第5章分式与分式方程 单元综合达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册《分式与分式方程》单元卷，涵盖选择、填空、解答题，分层考查分式意义、运算及方程应用，融合数学文化与现实情境，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|分式有意义条件、化简、方程解的讨论|第5题动车提速结合分式应用，第6题含参数方程解的取值分析，体现数学思维| |填空题|8/24|分式值为正/零条件、分式运算、古算题|第14题物理并联电路电阻公式推导，第16题《九章算术》慢马送信问题，渗透跨学科与文化传承| |解答题|7/72|分式化简求值、方程无解问题、创新定义|第20题“倒数法”、第22题“合分式”新定义，第23题劳动基地实际问题，提升推理与应用能力|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》 单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 2．关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 3．计算的结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 4．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的分式方程的解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 7．某工程队计划修建一条长1200米的道路，原计划每天修建x米，实际每天比原计划每天多修20米，提前2天完成任务，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．某校组织部分学生步行2千米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 10．计算：___________． 11．若实数x，y同时满足，，则的值为________． 12．已知，则的值是_________． 13．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 14．并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 15．一个盒中装着仅颜色不同的颗白色小球和颗黑色小球，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是．如果再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是，则原来盒中有白色小球__________颗． 16．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 三、解答题（满分72分） 17．（12分）化简： (1)； (2)； (3)． 18．（8分）先化简，再求值：，其中满足． 19．（10分）已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 20．（10分）阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知； 即， ． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 21．（10分）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低． 22．（10分）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”.求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 23．（12分）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 参考答案 1．D 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，分别列不等式求解，再取公共范围即可得到结果． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且． 2．D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 3．D 【详解】解：原式 ． 4．C 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 5．D 【分析】路程一定时，时间与速度成反比，通过表示出提速前后的时间，即可求出提速后时间缩短到原来的多少． 【详解】解：设动车原来的平均速度为， ∵路程为， ∴原来行驶的时间为． ∵提速后平均速度变为原来的倍， ∴提速后速度为， ∴提速后行驶时间为， ∴提速后时间与原来时间的比值为． 即时间可缩短到原来的． 6．C 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，解出，再结合解为负数、分式分母不为的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，且分母， 即，且， 解得，且． 【点睛】对于此类告知分式方程解的情况的题型，要注意分式方程有解必须满足分式分母不为这个隐含要求，否则极容易造成漏解． 7．A 【分析】利用工作时间工作总量工作效率，分别表示出原计划和实际的工作时间，再根据实际比原计划提前2天完成的等量关系列方程． 【详解】解：∵道路总长为1200米，原计划每天修建米， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天比原计划多修20米， ∴实际每天修建米，实际完成任务的天数为， ∵实际提前2天完成任务， ∴可列方程为． 8．B 【分析】本题为行程问题列方程题，先统一单位，再根据“原计划用时实际用时提前到达的5分钟”的等量关系列方程即可． 【详解】解：2千米米， ∵实际行进速度比原计划快，原计划速度为米/分， ∴实际速度为 （米/分）， ∴原计划用时为分钟，实际用时为分钟， ∵队伍提前5分钟到达， ∴列方程得． 9． 【分析】本题考查分式有意义、值为0及值为正数的条件，解题关键是掌握分式相关条件的判定规则：分式有意义要求分母不为0；分式值为0要求分子为0且分母不为0；分式值为正数要求分子分母同号（同时不为0）． 【详解】解：①分式有意义时，分母不能为0， ， 解得：； ②分式值为0时，分子为0且分母不为0， ， 由，解得或； 又，即， ； ③分式值为正数时，分子分母同号且均不为0， 分子为， ，解得． 故答案为：，，． 10． 【详解】解： ． 11．/0.5 【分析】利用加减消元法分别得到和的值，将所求式子通分变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：记为①，为②， 得：， 解得， 得：， 解得， ∴． 12． 【分析】将已知通分可推导得到，将该式整体代入所求分式，化简后即可得到结果． 【详解】解：由，通分可得， ， ． 13．9 【分析】将原方程变形，用含的代数式表示出，根据为整数解，可得为4的因数，求出所有满足条件的整数的值，再根据分式方程的解不能使分母为0进行检验，排除不合题意的值，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为整数解， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 又即， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和为． 14． 【分析】根据已知等式移项得到的表达式，再利用异分母分式减法法则计算，最后取倒数即可得到的表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据异分母分式减法法则通分计算得：， 对等式两边取倒数得：． 15．6 【分析】根据概率公式可得，则，再由概率公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵没有放入白色小球前，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是， ∴， ∴，即， ∵再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原来盒中有白色小球6颗． 16． 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 18．， 【分析】先化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 19．(1) (2)、1或3 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程求参数是解题的关键， （1）将代入，把分式方程去分母转化为整式方程，计算即可求出方程的解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，由于分式方程无解，得到或，解可求得一个的值，将，代入整式方程即可求出另外两个的值． 【详解】（1）解：当，方程为 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得： ∴是原分式方程的解． （2）解：方程两边同乘得： 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴或， ①当时，； ②当时， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴的值可能为、1或3. 20．(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质与完全平方公式的应用，核心方法为“倒数法”，即通过对已知分式和目标分式取倒数，结合代数变形求解． 【详解】（1）解：由，知， ∴， ∴； （2）解：对取倒数，得． ∵， ∴， ∴． 21．（1）；（2）嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格 【分析】本题考查分式减法的实际应用： （1）作差法比较大小即可； （2）求出两人购买商品的平均价格，作差法比较大小即可． 【详解】解：（1）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，嘉嘉两次所购买商品的平均价格为：（元），琪琪两次购买该商品的平均价格为：（元） ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格． 22．(1)2 (2)常数 (3)的值为：3或7或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式相加并计算即可； （2）将两式相加并计算，根据E与F关于C的“合值”为1求得a的值即可． （3）根据与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，可得，从而得到，再由分式的值为正整数，可得取1或5或，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 与关于的“合值”为：2； 故答案为：2； （2），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， 所以能与分母进行约分，且约分后分子为， 若与约分，则，解得， 时，，符合题意； 若与约分，则，解得（舍去）； ； （3），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ， ， ， 分式的值为正整数，为整数， 是的整数倍， 取1或5或， 此时的值为：3或7或． 23．(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $