2025年广东省中考总复习数学专题训练(4)三角形

2025年广东省中考总复习数学专题训练（四) 三角形 （满分120分，时间120分钟) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.如图，若m/n,∠1=105°，则∠2= A.559 B.60° C.65° D.75° 部 m E10尺 第1题图 第3题图 第6题图 2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是 A.3 cm,4 cm,8 cm B.8 cm,7 cm,15 cm C.13 cm,12 cm,20 cm D.5 cm,5 cm,11 cm 3.如图，点P是直线l外一点，A,O,B,C在直线1上，且P0⊥1，其中PA=3.5,则点P到 直线的距离可能是 ( A.3.2 B.3.5 C.4 D.4.5 4.在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=2,BC=1,则sinA的值为 ( 1 羹 A.2 号 D.2 5.若等腰三角形中有一个角是30°，则其底角的度数是 ( A.75° B.30 C.75°或309 D.120°或30° 6.我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏 板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工 高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千 的踏板离地的距离为一尺(CE=1尺)，将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺， 即EF=10尺)，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺(DF=5尺)，求这个 剂 秋千的绳索AC有多长？ A.12尺 B.13.5尺 C.14.5尺 D.15.5尺 数学专题训练（四）第1页（共6页） 7.如图，在△ABC中，PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线，若∠BAC=110°，则 ∠PAQ的度数是 A.40° B.50° C.60° D.70° M E A 0 C E B 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC=90°，若 BC=12,AC=8,则DF的长为 A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像.已知蜡烛的 高AB为5.2cm,蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为6cm,该凸透镜的焦距OF 为8cm,AE∥OF,则像CD的高为 () A.15.6cm B.17.5cm C.18.4cm D.20.8cm 10.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分 别在边AC,BC上滑动，且DE=4,若点M,N分别是DE,AB的中点，则MN的最小 值为 ( A.2 B.3 C.3.5 D.4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.杭州亚运会的射击项目比赛中，中国射击队以16枚金牌的成绩结束本届亚运会， 以较大优势占据射击项目金牌榜头名.如图，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩 构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 第11题图 第12题图 第14题图 第15题图 12.如图，已知直线AB和CD相交于点0，∠C0E是直角，OF平分∠AOE,∠C0F=34°， 则∠BOD的度数为 13.已知△AOB与△A,OB,是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点B的 坐标为(-2,4)，则点B,的坐标为 14.如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB,垂足为点C,点F在OA上，若∠AFE= 30°，EC=1,则EF= 15.已知三个边长分别为1,2,3的等边三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分的 面积为 数学专题训练（四）第2页（共6页） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF 求证：△ABC≌△DEF 17.如图，BD是△ABC的角平分线，DE/BC,交AB于点E.求证：△DEB是等腰三角形. 18.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，根据安全标准，需满足BC⊥CD 现测得AB=CD=60cm,BC=30cm,AD=90cm,其中AB与BD之间由一个固定 为90°的零件连接（即∠ABD=90°），通过计算说明该车是否符合安全标准. 图 图2 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.如图，已知△ABC,∠C=90°，AC<BC,点D为BC上一点，且到A,B两，点的距离相等， (1)实践与操作：用直尺和圆规，作出点D的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)应用与计算：连接AD,若∠B=35°，求∠CAD的度数 C 数学专题训练（四）第3页（共6页） 20.如图，AD是Rt△ABC斜边上的中线，AE⊥AD,交CB的延长线于点E. （1)证明：△AEB∽△CEA: (2)若BE=2,AE=4,求AB的长. 21.综合与实践 我们在物理学科中学过：光线从空气中射入水中会发生折射现象（如图1），我们 把n=sin 称为折射率（其中α代表入射角，B代表折射角）. sin B 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发 射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C 处.图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，GH为法线，测得BF=36cm, 4 DF =48 cm 参考数据：sin53°≈ s53≈an53≈） (1)求入射角α的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率n= 3,求光斑移动的距离BC. 入射角a一法线 介质 介质（折射率n)》 D 折射角B 图1 图2 图3 数学专题训练（四）第4页（共6页） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22.综合探究 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)【问题发现】如图1，在等边三角形ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP, 以AP为边作等边三角形APQ,连接CQ.求证：BP=CQ. (2)【变式探究】如图2，在等腰三角形ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点， 以AP为腰作等腰三角形APQ,使AP=PQ,∠APQ=∠ABC,连接CQ.判断 ∠ABC和∠ACO的数量关系，并说明理由. (3)【解决问题】如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方 形APEF,点Q是正方形APEF的中心，连接CQ,AB,AE.若正方形APEF的边长 为12，CQ=4V2,求正方形ADBC的边长. 图1 图2 图3 数学专题训练（四）第5页（共6页） 23.综合运用 如图，已知A(-3,0),B(0,2) (1)如图1，以点A为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形ABC. ①求点C的坐标. ②在平面直角坐标系中，是否存在一点P(点P与点C不重合)，使△PAB与 △ABC全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. (2)如图2，点E为x轴正半轴上一动点，以点E为直角顶点作等腰直角三角形BEM, 过点M作MN⊥y轴于点N,求BN-EO的值. B E B 图1 图2 数学专题训练（四）第6页（共6页）当点Q在直线PD右侧时，易得直线AD的解析 式为y=x+4. .∠ADP=∠DPQ,∴.PQ∥AD .设直线PQ的解析式为y=x+d. 将P(-2,-2)代入y=x+d,得-2=-2+d. 解得d=0.直线PQ的解析式为y=x. y=-x2-5x-4, 联立，得= 整理，得x2+6x+4=0. 解得x=-3+√5(-3-√5不符合题意，故舍去). .Q(-3+V5,-3+5) 综上所述，点Q的坐标为(-4,0)或(-3+V5, -3+V5) 2025年广东省中考总复习 数学专题训练（四） 一、选择题 1.D2.C3.A4.A5.C6.C7.A8.B 9.D 10.B【解析】如图，连接CM,CN.∠C=90°， AB=10,DE=4,点M,N分别是 DE,4B的中点，CN=4B 5,CM=号DE=2.当C,M,N三 点在同一条直线上时，MN取最小 值.MN的最小值为5-2=3. 二、填空题 11.三角形具有稳定性12.22 13.(-4,8)或(4，-8)14.2 15.5V3 4 【解析】如图，由题意，得AC=CE=3 .∠EAC=∠AEC=30°.易知BG∥CE..∠HGB= 30°.又：∠HBG=∠FCE=180°-60°-60°=60°， .∴.∠BHG=∠CFE=90°. 1 1 ·B=2AB=2 CH=BH:tan60°=V3,B 2 FE=CE·sin60°= 2,FC=)CE=3 3V3 1 2= 阴影部分的面积为y3+9V35V3 8 8 4 三、解答题（一）】 16.证明：BE=CF, .BE EC=CF EC..BC EF. (AB DE, 在△ABC和△DEF中，{AC=DF, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SSS). 17.证明：：BD是△ABC的角平分线， .∠EBD=∠DBC. DE/BC,.∠EDB=∠DBC. ∴.∠EBD=∠EDB..ED=EB. ∴.△DEB是等腰三角形 18.解：在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2=AD2-AB2=902-602=4500, 在△BCD中，BC2+CD2=302+602=4500, .BC2 CD2 BD2 ∴.△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. ∴.BC⊥CD,即该车符合安全标准， 四、解答题（二） 19.解：(1)如图，点D即为所求 (2).AD=BD,∠B=35°， ∴.∠BAD=∠B=35°. .∠ADC=70° ∠C=90°， ∴.∠CAD=90°-∠ADC=20°. 20.(1)证明：AD是Rt△ABC斜边上的中线， .AD=CD..∠DAC=∠C. 又AE⊥AD,∴.∠BAC=∠DAE=90. ∴.∠DAC=∠EAB=∠C. 又.∠AEB=∠CEA,.△AEB△CEA. (2)解：△AEBn△CEA,AE=CE=CA BE AE AB AB AE BE 1 AE=4,BE=2,小CA-CE AE2 .CE=8.∴.BC=CE-BE=6. 设AB=a(a>0),则CA=2a. 由勾股定理，得d2+(2ay=6.=6y5 5 “AB的长为6V5 5 21.解：(1)由题可知GH为法线，则GH/BF. ∴.∠BDH=∠DBF=∠PDG BF 36 cm,DF 48 cm, DF484 .tan/DBF=BF=363 4 ,'tan53o≈ 3入射角a约为530. sina≈4sime_4 2rn=4 3 5 sinB=3sinB≈ 如图，记G1与B的交点为Q,则n8-器-号 设CQ=3x,CD=5x,则DQ=4x. 由题易得，BQ=DF=48cm,DQ=BF=36cm .4x=36.解得x=9.∴.CQ=27. .∴.BC=BQ-CQ=48-27=21(cm). 答：光斑移动的距离BC为21cm. G D B 五、解答题（三） 22.（1)证明：，△ABC与△APQ都是等边三角形， ∴.AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60°. ∴.∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ. .∠BAP=∠CAQ (AB=AC, 在△BAP和△CAQ中 ∠BAP=∠CAQ, AP=AQ, .△BAP≌△CAQ(SAS).∴.BP=CQ (2)解：∠ABC=∠ACQ.理由如下： 1 AB=BC,∠BAC=2(I80°-∠ABC) 1 AP=PQ,∠PAQ=2(I80°-∠APQ) :∠APQ=∠ABC,∴.∠BAC=∠PAQ. .BA AC BA AP 六△BMC∽△PAQ.Pi=A0CAAQ .'∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ, ∴.∠BAP=∠CAQ. ∴.△BAP∽△CAQ.∴.∠ABC=∠ACQ. (3)解：：四边形ADBC是正方形， .∠BAC=45° AB=c0s45°=V2AB AC :点Q是正方形APEF的中心， .PAQ=45° APAP -=2.c0s45°=V2. ·.·∠BAP=45°-∠PAC,∠CAQ=45°-∠PAC, ∴.∠BAP=∠CAQ. ..AB AP “AC=A0 =V2,∴.△ABPC∽△ACQ. BP AB …CQAC =V2 CO=4V2,..BP=V2 CO=8. 设PC=x,则AC=BC=8+x. 在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2, 即122=(8+x)2+x2.解得x=-4±2V14. .x>0,.x=-4+2V14. .正方形ADBC的边长为8+x=8-4+ 2V14=4+2V14. 23.解：(1)①如图1，过点C作CH⊥x轴于点H,则 ∠ACH+∠CAH=90°.由题意，得B0=2,A0=3. ,△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=90°， ∴.CA=AB,∠BA0+∠CAH=90°. y个 ∴.∠ACH=∠BAO. .∠CHA=∠AOB=90°， ·.△ACH≌△BAO(AAS).H ∴.AH=B0=2,CH=A0=3. 图1 ∴.0H=5. 点C的坐标是(-5,3. ②存在，点P的坐标是(2，-1)或(-2,5)或(-1，-3) 提示：当△CBA≌△PAB,点P在y轴右侧时，如 图2，过点P作PG⊥y y个 轴于，点G,则∠BGP=C ∠AOB=90°.∴.AC=BP, 0 ∠CAB=∠PBA=90°. G ∴.AB=AC=BP,∠AB0= 图2 90°-∠PBG.·.·∠BPG= 90°-∠PBG,∴.∠AB0=∠BPG.在△AOB和 「LABO=∠BPG, △BGP中，∠AOB=∠BGP,∴.△AOB≌△BGP AB=BP, (AAS).PG=B0=2,BG=A0=3..OG=1. .P(2,-1.当△CBA≌△PAB,点P在y轴左侧 时，如图3，过点P作P℉⊥y轴于点F.同理，得 △AOB≌△BFP.∴.P(-2,5). 0 图3 图4 当△CAB≌△PAB时，如图4，过，点P作PQ⊥x轴 于点Q.同理，得△AOB≌△PQA..P(-1,-3). 综上所述，存在，点P,使△PAB与△ABC全等，点 P的坐标为(2，-1)或(-2,5)或(-1，-3) (2)如图5，过点M作MR⊥x轴于点R,则 ∠MR0=90°.：MN⊥y轴， ∴.∠MNO=90°=∠NOR=∠MRO. .四边形RONM为矩形 ∴.MR=ON 同(1)可证△MER≌△EBO ∴.MR=EO.∴E0=ON. 图5 .BN-EO=BN ON=BO=2. 2025年广东省中考总复习 数学专题训练（五） 一、选择题 1.B2.C3.D4.D5.B6.A7.B8.D 9.A 10.C【解析】如图，连接AC.四边形COAB是 菱形，.BA=CB=OA=0C.∠ABC=60, .△ABC是等边三角形..CA=BA=OA. 0A=1,.CA=1.画出第5次，第6次，第7 次翻折后的图形，如图所示，由图可知，每翻转 6次，图形向右平移4个单位.2025÷6= 337…3,.点B向右平移337×4+1+1= 1350个单位到，点B225,且落在x轴上.∴.B2e5的 坐标为(1350,0). B2(B,B4) 二、填空题 5 11.1612.(-3,V5)13.132°14. 2 15.①②③④【解析】如图， 连接AC交BD于点O,连接 CG..四边形ABCD是正 方形，.BA=BC,∠ABG= ∠CBG=45°，∠BCD=90°. B 又BG=BG,.△ABG≌ △CBG(SAS)∴.AG=CG.GF⊥BC,GE⊥CD, ,∴.∠GFC=∠GEC=90°=∠BCD.∴.四边形 CEGF是矩形.∴.CG=EF.AG=EF.故①正 确.若BG=AB,则∠BAG=∠BGA=2(180°- ∠ABG)=7×(180°-45)=67.5°..∠DAG= 90°-67.5°=22.5°.故②正确.若点G为BD 的中点，则BG=DG.易得GE/BC.BG DG CEDE=CE.由题易知△DGE是等腰直角 D 三角形.DE=GE=CE.:四边形CEGF是矩 形，.四边形CEGF是正方形.故③正确.四 边形ABCD是正方形，.AC=BD=2AO, AC⊥BD.在Rt△ABD中，BD=VAB2+AD2= V22+22=2V2..A0=V2. DG 1 BG=3, %c9 2 8ae)DG·A0 2×2XV2故④正确，正确结论的序 号为①②③④ 三、解答题（一） 16.证明：四边形ABCD是菱形， .DA=DC,∠A=∠C. ∫DA=DC, 在△DAE和△DCF中，}∠A=∠C, AE CF, .△DAE≌△DCF(SAS). .DE=DF.∴.∠DEF=∠DFE. 17.证明：.四边形ABCD是平行四边形， .DF∥EB,AB=CD. CF =AE,.CD-CF=AB-AE...DF=EB. .四边形BFDE是平行四边形 DE⊥AB,∴.∠DEB=90° .四边形BFDE是矩形. 18.(1)证明：.AB∥CD,.∠AB0=∠CDO. 点O是BD的中点，.OB=OD. .·∠AOB=∠COD,.△AOB≌△C0OD(ASA). ∴.AB=CD AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形.