1、大马的两句话，说出了两个等量关系，这两个等量关系是什么？ 大马驮物包数-1=小马驮物包数+1 大马驮物包数+1=（小马驮物包数-1）× 2 一、课堂导入 2、如果设大马驮物x包，小马驮物y包，那么列出的二元一次方程组是怎样的？并试着解出该方程组。 大马驮物包数-1=小马驮物包数+1 大马驮物包数+1=（小马驮物包数-1）× 2 解：设大马驮物x包，小马驮物y包，则有 整理，得 ①-②，得 y=5 把y=5代入①，得 x=7 所以，方程组的解为 答：大马驮物7包，小马驮物5包。 新课讲授 3月12日是我国的植树节.这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动.如果平均每人每天挖树坑6个或植树10棵，那么怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？ 1.你能解决这个问题吗？ 2.你能找出其中的等量关系吗？ 3.如何列出方程？ 你能行 新课讲授 分析：在上面的问题中，找出两个等量关系 1.挖树坑的人数+植树的人数=240 2.挖树坑的人数×6=植树的人数×10 那么就可以用二元一次方程组来解决了. 图片替换区 1.在上面的问题中,有两个等量关系，这两个等量关系是什么？ 挖树坑的人数+植树的人数=240 挖树坑的人数×6=植树的人数×10. 2.如果设每天安排x名学生挖树坑，y名学生植树，那么列出的二元一次方程组是怎样的? 图片替换区 3.请你试着解出2中所列的二元一次方程组，并和同学们进行交流 新课讲授 解：设每天安排x名学生挖树坑，y名学生植树. 则有 将①变形为x=240-y，③ 将③代入②，得6（240-y）=10y. 解这个方程，得y=90. 将y=90代入①，得x=150. 所以方程组的解为 答：每天安排150名学生挖树坑，90名学生植树. 与你的做法一样吗！ 三、典例精讲 （一）配套问题 【例1】. 某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件。已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套。如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 等量关系 生产甲种零件的人数+生产乙种零件的人数=660 甲种零件个数×2=乙种零件个数 解：设安排x人生产甲种零件、y人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套。 根据题意，得 解这个方程组，得 答：安排275人生产甲种零件、385人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套。 【练习1】某服装厂生产一批某种款式的春装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只。现计划用132米这种布料生产这批春装（不考虑面料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 等量关系 衣身、衣袖所用布料的和为132米 衣袖的数量等于衣身数量的2倍 解：设用x米布料做衣身，y米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套。 根据题意，得 解得 答：设用60米布料做衣身，72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套。 学后总结 二元一次方程组解决实际问题的步骤有哪些？ 1.审 审清题意及题目中的等量关系； 2.找 审清题意及题目中的等量关系； 3.设 设未知数，通常求什么设什么； 4.列 根据题目中的等量关系列出方程组； 5.解 解这个方程组，求出未知数的值； 写出答案. 6.答 模板来自于： 第一PPT https:/// 学以致用 针对 训练 1.某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 分析：找出两个等量关系 （1）每套产品中各部分的比例； （2）生产各部分的工人数之和=工人总数. 学以致用 解：设生产螺钉的x人，生产螺母的y人. 依题意，可列方程组： 解方程组，得 答：设生产螺钉的10人，生产螺母的12人. 图片替换区 小华4年后的年龄与小丽4年前的年龄相等，3年后，她们两人的年龄和等于她们年龄差的3倍，求小华和小丽今年的年龄. （1）找出本题中的等量关系. （2）适当设未知数，列出方程组. （3）解这个方程组，并回答上面提出的问题. 某车间 例2 图片替换区 图片替换区 本题中的等量关系是： 小华的年龄+4=小丽的年龄-4； 小华的年龄+小丽的年龄+6=(小丽的年龄-小华的年龄)×3 分析 交流 根据你的经验，写出用二元一次方程组解决实际问题的步骤，并与同学们交流. 总结 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题，找出数量关系；（2）设两个未知数； （3）列方程组；（4）解方程组；（5）写出答语. （二）工程问题 工程问题中的数量关系 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各部分单独做的效率和； 总工作量=各部分工作量之和。 【例2】 在某市“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成。 （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程 组 ，请写出李东所列方程组中未 知数x，y表示的意义：x表示 ，y表示 ；该方程组中△处的数应是 ，□处的数应是 。 甲队修建的时间 乙队修建的时间 18 4000 例2. 在某市“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成。 （2）陈彬同学的思路是设甲工程队一共修建了a米公路，乙工程队一共修建了b米公路，请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 解：根据题意，得 解得 所以 答：乙队修建了8天。 学以致用 1．甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（     ） A．甲20岁，乙14岁 B．甲22岁，乙16岁 C．乙比甲大18岁 D．乙比甲大34岁 A 学以致用 2．一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（     ） A． B． C． D． A 练习 1.现有一个110人的旅游团入住某宾馆，恰好住满了50间客房.如果这50间客房中既有双人间，又有三人间，那么他们所住的双人间和三人间客房分别为多少间? 练习 2.小明和小亮比年龄.小明说: “再过4年，我就和你现在一样大.” 小亮说:“再过4年,我就是你现在年龄的2倍.” 根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄. 【练习2】一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成。按原计划这项工程要在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务。乙、丙两队合作做了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 解：设乙、丙两队做作做了x天，甲队加入后又做了y天。 根据题意，得 解得 答：乙、丙两队做作做了4天，甲队加入后又做了2天。 （三）古文化问题 【例3】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交易其一，金轻十二两。问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子质量忽略不计）。问： （1）黄金、白银每枚各重多少两？ （2）现有一袋黄金和白银共重759两，总数不超过25枚。请你算算黄金、白银各有多少枚。 解：（1）设每枚黄金重x两，每枚白银重y两。 根据题意，得 等量关系 9枚黄金的质量=11枚白银的质量 （10枚白银的质量+1枚黄金的质量）-（8枚黄金的质量+1枚白银的质量）=12两 解得 答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两。 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交易其一，金轻十二两。问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子质量忽略不计）。问： （2）现有一袋黄金和白银共重759两，总数不超过25枚。请你算算黄金、白银各有多少枚。 （2）设黄金有a枚，白银有b枚。 根据题意，得 33a+27b=759 整理，得 也可整理成： ，注意分析两种变形，哪种计算更简便？ 因为a、b均为正整数，所以 或 因为a+b≤25，所以 ，故黄金有14枚，白银有11枚。 学后总结 二元一次方程组解决实际问题的步骤： 1.审 审清题意及题目中的等量关系； 2.找 审清题意及题目中的等量关系； 3.设 设未知数，通常求什么设什么； 4.列 根据题目中的等量关系列出方程组； 5.解 解这个方程组，求出未知数的值； 写出答案. 6.答 模板来自于： 第一PPT https:/// $