第5章分式与分式方程 单元自主达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》 单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．解分式方程时，去分母后变形为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A．2 B． C．不存在 D．0 4．对于非零实数、，规定．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 6．关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 7．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．某网约车公司年用万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在年计划用万元继续购入该款新能源汽车，由于产能规模调整，这两年该款新能源汽车的售价产生变化．设年的售价为万元，若满足，则下列说法正确的是（  ） A．该款新能源汽车年比年涨价，多购入辆汽车 B．该款新能源汽车年比年涨价，少购入辆汽车 C．该款新能源汽车年比年降价，多购入辆汽车 D．该款新能源汽车年比年降价，少购入辆汽车 二、填空题（满分24分） 9．解分式方程去分母时，等式两边都乘以___________． 10．用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为______． 11．当__________时，分式与分式互为相反数． 12．已知关于x的方程的解为，则m的值为___________． 13．若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是______． 14．小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是___________． 15．若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 16．某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度为多少？设提速前这次列车的平均速度为，可列方程____________________． 三、解答题（满分72分） 17．（10分）解分式方程： (1)； (2)． 18．（8分）已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)若此分式方程无解，求m的值． 19．（10分）2025年末，我国向国际电信联盟（ITU）申报超20万颗卫星频轨资源．卫星在近地轨道飞行需要光伏组件提供能量，某光伏企业为了抓住机遇，决定优化生产线．优化后每小时生产的光伏组件数量比优化前多；生产2400件光伏组件，优化后比优化前少用2h，求优化后该光伏企业每小时生产多少件光伏组件． 20．（10分）我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 21．（10分）我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 22．（12分）知识改变命运，阅读点亮人生，为激发年轻人的阅读兴趣，某市举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的读书活动．在活动中某书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本，已知种图书每本的进价比种图书贵元，且用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本． (1)求，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共本，已知每本种图书的售价为元，每本种图书的售价为元，若该老板希望销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元，则至多购进种图书多少本？ 23．（12分）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的3倍． 单价（元） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m a 160 长方形木板 b 600 (1)填空：__________，__________；（用含m的代数式表示） (2)求m的值； (3)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完． 参考答案 1．D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 2．C 【分析】本题考查了分式方程的求解，找出最简公分母是解题的关键．根据方程的最简公分母为，分式方程两边同时乘以即可得到答案． 【详解】解：将方程变形为， 方程两边同时乘以，得， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解，即x的值为不存在． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查新定义运算与解分式方程，先根据新定义将等式转化为分式方程，再按照解分式方程的步骤求解并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵规定，且， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的解， ∴的值为， 故选：． 5．D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数取值范围． 先求出分式方程的解，再结合解为正数、分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵， 两边同乘得， 展开得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∵方程的解为正数， ∴， 解得， 又∵分式方程分母不能为0，即， ∴， 解得， 综上，且． 故选：D． 6．A 【分析】先解关于x的不等式组，根据其有解，得到；再解关于x的分式方程，得到当时，方程的解为，由分式方程有整数解，a为整数，得到或，求和即可，注意是方程的增根，要排除． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 关于x的不等式组有解， ，即． 分式方程， 去分母得：， 整理得：， ∵，∴方程的解为， ， ，解得， 关于x的分式方程有整数解，a为整数， 或， （舍去）或或或（舍去）， 满足条件的所有整数a的和为． 7．D 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是理解方程中各代数式的实际意义． 【详解】解：∵年售价为万元，是年的售价 ∴年售价比年降价． 又∵表示年购置的车辆数，表示年购置的车辆数 由方程变形得： 即年购置的车辆数比年多辆． ∴选项C正确． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程时方程两边乘最简公分母，这样分式方程化为了整式方程，确定最简公分母是关键． 【详解】解：∵分式方程可化为：， ∴去分母时，方程两边应都乘以：，分式方程即化为整式方程． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化是解题的关键． 设，则，，转化后再进一步整理得到整式方程即可． 【详解】解：设，则，， ∴原方程可化为：，整理得：， 故答案为：． 11．9 【分析】本题考查了解分式方程． 根据互为相反数的条件，列出方程求解，再检验，即可求解． 【详解】解：由题意，分式与互为相反数，故它们的和为零． 即． 由于，所以． 代入方程得， 即． 解得． 经检验，当时，分母，符合题意． 故答案为：9． 12． 【分析】本题考查分式方程的解，掌握方程的解的意义是解题的关键． 将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， 故答案为：． 13．且 【分析】本题主要考查分式方程的解、解分式方程、不等式的解法等知识点，解分式方程需要考虑分母不为零的条件是解题的关键． 先解分式方程得到，再根据解为负数列不等式，解得：，并排除使分母为零的a的值，进而确定a的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得： ， 展开并化简： 移项整理：，解得： ∵关于x的方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵分母， ∴，即， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 14．2 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．设△表示的数为a，则方程为，通过解分式方程，得到用a表示的x的值，由方程无解得到当时，，即，求解即可． 【详解】解：设△表示的数为a，则方程为， 两边同乘，得， 解得． ∵方程无解， ∴其增根， 故， ∴， ∴△处的数应是2． 故答案为：2． 15．， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 16． 【分析】根据“提速前路程提速前速度提速后路程提速后速度”列出方程即可． 【详解】解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系． 17．(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握好分式方程的解法是关键． （1）将分式方程转化为一元一次方程，并按照一元一次方程的解法进行计算即可； （2）将分式方程转化为一元一次方程，并按照一元一次方程的解法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得：． 经检验，为原分式方程的解． （2）解：， 方程两边同乘，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题： （1）把代入分式方程，去分母将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）将分式方程化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）把代入分式方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴原分式方程的解为； （2）分式方程变形得 去分母得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时，∵分式方程无解， 分母为0得：，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． 19．优化后该光伏企业每小时生产400件光伏组件 【分析】设优化前该光伏企业每小时生产件光伏组件，根据题意列分式方程解答即可． 【详解】解：设优化前该光伏企业每小时生产件光伏组件． 由题意，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 答：优化后该光伏企业每小时生产400件光伏组件． 20．(1) (2)每台机器人每天采茶40千克 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）列分式方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得，每台机器人每小时采茶量为千克； （2）解：由题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际情况． （千克）． 答：每台机器人每天采茶40千克． 21．(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解答的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）先将方程转化为，再仿照题中求解方法解方程即可； （3）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”， ， ，； 故答案为：，； （2）解：为“十字分式方程”， ∴方程可化为， ， 或， ，． （3）解：“十字分式方程”即的两个解分别为，， ，， ． 22．(1)种图书每本进价是元，种图书每本进价是元 (2)至多购进种图书本 【分析】（1）设种图书每本进价是元，则种图书每本进价是元，根据“用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本”列方程求解即可； （2）设购进种图书本，则购进种图书本，根据“销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元”列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设种图书每本进价是元，则种图书每本进价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴种图书每本进价是元，种图书每本进价是元； （2）解：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大整数为， ∴至多购进种图书本． 23．(1)； (2)m的值为8 (3)制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完 【分析】（1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量 （2）根据（1）中结果，结合两者数量关系列出分式方程求解； （3）先根据第（1）问算出正方形木板20块、长方形木板60块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 【详解】（1）解： 根据题意得：，； （2）解：根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． m的值为8． （3）解：由（2）可知，， 即正方形木板有20块，长方形木板有60块． 设制作竖式木箱x个，横式木箱y个． 由题意，得， 解得 答：制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完． 学科网（北京）股份有限公司 $