25.2.1 第2课时 配方法 （课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过知识回顾直接开平方法和完全平方公式，引导学生探究方程转化为完全平方形式的过程，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合动手实践培养抽象能力，通过不同系数方程求解提升运算能力与推理意识，配方法应用实例（如证明多项式值恒正、判断三角形形状）发展模型意识。归纳总结步骤清晰，助力学生系统掌握，教师可高效开展教学。

人教版九年级（上） 25.2 降次—解一元二次方程 25.2.1 第 2 课时 配方法 第二十五章 一元二次方程 1 掌握将一元二次方程通过配方转化为 (x+m)2=n（n≥0）的形式，实现 “降次” 求解. 能求解二次项系数为 1 或不为 1 的一元二次方程，并判断方程是否有实数根. 学习目标 2 (1) 9x2 = 1； (2) (x－2)2 = 2. 1. 用直接开平方法解下列方程： 2. 你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2； (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a − b 解：x1 = ，x2 = -. 解：x1 = 2 + ，x2 = 2 - . 知识回顾 解方程(x+3)2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？ 探究新知 探究： 怎样解方程x2＋6x＋4＝0 ？ 把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？ 如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？ 对方程x2＋6x＋4＝0移项，得 x2＋6x＝−4 . 由a2+2ab+b2 = (a+b)2，将上述方程两边同时加()2，即9，方程左边就可以配成x2+2mx+m2形式的完全平方式，即x2＋6x＋9 ＝−4＋9. 左边写成完全平方形式，得(x+3)2＝5. 解这个方程，得x1=3+，x2=3. 可以验证,3±是方程x2＋6x＋4＝0的两个根. (1) x2 + 4x + = ( x + )2； (2) x2 − 6x + = ( x − )2； (3) x2 + 8x + = ( x + )2； (4) x2 − x + = ( x − )2. 22 2 32 3 42 4 填一填 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (5) x2 + px + ( )2 = ( x + )2. 动手实践 知识要点 像上面那样，通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 基本思路：把方程化为 (x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意：在二次项系数为1的前提下进行的. 例1 解下列方程： 解：移项，得 x2－8x = －1. 配方，得 x2－8x + 42 = －1 + 42， 直接开平方得 (x－4)2 = 15. 即 典例精析 10×6x2=1500 2x2 -3x=-1 10×6x2=1500 3x2 -6x=-4 实数的平方≥0 原方程无实数根 请尝试按照 (1) 写出 (2)(3) 完整解题步骤. 1.解方程： (1) x2 - 2x - 5 = 0； (2) (徐州) x2 - 2x - 1 = 0. 解： (1) x2 - 2x -5 = 0， 移项，得 x2 - 2x = 5. 配方，得 (x - 1)2 = 6. (2) x2 - 2x -1 = 0， 移项，得 x2 - 2x = 1. 配方，得 (x-1)2 = 2. 链接中考 归纳总结 用配方法解 一元二次方程 将常数项移到方程的右边 二次项系数化为1 利用平方根的意义直接开平方 解两个一元一次方程 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 一移 二化 三配 四开 五解 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p 的形式. 归纳总结 （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = – n + ，x2 = – n – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n ； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有(x+n)2 ≥ 0，所以方程无实数根. 跟踪训练 用配方法解下列方程： (1). 解：(1) 移项，得   配方，得 ， . 因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，都是非负数. 上式都不成立，所以原方程无实数根. 跟踪训练 用配方法解下列方程： (2) . 解：(2) 移项，得  . 二次项系数化为 1，得  . 配方，得  ， , . 例2 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2 − 4k＋5 的值必定大于零. 知识点 2：配方法的应用 k2 − 4k＋4＋1 (k − 2)2＋1 (k − 2)2≥0 值必定大于零 典例精析 10×6x2=1500 例3 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且 试判断△ABC 的形状. 直角三角形 例4 用配方法求最值. (1) 2x2 − 4x + 5 的最值； (2) −3x2 + 6x − 7 的最值. 解：(1)原式 = 2(x −1)2 + 3 ∵ 2(x −1)≥0， ∴ 2(x −1)2 + 3≥3 . 当 x = 1 时，有最小值 3. (2) 原式= −3(x − 1)2 －4 ∵ −3(x − 1)≤0， ∴ 2(x −1)2 + 3≤－4. 当 x = 1 时，有最大值− 4. 总结 ax2 + bx + c (a，b，c 均为常数且 a ≠ 0 ) 型代数式： a(x + m)2 + n 求最值或证明恒为正(负) 配方 定义 配方法 通过配完全平方式解一元二次方程的方法 步骤 二配完全平方式[配上____________] 实际应用 求代数式或字母的值 一移常数项，并将二次项系数化为__ 三写成 (x + n)2 = p 四直接开平方法解方程 1 课后小结 1. 解下列方程： （1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12； （3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0. 解：x2 + 2x + 2 = 0， (x + 1)2 = -1. ∴ 此方程无解. 解：x2 - 4x - 12 = 0， (x - 2)2 = 16. ∴ x1 = 6，x2 = -2. 解：x2 + 2x - 3 = 0， (x + 1)2 = 4. ∴ x1 = -3，x2 = 1. 当堂练习 2. 利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 − x2 − x −1 的值总是负数，并求出它的最大值. ∴ − x2 − x −1 的值总是负数. 当 时，− x2 − x −1有最大值 解：− x2 − x −1 = −( x2 + x + ) + −1 3. 已知 a，b，c 为 △ABC 的三边长，且满足等式 ，试判断 △ABC 的形状. 解：将原式整理得 由非负式的性质可知 ∴ △ABC 为等边三角形. $