专题08分式期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题08分式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式的定义，能准确区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义、值为 0 的三类条件。 2.熟练掌握分式的基本性质，理解分式约分、通分的原理，清楚最简分式的概念。 3.全面掌握分式四则运算：乘除、乘方、加减及混合运算顺序。 4.掌握可化为一元一次方程的分式方程解法，理解增根产生的原因，掌握必须检验的原理。 5.掌握分式方程的实际应用，能列分式方程解决实际问题。 1.具备快速判断分式取值条件的分析能力，精准避开分母为零的陷阱。 2.能熟练利用分式性质进行约分、通分，具备规范化简分式的运算能力。 3.能按运算顺序完成分式混合运算，会结合因式分解简化运算，提升代数化简能力。 4.能规范解分式方程，会判断增根、理解无解题型逻辑。 5.能读懂实际应用题等量关系，准确列、解、验、答分式方程。 1.基础题型：熟练搞定分式有意义、值为 0、分式化简选择填空，零失误得分。 2.中档题型：分式混合运算步骤规范、化简彻底，不跳步、不粗心，稳拿满分。 3.重点题型：熟练解分式方程，必考检验步骤，攻克增根、无解题型。 4.压轴题型：熟练完成分式方程应用题，规避审题、单位、检验、取舍易错点。 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式乘除运算 题型11.分式乘方及混合运算 题型12.分式加减 题型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 题型16.分式加减乘除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.解分式方程 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 题型21.列分式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际问题 知识点01:分式的概念（基础必考） 1. 分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 其中A叫做分子，B叫做分母。 有理式分类：有理式 判断技巧：只看分母是否含有字母，与分子是否含字母无关；π是常数，不算字母。 2. 分式有意义、无意义、值为 0 的条件 设分式(A、B)为整式 分类 满足条件 核心易错点 分式有意义 分母≠0 只要分母不为 0 即可，与分子无关 分式无意义 分母 = 0 考试常考求未知数取值 分式值为 0 分子 = 0 且 分母≠0 最易错！必须同时满足，缺一不可 知识点02:分式的基本性质（整章理论核心） 1. 基本性质 分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 公式：，(A、B、C为整式，C0) 2. 分式符号法则（超级好用） 分式、分子、分母三处符号，任意改变两处，分式值不变。 常用变形： 用途：统一首项为正、化简负号、规范书写。 3. 性质两大应用 约分：化简分式 通分：分式加减必备 项目 定义 解题步骤 核心依据 约分 把分子分母的公因式约去，化为最简分式 1.分子、分母因式分解2.找出公因式3.约去公因式 分式基本性质 通分 把几个异分母分式化为同分母分式 1.确定最简公分母2.分子分母同乘对应整式 分式基本性质 补充：最简公分母确定方法 (1)系数：取各分母系数的最小公倍数； (2)字母 / 因式：取所有出现的字母（或多项式因式）； (3)指数：相同字母取最高次幂。 知识点03:分式的运算 （一）分式乘除、乘方运算 运算类型 运算法则（公式） 运算要点与易错提示 分式乘法 （b0,d0） 分子相乘作分子，分母相乘作分母；先约分，后计算，简化运算 分式除法 ==(b.c d0) 除法变乘法，除式取倒数；注意符号运算 分式乘方 ()n=（b0，n为正整数） 分子、分母分别乘方；负数乘方注意符号 (二）分式加减运算 运算类型 运算法则（公式） 运算要点 同分母分式加减 ±（c0） 分母保持不变，分子直接相加减；分子是多项式时，注意添加括号 异分母分式加减 ±=（b0,d0） 第一步先通分，转化为同分母分式，再计算 (三)分式混合运算万能顺序 (1)先因式分解 ⇒ (2)先算乘方 ⇒(3)再算乘除（随时约分） ⇒(4)最后算加减⇒ (5)有括号先算括号内⇒(6)结果必须是最简分式或整式 (四)运算高分原则 先分解、先约分、不硬算、最后化简 （80% 学生扣分原因：不分解、直接硬算） 知识点04:分式方程 1. 定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 2. 解分式方程标准步骤 3. 增根与无解（重难点） 概念 / 题型 知识点 & 解题思路 增根 1.定义：整式方程的根，但使原分式分母为 0 2.产生原因：去分母扩大未知数取值范围 已知有增根，求参数 令最简公分母=0，求出增根 2.把增根代入整式方程，计算参数 已知方程无解，求参数 分两类讨论：1. 方程产生增根2. 化简后的整式方程本身无解 知识点05:分式方程实际应用 1.解题六步标准 审→设→列→解→双重检验→答→双重检验： 检验是否为方程增根 检验是否符合实际意义 2. 常考题型及等量关系 题型 核心公式 补充说明 工程问题 工作总量= 工作效率 × 工作时间 无具体总量时，常设工作总量为1 行程问题 路程 = 速度 × 时间 包含相遇、追及、航行类问题 销售问题 总价 = 单价 × 数量； 利润 = 售价-进价 价格、数量类应用题常用 知识点06:本章最全易错点对照表（老师课堂必讲） 常见错误 正确规范做法 错因分析 分式值为0只令分子= 0 分子 = 0 且 分母≠0 忽略分母不能为 0 不通分直接加减分式 异分母分式必须先通分 运算规则记忆混乱 不去因式分解直接约分 先因式分解，再判断公因式 约分基础不扎实 去分母漏乘常数项 方程每一项都要乘最简公分母 做题粗心、步骤不规范 解分式方程不检验 分式方程必须书面检验 考试硬性扣分点 分不清增根和无解 增根是有根但无效，无解是根本没根 概念理解模糊 结果不约分、不化最简 最终结果必须是最简分式 期末基础题高频扣分 题型01.分式的判断 1．下列式子中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A分母为，是不含字母的常数，属于整式，不是分式； 选项B中，分子是整式，分母是含有字母的整式，满足分式定义； 选项C分母为，是不含字母的常数，属于整式，不是分式； 选项D中是常数，分母也为常数，属于整式，不是分式． 2．代数式中，属于分式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：分母是常数2，属于整式，不是分式； 分母是常数，属于整式，不是分式； 分母是含有字母的整式，属于分式； 是整式，不是分式； 分母含有字母，属于分式； 分母含有字母，属于分式； ∴符合条件的分式共有3个． 3．若“”是分式，则“∃”不可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的定义为：若中，是整式，且中含有字母，则是分式，据此判断即可． 【详解】解：∵若是分式，则分母必须是含有字母的整式， 选项A的，选项B的，选项C的，均含有字母，符合分式的分母要求， 又∵是常数， ∴是不含字母的常数，若 ，则是整式，不是分式， 因此不可以是． 4．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；逐一检查每个表达式的分母是否含有字母即可. 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母， ∴检查每个表达式： ：分母是3，是数字，不是分式； ：分母是，是字母，是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，是常数，不是字母，不是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，含有字母，是分式； ∴ 是分式的有2个； 故选：A. 题型02.分式规律探究 5．一列数，，，…，其中，（为不小于的整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，代入计算，根据分式的混合运算即可求解． 【详解】解：，（为不小于的整数）， ∴，，，， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的运算，掌握代入求值，分式的运算法则是解题的关键． 6．观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 7．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 题型03.按要求构造分式 8．若，且，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式，分式的解法；根据题意列出方程组，再根据平方差公式整理得到，再结合题意即可求出． 【详解】解：由题意得： 解得： 整理得： ∵ ∴ 故选：A． 9．代数式，则代数式的值是______． 【答案】28 【分析】本题考查了分式化简（按要求构建分式）、已知式子的值，求代数式的值，先整理，即，再整理，得，再代入即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：28 10．甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的___________倍．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意分别得到甲工程队修所用的时间和乙工程队修所用的时间，再求出它们的比值即可得到答案． 【详解】解：由题可得：甲工程队修所用的时间为天，乙工程队修所用的时间为天， ∴， ∴甲工程队修所用的时间是乙工程队修所用时间的或者， 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式的除法运算，将分式的除法运算转化为分式的乘法运算，然后再利用平方差公式进行分式的约分化简是解题的关键． 题型04.分式的求值 11．如果，那么____________． 【答案】 【分析】已知比例式，可得，， （）． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 12．若，则________． 【答案】 【分析】根据已知等式，用含的代数式表示，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：， ， ∴ ． 13．已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 【答案】B 【分析】将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：由条件可知， ， ， 又， ． 14．按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． （2）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：， ， ． 题型05.分式有无意义与值为零综合 15．对于分式当________时，分式有意义；当________时，分式无意义；当________时，分式的值为． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为的条件，完全平方公式，利用开平方解方程，熟练掌握分式有意义的条件，分式的值为的条件，以及完全平方公式是解题的关键．利用分式有意义的条件是分式的分母不等于零，分式的值为的条件是分式的分子为零且分母不为零，结合完全平方公式和开平方解方程求解即可． 【详解】解：由分式有意义， ∴， 即， 解得：， ∴时分式有意义，时分式无意义； 由分式的值为， ∴，且， 即，且， 解得：， 故答案为：；；． 16．若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 17．若式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且且 【分析】本题主要考查了分式和除法算式的有意义，掌握有意义的条件是解题的关键． 根据分式和除法算式有意义的条件：分母不为零，除数不为零即可求解． 【详解】解：式子中，第一个分式的分母，即； 第二个分式的分母，即； 又因为除数，所以分子，即， 综上可得，且且． 故答案为：且且． 18．若分式的值为零，则的值等于（    ） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据分式值为零的条件列出，且值需保证，即可得到答案． 【详解】解：要使分式的值为零，必须 ， ， 解得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 19．如表描述了分式的部分信息：其中，则下列说法正确的是（    ） 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值． 通过分式无意义的条件确定的符号，再根据时分式值为负确定m和异号，结合的符号得出的符号． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 即， ∵， ∴， ∵当时，分式值， ∴， ∴和异号， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 20．如果分式的值为负数，则x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，解一元一次不等式，根据分式的值为负数，分子为正，则分母必须为负，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 21．请写出一个使的值为整数的x的值：___________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】先将化为，进而取合适的值即可． 【详解】解：， 可知当时， ，值为整数，符合题意． 22．是整数，则整数____________ 【答案】 【分析】本题考查了分式值为整数的问题，解题的关键是正确把分式分离出常数． 将分式化为带分数形式，利用分母整除分子时分式为整数的性质，求出所有整数解． 【详解】解： 要使原式为整数，则必须为整数，即是4的约数， ∴， 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，。 验证所有值均使分母，且分式均为整数， 故答案为：． 23．写出一个使分式的值大于1的x值：________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】先对不等式变形求解，得到的取值范围，再在取值范围内写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：由题意得 ， 移项得 ， 通分计算得 ， 化简得 ， 所以 ，解得 ． 取，满足条件． 24．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 题型07.分式变形的判断与条件 25．下列分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误； B．当时无意义，故B错误； C．，故C错误； D．，变形正确． 26．下列分式与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键．根据分式的性质，可化简变形． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项符合题意； 故选：D． 27．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】本题考查分式的恒等变形，涉及分式性质，熟记分式性质，逐项验证是解决问题的关键． 逐一验证各选项，A、B、C选项均存在计算错误，D选项符合零指数幂定义． 【详解】对于A，取，左边，右边，不相等； 对于B，取，左边，右边，不相等； 对于C，左边，右边，不相等； 对于D，当时，，，正确． 故选：D． 28．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 题型08.分式值变化判断 29．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【答案】缩小为原来的 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 30．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得： ， 那么分式的值缩小到原来的， 故选：A． 31．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式混合运算，分式的基本性质，先根据题意列出即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 故选：． 题型09.约分与最简分式 32．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分子分母分别因式分解，再约去公因式得到结果． 【详解】解： ． 33．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式，判断每个选项是否存在公因式，即可得到答案. 【详解】解：对于A，，分子分母有公因式，A不是最简分式； 对于B，，分子分母有公因式，B不是最简分式； 对于C，无法分解因式，分子分母没有公因式，C是最简分式； 对于D，，分子分母有公因式，D不是最简分式. 34．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，掌握相关知识是解题的关键． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查每个选项是否能约分，即可得到答案． 【详解】解：A、分子与分母无公因式，不能约分，是最简分式； B、，能约分，不是最简分式； C、，能约分，不最简分式； D、，能约分，不最简分式 故选：A． 35．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．根据分式的基本性质，逐一验证即可． 【详解】解： 选项A，因为，所以选项 A正确，符合题意； 选项B，因为，所以选项B错误，不符合题意； 选项C，因为，所以选项C错误，不符合题意； 选项D，因为，所以选项D错误，不符合题意． 故选：A． 36．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 题型10.分式乘除运算 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． （2）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘除运算． （1）根据分式的乘法运算法则计算即可； （2）由分式的除法运算法则计算即可； （3）先分别对各分式的分子分母因式分解，然后再运用分式的乘除的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 39．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式的运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再约分化简即可； （2）先利用平方差公式通分，再做减法化简即可； （3）先利用平方差公式，完全平方公式对分子分母进行因式分解，再将除法变为乘法约分化简即可； （4）先通分，再做减法即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的乘法法则计算即可； （）根据分式的除法法则计算即可； 本题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型11.分式乘方及混合运算 41．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘方运算，解题时利用 “分式乘方要把分子、分母分别乘方” 的法则，结合幂的乘方、积的乘方性质计算，关键是正确处理分子分母的乘方及符号，易错点是漏乘方或符号错误； （1）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （2）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （3）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （4）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法，分式的减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先乘方，将除法变为乘法约分计算即可； （2）先通分，再计算即可． 【详解】（1）解：原式=     =． （2）解：原式= =     =． 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把除法化为乘法，再约分即可； （2）先计算乘方，再计算除法运算即可； （3）按照同分母分式的减法运算法则计算即可； （4）先通分，化为同分母，再计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 题型12.分式加减 44．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减运算，因式分解，通过因式分解找到分子和分母的公因式是解题关键． （1）同分母分式直接合并分子，对分子因式分解后约去公因式，化简得出最简结果； （2）先将异分母分式化为同分母，合并分子后进行因式分解，再约去公因式完成化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 45．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查了初中数学中的分式加减运算、通分、因式分解等知识点，解题的关键在于正确确定公分母、进行通分和化简，同时注意符号处理和约分，确保每一步运算的准确性． （1）先通分，再进行同分母分式的加法运算； （2）先通分，再进行同分母分式的加法运算； （3）先通分，再进行同分母分式的加法运算； （4）先把分解因式，再通分，然后进行同分母分式的加法运算； 【小题1】解：原式； 【小题2】原式； 【小题3】原式； 【小题4】原式． 46．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 47．【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）糖水的浓度等于糖的质量除以糖水的质量，据此可得第一空的答案；根据糖水变淡可知糖水的浓度变低，据此可得第二空的答案； （2）可求出，再证明即可证明结论； （3）由（2）可得，，，则可证明，根据，，，可证明． 【详解】（1）解：如果加入克水，糖水的浓度变为， 由糖水变淡可得不等式； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴； 题型13.通分与最简公分母 48．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为因式． 49．已知，其中，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简分式B，再与A比较，得出A与B的关系即可． 【详解】解：， 已知：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的通分，掌握分解因式和通分方法是解题关键． 50．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为__________，_________，_________． 【答案】 【分析】求出分式，，的最简公分母为，即可求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， ，， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分，通分的关键是确定最简公分母． 51．把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 52．通分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：两个分式的最简公分母为， 故； （2）解：， 故两个分式的最简公分母为， 故． 53．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 题型14.分式加减混合运算 54．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）先根据分式的性质进行变形，然后再利用分式的加减运算可进行求解； （2）根据分式的加法运算可进行求解 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 55．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 56．老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明，小红 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算， （1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答． 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： 故小明计算错误； 故小红计算错误； 故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红； （2）正确的解答过程如下： ． 题型15.分式加减的实际应用 57．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）的结论来证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：； （2）解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∴； 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 58．【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）先化简，再根据作出判断即可； （2）计算，并根据，且作出判断即可； 【详解】（1）解： ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 59．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 【答案】(1)， (2)“丰收2号”小麦的单位面积产量高，见解析 【分析】本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量为    故答案为：，； （2）“丰收2号”小麦的单位面积产量高 ，     ，     由图丙可得     .     所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高. 题型16.分式加减乘除混合运算 60．计算： 【答案】 【分析】先计算括号内的分式加法，然后计算括号外的分式除法． 【详解】解： ． 61．化简和解不等式组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 62．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先统一分母，再合并计算； （2）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 63．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 ． 题型17.分式化简与最值 64．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式= = = 把代入，得原式=． 65．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ∵， ∴原式． 66．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，根据零指数幂求出的值，代入化简结果计算即可. 【详解】解： 原式 ， ， 将代入，原式． 题型18.解分式方程 67．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解． (2) 【详解】（1）解： 解得 经检验，是增根， ∴原方程无解； （2）解： 解得 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 68．解方程：． 【答案】 【详解】解：去分母，得，   去括号，得，   移项、合并同类项，得，   系数化为1，得，   检验：当时，， 原方程的解是． 69．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，再进行求解整式方程，最后进行检验即可． 【详解】（1）解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 70．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解：原方程变形可得 ， 去分母，得，     去括号，得， 移项，得 ， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的解． 【点睛】分式方程需检验所得的根是否为增根． 题型19.由分式方程解的情况求值 71．关于x的分式方程有增根，则m的值为___________． 【答案】3 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，． 72．已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得：， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 73．若关于x的分式方程 有增根，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程增根的概念，增根使分母为零，代入化简后的方程可求参数． 分式方程的增根是使分母为零的根，即.将方程去分母后，代入增根求解即可． 【详解】解：∵方程有增根， ∴增根为. 原方程：， 两边同乘得：， 化简得：， 将增根代入， 得， 解得， 因此，的值为2， 故选C． 74．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)的整数值为或1 【分析】本题考查了分式方程的增根，根的正负性与整数解的确定，掌握分式方程增根的处理方法，根的正负性与整数解的条件，结合整式方程求解参数是解题的关键． （1）分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根，代入去分母后的整式方程求的值； （2）将根代入去分母后的整式方程，直接求解的值； （3）先求出整式方程的解，根据根为正数且不为增根，列出不等式求的取值范围； （4）由整式方程的解为正整数，结合为整数，确定为4的正约数，再排除增根对应的值． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 整理，得． 分式方程有增根， ． 把代入，得 解得． （2）解：， ， 解得． （3）解：原分式方程的根为正数， 且， 即且， 解得且． （4）解：由，得． 要使分式方程的根为正整数，且为整数， 则或或， 或或． 由（1）可知，当时，该方程有增根，不符合题意， 的整数值为或． 题型20.分式方程无解问题 75．若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：将方程两边同乘以得：， ∵分式方程有增根． ∴最简公分母， 解得， 将代入得：． 76．若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据整式方程无解或整式方程的解为分式方程的增根两种情况分类讨论求解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得， ∵该整式方程为一元一次方程，总有解， ∴分式方程无解的情况为解是增根，分式方程的增根满足分母为，即， ∴， 将代入，得， 解得：． 77．若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，分清分式方程无解的情况包括整式方程有增根或整式方程本身无解是解题的关键． 首先对分式方程进行求解，发现整式方程总是有解，因此只需考虑增根情况，求得增根进行求解m的值即可． 【详解】解：， ， 方程有增根时，代入得，解得：， ∴当时，分式方程无解， 故选：A． 78．解方程： (1)； (2)若关于x的方程无解，求实数a的值． 【答案】(1)是原方程的解 (2)或 【分析】（1）方程两边同时乘以，得整式方程，解这个整式方程，再进行检验即可； （2）先把原方程去分母并整理得，解得，根据方程无解可得，然后求出a的值即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． （2）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 因为方程无解，所以是方程的增根，即， 解得：或． 题型21.列分式方程 79．随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 【答案】 【分析】抓住追上时甲乙运动时间相等的等量关系，结合路程速度时间的关系列出方程求解即可． 【详解】解：设甲接下来的平均速度为米/秒． 由题意可知，甲想再跑300米刚好追上乙，此时甲落后乙40米，因此乙跑的路程为米，甲乙运动时间相等． 根据公式，可得乙运动时间为，甲运动时间为． 由时间相等可得方程： ． 80．古代算书中记载了这样一个问题：“今有贾人贩布，原价每匹计钱若干．若每匹减价三钱，则以四十八钱购得之布数，倍于原价所购之数，问原布价几何？”该问题大意是：“现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？”若设每匹布原价x钱，则可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每匹布原价为钱，先根据“数量=总钱数÷单价”分别表示出原价购买和降价后购买的布的数量，再根据题目给出的数量关系列方程即可． 【详解】解：∵设每匹布原价钱，则降价后每匹布价格为钱，总购布钱数为钱， ∴原价可购买布的数量为匹，降价后可购买布的数量为匹， ∵降价后买到布的数量是原价购买数量的倍， ∴可列方程为． 81．某工厂原计划生产120万个零件，为了按时交货，实际每天产量比原计划提高了，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万个零件，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据工作时间=总工作量÷工作效率，分别求出原计划和实际的生产天数，再根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设原计划每天生产万个零件，总工作量为120万个， ∴原计划完成任务的天数为． ∵实际每天产量比原计划提高了， ∴实际每天生产零件数为万个，实际完成任务的天数为． ∵实际比原计划提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天， ∴列方程得． 题型22.分式方程行程问题 82．八年级学生前往距学校的博物馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍，求大巴的平均速度． 【答案】大巴的平均速度是 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设大巴的平均速度是，则中巴的平均速度是，根据中巴用的时间比大巴少，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大巴的平均速度是，则中巴的平均速度是，根据题意得： 解得： 经检验时，是原方程的根， 答：大巴的平均速度是． 83．在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 【答案】模型每分钟输出生成速度是分钟 【分析】利用时间 = 总量 ÷ 速度 的关系，结合两种模型的时间差建立方程求解； 【详解】解：设模型每分钟输出生成速度是 ，则模型每分钟输出生成速度是 ，根据题意列方程得， ， 解得，， 经检验是原分式方程的解且符合实际． 则分钟， 答：模型每分钟输出生成速度是分钟． 84．从阜新到沈阳铁路里程约为千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)我校共有名师生从阜新前往沈阳参加夏季研学活动，为了便于管理，所有人须乘坐同一列高铁，因二等座剩余座次有限，研学团需购买一部分一等座车票和一部分二等座车票，已知高铁单程一等座位票价为元，二等座位票价为元，学校预计提供交通补助费单程不超过元，请问学校至少购买多少张二等座位的车票． 【答案】(1)高铁的平均速度为千米/小时； (2)学校至少购买张二等座位的车票 【分析】（1）设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可； （2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，根据“学校预计提供交通补助费单程不超过3600元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时， 依题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （千米/小时）． 答：高铁的平均速度为240千米/小时． （2）解：设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得 ， 解得 ， 答：学校至少购买28张二等座位的车票． 题型23.分式方程工程问题 85．列分式方程解应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产30台设备，现在生产600台设备所需时间与原计划生产450台设备所需时间相同．工厂现在平均每天生产多少台设备？ 【答案】工厂现在平均每天生产120台设备． 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设原计划平均每天生产台设备，则现在平均每天生产台设备，根据题意列出方程求解． 【详解】解：设原计划平均每天生产台设备，则现在平均每天生产台设备． 则， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴现在平均每天生产台设备， 答：工厂现在平均每天生产120台设备． 86．我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准、高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换的钢轨长度比一个工作队每小时人工更换的钢轨长度多，它更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？ 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 【分析】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，则一个工作队人工每小时更换钢轨，根据题意找到“更换钢轨所用时间相等”的等量关系，列出分式方程求解，解后需要检验根的合理性． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，则一个工作队人工每小时更换钢轨， 根据题意，得， 交叉相乘得， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答∶一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨． 87．某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定在若干天内完成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合作需要24天完成．问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 【答案】甲、乙两组合做能在规定时间内完成 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式方程的解法的运用，工程问题的数量关系“工作量工作效率工作时间”的运用，解答时根据工作问题的数量关系建立方程是关键．设规定时间为天，则甲组单独完成这项工程需要天，乙组单独完成这项工程需要天，根据题意可列方程为，由此解答即可． 【详解】解：设规定时间为天，则甲组单独完成这项工程需要天，乙组单独完成这项工程需要天， 根据题意得： 化简得： 整理得： ， 解得：， 经检验，，都是原方程的解， 但时，，不符合实际意义，故舍去 所以规定时间为28天， 因为，所以甲、乙两组合做能在规定时间内完成， 答：甲、乙两组合做能在规定时间内完成． 题型24.分式方程经济问题 88．郑州非物质文化遗产展示馆于2月10日至3月3日举办“非遗贺新春·见郑欢喜年”主题活动．活动采用“双馆联动”模式，其中西馆“趣之坊”打造手工公益研学课堂，拓年画、剪“富贵马”、制作掐丝珐琅等十余项非遗体验．掐丝珐琅手艺人王师傅用500元购进的银丝和用750元购进的金丝的长度相同，每米金丝的进价比银丝的进价多5元． (1)求金丝、银丝每米的进价； (2)王师傅计划再用不超过1320元的总费用购进金丝、银丝共100米制作掐丝珐琅，求金丝最多可以购进多少米． 【答案】(1)金丝每米的进价为15元，银丝每米的进价为10元； (2)金丝最多可以购进64米 【分析】（1）设金丝每米的进价为x元，则银丝每米的进价为元，根据用500元购进的银丝和用750元购进的金丝的长度相同建立方程求解即可； （2）设购进金丝y米，则购进银丝米，根据总费用不超过1320元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设金丝每米的进价为x元，则银丝每米的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：金丝每米的进价为15元，银丝每米的进价为10元； （2）解：设购进金丝y米，则购进银丝米， 由题意得，， 解得， ∴y的最大值为64， 答：金丝最多可以购进64米． 89．郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品． (1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价； (2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价； (3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A款进价为40元，B款进价为25元； (2)A款售价为60元，B款售价为50元； (3)购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元． 【分析】（1）设B款进价为x元，则A款进价为元，根据题意列一元一次方程，据此计算即可求解； （2）设B款售价为y元，则A款售价为元，根据题意列出分式方程，据此计算即可求解； （3）设购进A款m个，则购进B款个，先求得，再求得总利润W关于m的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B款进价为x元，则A款进价为元， 根据题意：， 解得， ， 答：A款进价为40元，B款进价为25元； （2）解：设B款售价为y元，则A款售价为元， 根据题意列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A款售价为60元，B款售价为50元； （3）解：设购进A款m个，则购进B款个， 根据条件“购进A款的个数不少于B款的一半”：得， 解得：， 总利润W的表达式： ， ∵，∴W随m的增大而减小， ∴当时：最大利润：元， 个 答：购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元． 90．学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍． (1)求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元； (2)若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签． 【答案】(1)60元、40元 (2)40个 【分析】（1）设B型号文创书签的单价为元，则A型号文创书签的单价为元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号文创书签个，则购买B型号文创书签个，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B型号文创书签的单价为元，则A型号文创书签的单价为元． 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 当时，． 答：，两种型号文创书签的单价分别是60元和40元． （2）解：设购买A型号文创书签个，则购买B型号文创书签个． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买40个A型号的文创书签． 题型25.分式方程和差倍分问题 91．汴绣是流传于河南省开封市的传统美术，也是国家级非物质文化遗产之一，《东京梦华录》中有“金碧相射，锦绣交辉”之誉．某商店第一次用600元购进绣有吉祥图案的香包若干个，第二次又用600元购进该款式香包，但每个香包的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30个，求该商店第一次购进香包的单价是多少元． 【答案】4元 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设该商店第一次购进香包的单价是x元，根据“第二次购进的数量比第一次少了30个”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该商店第一次购进香包的单价是x元，则第二次购进香包的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 答：该商店第一次购进香包的单价是4元． 92．2026年世界读书日来临之际，某校为打造校园书香角落，计划采购大号图书架和小号图书架两种书架，用于摆放各类课外读物． 信息一：每个大号图书架比每个小号图书架多摆放图书15册；用大号图书架摆放600册图书与用小号图书架摆放450册图书所需书架个数相同． 信息二：学校计划购进这两种书架共10个，且所有书架摆放的图书总数不少于540册． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)每个大号、小号图书架分别可摆放图书多少册？ (2)该校最少需要购进大号图书架多少个？ 【答案】(1)小号图书架可摆放45册图书，大号图书架可摆放60册图书 (2)该校最少需要购进大号图书架6个 【分析】（1）设小号图书架可摆放x册图书，则大号图书架可摆放册图书，根据题意，列出分式方程，求解检验即可； （2）设该校购进大号图书架m个，则购进小号图书架个，根据题意，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设小号图书架可摆放x册图书，则大号图书架可摆放册图书， 根据题意，得，解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：小号图书架可摆放45册图书，大号图书架可摆放60册图书； （2）解：设该校购进大号图书架m个，则购进小号图书架个， 根据题意，得，解得， 答：该校最少需要购进大号图书架6个． 93．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 【答案】(1)A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元 (2)1 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，分式方程的工程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程求解，从而可求得A型口罩的单价； （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：，从而可得，同理可得，，从而可求得． 【详解】（1）解：（元）． 设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元． （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：， ∴， ∴，即． 同理，， ∴． 题型26.其他实际问题 94．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计划生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ 【答案】(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元 (2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个 【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可； （2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，根据题意得， 解得：， 则制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个． 95．“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【答案】乙同学每天读书页 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页，根据读书天数总页数每天读的页数，以及两人读书的天数差列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页， 由题意可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙同学每天读书页． 96．某社区团购平台推出环保果蔬礼盒，包含有机蔬菜A和时令水果B两种品类． A类礼盒标价120元/箱，B类礼盒标价160元/箱． 平台规定：同一订单中，A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱． (1)某小区物业为业主团购福利，按标价购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元． 求A、B两种礼盒各购买了多少箱？ (2)因市场波动，平台调整优惠政策如下： A类礼盒：每箱直接降价a元出售； B类礼盒：购买不超过3箱时按标价出售；超过3箱时，前3箱按标价出售，超过3箱的部分每箱降价元出售． 该小区另一栋楼组织团购，要求购买的B类礼盒比A类礼盒多2箱，且合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的． 设购买A类礼盒m箱． ①若，求m的值，并判断该团购订单是否满足平台的购买数量规定； ②若该团购订单满足平台购买数量规定，且存在三种不同的购买方案（即不同的m值），若对于每种方案，合计付款恰好为原先总费用的，求a的所有值（说明：a的值可以为分数） 【答案】(1)A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱 (2)①m的值为2，且满足平台的购买数量规定；②或或 【分析】（1）设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱，根据购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元列方程组求解即可； （2）①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元．根据合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的列方程求解即可； ②先根据A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱求出，然后同①列方程求出，再令，求解即可． 【详解】（1）解：设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱， 由题意得： ， 解得， 答：A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱 （2）解：①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元． ∴， 解得， 此时购买A类礼盒2箱，B类礼盒箱，总数为箱，满足总数不少于5箱且不超过10箱， 即m的值为2，且满足平台的购买数量规定． ②∵， ∴， ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或或． 经检验或或是原方程的解且符合题意， ∴a的所有值为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08分式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式的定义，能准确区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义、值为 0 的三类条件。 2.熟练掌握分式的基本性质，理解分式约分、通分的原理，清楚最简分式的概念。 3.全面掌握分式四则运算：乘除、乘方、加减及混合运算顺序。 4.掌握可化为一元一次方程的分式方程解法，理解增根产生的原因，掌握必须检验的原理。 5.掌握分式方程的实际应用，能列分式方程解决实际问题。 1.具备快速判断分式取值条件的分析能力，精准避开分母为零的陷阱。 2.能熟练利用分式性质进行约分、通分，具备规范化简分式的运算能力。 3.能按运算顺序完成分式混合运算，会结合因式分解简化运算，提升代数化简能力。 4.能规范解分式方程，会判断增根、理解无解题型逻辑。 5.能读懂实际应用题等量关系，准确列、解、验、答分式方程。 1.基础题型：熟练搞定分式有意义、值为 0、分式化简选择填空，零失误得分。 2.中档题型：分式混合运算步骤规范、化简彻底，不跳步、不粗心，稳拿满分。 3.重点题型：熟练解分式方程，必考检验步骤，攻克增根、无解题型。 4.压轴题型：熟练完成分式方程应用题，规避审题、单位、检验、取舍易错点。 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式乘除运算 题型11.分式乘方及混合运算 题型12.分式加减 题型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 题型16.分式加减乘除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.解分式方程 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 题型21.列分式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际问题 知识点01:分式的概念（基础必考） 1. 分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 其中A叫做分子，B叫做分母。 有理式分类：有理式 判断技巧：只看分母是否含有字母，与分子是否含字母无关；π是常数，不算字母。 2. 分式有意义、无意义、值为 0 的条件 设分式(A、B)为整式 分类 满足条件 核心易错点 分式有意义 分母≠0 只要分母不为 0 即可，与分子无关 分式无意义 分母 = 0 考试常考求未知数取值 分式值为 0 分子 = 0 且 分母≠0 最易错！必须同时满足，缺一不可 知识点02:分式的基本性质（整章理论核心） 1. 基本性质 分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 公式：，(A、B、C为整式，C0) 2. 分式符号法则（超级好用） 分式、分子、分母三处符号，任意改变两处，分式值不变。 常用变形： 用途：统一首项为正、化简负号、规范书写。 3. 性质两大应用 约分：化简分式 通分：分式加减必备 项目 定义 解题步骤 核心依据 约分 把分子分母的公因式约去，化为最简分式 1.分子、分母因式分解2.找出公因式3.约去公因式 分式基本性质 通分 把几个异分母分式化为同分母分式 1.确定最简公分母2.分子分母同乘对应整式 分式基本性质 补充：最简公分母确定方法 (1)系数：取各分母系数的最小公倍数； (2)字母 / 因式：取所有出现的字母（或多项式因式）； (3)指数：相同字母取最高次幂。 知识点03:分式的运算 （一）分式乘除、乘方运算 运算类型 运算法则（公式） 运算要点与易错提示 分式乘法 （b0,d0） 分子相乘作分子，分母相乘作分母；先约分，后计算，简化运算 分式除法 ==(b.c d0) 除法变乘法，除式取倒数；注意符号运算 分式乘方 ()n=（b0，n为正整数） 分子、分母分别乘方；负数乘方注意符号 (二）分式加减运算 运算类型 运算法则（公式） 运算要点 同分母分式加减 ±（c0） 分母保持不变，分子直接相加减；分子是多项式时，注意添加括号 异分母分式加减 ±=（b0,d0） 第一步先通分，转化为同分母分式，再计算 (三)分式混合运算万能顺序 (1)先因式分解 ⇒ (2)先算乘方 ⇒(3)再算乘除（随时约分） ⇒(4)最后算加减⇒ (5)有括号先算括号内⇒(6)结果必须是最简分式或整式 (四)运算高分原则 先分解、先约分、不硬算、最后化简 （80% 学生扣分原因：不分解、直接硬算） 知识点04:分式方程 1. 定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 2. 解分式方程标准步骤 3. 增根与无解（重难点） 概念 / 题型 知识点 & 解题思路 增根 1.定义：整式方程的根，但使原分式分母为 0 2.产生原因：去分母扩大未知数取值范围 已知有增根，求参数 令最简公分母=0，求出增根 2.把增根代入整式方程，计算参数 已知方程无解，求参数 分两类讨论：1. 方程产生增根2. 化简后的整式方程本身无解 知识点05:分式方程实际应用 1.解题六步标准 审→设→列→解→双重检验→答→双重检验： 检验是否为方程增根 检验是否符合实际意义 2. 常考题型及等量关系 题型 核心公式 补充说明 工程问题 工作总量= 工作效率 × 工作时间 无具体总量时，常设工作总量为1 行程问题 路程 = 速度 × 时间 包含相遇、追及、航行类问题 销售问题 总价 = 单价 × 数量； 利润 = 售价-进价 价格、数量类应用题常用 知识点06:本章最全易错点对照表（老师课堂必讲） 常见错误 正确规范做法 错因分析 分式值为0只令分子= 0 分子 = 0 且 分母≠0 忽略分母不能为 0 不通分直接加减分式 异分母分式必须先通分 运算规则记忆混乱 不去因式分解直接约分 先因式分解，再判断公因式 约分基础不扎实 去分母漏乘常数项 方程每一项都要乘最简公分母 做题粗心、步骤不规范 解分式方程不检验 分式方程必须书面检验 考试硬性扣分点 分不清增根和无解 增根是有根但无效，无解是根本没根 概念理解模糊 结果不约分、不化最简 最终结果必须是最简分式 期末基础题高频扣分 题型01.分式的判断 1．下列式子中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 2．代数式中，属于分式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．若“”是分式，则“∃”不可以是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02.分式规律探究 5．一列数，，，…，其中，（为不小于的整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 6．观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想________（用含的代数式表示）． 7．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是________． 题型03.按要求构造分式 8．若，且，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．代数式，则代数式的值是______． 10．甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的___________倍．（用含的式子表示） 题型04.分式的求值 11．如果，那么____________． 12．若，则________． 13．已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 14．按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型05.分式有无意义与值为零综合 15．对于分式当________时，分式有意义；当________时，分式无意义；当________时，分式的值为． 16．若分式的值为零，则______． 17．若式子有意义，则的取值范围是___________． 18．若分式的值为零，则的值等于（    ） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 19．如表描述了分式的部分信息：其中，则下列说法正确的是（    ） 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … A． B． C． D． 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 20．如果分式的值为负数，则x的取值范围是______． 21．请写出一个使的值为整数的x的值：___________． 22．是整数，则整数____________ 23．写出一个使分式的值大于1的x值：________． 24．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 题型07.分式变形的判断与条件 25．下列分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 26．下列分式与相等的是（    ） A． B． C． D． 27．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D．（） 28．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 题型08.分式值变化判断 29．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 30．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．不变 D．缩小到原来的 31．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 题型09.约分与最简分式 32．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 33．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 34．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 35．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 36．约分： (1)； (2)； (3)． 题型10.分式乘除运算 37．计算： (1)； (2)． 38．计算： (1)； (2)； (3)． 39．计算： (1) (2) (3) (4) 40．计算： (1)； (2)． 题型11.分式乘方及混合运算 41．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 42．计算： (1)； (2)． 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型12.分式加减 44．计算： (1)； (2)． 45．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 46．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 47．【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 题型13.通分与最简公分母 48．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 49．已知，其中，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 50．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为__________，_________，_________． 51．把，，通分后，各分式的分子之和为________． 52．通分： (1)； (2)． 53．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 题型14.分式加减混合运算 54．计算： (1)． (2)． 55．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 56．老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 题型15.分式加减的实际应用 57．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 58．【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 59．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 题型16.分式加减乘除混合运算 60．计算： 61．化简和解不等式组 (1)； (2)． 62．计算： (1)； (2)． 63．计算： (1)； (2)； (3)． 题型17.分式化简与最值 64．先化简，再求值：，其中． 65．先化简，再求值：，其中． 66．先化简，再求值：，其中． 题型18.解分式方程 67．解分式方程： (1)； (2)． 68．解方程：． 69．解方程： (1) (2)． 70．解方程：． 题型19.由分式方程解的情况求值 71．关于x的分式方程有增根，则m的值为___________． 72．已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 73．若关于x的分式方程 有增根，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 74．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 题型20.分式方程无解问题 75．若关于x的方程有增根，则a的值是______． 76．若关于的分式方程无解，则的值为______． 77．若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C． D．2 78．解方程： (1)； (2)若关于x的方程无解，求实数a的值． 题型21.列分式方程 79．随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 80．古代算书中记载了这样一个问题：“今有贾人贩布，原价每匹计钱若干．若每匹减价三钱，则以四十八钱购得之布数，倍于原价所购之数，问原布价几何？”该问题大意是：“现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？”若设每匹布原价x钱，则可列方程是（     ） A． B． C． D． 81．某工厂原计划生产120万个零件，为了按时交货，实际每天产量比原计划提高了，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万个零件，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型22.分式方程行程问题 82．八年级学生前往距学校的博物馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍，求大巴的平均速度． 83．在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 84．从阜新到沈阳铁路里程约为千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)我校共有名师生从阜新前往沈阳参加夏季研学活动，为了便于管理，所有人须乘坐同一列高铁，因二等座剩余座次有限，研学团需购买一部分一等座车票和一部分二等座车票，已知高铁单程一等座位票价为元，二等座位票价为元，学校预计提供交通补助费单程不超过元，请问学校至少购买多少张二等座位的车票． 题型23.分式方程工程问题 85．列分式方程解应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产30台设备，现在生产600台设备所需时间与原计划生产450台设备所需时间相同．工厂现在平均每天生产多少台设备？ 86．我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准、高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换的钢轨长度比一个工作队每小时人工更换的钢轨长度多，它更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？ 87．某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定在若干天内完成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合作需要24天完成．问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 题型24.分式方程经济问题 88．郑州非物质文化遗产展示馆于2月10日至3月3日举办“非遗贺新春·见郑欢喜年”主题活动．活动采用“双馆联动”模式，其中西馆“趣之坊”打造手工公益研学课堂，拓年画、剪“富贵马”、制作掐丝珐琅等十余项非遗体验．掐丝珐琅手艺人王师傅用500元购进的银丝和用750元购进的金丝的长度相同，每米金丝的进价比银丝的进价多5元． (1)求金丝、银丝每米的进价； (2)王师傅计划再用不超过1320元的总费用购进金丝、银丝共100米制作掐丝珐琅，求金丝最多可以购进多少米． 89．郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品． (1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价； (2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价； (3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？ 90．学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍． (1)求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元； (2)若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签． 题型25.分式方程和差倍分问题 91．汴绣是流传于河南省开封市的传统美术，也是国家级非物质文化遗产之一，《东京梦华录》中有“金碧相射，锦绣交辉”之誉．某商店第一次用600元购进绣有吉祥图案的香包若干个，第二次又用600元购进该款式香包，但每个香包的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30个，求该商店第一次购进香包的单价是多少元． 92．2026年世界读书日来临之际，某校为打造校园书香角落，计划采购大号图书架和小号图书架两种书架，用于摆放各类课外读物． 信息一：每个大号图书架比每个小号图书架多摆放图书15册；用大号图书架摆放600册图书与用小号图书架摆放450册图书所需书架个数相同． 信息二：学校计划购进这两种书架共10个，且所有书架摆放的图书总数不少于540册． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)每个大号、小号图书架分别可摆放图书多少册？ (2)该校最少需要购进大号图书架多少个？ 93．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 题型26.其他实际问题 94．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计划生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ 95．“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 96．某社区团购平台推出环保果蔬礼盒，包含有机蔬菜A和时令水果B两种品类． A类礼盒标价120元/箱，B类礼盒标价160元/箱． 平台规定：同一订单中，A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱． (1)某小区物业为业主团购福利，按标价购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元． 求A、B两种礼盒各购买了多少箱？ (2)因市场波动，平台调整优惠政策如下： A类礼盒：每箱直接降价a元出售； B类礼盒：购买不超过3箱时按标价出售；超过3箱时，前3箱按标价出售，超过3箱的部分每箱降价元出售． 该小区另一栋楼组织团购，要求购买的B类礼盒比A类礼盒多2箱，且合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的． 设购买A类礼盒m箱． ①若，求m的值，并判断该团购订单是否满足平台的购买数量规定； ②若该团购订单满足平台购买数量规定，且存在三种不同的购买方案（即不同的m值），若对于每种方案，合计付款恰好为原先总费用的，求a的所有值（说明：a的值可以为分数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $