《5.2简单的轴对称图形》同步练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦轴对称图形核心概念，通过基础辨析、情境应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，培养几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等腰三角形性质、垂直平分线/角平分线概念|单选1-4（内角计算）、填空9-12（尺规作图原理），强化概念辨析| |中档|性质综合应用、简单作图|单选5-8（阴影面积计算）、填空13-16（最短路径问题），结合图形变换情境| |提升|逻辑推理、实际问题解决|解答21-23（垂直平分线与角度综合证明），体现建模思想与推理能力|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《5.2简单的轴对称图形》 同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 2．某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 4．已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 6．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 8．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 10．如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 11．如图，在中，，．通过尺规作图的痕迹，可得___________度． 12．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 13．如图，在中，，是上的高，，，则的度数为______． 14．在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是___________．    15．小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 16．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 三、解答题（满分72分） 17．（10分）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 18．（10分）在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上．         (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 19．（10分）如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 20．（10分）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若 ， ，求的周长． 21．（10分）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 22．（10分）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 23．（12分）如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．解：① 当已知的角为顶角时，则顶角的度数是； ② 当已知的角为底角时，则另一个底角也为，顶角的度数为， 综上所述，顶角的度数为或， 故选：C． 2．解：设服务站的位置为点P，四幢公寓的位置分别为点A，B，C，D，所求为的最小值，可将距离之和分组为，根据“线段上任意一点到两端点的距离之和等于线段长度，线段外任意一点到两端点的距离之和大于线段长度”可知：当点P在线段上时，最小，最小值为；同理，当点P在线段上时，最小，最小值为； 为了使总距离之和最小，点P必须同时在线段和线段上，因为A，B，C，D，在同一直线上依次排列，线段在线段内，所以点P的位置应在线段上，即B和C之间（可包含端点）， 故选：B． 3．解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 4．解：A、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； B、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； C、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； D、由作图痕迹得出：，可以推出，符合题意； 故选： D． 5．解：∵，是边上的高， ∴， ∴是等腰三角形的对称轴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：D． 6．解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 7．解：由题意得，垂直平分，， ，， 的周长为：， 故选：A． 8．解：∵， ∴，， ∵在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 9．解：由作图过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． 10．解：∵是的角平分线，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴． 11．解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 13．解：∵，是上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．解：为边上的高， ， ， ，为边上的中线， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 15．解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接． 根据轴对称可知， ， ∵两点之间线段最短， ∴的值最小，即的值最小， ∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小． 根据作图并结合题意可知，，， 在和中， ， ，， 为的中点． ∵点到河岸的中点的距离为， ， ， ． 故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是． 故答案为：． 16．解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 17．（1）解：的角平分线如图所示， （2）解：的垂直平分线如图所示， （3）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 18．（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：直线l是的垂直平分线，所求三角形如图所示． 19．证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，点在上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 21．（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 22．（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 23．解：（1）平分， ， 是外角的平分线， ， 又，， ， （2）①如图2，与交于点O，    由对称的性质可知，，， 当时，， ，， ， ， ， ； ①当时，，理由如下： 如图3，设 与关于对称， ， ， ， 当时， 由（1）知 ， 学科网（北京）股份有限公司 $