25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，课堂导入先回顾直接开平方法、配方法、公式法，通过物理上抛问题引出方程，用旧法求解后过渡到因式分解法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以物理情境引入培养数学眼光，通过方法对比表格和“右化零，左分解；两因式，各求解”口诀发展数学思维，结合中考题及易错点提示强化数学语言应用。采用问题驱动和实例分析，助学生掌握方法选择，教师可提升教学效率。

人教版九年级（上） 25.2 解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 第二十五章 一元二次方程 1 (1) 直接开平方法： (2) 配方法： (3) 公式法： x2=a(a≥0) 或 (mx + n)2 = a(a≥0) (x + h)2 = k (k≥0) 问题：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 知识回顾 知识点 1：因式分解法解一元二次方程 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度 (单位：m) 约为 10x－5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 解：设物体经过 x s 落回地面， 由题意，得 10x－5x2＝0. ① 探究新知 配方法： 10x − 5x2 = 0 解：移项，得：−5x2 +10x = 0. 二次项系数化为1，得：x2 − 2x = 0 . 配方，得：x2 −2x + 1 = 1 ， x1= + = 2，x2= = . ± 公式法： 10x − 5x2 = 0 解：方程化为−5x2 +10x = 0， 此时 a=5，b=，c=， 所以 Δ= b2－4ac=1024×(5)×0 = 100 >0 方程有两个不相等的实数根 x＝ = = 即 x1 = . 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 - 5x = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 10x - 5x2 = 0 ① x(10 - 5x) = 0 ② x = 0， 思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？ x1 = 0，x2 = 2 知识要点 通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法的基本步骤 一移 方程的右边=0 方程的左边因式分解 二分 三化 方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 例1 解下列方程： 解：因式分解，得 ∴ x - 2 = 0，或 x＋1 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = -1. (x - 2)(x＋1) = 0. 典例精析 解：移项、合并同类项， 得 因式分解，得 (2x＋1)(2x - 1) = 0. 解得 ∴ 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0. 总结 简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解. (1) x2 −5x + 6 = 0； (2) x2 + 4x − 5 = 0； (1) (2) 用因式分解的十字相乘法解题较快. 解：(1) 分解因式， 得 (x − 2)(x − 3) = 0， 解：(2) 分解因式， 得 (x + 5)(x − 1) = 0， 解得 x1 = −5，x2 = 1． 解得 x1 = 2，x2 = 3. 1. 解方程： 链接中考 2. 若 x1,x2 是方程 x2 - 2x - 3 = 0 的两个实数根， 则 x1 · x22 的值是 ( ) A. 3 或 -9 B. -3 或 9 C. 3 或 9 D. -3 或 -9 x2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 ① x1 = 3 ， x2 = -1 x = 3 或 x = -1 ② x1 = -1 ， x2 = 3 x1 · x22 = 3 x1 · x22 = -9 A A 知识点 2：选用适当的方法解方程 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x (x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 解： (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0， 或 x + 5 = 0. 解得 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 = (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. 解：(3) x2 - 12x + 62 = 4 + 62， (x - 6)2 = 40. ∴ x1 = ， x2 = 解：(4) 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵ Δ = b2 - 4ac = 28 > 0， 用因式分解法解下列方程： (1) 2x2 - 3x = 0； (2) 5x(x-3) = x-3； 跟踪训练 解：(1) 因式分解，得 x(2x-3) = 0. 于是 x = 0, 或 2x-3 = 0, 所以 x1=0，x2=. (2) 移项，得 5x(x-3) - (x-3) = 0. 因式分解，得 (x-3)(5x-1) = 0. 于是 x-3 = 0, 或 5x-1 = 0, 所以 x1=3，x2=. 约去含未知数的因式导致漏解 在用因式分解法解一元二次方程时，当左右两边均有含未知数的相同因式时，不可直接约去，因为含未知数的因式可能等于0，如果直接约去，会导致漏掉使因式为0的未知数的值. 用因式分解法解下列方程： (3) (3x+2)(2x+1) = -8x-4； (4) (2x-1)2 - 9 = 0. 跟踪训练 (3)移项，得 (3x+2)(2x+1) + 4(2x+1) = 0. 因式分解，得(2x+1)(3x+2+4) = 0, 即(2x+1)(3x+6) = 0， 于是 2x+1 = 0, 或 3x+6 = 0， 所以 x1=﹣，x2=-2. (4) 因式分解，得 [(2x-1)+3][(2x-1)-3] = 0. 即(2x+2)(2x-4) = 0. 于是 2x+2 = 0, 或 2x-4 = 0. 所以x1=-1，x2=2. 思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程. 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单. 公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误. 因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小. 定义 因式分解法 把原方程转化成两个______乘积等于 0 的形式，在使这两个______分别等于 0，从而实现降次 理论依据 若 ab = 0，则 a =___，b =___ 一般步骤 一次式 0 0 一移：使方程的右边为 0 二分：将方程的左边因式分解 三化：将方程化为两个一元一次方程 四解：写出方程的两个解 一次式 课后小结 基础练习 1. 填空： ① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0； ④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8； ⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 3x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2). 最适合运用直接开平方法： ； 最适合运用因式分解法： ； 最适合运用公式法： ； 最适合运用配方法： . ⑥ ① ③ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② ④ 当堂练习 2. 若一个三角形的三边长均满足方程 x2 - 7x + 12 = 0，求此三角形的周长. 解：x2 - 7x + 12 = 0，则 (x - 3)(x - 4) = 0. ∴ x1 = 3，x2 = 4. ∵ 三角形三边长均为方程的根. ① 三角形三边长为 4、3、3，周长为 10； ② 三角形三边长为 4、4、3，周长为 11； ③ 三角形三边长为 4、4、4，周长为 12； ④ 三角形三边长为 3、3、3，周长为 9. 3. 解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0. 解：设 x2＋3＝y，则原方程化为 y2－4y＝0. 分解因式，得 y(y－4)＝0，解得 y＝0，或 y＝4. ①当 y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解； ②当 y＝4 时，x2＋3＝4，即 x2＝1. 解得 x＝±1. 所以原方程的解为 x1＝1，x2＝－1. 20 $