《5.2简单的轴对称图形》同步练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦轴对称图形性质，分层设计基础巩固与能力提升，通过"概念理解-性质应用-综合拓展"路径强化几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|角平分线/垂直平分线性质、等腰三角形概念|单选1-4题直接考查尺规作图与性质应用，填空9-12题强化基础计算| |中档|性质综合应用、简单推理|单选5-8题结合三角形内角和与尺规痕迹分析，解答17-19题训练作图与基础证明| |提升|跨知识点整合、实际应用|解答20-23题涉及全等证明、类比延伸及建桥问题，培养应用意识与创新思维|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《5.2简单的轴对称图形》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 3．如图，在中，点D在上，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，在中边的垂直平分线交的平分线于F，若，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，在中，，是的平分线，且，则点D到边的距离是______ ． 10．如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 11．如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，E为垂足．若，四边形的周长为14，则的长度为______． 12．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 13．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 15．如图， ，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是_______． 16．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 三、解答题（满分72分） 17．（9分）如图，已知锐角（），请用尺规作图法，在内部求作一点，使且点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 18．（9分）如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 19．（10分）如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 20．（10分）已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F， （1）连接CD、BD，求证：△CDF≌△BDE； （2）若AE＝5，AC＝3，求BE的长． 21．（10分）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 22．（12分）如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作于点，求证：． 【尝试探究】在图①中，过点O作于点E，于点F，连接．因为的平分线与的平分线交于点O，所以______=______．所以是的平分线…… 请同学们补充后面的解答过程． 【类比延伸】如图②，在四边形中，各角的平分线交于点O，试判断、、、间的数量关系，并加以证明． 23．（12分）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用得到，利用线段垂直平分线定理的逆定理，作的垂直平分线即可． 【详解】解：， 而， ， 点为的垂直平分线与的交点． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 3．C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理以及外角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边对等角得出相等的角，根据三角形的外角定理得出角之间的关系，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解图示是关键，根据线段垂直平分线的性质，等边对等角求解即可． 【详解】解：根据题意，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，故A，B选项正确，不符合题意； 与不一定相等，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 5．D 【分析】根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角定理判断C、D． 【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC， ∴，；选项A、B正确； ∵， ∴∠ACD=∠A =40°， ∵，， ∴∠ABC=∠ACB =70°， ∴，选项D错误； ∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确； 故选：D 【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键 6．C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质推出，即可求出的长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得到，，则，，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由三角形外角性质得，由角平分线定义得，由三角形外角性质得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分交于点F， ， ∴， ∴． 故选：B． 9．3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据角平分线的性质定理求解． 【详解】解：∵在中，，是的平分线，， ∴点D到的距离为的长，即， 故答案为：3． 10． 【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点． 根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 作的垂直平分线，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 11．5 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得，，再结合题意求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形的周长为14， ∴， 故答案为：5． 12．/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 13．27 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 14．8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 15． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据，，得到，根据平分，平分得到，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴()， ∴， 同理可得：， ， ∴四边形的面积， 故答案为： ． 16． 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 17．见详解 【分析】作线段的垂直平分线与的角平分线的交点即可． 【详解】解：，则点在线段的垂直平分线上， 点到、的距离相等，则点在的角平分线上， 如图所示， ∴点D即为所求点的位置． 18．证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理．关键是利用等腰三角形的性质找到相等的内错角，进而证明两直线平行．先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且推出；再由，利用“等边对等角”得到；通过等量代换得到，最后依据“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】证明：∵，， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，进而证明； （2）根据题意求出，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）解：，， ， 的周长． 20．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）连CD、BD，如图，根据角平行线的性质定理得到DE=DF，根据线段垂直平分线的性质得CD=BD，则可利用“HL“证明Rt△CDF≌Rt△BDE； （2）先证明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE=AF，再由Rt△CDF≌Rt△BDE得出BE=CF，进而解答即可． 【详解】证明：（1）如图，连接CD、BD， ∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 又∵DG垂直平分BC， ∴CD＝BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中 ∵， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， （2）在Rt△ADF和Rt△ADE中 ∵， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AE＝AF， ∵Rt△CDF≌Rt△BDE， ∴BE＝CF， ∵CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2， ∴BE＝2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质． 21．(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，据此可得答案； （2）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 22．解：[尝试探究]，， 如图， 过点O作于点E，于点F，连接． ∵的平分线与的平分线交于点O， ∴． ∴是的平分线， 在与中，， ∴， ∴， 同理，，， ∴， [类比延伸] 解∶， 理由∶过O作于E，于F，于M，于N， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，， ∴，， ∴． 23．解：①∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 故答案为：． ② ，，、分别为和的中线， ，， ， ； ③∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $