期末提优特训3《平行四边形》专题（江苏专版） 2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训3 《平行四边形》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.掌握平行四边形的定义、四条性质、四种判定定理，明确性质（已知平行四边形推边角关系）与判定（由条件证平行四边形）的区别。掌握平行四边形中心对称特征，能熟练求解平行四边形的边长、角度、周长、面积、对角线相关计算。掌握平行四边形与全等三角形、平行线、角平分线的综合应用。 2. 通过真题分类训练，归纳平行四边形 “ 边角计算、判定证明、综合压轴 ” 解题模型，掌握四边形转化为三角形的几何转化思想，熟练常规辅助线添加方法。 3.培养严谨的几何推理思维、规范答题书写习惯，规避高频易错点，提升几何综合解题能力。 4.熟练应对期末选择、填空、基础证明、压轴综合题型，保证基础题零失误、中档题稳得分、压轴题能分步得分。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）期末高频考点 考点1 平行四边形性质计算（必考） （1）题型：选择、填空 （2）考查内容：利用对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分，求边长、角度、周长、对角线长度、三角形周长与面积。 （3）命题特点：基础必考，结合角平分线、垂直、中线条件综合出题。 考点2 平行四边形判定辨析（高频） （1）题型：选择、填空、补充条件题 （2）考查内容：辨析真假判定条件、选择正确判定方法、补充一个条件使四边形为平行四边形。 （3）易错点：一组对边平行一组对边相等、对角线相等不能判定平行四边形。 考点3 平行四边形性质与判定综合证明（解答大题必考） 题型：解答证明题 考查内容：以平行四边形为背景，结合线段相等、中点、平行关系，证明新的四边形是平行四边形，常结合全等三角形证明。 考点4 平行四边形综合压轴（提优必考） （1）题型：填空压轴、解答压轴 （2）考查内容：动点问题、折叠问题、面积转化、中点四边形、无刻度直尺作图、最值问题。 （二）应试应对策略 1.基础计算题：做题优先在图中标注已知条件，遇对角线立刻利用 “ 对角线互相平分、四个小三角形面积相等 ” 解题；遇平行+角平分线，优先找等腰三角形。 2.判定辨析题：熟记核心判定：两组对边平行、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分，坚决排除伪命题。 3.证明大题：固定解题逻辑：先找平行或相等关系，缺条件用全等推导，步骤条理清晰，因果对应。 4.压轴综合题：动点问题分类讨论，面积问题用等底等高转化，作图依托平行四边形中心对称性质解题。 ) 三．经典例题 例1.（2023·淮安期末）在平行四边形ABCD中，∠D=65°，则∠B的度数为（） A.25° B.65° C.115° D.130° 例2.（2024·镇江期末）下列条件能判定四边形为平行四边形的是（） A.一组对边平行，另一组对边相等 B.对角线相等 C.两组对角分别相等 D.一组邻边相等 例3.（2024·宿迁期末）平行四边形对角线相交，被分成面积相等的小三角形个数为（） A.2 B.3 C.4 D.5 例4．平行四边形ABCD的周长为16cm，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AB的长度是（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．3cm或6cm 例5.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F， 求证：AE＝CF. 例6.如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N. (1)求证：四边形BMDN是平行四边形； (2)已知AF=12，EM=5，求AN的长. 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）在▱ABCD中，∠A=115o，则∠B的度数是（ ） A.65o B.75o C.115o D.125o 2.（2025·淮安清江浦期末）平行四边形对角线一定具备的性质是（ ） A.互相垂直 B.互相平分 C.相等 D.平分内角 3.（2025·泰州姜堰期末）能判定四边形是平行四边形的是（ ） A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对角相等，一组邻边相等 C.两组对边分别相等 D.对角线相等 4.（2025·扬州江都期末）▱ABCD对角线交于O，AO=4，则AC=（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 5.（2022·连云港期末）平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=5，则CD的长为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 6．（2026·预测）如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有（　　） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 7.（2026·预测）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 8.（2026·预测）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（　　） A．16 B．24 C．32 D．40 9.（2026·预测）已知△ABC(如图①),按图②③所示的尺规作图痕迹就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 (　　) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 10. （2026·预测）如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A. （3，﹣1） B. （﹣1，﹣1） C. （1，1) D. （﹣2，﹣1） （二）填空题 11.（2025·盐城射阳期末）▱ABCD中，∠A:∠B=2:3，则∠C=_______o。 12.（2024·扬州期末）平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠B=______。 13.（2023·盐城期末）四边形ABCD中，AB平行且等于CD，则该四边形是______。 14.（2022·徐州期末）平行四边形ABCD对角线交于O，S△AOB=3，则四边形ABCD面积为______。 15.（2026·预测）如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=2,AF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的面积为　　　　.  16.（2026·预测）如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是　　　　.(只需写一种情况)  17.（2026·预测）设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于　　　　　　　.  18.（2026·预测）如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(0,-3),C(2,0),要使四边形ABCD成为平行四边形,则点D的坐标为　　　　.  19.（2026·预测）如图,在▱ABCD中,两条对角线交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,那么以图中的点为顶点的平行四边形共有　　　　个.  20.（2026·预测）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4 cm,射线AM∥BC,点E从点A出发沿射线AM以1 cm/s的速度运动;点F从点B出发沿射线BC以3 cm/s的速度运动.设运动时间为t(s),当t为　　　时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.  （三）解答题 21．如图，在▱ABCD中，已知E、F分别为边AB、CD的中点． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AB＝2，∠ADB＝90°，求四边形BEDF的周长． 22．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF． 23.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F. (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小. 24.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F, (1)求证:OE=OF. (2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值. 25.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F． (1)求证：△AEF≌△BEC； (2)判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由； (3)如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC＝1，求AH的长． 26.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,以AD,AE为腰作等腰三角形ADE(点E在点A的右上方),且∠ADE=∠ABC,连接CE,过点E作EM∥BC,交CA的延长线于点M,连接BM. (1)求证:△BAD≌△CAE. (2)若∠ABC=30°,求∠MEC的度数. (3)求证:四边形MBDE是平行四边形. 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025·盐城亭湖期末）▱ABCD中，过对角线交点O的直线交AB、CD于M、N，▱ABCD周长20，则四边形AMND周长为（ ） A.10 B.15 C.20 D.无法确定 2.（2025·泰州海陵期末）下列条件，不能判定平行四边形的是（ ） A.AB∥CD，AD∥BC B.AB=CD，AD=BC C.AB∥CD，AB=CD D.AB∥CD，AD=BC 3.（2025·无锡锡山期末）▱ABCD中，E是CD中点，连接AE延长交BC延长线于F，BC=6，则CF=（ ） A.3 B.4 C.6 D.12 4.（2025·徐州铜山期末）平面内不在同一直线三点A、B、C，可作平行四边形个数（） A.1 B.2 C.3 D.4 5.（2025·南京六合期末）▱ABCD中，∠ABC平分线交AD于P，AP=3，PD=2，则AB=（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 6.（2026·预测）如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为(　　) A.60 cm2　　　　B.30 cm2　　 C.20 cm2　　　　D.16 cm2 7.（2026·预测）在同一平面内,设a、b、c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为(　　) A.1 cm B.3 cm C.5 cm或3 cm D.1 cm或3 cm 8.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 9．（2026·预测）如图，把含，角的两块直角三角板放置在同一平面内，若，，当时，与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 10．（2026·预测）如图，在平行四边形中，，点为平行四边形内一点且，若，则的长为　　 A．3 B． C． D． （二）填空题 11.（2023·淮安期末）平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AB=3，AC=4，则BD=______。 12.（2022·扬州 期末）平行四边形ABCD中，△AOB周长比△BOC周长小3，则BC-AB=______。 13.（2023·常州期末）动点P在平行四边形ABCD边AD上滑动，△PBC的面积______。（填“变大、变小、不变”） 14.图1是一面旗帜,图2是其示意图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段DA的延长线上,若∠C=112°,则∠EAB=______. 　　 15．（2026·预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝4，DE＝2，AB＝2，则AC的长为___. 16.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=45°,则∠B=　　　　°.  17. 如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有_________个． 18.如图在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为________． 19.如图,在▱ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<360°)得到AP,连结PC,PD.当△PCD为直角三角形时,α的度数为　　　.  20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是________ （三）解答题 21.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上. (1)在方格纸中画出△ADC,使△ADC与△ABC关于直线AC对称(点D在小正方形的顶点上); (2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH(点G,点H均在小正方形的顶点上),且平行四边形EFGH的面积为4.连接DH,请直接写出线段DH的长. 22.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连接BF，CE. (1)求证：四边形BECF是平行四边形； (2)若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形． 23.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF. 求证:(1)BC=AF. (2)四边形ADFE是平行四边形. 24．问题探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点． （1）如图1：当点M与B重合时，________； （2）如图2，当点M与B与A均不重合时，________； （3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线时，________． 拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由． 实践应用：如图是一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积． 25.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F, (1)求证:OE=OF. (2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值. 26.在平行四边形ABCD中,AE⊥DC于点E,AE=AB. (1)如图1,若∠DAE=30°,DE=,求平行四边形ABCD的周长; (2)如图2,作∠ABC的平分线交AE于点F,交AD于点M,求证:DE+AF=BC; (3)如图3,在(1)的条件下,将△ADE绕点E顺时针旋转一定的角度α(0°<α<90°),得到△A'D'E,当∠D'A'E=∠A'EA时,停止旋转,此时边A'D'与边AE交于点P,点G是直线DC上一动点,连接GB,在线段GB的右侧作等边△GBN,连接PN,求PN的最小值. 图1 图2 图3 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训3 《平行四边形》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.掌握平行四边形的定义、四条性质、四种判定定理，明确性质（已知平行四边形推边角关系）与判定（由条件证平行四边形）的区别。掌握平行四边形中心对称特征，能熟练求解平行四边形的边长、角度、周长、面积、对角线相关计算。掌握平行四边形与全等三角形、平行线、角平分线的综合应用。 2. 通过真题分类训练，归纳平行四边形 “ 边角计算、判定证明、综合压轴 ” 解题模型，掌握四边形转化为三角形的几何转化思想，熟练常规辅助线添加方法。 3.培养严谨的几何推理思维、规范答题书写习惯，规避高频易错点，提升几何综合解题能力。 4.熟练应对期末选择、填空、基础证明、压轴综合题型，保证基础题零失误、中档题稳得分、压轴题能分步得分。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）期末高频考点 考点1 平行四边形性质计算（必考） （1）题型：选择、填空 （2）考查内容：利用对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分，求边长、角度、周长、对角线长度、三角形周长与面积。 （3）命题特点：基础必考，结合角平分线、垂直、中线条件综合出题。 考点2 平行四边形判定辨析（高频） （1）题型：选择、填空、补充条件题 （2）考查内容：辨析真假判定条件、选择正确判定方法、补充一个条件使四边形为平行四边形。 （3）易错点：一组对边平行一组对边相等、对角线相等不能判定平行四边形。 考点3 平行四边形性质与判定综合证明（解答大题必考） 题型：解答证明题 考查内容：以平行四边形为背景，结合线段相等、中点、平行关系，证明新的四边形是平行四边形，常结合全等三角形证明。 考点4 平行四边形综合压轴（提优必考） （1）题型：填空压轴、解答压轴 （2）考查内容：动点问题、折叠问题、面积转化、中点四边形、无刻度直尺作图、最值问题。 （二）应试应对策略 1.基础计算题：做题优先在图中标注已知条件，遇对角线立刻利用 “ 对角线互相平分、四个小三角形面积相等 ” 解题；遇平行+角平分线，优先找等腰三角形。 2.判定辨析题：熟记核心判定：两组对边平行、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分，坚决排除伪命题。 3.证明大题：固定解题逻辑：先找平行或相等关系，缺条件用全等推导，步骤条理清晰，因果对应。 4.压轴综合题：动点问题分类讨论，面积问题用等底等高转化，作图依托平行四边形中心对称性质解题。 ) 三．经典例题 例1.（2023·淮安期末）在平行四边形ABCD中，∠D=65°，则∠B的度数为（） A.25° B.65° C.115° D.130° 【答案】B 【解析】平行四边形对角相等，∠B=∠D=65° 例2.（2024·镇江期末）下列条件能判定四边形为平行四边形的是（） A.一组对边平行，另一组对边相等 B.对角线相等 C.两组对角分别相等 D.一组邻边相等 【答案】C 【解析】A为等腰梯形反例，B、D无法判定平行四边形。 例3.（2024·宿迁期末）平行四边形对角线相交，被分成面积相等的小三角形个数为（） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】平行四边形对角线互相平分，四个小三角形面积全部相等。 例4．平行四边形ABCD的周长为16cm，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AB的长度是（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．3cm或6cm 【答案】D 【解析】：如图所示：①当点E在线段AD上时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AE：ED＝3：2，设AE＝AB＝3k，DE＝2k，∵平行四边形ABCD的周长为16cm，∴AB+AD＝8，∴3k+5k＝8，解得k＝1，∴AB＝3cm．②当点E在AD的延长线上时， 同理可得AB＝AE＝3k，DE＝2k，∵AB+AD＝8，∴3k+k＝8，∴k＝2，∴AB＝6cm， 综上所述，AB的长为3cm或6cm． 例5.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F， 求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. 又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF. 例6.如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N. (1)求证：四边形BMDN是平行四边形； (2)已知AF=12，EM=5，求AN的长. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM， ∴四边形BMDN是平行四边形； (2)∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM=BN，∵CD=AB，CD∥AB，∴CM=AN，∠MCE=∠NAF， ∵∠CEM=∠AFN=90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN=EM=5，在Rt△AFN中，AN===13. 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）在▱ABCD中，∠A=115o，则∠B的度数是（ ） A.65o B.75o C.115o D.125o 【答案】：A 【解析】：平行四边形邻角互补，∠A+∠B=180o，∠B=180o-115o=65o。 2.（2025·淮安清江浦期末）平行四边形对角线一定具备的性质是（ ） A.互相垂直 B.互相平分 C.相等 D.平分内角 【答案】：B 【解析】：平行四边形对角线互相平分；菱形对角线垂直，矩形对角线相等，排除ACD。 3.（2025·泰州姜堰期末）能判定四边形是平行四边形的是（ ） A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对角相等，一组邻边相等 C.两组对边分别相等 D.对角线相等 【答案】：C 【解析】：两组对边分别相等是平行四边形判定定理；A可能是等腰梯形，BD无法判定。 4.（2025·扬州江都期末）▱ABCD对角线交于O，AO=4，则AC=（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 【答案】：C 【解析】：对角线互相平分，AC=2AO=8。 5.（2022·连云港期末）平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=5，则CD的长为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】平行四边形对边相等，CD=AB=5 6．（2026·预测）如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有（　　） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【解析】如图∵▱ABCD∴AD∥CB，AB∥CD∵EF∥AD，HN∥AB∴AD∥CB∥EF，HN∥AB∥CD∴四边形AHGE、AHBN、EGNB、HDFG、HDNC、AEFD、BEFC、GFCN、ABCD是平行四边形。一共由9个故答案为：B 7.（2026·预测）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.故答案为：C. 8.（2026·预测）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（　　） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=BC，∵∠ABC＝90°，∴∠ADE=∠ABC=90°，在△MBD和△EDA中，，∴△MBD≌△EDA，∴MD=AE，DE=MB，∵DE//MB，∴四边形DMBE是平行四边形，∴MD=BE，∵AC＝18，BC＝14，∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．故答案为：C． 9.（2026·预测）已知△ABC(如图①),按图②③所示的尺规作图痕迹就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 (　　) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】B　 【解析】由题图可知AO=OC,BO=OD,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形,故选B. 10. （2026·预测）如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A. （3，﹣1） B. （﹣1，﹣1） C. （1，1) D. （﹣2，﹣1） 【答案】D 【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（3，-1）时，∴BO=AC1=2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴BO∥AC1，∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，∴BO=AC2=2，∵A，C2，两点纵坐标相等，∴BO∥AC2， ∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（1，1）时，∴BO=AC3=2，∵A，C3，两点纵坐标相等，∴C3O=BC3=，同理可得出AO=AB= ，进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°，∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确；D、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC4AB是平行四边形；∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC4AB不可能是平行四边形；故此选项错误．故选D． （二）填空题 11.（2025·盐城射阳期末）▱ABCD中，∠A:∠B=2:3，则∠C=_______o。 【答案】：72 【解析】：邻角和180o，2x+3x=180,x=36，∠A=72o，对角相等∠C=∠A=72o。 12.（2024·扬州期末）平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠B=______。 【答案】130° 【解析】平行四边形邻角互补，180°-50°=130° 13.（2023·盐城期末）四边形ABCD中，AB平行且等于CD，则该四边形是______。 【答案】平行四边形 【解析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 14.（2022·徐州期末）平行四边形ABCD对角线交于O，S△AOB=3，则四边形ABCD面积为______。 【答案】12 【解析】平行四边形被对角线分为4个等面积三角形，总面积=4×3=12 15.（2026·预测）如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=2,AF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的面积为　　　　.  【答案】　12 【解析】　连接AC(图略),设BC=x,则CD=10-x,易知S△ABC=S△ACD,∴2x=3(10-x),解得x=6, ∴平行四边形ABCD的面积=BC·AE=6×2=12. 16.（2026·预测）如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是　　　　.(只需写一种情况)  【答案】　BE=DF(答案不唯一) 【解析】　可以添加BE=DF(答案不唯一).∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C, AB=CD,∴∠E=∠F,∵BE=DF,∴BE+AB=DF+CD,即AE=CF,在△AEG和△CFH中, ∴△AEG≌△CFH(ASA). 17.（2026·预测）设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于　　　　　　　.  【答案】　7 cm或17 cm 【解析】　分两种情况:①当EF在AB,CD之间时,∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴AB与EF的距离为12-5=7(cm).②当EF不在AB,CD之间时,∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴AB与EF的距离为12+5=17(cm).综上所述,AB与EF的距离为7 cm或17 cm. 18.（2026·预测）如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(0,-3),C(2,0),要使四边形ABCD成为平行四边形,则点D的坐标为　　　　.  【答案】(0,3)　 【解析】:∵点A(-2,0),B(0,-3),C(2,0),∴OA=2,OB=3,OC=2,∴OA=OC,当OD=OB=3时,四边形ABCD成为平行四边形,∴点D的坐标为(0,3). 19.（2026·预测）如图,在▱ABCD中,两条对角线交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,那么以图中的点为顶点的平行四边形共有　　　　个.  【答案】 4　 【解析】:根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可判定四边形EFGH是平行四边形;根据SAS可分别证明△AHD≌△CFB,△AFB≌△CHD,可得AH=CF,AF=CH,∴四边形AHCF是平行四边形;同理可得四边形BGDE是平行四边形,∴以图中的点为顶点的平行四边形是四边形EFGH,四边形ABCD,四边形AHCF,四边形BGDE,共有4个. 20.（2026·预测）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4 cm,射线AM∥BC,点E从点A出发沿射线AM以1 cm/s的速度运动;点F从点B出发沿射线BC以3 cm/s的速度运动.设运动时间为t(s),当t为　　　时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.  【答案】　2或4 【解析】　在△ABC中,∠BAC=90°,∴BC==8 cm,当点F在C的左侧时,根据题意得AE=t cm,BF=3t cm,则CF=BC-BF=(8-3t)cm,∵AM∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,∴t=8-3t,解得t=2;当点F在C的右侧时,根据题意得AE=t cm,BF=3t cm,则CF=BF- BC=(3t-8)cm,∵AM∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,∴t=3t-8,解得t=4.综上可得,当t=2或4时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.故答案为2或4. （三）解答题 21．如图，在▱ABCD中，已知E、F分别为边AB、CD的中点． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AB＝2，∠ADB＝90°，求四边形BEDF的周长． 解：（1）证明：在▱ABCD中，∵AD＝CB，AB＝CD，∠A＝∠C，又∵E，F分别为边AB，CD的中点，∴AE＝CF，在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）∵∠ADB＝90°，∴△ABD，△CDB都是直角三角形，∵AE＝EB，CF＝DF， ∴DE＝BE=AB，BF＝DF=CD，∴DE＝BE＝BF＝DF＝1∴四边形DEBF是菱形，周长为4． 22．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴AF∥EC，∵EA⊥AC，FC⊥AC，∴EA∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．∴EC＝AF，∴BE＝BC﹣EC＝AD﹣AF＝DF，∴在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）过点A作AG⊥EC于点G，如图所示：∵EA⊥AC，∠AEC＝45°，∴△AEC为等腰直角三角形，∵AG⊥EC，∴AG=EC=AF，∵∠B＝30°，∴AG=AB，∴AF=AB，∴AB＝AF． 23.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F. (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠1＝∠ECB. ∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠ECB，∴∠AFB＝∠1.在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE(AAS)； (2)由(1)得∠1＝∠ECB.∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∴∠1＝∠DCE＝65°，∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°. 24.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F, (1)求证:OE=OF. (2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF. (2)成立.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB∥CD,∴∠E=∠F, 在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF. (3)①直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与AD,BC相交,则当EF⊥BC时,EF最短. ∵平行四边形ABCD的面积为20,BC=10, ∴S平行四边形ABCD=BC·EF=10EF=20,∴EF=2. ②直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与DC、BA所在直线相交,则当EF⊥AB时,EF最短,同①的方法,得出EF长度的最小值为=.∵>2,∴直线EF在绕点O旋转的过程中,当EF⊥BC时,EF最短,EF长度的最小值为2. 25.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F． (1)求证：△AEF≌△BEC； (2)判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由； (3)如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC＝1，求AH的长． 解：(1)证明：①在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°．在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°．∵E为AB的中点，∴AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC． (2)在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，∴CE＝AB，BE＝AB．∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°．又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形 (3)∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，BC＝1， ∴AB＝2BC＝2．∴AD＝AB＝2．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝22﹣12＝3，在Rt△ACH中，AH2＋AC2＝HC2，即x2＋3＝(2﹣x)2，解得x＝，即AH＝． 26.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,以AD,AE为腰作等腰三角形ADE(点E在点A的右上方),且∠ADE=∠ABC,连接CE,过点E作EM∥BC,交CA的延长线于点M,连接BM. (1)求证:△BAD≌△CAE. (2)若∠ABC=30°,求∠MEC的度数. (3)求证:四边形MBDE是平行四边形. 解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠BAC=180°-2∠ABC.由题意知AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠DAE=180°-2∠ADE.∵∠ADE=∠ABC,∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, 即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,∴△BAD≌△CAE(SAS). (2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°.∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE=30°.∴∠ECB=∠ACB+∠ACE=60°.∵EM∥BC,∴∠MEC+∠ECB=180°.∴∠MEC=180°-60°=120°. (3)证明:∵△BAD≌△CAE,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACB,∴∠ACB=∠ACE.∵EM∥BC,∴∠EMC=∠ACB,∴∠ACE=∠EMC,∴CE=EM,∴BD=EM.又∵EM∥BD,∴四边形MBDE是平行四边形. 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025·盐城亭湖期末）▱ABCD中，过对角线交点O的直线交AB、CD于M、N，▱ABCD周长20，则四边形AMND周长为（ ） A.10 B.15 C.20 D.无法确定 【答案】：A 【解析】：△AOM≌△CON ，∴OM=ON，AM=CN，AM+DN=CN+DN=CD，周长=AD+AB=20÷2=10。 2.（2025·泰州海陵期末）下列条件，不能判定平行四边形的是（ ） A.AB∥CD，AD∥BC B.AB=CD，AD=BC C.AB∥CD，AB=CD D.AB∥CD，AD=BC 【答案】：D 【解析】：D可为等腰梯形，其余均为平行四边形判定定理。 3.（2025·无锡锡山期末）▱ABCD中，E是CD中点，连接AE延长交BC延长线于F，BC=6，则CF=（ ） A.3 B.4 C.6 D.12 【答案】：C 【解析】：△ADE≌△FCE(ASA)，CF=AD=BC=6。 4.（2025·徐州铜山期末）平面内不在同一直线三点A、B、C，可作平行四边形个数（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】：C 【解析】：分别以AB、BC、AC为对角线，可构造3个平行四边形。 5.（2025·南京六合期末）▱ABCD中，∠ABC平分线交AD于P，AP=3，PD=2，则AB=（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】：B 【解析】：AD∥BC→∠APB=∠PBC，角平分∠ABP=∠PBC，AB=AP=3。 6.（2026·预测）如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为(　　) A.60 cm2　　　　B.30 cm2　　 C.20 cm2　　　　D.16 cm2 【答案】B　 【解析】如图,过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H.∵∠CAB=30°,∴CH=1/2AC=1/2×10 =5(cm),∴S▱ABCD=AB·CH=6×5=30(cm2).故选B. 7.（2026·预测）在同一平面内,设a、b、c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为(　　) A.1 cm B.3 cm C.5 cm或3 cm D.1 cm或3 cm 【答案】 C　 【解析】当直线c在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平行的直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距离=4-1=3 cm;当直线c不在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平行的直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距离=4+1=5 cm.综上所述,a与c的距离为5 cm或3 cm.故选C. 8.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.故答案为：C. 9．（2026·预测）如图，把含，角的两块直角三角板放置在同一平面内，若，，当时，与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长CO交AB于E，过点C作CF⊥AD于F，∵，，∴四边形ABCD为平行四边形，∵OC⊥CD，∴CE⊥AB，∵△AOB为含45°三角板，∴AO=BO， ∴AE=BE=OE=，∵∠ODC=30°，∴OD=2OC，在Rt△COD中，即，解得OC=2∴CE=OE+OC=2+，∴S平行四边形ABCD=AB·CE=AD·CF， ∴ 10．（2026·预测）如图，在平行四边形中，，点为平行四边形内一点且，若，则的长为　　 A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取，的中点，，连接，，，则，在平行四边形中，，，，的中点为，，，，，，，，过点作交于点，， ，，，，，，为等腰直角三角形，． （二）填空题 11.（2023·淮安期末）平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AB=3，AC=4，则BD=______。 【答案】10 【解析】AO=2，Rt△ABO中BO=5，BD=2BO=10 12.（2022·扬州 期末）平行四边形ABCD中，△AOB周长比△BOC周长小3，则BC-AB=______。 【答案】3 【解析】OC=OA，BO公共，周长差即为BC-AB=3 13.（2023·常州期末）动点P在平行四边形ABCD边AD上滑动，△PBC的面积______。（填“变大、变小、不变”） 【答案】不变 【解析】同底等高，面积恒定。 14. 图1是一面旗帜,图2是其示意图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段DA的延长线上,若∠C=112°,则∠EAB=______. 　　 【答案】68° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠C=112°,∴∠EAB=180°-∠DAB =180°-112°=68° 15．（2026·预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝4，DE＝2，AB＝2，则AC的长为___. 【答案】 【解析】如图，连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝2，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵CE2+DE2＝42+22＝20，CD2＝（2）2＝20，∴CE2+DE2＝CD2，∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝＝4， 16.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=45°,则∠B=　　　　°.  【答案】　112.5 【解析】　根据翻折可知∠B'AC=∠BAC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠BAC =∠DCA,∴∠BAC=∠DCA=∠B'AC,∵∠1=∠B'AC+∠DCA,∴∠1=2∠BAC=45°,∴∠BAC=22.5°,∴∠B=180°-∠BAC-∠2=180°-22.5°-45°=112.5°. 17. 如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有_________个． 【答案】23 【解析】一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形AGIB、AOQB、AMIF、AQFO、ABMI、AFGI共6个;一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN共6个；还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN、AQSN，共11个；6+6+11=23个． 18.如图在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为________． 【答案】 30° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠D＝80°.∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝80°÷2＝40°.∵AE＝AB，∴∠ABE＝(180°－40°)÷2＝70°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30°.故答案为30°. 19.如图,在▱ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<360°)得到AP,连结PC,PD.当△PCD为直角三角形时,α的度数为　　　.  【答案】90°或180°或270° 【解析】连结AC,取BC的中点E,连结AE,如图所示,则BE=CE=1/2BC,∵BC=2AB,∴BE=AB, 又∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形,∴∠BAE=∠AEB=60°,AE=BE=CE. ∴∠EAC=∠ECA=1/2∠AEB=30°,∴∠BAC=90°,∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC=90°. 易知∠CPD<90°.分三种情况讨论.①如图,当点P在线段AC上时,∠PCD=90°,此时α的度数为90°.②如图,当点P在CA的延长线上时,∠PCD=90°,此时α的度数为360°-90° =270°.③如图,当P在BA的延长线上时,∠PDC=90°,α的度数为180°.综上所述,α的度数为90°或180°或270°. 20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是________ 【答案】或 【解析】：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． （三）解答题 21.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上. (1)在方格纸中画出△ADC,使△ADC与△ABC关于直线AC对称(点D在小正方形的顶点上); (2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH(点G,点H均在小正方形的顶点上),且平行四边形EFGH的面积为4.连接DH,请直接写出线段DH的长. 解：(1)如图,△ADC即为所求作的图形. (2)如图,▱EFGH即为所求作的图形.DH==5. 22.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连接BF，CE. (1)求证：四边形BECF是平行四边形； (2)若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形． 解：(1)∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD(AAS)，∴ED＝FD，又∵BD＝CD， ∴四边形BECF是平行四边形． (2)若AF＝FD，则与△ABD面积相等的三角形有△ACD，△CEF，△BEF，△BEC，△BFC 23.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF. 求证:(1)BC=AF. (2)四边形ADFE是平行四边形. 解：(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴AB=2BC.又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴AB=2AF,∴BC=AF. (2)在Rt△AFE和Rt△BCA中,∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL).∴EF=AC.∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD.∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°,EF=AD.又∵EF⊥AB,∴EF∥AD,∴四边形ADFE是平行四边形. 24．问题探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点． （1）如图1：当点M与B重合时，________； （2）如图2，当点M与B与A均不重合时，________； （3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线时，________． 拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由． 实践应用：如图是一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积． 解:（1） 设平行四边形ABCD的边CD上的高为h，则△DCM边CD的高也为h， ∵S平行四边形ABCD=CD×h，则平行四边形的面积， ； （2）与（1）同理可得； （3）与（1）同理可得； 拓展推广：根据（1）的结论，，， ∴阴影部分的面积； 实践应用：根据前面信息，，， ， ∴三角形区域的面积． 25.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F, (1)求证:OE=OF. (2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF. (2)成立.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB∥CD,∴∠E=∠F, 在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF. (3)①直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与AD,BC相交,则当EF⊥BC时,EF最短. ∵平行四边形ABCD的面积为20,BC=10, ∴S平行四边形ABCD=BC·EF=10EF=20,∴EF=2. ②直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与DC、BA所在直线相交,则当EF⊥AB时,EF最短,同①的方法,得出EF长度的最小值为=.∵>2,∴直线EF在绕点O旋转的过程中,当EF⊥BC时,EF最短,EF长度的最小值为2. 26.在平行四边形ABCD中,AE⊥DC于点E,AE=AB. (1)如图1,若∠DAE=30°,DE=,求平行四边形ABCD的周长; (2)如图2,作∠ABC的平分线交AE于点F,交AD于点M,求证:DE+AF=BC; (3)如图3,在(1)的条件下,将△ADE绕点E顺时针旋转一定的角度α(0°<α<90°),得到△A'D'E,当∠D'A'E=∠A'EA时,停止旋转,此时边A'D'与边AE交于点P,点G是直线DC上一动点,连接GB,在线段GB的右侧作等边△GBN,连接PN,求PN的最小值. 图1 图2 图3 解:(1)在Rt△AED中,∠AED=90°,∠DAE=30°,DE=,∴AD=2,∴AE=3, ∵AE=AB,∴AB=3.∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=6+4. (2)证明:如图,延长FA至H,使AH=DE,连接BH,∵AB∥CD,AE⊥DC,∴∠AED=∠EAB=90°, ∴∠HAB=90°,∵DE=AH,AE=AB,∴△HAB≌△DEA(SAS),∴HB=AD=BC,∠3=∠4.∵AD∥BC,BM平分∠ABC,∴∠1=∠MBC=∠2,∵∠5=∠1+∠4,∠HBF=∠2+∠3,∴∠5=∠HBF,∴HB=HF,∴HF=BC,∴AF+DE=BC. (3)补全图形如图,延长DC至M,使CM=CB,连接BM,作直线MN,过P作PH⊥直线MN于点H,交EM于Q,∵∠DAE=30°,∠AED=90°,∴∠D=60°,∴∠DCB=120°,∠BCM=60°.∴△BCM是等边三角形,∴BC=BM,∠CBM=60°,∵△BGN为等边三角形,∴BG=BN,∠GBN=60°,∴∠GBN=∠CBM,∴∠GBC=∠NBM,∴△BMN≌△BCG(SAS),∴∠BMN=∠BCG=120°,∴点N在直线MN上运动. ∴当点N与点H重合时,PN取得最小值,最小值为线段PH的长.∵∠D'A'E=∠A'EP,∴A'P=PE, 由旋转可知∠D'A'E=∠DAE=30°,∠A'D'E=∠D=60°,A'D'=AD=2,∴∠D'A'E=∠A'EP=30°,∴∠D'PE=60°,∴△PED'为等边三角形,∴PE=PD',∴PE=,∵∠BMC=60°,∴∠EMN=60°,∴∠MQH=∠PQE=30°,∴PQ=2PE=2,∴EQ=3,∵EC=3,CM=CB=2∴EM=3+,∴QM=.在Rt△QMH中,∠MQH=30°,∴MH=,∴QH=,∴PH=PQ+QH=2+,∴PN的最小值为2+ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $