期末提优特训2《认识概率》专题（江苏专版） 2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

**基本信息** 以“概念辨析-公式应用-频率估计-实际建模”为主线，系统构建概率认知体系，通过江苏期末真题强化数学思维与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特训目标|4项目标|事件分类三要素/概率公式应用/频率估计数量/规范书写步骤|从事件定义到概率计算，再到频率与概率关系，形成完整认知链| |考点分析|4核心考点+策略|关键词法区分事件/等可能前提判断/频率稳定值估算/公平性概率比较|结合命题特点（选择填空为主），聚焦基础概念与简单计算| |经典例题|3道江苏真题|选项对比法（事件判断）/总数比法（摸球概率）/试验次数关联法（频率与概率）|覆盖期末高频易错点，示范解题规范| |强化+提优|选择20+填空20+解答12|列表法/树状图法（复杂概率）/统计图表分析法（频率应用）|从基础计算到综合应用，逐步提升用数学语言解决实际问题能力|

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训2 《认识概率》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能准确区分三类事件。 2.掌握概率的定义，会用简单随机试验计算等可能事件的概率，明确概率取值范围 0 ≤ P ≤ 1。 3.理解频率与概率的关系，知道大量重复试验下，频率稳定在概率附近，会用频率估计概率。 4.能结合生活情境解决简单概率问题，规范书写概率计算过程。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）核心考点 1.事件的分类：判断必然、不可能、随机事件（必考基础题，选择/填空）。 2.等可能条件下的概率计算：一步试验求概率（摸球、抛硬币、转盘、抽卡片等）。 3.频率与概率：用频率估计概率，根据试验数据求概率、估算数量。 4.简单实际应用：结合生活场景计算概率、判断游戏公平性。 （二）命题特点 题型以选择题、填空题为主，少量解答题；侧重基础概念辨析、简单计算，难度偏低，极少出现复杂综合题。 （三）应对策略 1.熟记三类事件定义，抓住关键词：一定发生、一定不发生、可能发生。 2.概率公式：P(A)= ，注意等可能性前提。 3.频率 ≠ 概率，大量试验后频率趋近概率；估算数量用：数量=总数\times概率。 4.游戏公平性：比较双方获胜概率，概率相等则公平，否则不公平。 ) 三．经典例题（近年期末真题） 例1（2023·扬州期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 掷一枚质地均匀的骰子，点数为7 C. 任意买一张电影票，座位号是偶数 D. 三角形内角和为180o 例2（2024·泰州期末）一个不透明的袋子中有3个红球、2个白球，除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，摸到红球的概率是______。 例3（2022·南通期末）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的，与频率无关 D. 随着试验次数增加，频率逐渐稳定在概率附近 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）下列事件属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚骰子，点数为6 B. 任意画一个三角形，其内角和是180° C. 明天会下雨 D. 打开电视，正在播放广告 2.（2025·泰州姜堰期末）下列事件中，不可能事件是（ ） A. 掷一枚硬币，正面朝上 B. 从只装白球的袋子里摸出红球 C. 路口遇到红灯 D. 购买一张彩票中奖 3.（2025·扬州江都期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数小于3的概率为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 4.（2025·无锡江阴期末）下列说法正确的是（ ） A. 频率就是概率 B. 随机事件概率一定大于0.5 C. 不可能事件概率为0 D. 概率为0的事件一定不会发生 5.（2023·无锡期末）下列事件是不可能事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 掷硬币正面朝上 C. 太阳从西边升起 D. 打开电视播放新闻 6.（2023·宿迁期末）下列概率最接近0的是（ ） A. 掷硬币正面朝上 B. 买一张彩票中一等奖 C. 掷骰子点数≤6 D. 阴天会下雨 7.（2026·预测）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 8.（2026·预测）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 9、（2026·预测）甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率 B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C、任意写出一个整数，能被2整除的概率 D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率 10. （2026·预测）某商场为促销开展抽奖活动,让顾客转动一次转盘,当转盘停止后,只有指针指向阴影区域时,顾客才能获得奖品,下列有四个大小相同的转盘可供选择,使顾客获得奖品可能性最大的是（ ） A. B. C. D. （二）填空题 11.（2025·南通通州期末）一个不透明袋子中有4个红球、6个白球，随机摸出1个，摸到红球的概率是______。 12.（2025·苏州昆山期末）“从装有5个黄球的袋子中摸出黄球”，该事件概率为______。 13.（2025·镇江丹阳期末）在1，2，3，4中随机取一个数，是奇数的概率为______。 14.（2025·常州武进期末）大量重复试验中，某事件频率稳定在0.25，则该事件概率约为______。 15.（2025·淮安涟水期末）抛一枚硬币50次，正面朝上22次，正面朝上的频率为______。 16.（2025·宿迁沭阳期末）从1~10中随机抽取一个数，是5的倍数的概率为______。 17.（2025·连云港赣榆期末）下列事件：①太阳东升西落；②掷骰子点数为8；③过马路遇绿灯。随机事件有______个。 18.（2025·徐州铜山期末）不透明盒子有3红、2蓝球，摸出不是蓝球的概率为______。 19.（2026·预测）从一副扑克牌中任意抽取1张.(1)这张牌是“8”;(2)这张牌是“方片”;(3)这张牌是“小王”; (4)这张牌是“黑色的”.将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为　　　　.  20、（2026·预测）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球________个． （三）解答题 21.为纪念2026年我国深空探测工程实施20周年，某中学开展“航天筑梦”主题探究活动，围绕“嫦娥七号”探测器探月任务设计了以下问题（不涉及概率计算，仅判断事件类型）： （1）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 2026年“嫦娥七号”探测器成功着陆月球南极 B. 探测器携带的科学仪器正常工作超过100天 C. 月球表面的昼夜温差大于0℃ D. 探测器从地球发射后直接进入月球轨道 （2）下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 探测器在月球表面采集到月壤样本 B. 2026年我国深空探测任务中出现无法修复的设备故障 C. 月球上存在液态水 D. 探测器传回月球表面的高清影像 （3）请结合上述两个小题，简述确定事件（必然事件、不可能事件）与随机事件的区别与联系。 22．某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． (1)有多少种购票方案？列举所有可能结果； (2)如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 23.如图,一个转盘被平均分成12份,每份写上不同的数字.游戏方法:先猜数,后转动转盘,若指针指向的数字与所猜的数字一致,则猜数者获胜.现提供三种猜数方法: (1)猜“是奇数”或“是偶数”; (2)猜“是大于10的数”或“是不大于10的数”; (3)猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”. 如果你是猜数者,你愿意选择哪一种猜数方法?怎样猜?并说明理由. 24．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 25．数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球实验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．第一小组进行了若干次试验后，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率； (2)求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数； (3)若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？ 26．央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有统计：得到如图两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了　 　名购买者； （2）请补全条形统计图．在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　 　度． （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025·盐城射阳期末）关于概率，下列说法正确的是（ ） A. 概率很小的事件不可能发生 B. 掷一枚硬币100次，正面一定50次 C. 随机事件的概率在0~1之间 D. 必然事件的概率大于1 2.（2025·泰州兴化期末）转盘被等分为红、黄、蓝、绿4份，转动一次，指针指向黄色概率为（ ） A.　 B.　 C.　 D.1 3.（2025·镇江句容期末）下列游戏公平的是（ ） A. 掷骰子，点数>4甲赢，点数≤3乙赢 B. 抛两枚硬币，都正面甲赢，否则乙赢 C. 1-6抽数，奇数甲赢，偶数乙赢 D. 摸球2红3白，红球甲赢白球乙赢 4.（2025·无锡宜兴期末）大量试验中事件A频率稳定0.38，下列正确的是（ ） A. 试验100次，A必发生38次 B. A的概率约为0.38 C. A一定发生38% D. 以上都错 5.（2025·泰州高港期末）（选择）同时抛掷两枚均匀硬币，一正一反的概率为（ ） A. 　B.　 C. 　D.1 6.（2026·预测）有7张扑克牌如图所示,将其打乱顺序后,背面朝上放在桌面上.若从中随机抽取一张,则抽到的花色可能性最大的是(　　) A.(黑桃)　B.(红桃) C.(梅花)　D.(方片) 7.（2026·预测）有一个摊位游戏,先旋转一个转盘的指针,如果指针箭头停在奇数的位置,玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠,摸到黑色的弹珠就能得到奖品,转盘和弹珠如图所示,小明玩了一次这个游戏,则小明得奖的可能性为(　　) A.不可能　　　　B.不太可能 C.非常有可能　　　　D.一定可以 8.（2026·预测）分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分概率最小的是(    ) A. B. C. D. 9、（2026·预测）在一个不透明的袋子中有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有20个红球，且摸出红球的概率是，则估计袋子中大概有球的个数是（   ）个． A、25 B、50 C、75 D、100 10、（2026·预测）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 （二）填空题 11.（2025·扬州高邮期末）从1~15中随机取一个数，是3的倍数的概率为______。 12.（2025·南通海门期末）袋中有3红、4黄、8绿球，随机摸1球，不是绿球的概率为______。 13.鱼塘捕获150条鱼做标记后放回，再捕80条，有标记6条，估计鱼塘鱼总数为______。 14.（2025·常州金坛期末）在0，2，4中任取两个组成两位数，是4的倍数的概率为______。 15.（2025·淮安盱眙期末）袋中若干白球，放入10个黑球，摸到黑球频率稳定0.2，白球约______个。 16.（2025·宿迁泗洪期末）事件：①掷两枚骰子点数和为12；②明天刮大风；③水加热到100℃沸腾；④掷骰子点数大于7。随机事件有______个。 17.（2025·连云港东海期末）去掉大小王的扑克牌，抽一张抽到方块的概率为______。 18.（2025·徐州沛县期末）从2，3，5，7中随机抽2个，和为偶数的概率为______。 19.（2025·盐城大丰期末）（填空）袋中有5红、3白，加入______个红球，使摸到红球概率为。 20．（2026·预测）有两个正方体的积木，如图所示： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 上面是淘气掷 200次积木的情况统计表： 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是________号积木， （三）解答题 21.（2025·扬州仪征期末）（简答）不透明袋子有2红、3白、4黑球。 （1）求摸到白球的概率； （2）取出1个黑球后，随机摸1个，求摸到红球的概率。 22．某学校为了解八年级学生体育课的实效性，开学初对八年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中_______所抽取学生成绩的中位数落在_______组（填字母）； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名八年级学生，估计该校成绩优秀的八年级学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名八年级学生（两名男生、两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 23．为庆祝中国共产党建党105周年，某校随机抽取了部分学生参加党史知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：级为一等奖，级为二等奖，级为三等奖，级为参与奖，现将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题． (1)求表示级的扇形圆心角的度数和获得级的人数，并补全条形统计图； (2)若全校有2100名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？ (3)本次竞赛获前五名的甲、乙、丙、丁、戊五位同学要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）．甲、乙两人先抽，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率． 24．小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 25．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 26.（2024秋•定海区校级月考）为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人；扇形统计图中∠α＝　 　度； （2）请把条形统计图补充完整； （3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训2 《认识概率》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能准确区分三类事件。 2.掌握概率的定义，会用简单随机试验计算等可能事件的概率，明确概率取值范围 0 ≤ P ≤ 1。 3.理解频率与概率的关系，知道大量重复试验下，频率稳定在概率附近，会用频率估计概率。 4.能结合生活情境解决简单概率问题，规范书写概率计算过程。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）核心考点 1.事件的分类：判断必然、不可能、随机事件（必考基础题，选择/填空）。 2.等可能条件下的概率计算：一步试验求概率（摸球、抛硬币、转盘、抽卡片等）。 3.频率与概率：用频率估计概率，根据试验数据求概率、估算数量。 4.简单实际应用：结合生活场景计算概率、判断游戏公平性。 （二）命题特点 题型以选择题、填空题为主，少量解答题；侧重基础概念辨析、简单计算，难度偏低，极少出现复杂综合题。 （三）应对策略 1.熟记三类事件定义，抓住关键词：一定发生、一定不发生、可能发生。 2.概率公式：P(A)= ，注意等可能性前提。 3.频率 ≠ 概率，大量试验后频率趋近概率；估算数量用：数量=总数\times概率。 4.游戏公平性：比较双方获胜概率，概率相等则公平，否则不公平。 ) 三．经典例题（近年期末真题） 例1（2023·扬州期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 掷一枚质地均匀的骰子，点数为7 C. 任意买一张电影票，座位号是偶数 D. 三角形内角和为180o 【答案】：C 【解析】：A、D是必然事件；B是不可能事件；C可能发生也可能不发生，是随机事件。 例2（2024·泰州期末）一个不透明的袋子中有3个红球、2个白球，除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，摸到红球的概率是______。 【答案】： 【解析】：总结果数3+2=5，红球结果数3，P(红球)=。 例3（2022·南通期末）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的，与频率无关 D. 随着试验次数增加，频率逐渐稳定在概率附近 【答案】：D 【解析】：频率是试验值，概率是理论值；试验次数越多，频率越接近概率。 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）下列事件属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚骰子，点数为6 B. 任意画一个三角形，其内角和是180° C. 明天会下雨 D. 打开电视，正在播放广告 【答案】：B 【解析】：必然事件是一定发生的事件，三角形内角和恒为180°；A、C、D为随机事件。 2.（2025·泰州姜堰期末）下列事件中，不可能事件是（ ） A. 掷一枚硬币，正面朝上 B. 从只装白球的袋子里摸出红球 C. 路口遇到红灯 D. 购买一张彩票中奖 【答案】：B 【解析】：袋子只有白球，不可能摸出红球，为不可能事件。 3.（2025·扬州江都期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数小于3的概率为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】：B 【解析】：点数小于3为1、2，共2种，P==。 4.（2025·无锡江阴期末）下列说法正确的是（ ） A. 频率就是概率 B. 随机事件概率一定大于0.5 C. 不可能事件概率为0 D. 概率为0的事件一定不会发生 【答案】：C 【解析】：频率≠概率；随机事件概率可小于0.5；概率为0是理论值，不代表绝对不发生。 5.（2023·无锡期末）下列事件是不可能事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 掷硬币正面朝上 C. 太阳从西边升起 D. 打开电视播放新闻 【答案】：C 【解析】：太阳不可能从西边升起，为不可能事件。 6.（2023·宿迁期末）下列概率最接近0的是（ ） A. 掷硬币正面朝上 B. 买一张彩票中一等奖 C. 掷骰子点数≤6 D. 阴天会下雨 【答案】：B 【解析】：中一等奖概率极小，接近0。 7.（2026·预测）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断，然后根据概率公式即可求解．共有5个书签图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第2张与第4张书签图片，共2张，∴小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是，故选：C． 8.（2026·预测）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，∴总面积为，阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为，故选：B． 9、（2026·预测）甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率 B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C、任意写出一个整数，能被2整除的概率 D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率 【答案】D 【解析】A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为， 故本选项错误；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为， 故本选项错误；C、任意写出一个整数，能被2整除的概率为， 故本选项错误；D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率为≈0.33，故本选项正确．故选D． 10. （2026·预测）某商场为促销开展抽奖活动,让顾客转动一次转盘,当转盘停止后,只有指针指向阴影区域时,顾客才能获得奖品,下列有四个大小相同的转盘可供选择,使顾客获得奖品可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可知，A中阴影部分占整个圆的，B中阴影部分占整个圆的，C中阴影部分占整个圆的，D中阴影部分占整个圆的．＞＞=，A中阴影所占比例最大.故选A． （二）填空题 11.（2025·南通通州期末）一个不透明袋子中有4个红球、6个白球，随机摸出1个，摸到红球的概率是______。 【答案】： 【解析】：总球数10，红球4个，P==。 12.（2025·苏州昆山期末）“从装有5个黄球的袋子中摸出黄球”，该事件概率为______。 【答案】：1 【解析】：必然事件，概率为1。 13.（2025·镇江丹阳期末）在1，2，3，4中随机取一个数，是奇数的概率为______。 【答案】： 【解析】：奇数为1、3，共2个，P==。 14.（2025·常州武进期末）大量重复试验中，某事件频率稳定在0.25，则该事件概率约为______。 【答案】：0.25 【解析】：大量试验下，频率可估计概率。 15.（2025·淮安涟水期末）抛一枚硬币50次，正面朝上22次，正面朝上的频率为______。 【答案】：0.44 【解析】：频率=频数÷总数=22÷50=0.44。 16.（2025·宿迁沭阳期末）从1~10中随机抽取一个数，是5的倍数的概率为______。 【答案】： 【解析】：5、10两个，P==。 17.（2025·连云港赣榆期末）下列事件：①太阳东升西落；②掷骰子点数为8；③过马路遇绿灯。随机事件有______个。 【答案】：1 【解析】：①必然事件，②不可能事件，③随机事件。 18.（2025·徐州铜山期末）不透明盒子有3红、2蓝球，摸出不是蓝球的概率为______。 【答案】： 【解析】：总球数5，非蓝球3个，P=。 19.（2026·预测）从一副扑克牌中任意抽取1张.(1)这张牌是“8”;(2)这张牌是“方片”;(3)这张牌是“小王”; (4)这张牌是“黑色的”.将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为　　　　.  【答案】(3)<(1)<(2)<(4) 【解析】一副扑克牌共54张,数字“8”有4张,“小王”只有1张,“方片”有13张,“黑色的”有27张,张数越少,摸到的可能性越小.故答案为(3)<(1)<(2)<(4). 20、（2026·预测）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球________个． 【答案】16 【解析】∵共试验50次，其中有10次摸到黑球， ∴白球所占的比例为 = ， 设盒子中共有白球x个，则 = ，解得：x=16．故答案为：16． （三）解答题 21.为纪念2026年我国深空探测工程实施20周年，某中学开展“航天筑梦”主题探究活动，围绕“嫦娥七号”探测器探月任务设计了以下问题（不涉及概率计算，仅判断事件类型）： （1）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 2026年“嫦娥七号”探测器成功着陆月球南极 B. 探测器携带的科学仪器正常工作超过100天 C. 月球表面的昼夜温差大于0℃ D. 探测器从地球发射后直接进入月球轨道 （2）下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 探测器在月球表面采集到月壤样本 B. 2026年我国深空探测任务中出现无法修复的设备故障 C. 月球上存在液态水 D. 探测器传回月球表面的高清影像 （3）请结合上述两个小题，简述确定事件（必然事件、不可能事件）与随机事件的区别与联系。 【答案】（1）C （2）答案：C （3）区别与联系：区别在于，确定事件（必然事件和不可能事件）的结果是确定的，必然事件一定发生，不可能事件一定不发生；随机事件的结果是不确定的，在一定条件下可能发生也可能不发生。联系在于，三类事件均属于随机现象的研究范畴，必然事件和不可能事件可看作是随机事件的特殊情况。 【解析】（1）月球表面没有大气层保温，昼夜温差极大，通常超过300℃，因此“月球表面的昼夜温差大于0℃”是一定会发生的，属于必然事件；A、B、D选项的结果均具有不确定性，属于随机事件。（2）月球表面没有大气层，温度极低且缺乏液态水存在的条件，因此“月球上存在液态水”是一定不会发生的，属于不可能事件；A、B、D选项的结果均具有不确定性，属于随机事件。（3）区别与联系：区别在于，确定事件（必然事件和不可能事件）的结果是确定的，必然事件一定发生，不可能事件一定不发生；随机事件的结果是不确定的，在一定条件下可能发生也可能不发生。联系在于，三类事件均属于随机现象的研究范畴，必然事件和不可能事件可看作是随机事件的特殊情况。 22．某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． (1)有多少种购票方案？列举所有可能结果； (2)如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 解：（1）有6种购票方案，方案如下． 指定日普通票张数 平日优惠票张数 一 1 11 二 2 9 三 3 7 四 4 5 五 5 3 六 6 1 （2）由（1）知，共有6种购票方案，且选到每种方案的可能性相等，而恰好选到11张门票的方案只有1种，因此恰好选到11张门票的概率是． 23.如图,一个转盘被平均分成12份,每份写上不同的数字.游戏方法:先猜数,后转动转盘,若指针指向的数字与所猜的数字一致,则猜数者获胜.现提供三种猜数方法: (1)猜“是奇数”或“是偶数”; (2)猜“是大于10的数”或“是不大于10的数”; (3)猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”. 如果你是猜数者,你愿意选择哪一种猜数方法?怎样猜?并说明理由. 解：选择第(3)种方法,猜“是3的倍数”. 理由:∵转盘中,奇数与偶数的个数相同,大于10与不大于10的数的个数也相同,∴(1)与(2)无论猜哪个获胜的可能性都为.∵转盘中的数是3的倍数的有7个,不是3的倍数的有5个,∴猜“是3的倍数”获胜的机会大. 24．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 解：（1）根据题意得：掷得的底面数字是3的概率为； 故答案为： （2）根据题意得：掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是；故答案为：0.25 （3）列表如下． 第二次第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的情况，其中和为3的倍数的结果有5种， 两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率为． 25．数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球实验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．第一小组进行了若干次试验后，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率； (2)求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数； (3)若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？ 解：（1）实验总次数为：（次），摸出白球的频数为：， 摸出黄球的频率为：， 补全条形统计图，如图所示： （2）第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数为： ； （3）因为进行实验时具有随机性，所以当第二小组与第一小组的试验次数相同时，他们摸出的各种球的频率很接近，但不会完全相同，因此他们两组的实验结果不一定会完全一样． 26．央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有统计：得到如图两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了　 　名购买者； （2）请补全条形统计图．在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　 　度． （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率． 解：（1）本次一共调查的购买者有：56÷28%＝200（名）； 故答案为：200； （2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人）， 补全的条形统计图如图所示： 在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×＝108°；故答案为：108； （3）根据题意画图如下： 共有9种等可能的情况数，其中两人恰好选择同一种付款方式的有3种， 则两人恰好选择同一种付款方式的概率是＝． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025·盐城射阳期末）关于概率，下列说法正确的是（ ） A. 概率很小的事件不可能发生 B. 掷一枚硬币100次，正面一定50次 C. 随机事件的概率在0-1之间 D. 必然事件的概率大于1 【答案】：C 【解析】：小概率事件可能发生；试验结果有随机性；必然事件概率为1。 2.（2025·泰州兴化期末）转盘被等分为红、黄、蓝、绿4份，转动一次，指针指向黄色概率为（ ） A.　 B.　 C.　 D.1 【答案】：A 【解析】：4种等可能结果，黄色1种，P=。 3.（2025·镇江句容期末）下列游戏公平的是（ ） A. 掷骰子，点数>4甲赢，点数≤3乙赢 B. 抛两枚硬币，都正面甲赢，否则乙赢 C. 1-6抽数，奇数甲赢，偶数乙赢 D. 摸球2红3白，红球甲赢白球乙赢 【答案】：C 【解析】：C中甲乙概率均为；其余双方概率不等。 4.（2025·无锡宜兴期末）大量试验中事件A频率稳定0.38，下列正确的是（ ） A. 试验100次，A必发生38次 B. A的概率约为0.38 C. A一定发生38% D. 以上都错 【答案】：B 【解析】：频率稳定值可作为概率估计值，试验结果具有随机性。 5.（2025·泰州高港期末）（选择）同时抛掷两枚均匀硬币，一正一反的概率为（ ） A. 　B.　 C. 　D.1 【答案】：B 【解析】：结果：正正、正反、反正、反反，一正一反2种，P==。 6.（2026·预测）有7张扑克牌如图所示,将其打乱顺序后,背面朝上放在桌面上.若从中随机抽取一张,则抽到的花色可能性最大的是(　　) A.(黑桃)　B.(红桃) C.(梅花)　D.(方片) 【答案】B　 【解析】一共有7张牌,其中黑桃有1张,占比为,红桃有3张,占比为,梅花有1张,占比为,方片有2张,占比为,∴抽到的花色可能性最大的是红桃,故选B. 7.（2026·预测）有一个摊位游戏,先旋转一个转盘的指针,如果指针箭头停在奇数的位置,玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠,摸到黑色的弹珠就能得到奖品,转盘和弹珠如图所示,小明玩了一次这个游戏,则小明得奖的可能性为(　　) A.不可能　　　　B.不太可能 C.非常有可能　　　　D.一定可以 【答案】 B　 【解析】根据题中转盘知只有1个奇数,旋转转盘,指针停在奇数的位置是有可能的,只是可能性很小,而且袋子中共有20个球,其中有6个黑球,据此得出这个游戏得到奖品的可能性很小.故选B. 8.（2026·预测）分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分概率最小的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】A选项中阴影部分面积占比最小，故概率最小，故选A． 9、（2026·预测）在一个不透明的袋子中有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有20个红球，且摸出红球的概率是，则估计袋子中大概有球的个数是（   ）个． A、25 B、50 C、75 D、100 【答案】D 【解析】由题意可得， 袋子中大概有球的个数是：20÷=20×5=100，故选D． 10、（2026·预测）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 【答案】D 【解析】A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是=；故B选项错误；C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为 ≈0.17，故D选项正确．故选：D． （二）填空题 11.（2025·扬州高邮期末）从1~15中随机取一个数，是3的倍数的概率为______。 【答案】： 【解析】：3、6、9、12、15共5个，P==。 12.（2025·南通海门期末）袋中有3红、4黄、8绿球，随机摸1球，不是绿球的概率为______。 【答案】： 【解析】：总数15，非绿球7个，P=。 13.鱼塘捕获150条鱼做标记后放回，再捕80条，有标记6条，估计鱼塘鱼总数为______。 【答案】：2000 【解析】：150÷=2000。 14.（2025·常州金坛期末）在0，2，4中任取两个组成两位数，是4的倍数的概率为______。 【答案】： 【解析】：两位数：20、24、40，42；4的倍数有3个，P=。 15.（2025·淮安盱眙期末）袋中若干白球，放入10个黑球，摸到黑球频率稳定0.2，白球约______个。 【答案】：40 【解析】：总数10÷0.2=50，白球50-10=40。 16.（2025·宿迁泗洪期末）事件：①掷两枚骰子点数和为12；②明天刮大风；③水加热到100℃沸腾；④掷骰子点数大于7。随机事件有______个。 【答案】：2 【解析】：①②随机；③必然；④不可能。 17.（2025·连云港东海期末）去掉大小王的扑克牌，抽一张抽到方块的概率为______。 【答案】： 【解析】：52张牌，方块13张，P==。 18.（2025·徐州沛县期末）从2，3，5，7中随机抽2个，和为偶数的概率为______。 【答案】： 【解析】：组合：(2,3)(2,5)(2,7)(3,5)(3,7)(5,7)，和为偶数3种，P==。 19.（2025·盐城大丰期末）（填空）袋中有5红、3白，加入______个红球，使摸到红球概率为。 【答案】：7 【解析】：设加x个，=，解得x=7。 20．（2026·预测）有两个正方体的积木，如图所示： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 上面是淘气掷 200次积木的情况统计表： 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是________号积木， 【答案】②； 【解析】①号积木为三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都为＝50%，②号积木为一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性为≈16.7%，是白色的可能性为≈83.3%，由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为＝16%，白色的频率为＝84%，故他选择的是②号积木． （三）解答题 21.（2025·扬州仪征期末）（简答）不透明袋子有2红、3白、4黑球。 （1）求摸到白球的概率； （2）取出1个黑球后，随机摸1个，求摸到红球的概率。 解：（1）P(白球)==。 （2）总球数8，红球2个，P= 22．某学校为了解八年级学生体育课的实效性，开学初对八年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中_______所抽取学生成绩的中位数落在_______组（填字母）； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名八年级学生，估计该校成绩优秀的八年级学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名八年级学生（两名男生、两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 解：（1）根据统计图可得，总人数为（名），B组人数为（名）， 所抽取学生成绩的中位数是第和的平均数，A，B，C组共有名，D组有名，所抽取学生成绩的中位数落在D组，故答案为：，，D； （2）成绩在8分及以上为优秀，成绩优秀所占百分比为， （人），则该校成绩优秀的八年级学生估计有人； （3）树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生共有8种等可能的结果，，则抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 23．为庆祝中国共产党建党105周年，某校随机抽取了部分学生参加党史知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：级为一等奖，级为二等奖，级为三等奖，级为参与奖，现将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题． (1)求表示级的扇形圆心角的度数和获得级的人数，并补全条形统计图； (2)若全校有2100名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？ (3)本次竞赛获前五名的甲、乙、丙、丁、戊五位同学要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）．甲、乙两人先抽，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率． 解：（1）本次抽样测试的人数是：（名， 表示级的扇形圆心角的度数， 级的人数为：（名， 把条形统计图补充完整如图： （2）估计该校能获得一、二等奖的学生共有：（名． （3）列表得： 共有20种等可能的结果，甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的有8种情况， 甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率是 24．小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 解：（1）画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况，∴； （2），故约有25人中奖．奖金共：（元）；设摊者获利：（元）；故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 25．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 解：（1），； 补充完整表格如下： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500 摸出白球的频率 （2）折线统计图如下： 由图知，摸出白球的概率估计值是；故答案为：． （3）由（2）知，摸出白球的概率估计值是，则袋中200个球，白球可能为：（个）故答案为：66． 26.（2024秋•定海区校级月考）为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人；扇形统计图中∠α＝　 　度； （2）请把条形统计图补充完整； （3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率． 解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（人），∠α＝360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝108°．故答案为：40；108． （2）选择C科目的人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝12（人）， 补全条形统计图如下： （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中书法与乐器组合在一起的结果有2种， ∴选中书法与乐器组合在一起的概率为=． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $