期末备考专项讲与练11——线线角、线面角、面面角问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以空间角（线线角、线面角、二面角）为核心，通过教材回归-方法提炼-分层训练构建系统性备考体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|7个教材原题（含例1、例4及习题）|紧扣教材概念生成，奠定空间角认知基础|从正方体到三棱锥，构建几何体与空间角关联| |基础知识|1个方法总结|提炼异面直线所成角的平移法、补体法及易错点|形成"概念-方法-注意事项"的逻辑链条| |跟踪训练|15题（单选7/填空2/解答6）|通过变式训练强化方法迁移，覆盖不同几何体角的求解|从基础到综合，实现知识应用与能力提升|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练11 测试范围：空间线线角、线面角、二面角等问题 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.1节例1】如左图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 【人教A版必修二第8.6.2节例4】如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 【人教A版必修二习题8.6第7题】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？ 【人教A版必修二习题8.6第13题】求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等. 【人教A版必修二习题8.6第18题】如图，在三棱锥V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值. 【人教A版必修二复习参考题8第13题】如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【人教A版必修二复习参考题8第14题】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 基础知识： 求异面直线所成角的方法： (1)平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解．(2)补体法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 跟踪训练： 一、单选题 1．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．若三角形为边长为2的正三角形，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 7．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 9．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．若正方形的边长为2，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 三、解答题 10．如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 11．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 12．已知在四棱锥中，，，，，，E为CD的中点. (1)证明：平面平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值. 13．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点． (1)求证：平面； (2)求与底面所成角的正切值； (3)设平面平面，求二面角的大小． 14．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，平面平面，为线段的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求二面角的正切值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练11 测试范围：空间线线角、线面角、二面角等问题 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.1节例1】如左图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 解：（1）棱，，，，，，，所在直线分别与直线垂直. （2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°. （3）如右图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角.连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°. 【人教A版必修二第8.6.2节例4】如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 【答案】 【分析】根据正方体性质作出直线和平面所成角的平面角，即可求得结果. 【详解】设正方体的棱长为a.易知，，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又易知，，平面，可得平面. 因此为斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，，，可得.所以. 即直线和平面所成的角为30°. 【人教A版必修二习题8.6第7题】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？ 【答案】平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°，平面与平面，平面成的角为90° 【解析】根据线面垂直判定面面垂直得二面角为90°，根据二面角定义找出二面角的平面角，并求出大小. 【详解】在正方体中，考虑平面与平面ABCD，平面， 平面，所以平面就是平面与平面ABCD所成角， 即平面与平面ABCD成角，同理平面与平面ABCD，平面， 平面，平面都成45°角，又因为平面，平面与平面垂直， 即所成的角为90°，同理可得平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°. 所以平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°. 【点睛】此题考查求平面与平面所成角的大小，常通过求二面角的平面角的大小进行度量，特殊情况可用垂直关系讨论. 【人教A版必修二习题8.6第13题】求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等. 【答案】证明见解析 【分析】写出命题，作出图形，找出线面角，通过全等三角形关系证明线面角相等. 【详解】已知：分别是a，b与所成的角.求证：. 证明：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面的同侧，且，连接AB和， 因为，所以四边形是平行四边形.所以，又， 所以.设分别是平面的垂线的垂足，连接，则， 在和中，因为.所以， 所以. 【点睛】此题考查线面角的辨析，根据定义作出直线与平面所成角，结合全等三角形的性质证明角相等. 【人教A版必修二习题8.6第18题】如图，在三棱锥V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值. 【答案】作图见解析；. 【分析】根据“一作二证三计算”，取AB的中点M，连接VM，CM，证明为二面角V-AB-C的平面角，在三角形中进行计算即可. 【详解】如答图所示，取AB的中点M，连接VM，CM. ，，为二面角V-AB-C的平面角， 根据已知条件可得. 在中，由余弦定理，∴二面角V-AB-C的余弦值等于. 【点睛】此题考查根据定义作出二面角并求二面角的大小，作出二面角的平面角，在三角形中解题，解题中需要遵循“一作二证三计算”原则. 【人教A版必修二复习参考题8第13题】如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【详解】（1）证明：因为，所以，又底面ABC，所以，又，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC； （2）如图所示： 作，连接OM，因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，所以平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角，设，则，所以，又，所以，所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 【人教A版必修二复习参考题8第14题】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）证法一：由平面得，结合，由线线垂直即可证明平面；证法二：由平面可得平面平面，由面面垂直的性质定理即可证明平面； （2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）证法一：在正方形中，，又侧面底面，侧面底面，底面，所以平面；因为平面，平面， 所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又，，平面，所以平面；            证法二：由法（1）知平面，又平面，故平面平面， 因为是正三角形，是的中点，所以，   又平面平面， 平面，故平面； （2）取，的中点分别为，，连接，，，    则，，因为，所以，又在正中，， 因为，，平面，所以平面，正方形中，， 平面，又，平面， 所以，，                                               所以是侧面与底面所成二面角的平面角，  因为平面，， 所以平面，因为平面，所以，                                    . 设正方形的边长，则，，所以， 所以，  即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 基础知识： 1、求异面直线所成角的方法： (1)平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解．(2)补体法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 跟踪训练： 一、单选题 1．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，，所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，，. 2．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 3．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到所求二面角的平面角，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，设， 因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角，设正方体的边长为，则，，，所以，故C正确. 4．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．若三角形为边长为2的正三角形，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可. 【详解】取的中点E，连接，易知，则或其补角为异面直线和所成的角，因为平面，平面，所以， 即，显然，所以为直角三角形，通过解三角形可得，即异面直线和所成角的余弦值为． 5．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定正三棱锥底面中心的位置，结合图形确定侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正弦的定义计算所求正弦值. 【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、，由正三棱锥性质，，，可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形.由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为，可知中心到边的距离. 在中，，二面角的正弦值. 6．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 7．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，，在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以，因为为的中点，所以，所以，所以，，在中，由余弦定理得，所以异面直线和所成角的余弦值为. 二、填空题 8．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】作出该二面角的平面角，假设正三角形边长为4，利用勾股定理求出相关线段长，再利用三角函数定义即可得到余弦值. 【详解】取线段中点，分别连接，因为为等边三角形，则，则，设的边长为4，则，因为平面BCD，且平面， 则，则，所以，所以即为二面角的平面角，因为M是AD的中点，则，，， 则. 9．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．若正方形的边长为2，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 【答案】 【详解】在正方形中，．又∵侧面底面，平面平面， 平面，∴平面．∵，∴平面，平面故． 又平面，∴．∵侧面是正三角形且是的中点，∴． 平面，平面，，∴平面．∴是直线与平面所成的角．在正中，，∴，， 在中，，∴．∴． 三、解答题 10．如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点O，靠近C的四等分点H，利用平行线分线段成比例判定线线平行即可证明线面平行； （2）取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可. 【详解】（1）如图所示，取中点O，且P是中点， ∴ ，取的四等分点H，使，且， ∴ ，∴，∴ 四边形为平行四边形， ∴ ，在平面外，且平面，∴ 平面． （2） 取的中点E，连接，易知，则或其补角为异面直线和所成的角， 因为平面，平面，所以，即， 显然，所以为直角三角形，通过解三角形可得， 即异面直线和所成角的余弦值为． 11．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点分别作于点，于点，连结，先由线面垂直的判定定理证明，得到二面角的平面角，再由几何关系求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）过点分别作于点，于点，连结. 由平面平面，平面平面，得平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故，所以二面角的平面角为.不妨设， 因为，，所以，，，. 在中，，在中，， 所以，所以. 12．已知在四棱锥中，，，，，，E为CD的中点. (1)证明：平面平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）连接，由已知可得，即有，再由线面垂直的判定证面，根据面面垂直的判定即可得结论； （2）首先根据条件作出直线与平面所成的角，点作，分别与，相交于，，连接，为直线与平面所成的角, 为直线与平面所成的角，根据这两个角相等，得到边的关系，最后得到二面角的平面角为. 【详解】（1）平面PCD与平面PAE能垂直，理由如下： 在△中，故，即， 所以△为等腰三角形，又E为CD中点，故， 因为，且 ，面，所以面， 由面，故面面. （2）平面，是二面角的平面角， 过点作，分别与，相交于，，连接， 由（1）知平面，为直线与平面所成的角，且， 由，则，由，则， 又，且面，则面，而面， 所以，结合，，且面， 所以面，则为直线与平面所成的角， 有题意知，, 因为知，，又，是平行四边形， ，， 因为，，，于是，所以， 又，，，所以， 因为，面，面， 则，则，即， 因为为中点，则，又因为，且平面，平面， 则二面角的正切值即为， 则，二面角的正弦值是.    13．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．    (1)求证：平面； (2)求与底面所成角的正切值； (3)设平面平面，求二面角的大小． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由面面垂直的性质定理可得平面，从而知，再利用线面垂直的判定定理，即可得证； （2）取的中点，连接，，先利用面面垂直的性质定理可证平面，从而知即为所求，再利用锐角三角函数的知识，求解即可； （3）先证平面，由线面平行的性质定理知，再证平面，从而知，同理可证，于是即为所求． 【详解】（1）证明：因为侧面是正三角形，是的中点，所以，因为底面为正方形，所以，又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又，、平面，所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为侧面是正三角形，所以，又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，所以即为与底面所成角，设正方形的边长为，则，，在中，，所以与底面所成角的正切值为． （3）因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，由（1）知平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得，所以即为二面角的平面角，又侧面是正三角形，所以，故二面角的大小为． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线、面垂直与平行的判定或性质定理，线面角、二面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 14．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，平面平面，为线段的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)2；(3) 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直； （2）利用定义法计算得到面面角的正切值； （3）利用中位线找到平行关系，再利用定义法异面直线夹角，结合余弦定理求得； 【详解】（1）证明：是边长为2的正三角形，为中点， ，且平面，又平面平面，平面平面 平面，又平面，； （2）由（1）知，，为二面角的平面角， 底面为正方形，，在中，，，； （3）取中点，连接，，为中点，，异面直线与所成的角是或的补角，由（1）知，平面，平面，， 底面是正方形，，平面，平面， 平面，，在中，，，，在中，，，，在中，，，，异面直线与所成的角的余弦值为． 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求二面角的正切值. 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）要证明线面垂直，根据判定定理，需证明线与平面内的两条相交直线垂直，根据所给的条件，易证明，点是的中点，所以，又因为平面，所以易得，； （2）首先根据条件作出直线与平面所成的角，点作，分别与，相交于，，连接，为直线与平面所成的角, 为直线与平面所成的角，根据这两个角相等，得到边的关系，最后得到二面角的平面角为. 【详解】（1）证明：连接，由，，，得， 又，是的中点，所以；平面，平面，所以, 而，所以平面； （2）平面，是二面角的平面角，过点作，分别与，相交于，，连接，由（1）知平面，为直线与平面所成的角，且，由平面知，为直线与平面所成的角，有题意知，,因为知，，又，是平行四边形, ，，因为，，， 于是，所以，又，，， 所以，即二面角的正切值是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $