学易金卷：高一数学下学期期末真题重组卷【天津专用，测试范围：人教A版必修第二册】

**基本信息** 2025-2026高一数学下学期期末真题重组卷，以人教A版必修第二册为范围，融合洛阳牡丹文化、农业实践等真实情境，通过分层抽样、概率计算等问题设计，考查数学抽象、数据观念与空间想象素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|向量共线、解三角形、立体几何位置关系、概率|第5题以牡丹分类为背景考查分层抽样，体现文化传承| |填空题|5/20|复数运算、分层抽样、圆锥高、不放回与有放回概率|第14题对比两种抽样概率，强化数据观念| |解答题|5/60|乒乓球比赛概率、向量模与夹角、垃圾量统计分析、正方体线面平行及距离、解三角形与面积最值|第16题结合乒乓球规则分步计算概率，第19题正方体中综合考查空间想象与逻辑推理，体现问题层次性|

( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 4 分，共 2 0 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． _________________ ___ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共 60 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·天津·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津·期末）在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一下·天津河东·期末）在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（    ） A．2件都是一级品 B．2件都是二级品 C．一级品和二级品各1件 D．至少有1件二级品 5．（24-25高一下·天津河东·期末）唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．唐朝诗人白居易“花开花落二十日，一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象．已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝（    ） A．360 B．270 C．240 D．180 6．（24-25高一下·天津和平·期末）在△ABC中， 若点D满足 则 （   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5 C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于的学生大约为1000人 8．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，长方体中， 若，M，N分别为棱的中点，用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·天津南开·期末）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为 （    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·天津南开·期末）如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）若复数z满足 (其中i是虚数单位)， 则_________． 12．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）为了传承红色革命精神，某高中校举办学生“红歌大传唱”主题活动，该校高一、高二、高三年级学生人数分别600、500、700，欲采用分层抽样法组建一个18人的“红歌传唱队”，则应抽取高一学生人数为_________． 13．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为_________ 14．（24-25高一下·天津和平·期末）一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为_______；若改为有放回的方式取出三次小球（记录下颜色后放回袋中），则恰好有两次取到红球的概率为______. 15．（24-25高一下·天津和平·期末）在中，是线段中点，在边上，，与交于点，若，则__________ 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（24-25高一下·天津河西·期末）11分制乒乓球比赛规则如下：在每一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每一球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一局11分制的乒乓球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果互不影响，且本局开始由甲率先发球. (1)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (2)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (3)双方比分为，求再打4个球后甲获得比赛胜利的概率. 17．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知平面向量，的夹角为，且 . (1)求 的值； (2)当时， 求； (3)当时，求λ的值． 18．（24-25高一下·天津河东·期末）2017年国家发展改革委、住房城乡建设部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，方案要求生活垃圾要进行分类管理.某市在实施垃圾分类管理之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查.已知该市这样的社区有240个，下图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.    (1)根据所给频率分布直方图，估计当天这50个社区垃圾量的第分位数； (2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这240个社区中“超标”社区的个数； (3)市环保部门要对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，按垃圾量采用样本量比例分配的分层随机抽样从中抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求其中至少有1个垃圾量为的社区的概率. 19．（24-25高一下·天津·期末）如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点.      (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)求点到面的距离. 20．（24-25高一下·天津·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求； (2)若，，，求的面积； (3)若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·天津·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津·期末）在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一下·天津河东·期末）在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（    ） A．2件都是一级品 B．2件都是二级品 C．一级品和二级品各1件 D．至少有1件二级品 5．（24-25高一下·天津河东·期末）唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．唐朝诗人白居易“花开花落二十日，一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象．已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝（    ） A．360 B．270 C．240 D．180 6．（24-25高一下·天津和平·期末）在△ABC中， 若点D满足 则 （   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5 C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于的学生大约为1000人 8．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，长方体中， 若，M，N分别为棱的中点，用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·天津南开·期末）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为 （    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·天津南开·期末）如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）若复数z满足 (其中i是虚数单位)， 则_________． 12．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）为了传承红色革命精神，某高中校举办学生“红歌大传唱”主题活动，该校高一、高二、高三年级学生人数分别600、500、700，欲采用分层抽样法组建一个18人的“红歌传唱队”，则应抽取高一学生人数为_________． 13．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为_________ 14．（24-25高一下·天津和平·期末）一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为_______；若改为有放回的方式取出三次小球（记录下颜色后放回袋中），则恰好有两次取到红球的概率为______. 15．（24-25高一下·天津和平·期末）在中，是线段中点，在边上，，与交于点，若，则_________ 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（24-25高一下·天津河西·期末）11分制乒乓球比赛规则如下：在每一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每一球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一局11分制的乒乓球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果互不影响，且本局开始由甲率先发球. (1)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (2)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (3)双方比分为，求再打4个球后甲获得比赛胜利的概率. 17．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知平面向量，的夹角为，且 . (1)求 的值； (2)当时， 求； (3)当时，求λ的值． 18．（24-25高一下·天津河东·期末）2017年国家发展改革委、住房城乡建设部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，方案要求生活垃圾要进行分类管理.某市在实施垃圾分类管理之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查.已知该市这样的社区有240个，下图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.    (1)根据所给频率分布直方图，估计当天这50个社区垃圾量的第分位数； (2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这240个社区中“超标”社区的个数； (3)市环保部门要对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，按垃圾量采用样本量比例分配的分层随机抽样从中抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求其中至少有1个垃圾量为的社区的概率. 19．（24-25高一下·天津·期末）如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点.      (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)求点到面的距离. 20．（24-25高一下·天津·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求； (2)若，，，求的面积； (3)若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·天津·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即 所以，所以 所以， 故选：B. 2．（24-25高一下·天津·期末）在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【【详解】在中，由及正弦定理得， 令，则，由余弦定理得. 故选：D 3．（24-25高一下·天津·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B，若，则或与异面，故B错误， 对于C，若，则或与相交，故C错误， 对于D，因为，所以，而，可得，故D正确. 故选：D 4．（24-25高一下·天津河东·期末）在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（    ） A．2件都是一级品 B．2件都是二级品 C．一级品和二级品各1件 D．至少有1件二级品 【答案】D 【详解】设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品, 任取2件，则样本空间， 共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等， 记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则. 记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则. 记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则. 事件A，B，C两两互斥，所以， 又由表示“至少有1件二级品”. 故选：D. 5．（24-25高一下·天津河东·期末）唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．唐朝诗人白居易“花开花落二十日，一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象．已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝（    ） A．360 B．270 C．240 D．180 【答案】D 【详解】根据分层抽样的特点，设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为， 由题意可得，解得，所以． 故选：D 6．（24-25高一下·天津和平·期末）在△ABC中， 若点D满足 则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为点D满足 ， 所以，所以 则 . 故选：A. 7．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5 C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于的学生大约为1000人 【答案】B 【详解】由频率分布直方图可得众数为，A错误； 平均数为，C错误； 因为体重位于的频率分别为， 因为， 所以第80百分位数位于区间内，设第80百分位数为， 则， 所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确； 样本中低于的学生的频率为， 所以该校学生中低于的学生大约为，D错误； 故选：B. 8．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，长方体中， 若，M，N分别为棱的中点，用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设左侧几何体的体积为，长方体的体积为， 右侧三棱柱的体积为，则. 故选：C. 9．（24-25高一下·天津南开·期末）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设这 5 个项目对应的编号分别为、、、、， 则从五个项目中选三个的情况有：、、、、、、 、、、，共种情况； 其中有“整地做畦”或者有“旱地播种”有、、、、、 、、、，共种情况； 则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为. 故选：D. 10．（24-25高一下·天津南开·期末）如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，如图，由点R，P分别为的中点，得． 又平面，平面，所以平面，故①正确； 对于②，由题意可知， 设点到平面的距离为d，平面平面， 所以点到平面的距离等于点到线段的距离． 又，所以， 所以，为定值，故②正确； 对于③，连接并延长交于点S，连接， 则过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为． 因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以， 取的中点N，连接，则点Q为的中点， 又点R为的中点，所以，， 又点M为的中点，所以， 所以，所以，所以， 所以，故，故③错误； 对于④，由题可知，点D的轨迹是以为轴（其中B为顶点）， 母线与轴所成角为的圆锥的底面圆周与正三棱柱的上表面的交线． 所以，所以， 所以D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点D在上运动的轨迹长度为，故④正确； 故选：C． 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）若复数z满足 (其中i是虚数单位)， 则_________． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）为了传承红色革命精神，某高中校举办学生“红歌大传唱”主题活动，该校高一、高二、高三年级学生人数分别600、500、700，欲采用分层抽样法组建一个18人的“红歌传唱队”，则应抽取高一学生人数为_________． 【答案】6 【详解】依题意得：某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人， 欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队， 则应抽取高三的人数为： . 故答案为：6. 13．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为_________ 【答案】 【详解】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆， ，即， . 故答案为：． 14．（24-25高一下·天津和平·期末）一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为_______；若改为有放回的方式取出三次小球（记录下颜色后放回袋中），则恰好有两次取到红球的概率为______. 【答案】 / / 【详解】采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球， 则取出的球中恰好有2个红球的概率， 采用有放回的方式取出三次小球，则每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， 则恰好有两次取到红球的概率， 故答案为：； 15．（24-25高一下·天津和平·期末）在中，是线段中点，在边上，，与交于点，若，则__________ 【答案】/ 【详解】根据题意可知，，， 因为三点共线，所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以，解得，即， 又因为， 所以， 整理得， 所以， 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（24-25高一下·天津河西·期末）11分制乒乓球比赛规则如下：在每一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每一球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一局11分制的乒乓球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果互不影响，且本局开始由甲率先发球. (1)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (2)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (3)双方比分为，求再打4个球后甲获得比赛胜利的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设甲以获得比赛胜利的事件为A， 双方比分为时，轮到由乙发球，则． （2）设甲以获得比赛胜利的事件为B， 双方比分为时，轮到由甲发球，则． （3）设再打4个球后甲获得比赛胜利的事件为C， 双方比分为时，轮到由甲发球，再打4个球后甲获得比赛胜利的情况为第一、二球甲输赢各一个，第三、四球均为甲赢， 则. 17．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知平面向量，的夹角为，且 . (1)求 的值； (2)当时， 求； (3)当时，求λ的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）因为平面向量，的夹角为，且，， 所以； （2）当，， 则， 所以. （3）当时，， 所以. 18．（24-25高一下·天津河东·期末）2017年国家发展改革委、住房城乡建设部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，方案要求生活垃圾要进行分类管理.某市在实施垃圾分类管理之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查.已知该市这样的社区有240个，下图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.    (1)根据所给频率分布直方图，估计当天这50个社区垃圾量的第分位数； (2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这240个社区中“超标”社区的个数； (3)市环保部门要对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，按垃圾量采用样本量比例分配的分层随机抽样从中抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求其中至少有1个垃圾量为的社区的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为频率分布直方图得该样本中垃圾量为，，，，，，的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08， 因为，， 所以当天这50个社区垃圾量的第分位数落在内，不妨设为， 则，解得， 所以当天这50个社区垃圾量的第分位数为； （2）由（1）得该样本中“超标”社区的频率为， 所以这240个社区中“超标”社区的概率为， 所以这240个社区中“超标”社区的个数为； （3）由题意得样本中“超标”社区共有个，其中垃圾量为的社区有个，垃圾量为的社区有个， 按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为的社区有3个，分别记为；垃圾量为的社区有2个，分别记为， 从中选取2个的基本事件为，，，，，，，，，，共10个； 其中所求事件“至少有1个垃圾量为的社区”为，，，，，，，共7个； 所以至少有1个垃圾量为的社区的概率为. 19．（24-25高一下·天津·期末）如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点.      (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在正方体中，,,所以.    根据正方形的性质，其对角线互相垂直，所以， 因为正方体中相对面的面对角线平行，所以，故, 又因，, 所以平面； （2）连接，交于点，设与交于点，连接，. 作的中点，连接交于点，，    由（1）得，平面 因为，，，则， 又，所以. 易知平面,则 那么就是二面角的平面角, 由中位线定理得 已知正方体棱长为4，则. 在中，根据勾股定理，得. 根据正弦函数的定义，在中，， 所以，二面角的平面角的正弦值为 . （3）设点到面的距离为，点到面的距离为， 因为 所以， 又的面积， 的面积，， 所以，解得：， 所以点到面的距离为. 20．（24-25高一下·天津·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求； (2)若，，，求的面积； (3)若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由由正弦定理有 ， ∵，，∴，整理得. 又∵，，，∴. （2）由 ∵，，，即 ∴， 解得（舍）或. ∴； （3）由已知有： ， 得，整理得 当且仅当时取到最小值，即取等号. 试卷第14页，共15页 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D D A B C D C 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11. 12．6 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设甲以获得比赛胜利的事件为A， 双方比分为时，轮到由乙发球，则． （2）设甲以获得比赛胜利的事件为B， 双方比分为时，轮到由甲发球，则． （3）设再打4个球后甲获得比赛胜利的事件为C， 双方比分为时，轮到由甲发球，再打4个球后甲获得比赛胜利的情况为第一、二球甲输赢各一个，第三、四球均为甲赢， 则 17．（10分） 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）因为平面向量，的夹角为，且，， 所以； （2）当，， 则， 所以. （3）当时，， 所以． 18．（10分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为频率分布直方图得该样本中垃圾量为，，，，，，的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08， 因为，， 所以当天这50个社区垃圾量的第分位数落在内，不妨设为， 则，解得， 所以当天这50个社区垃圾量的第分位数为； （2）由（1）得该样本中“超标”社区的频率为， 所以这240个社区中“超标”社区的概率为， 所以这240个社区中“超标”社区的个数为； （3）由题意得样本中“超标”社区共有个，其中垃圾量为的社区有个，垃圾量为的社区有个， 按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为的社区有3个，分别记为；垃圾量为的社区有2个，分别记为， 从中选取2个的基本事件为，，，，，，，，，，共10个； 其中所求事件“至少有1个垃圾量为的社区”为，，，，，，，共7个； 所以至少有1个垃圾量为的社区的概率为． 19．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在正方体中，,,所以.    根据正方形的性质，其对角线互相垂直，所以， 因为正方体中相对面的面对角线平行，所以，故, 又因，, 所以平面； （2）连接，交于点，设与交于点，连接，. 作的中点，连接交于点，，    由（1）得，平面 因为，，，则， 又，所以. 易知平面,则 那么就是二面角的平面角, 由中位线定理得 已知正方体棱长为4，则. 在中，根据勾股定理，得. 根据正弦函数的定义，在中，， 所以，二面角的平面角的正弦值为 . （3）设点到面的距离为，点到面的距离为， 因为 所以， 又的面积， 的面积，， 所以，解得：， 所以点到面的距离为. 20．（15分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由由正弦定理有 ， ∵，，∴，整理得. 又∵，，，∴. （2）由 ∵，，，即 ∴， 解得（舍）或. ∴； （3）由已知有： ， 得，整理得 当且仅当时取到最小值，即取等号. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ ■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 姓 名： 答题卡 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 n 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2IA][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][CI[D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 13 1 14」 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) A D B A D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）