专题03 三角形（4常考6易错6压轴60题）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 以“常考-易错-压轴”三维架构系统覆盖三角形核心知识，通过梯度题型培养几何直观与推理能力，贴合上海期末考命题趋势。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考基础|14小题|聚焦三边关系、三线性质、内角和计算、全等判定|从概念辨析到基础应用，构建三角形知识网络| |易错突破|22小题|针对等腰边长化简、高线位置、双角平分线等易混点|强化空间观念，纠正认知偏差| |压轴综合|24小题|涵盖中线面积、一线三垂直、手拉手模型等综合题型|以模型思想整合知识，提升问题解决能力|

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形(4常考6易错6压轴) 题型归纳·内容导航 题型1三角形三边关系（常考） 题型9三角板拼接/旋转求角（易错） 题型2三角形三线（高/中线/角平分线） (常考) 题型10全等三角形判定多结论（易错） 题型3内角和+外角定理（全章计算核心） (常考) 题型11中线面积压轴（填空压轴） 题型4全等基础（性质+判定基础） (常考) 题型12拐角+平行线+三角形外角（解答压轴） 题型5等腰三角形边长与含绝对值化简（易错） 题型13一线三垂直(K型全等)（解答压轴） 题型6三角形高线（易错） 题型14手拉手全等模型（解答压轴） 题型7双角平分线模型（易错） 题型15倍长中线模型（解答压轴） 题型8折叠求角度（易错） 题型16新定义与阅读理解题（上海压轴新考法） 题型通关·靶向提分 题型1三角形三边关系（常考）（共4小题） 1.(24-25七年级下·上海普陀阶段检测)下列长度的三条线段能组成三角形的是() A.1,2,1 B.2,7,8 C.4,6,11 D.1.5,2.5,4 【答案】B 【详解】解：A.1,2,1:较短边之和1+1=2，等于最长边2，不能组成三角形. B.2,7,8:较短边之和2+7=9>8，满足条件，能组成三角形 C.4,6,11:较短边之和4+6=10<11，不能组成三角形， D.1.5,2.5,4:较短边之和1.5+2.5=4，等于最长边4，不能组成三角形. 故选B 2.(24-25七年级下.上海期中)已知ABC三边长分别为a、b、c,可判断表达式b2-a2-c2-2ac的符 号为() A.正 B,负 C.零 D.不能判断 【答案】B 【详解】解：b2-a2-c2-2ac 1/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =b2-a2+e2+2ac =b2-(a+c)2 [b-(a+c][b+(a+c], 因为a、b、c为三角形三边长，所以b-a+c<0,b+(a+c>0, 所以原式小于零 故选：B. 3.(25-26七年级下.上海杨浦期中)设三角形三边长分别为3、8、a+1,则a的取值范围是 【答案】4<a<10 【详解】解：：三角形的三边长分别为3、8、a+1, 8-3<a+1<8+3, 整理得5<a+1<11, .4<a<10 4.(24-25七年级下.上海闵行期末)定义：如果一个三角形一边长为m,另一条边长为2m,那么我们把 这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”.己知在特征三角形ABC中，AC=4,BC=6 ,边AB是特征边，那么边AB的长为 【答案】3 【详解】解：由题意得，BC-AC<AB<AC+BC, 2<AB<10, 若2m=AC=4,则m=2(舍)； 若2m=BC=6,则m=3, 边AB的长为3， 故答案为：3. 题型2三角形三线（高/中线角平分线）（常考）（共3小题） 5.(24-25七年级下.上海青浦阶段检测)下列说法中，正确的是() A.三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B.三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C.钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D.在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 2/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：A.三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B.三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C.钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意： D.在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意， 故选：B 6.(25-26七年级下.上海杨浦期中)下列说法中正确的是() A.钝角三角形有两条高在三角形内部 B.三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C.三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D,钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【详解】解：：钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， .A选项错误； :钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条 高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， :三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确： :直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， :C选项错误； :任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， D选项错误 7.(25-26七年级下.上海闵行期中)如图，以下是一位同学将ABC翻折至阴影处的三种不同折纸示意图， 则图(1)、图(2)、图(3)的AD分别是ABC的() D D B(C) 图(1) 图(2) 图(3) A.角平分线、高、中线 B.高、中线、角平分线 C.角平分线、中线、高 D.中线、角平分线、高 【答案】A 3/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：由图(1)中的折叠方式可知，∠BAD=∠B'AD, :AD是ABC的角平分线： 由图(2)中的折叠方式可知，∠ADB=∠ADB', :∠ADB+LADB'=180°， .∠ADB=∠ADB'=90°， AD⊥BB ·AD是ABC的高线： 由图(3)中的折叠方式可知，CD=BD, :AD是ABC的中线 题型3内角和+外角定理（全章计算核心）（常考）（共3小题） 8.(24-25七年级下.上海宝山期末)如图，在ABC中，∠B=25°，延长BC至E,过点E作AC的垂线 ED,垂足为0，且∠E=40°，则∠A=· D 【答案】25° 【详解】解：：ED⊥AC, ∴.∠A0E=90°， :∠AOE=∠E+∠OCE,∠OCE=∠A+∠B, ∠A0E=LE+LA+∠B, ∠B=25°，∠E=40°， ∠A=∠A0E-∠E-∠B=90°-25°-40°=25°. 故答案为：25°. 9.(25-26七年级下.上海闵行期中)当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“特 征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”有一个内角为50°，那么这个“特征三角形"的最小 内角的度数为 50 【答案】 或32.5 3 【详解】解：根据定义，特征三角形中特征角满足=3B，其中B为另一个内角，结合三角形内角和定理， 4/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分三种情况讨论：①当50°为特征角α时， a=50°=3β， sn-( 第三个内角为10-50-(9}-(49 340。 此时最小内角为 ②当50°为内角B时， a=3B=150°， .0+阝=150°+50°=200°>180°，不符合三角形内角和定理，舍去该情况： ③当50°为第三个内角时， 0+B+50°=180°，且0u=3B, .4β=130°， 解得：B=32.5°，a=97.5°， 32.5°<50°<97.5°， 此时最小内角为32.5°： 综上，这个“特征三角形”的最小内角的度数为 50 3 °或32.5°， 10.(25-26七年级下.上海期中)汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就.如图 是古人利用光的反射定律改变光路的方法.在综合实践课上，小明固定镜面BC,，将镜面BA绕点B逆时针 转动30°<LABC<180),在光源P处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿 MN反射出去.己知∠PDC=28°，当反射光线MW所在直线与镜面BC所在直线的夹角为60°时， ∠ABC= 度 A M P光源 镜面 7镜面 备用图 【答案】46或106或136 【详解】解：①如图所示，∠MNB=60°， 5/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一P光源 D 镜面 :∠PDC=28°， ∠BDM=∠PDC=28°， :∠MNB=60°， ∴.∠DMN=∠BNM-∠BDM=32°， ·∠AMD=∠BMN=180°-32 2 =74°， 在aBMN中，∠ABC=180°-74°-60°=46°； ②如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q,且 ∠MQD=60°，∠BDM=∠PDC=28°， P光源 DC镜面 设∠DMB=∠AMN=a,则∠BMQ=∠AMN=a, 在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM=180°， 2a+60+28=180, 解得：a=46°， ∴.∠ABC=∠BMQ+∠MQD=106°： ③如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q,且 LMQE=60°，∠BDM=∠PDC=28°， ∠MQD=120°， P光源 C镜面 设∠DMB=∠AMN=a,则∠BMQ=∠AMN=a, 在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM=180°， .2a+120+28=180, 6/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得=16°， ∴.∠ABC=∠BMQ+∠MQD=136°， 综上，∠ABC=46°或106°或136°. 题型4全等基础（性质+判定基础）（常考）（共4小题） 11.(24-25七年级下.上海松江期末)如图，己知ABC与aDEF全等，那么∠D= 72 6 10 B450 10 【答案】72 【详解】解：：ABC与aDEF全等，BC和EF是对应边， ∠D=∠A=72°， 故答案为：72 12.(24-25七年级下·上海期中)如图，已知aABC≌aDEB,点A、B、C的对应点分别是点D、E、B, 点E在AB边上，DE与AC交于点F.如果AE=8,BC=12,则线段DE的长是· D 【答案】20 【详解】解：：△ABC≌△DEB,BC=I2 .BE BC =12,DE AB, AE=8, DE=AB=AE+BE=12+8=20, 故答案为：20. 13.(24-25七年级下.上海崇明期末)如图，四边形ABCD中，AB=CD,AE=CF,BF=DE, D F E B 7/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)求证：AD=BC; 【详解】(1)证明：：BF=DE, BF-EF=DE-EF,即：BE=DF, 又：AB=CD,AE=CF, △ABE≌△CDF(SSS); (2)证明：：△ABE≌△CDF, .∠AEB=∠DFC, .180°-∠AEB=180°-∠DFC, ∠AED=∠CFB, 又：AE=CF,BF=DE, :.△AED≌△CFB(SAS), :AD BC. 14.(24-25七年级下.上海宝山期末)如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果AC=BD,BE=CF, 且BE∥CF,那么AEDF,为什么？（完成以下填空和说理过程） B C D 解：：BE∥CF(已知)， :∠EBC=∠FCB(①_)· :LEBC+LEBA=180°，LFCB+∠FCD=180°（② LEBA=LFCD(③)， :AC=BD(己知)， :④（等式性质），即AB=CD. 在△ABE和△DCF中， 8/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=CD ∠ABE=∠DCF, BE=CF △ABE≌ADCF(SAS, .∠A=∠D(⑤ ·AEI DF(⑥ 【详解】解：：BE∥CF(已知)， ∠EBC=∠FCB(①两直线平行，内错角相等)· :∠EBC+LEBA=180°，∠FCB+∠FCD=180°（②平角定义）， :∠EBA=∠FCD(③等角的补角相等)， :AC=BD(己知)， :④AC-BC=BD-BC(等式性质)，即AB=CD. 在△ABE和△DCF中， AB=CD ∠ABE=∠DCF, BE=CF △ABE≌△DCF(SAS), :∠A=∠D(⑤全等三角形对应角相等)， :AEI DF(⑥内错角相等，两直线平行)· 题型5等腰三角形边长与含绝对值化简（易错）（共3小题） 15.(24-25七年级下.上海期中)已知ABC的三边长分别是a、b、C,化简：lc-a-b-a+c-= 【答案】2b-2c 【详解】解：：ABC的三边长分别是a、b、c, .a+b>c,a+c>b, ∴.c-a-b<0,a+c-b>0, ∴c-a-b-a+c-bl =a+b-c-(a+c-b) 9/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =a+b-c-a-c+b =2b-2c; 故答案为：2b-2c. 16.(25-26七年级下.上海杨浦·阶段检测)在等腰三角形ABC中，AB=AC,周长为16cm,AC边上的中 线BD把ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求ABC底边BC的长 cm】 【答案】 【详解】解：设AB=AC=xcm,BC=ycm, 由ABC周长为16cm,得 2x+y=16, BD是AC边上的中线， :AD =CD, 又BD是△ABD和△BCD的公共边， :两个三角形的周长差为AB-BC=4,即x-y=4, 分两种情况讨论： (1)当x>y时，x-y=4, 2x+y=16 联立方程组 x-y=4 两式相加得3x=20,解得x=20 代入x-y=4得y= 3, 此时三边长为20cm 20 3cm, 3cm,cm,满足三角形三边关系，符合题意」 8 (2)当x<y时，y-x=4, 2x+y=16 联立方程组 y-x=4· x=4 解得 (y=81 此时三边长为4cm,4cm,8cm,不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去。 综上，底边BC的长为兮cm· 8 17.(24-25七年级下·上海青浦阶段检测)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫 10/78 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 作“倍长三角形”.若ABC是"倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 【答案】1.5或4 【详解】解：设第三边的长为x, 则3-2<x<3+2,即1<x<5, :ABC是“倍长三角形，则： ①若2x=2,则x=1(不符合题意，舍去)； ②若2x=3,则x=1.5; ③若x=2×2,则x=4; ④若x=2×3,则x=6(不符合题意，舍去)； 综上所述，第三条边的长为1.5或4. 故答案为：1.5或4. 题型6三角形高线（易错）（共3小题） 18.（24-25七年级下·上海崇明·期中)如图，AD,BE分别是ABC的边BC,AC的高线，AD=3, BC=5,AC=4,则BE的长为 B 【答案】5 【详解】解：：AD,BE分别是ABC的边BC,AC的高线， ∴SAc=)BCAD=4CBE, 2 :AD=3,BC=5,AC=4, 5×3=4BE, 解得BE=15 15 故答案为： 4 19.(24-25七年级下.上海阶段检测)如图，在等腰ABC中，AB=AC,其一腰上的高为h,M是底边 BC上的任意一点，M到腰AB,AC的距离分别为h,h,,则BD= 11/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M 【答案】h+h 【详解】解：：S。ABc=S。Bw+S4wc, 5 ww-ABxME=×ABx4,Sc-方×4CxMr=×4Cx在. 1 1 2 又：Sac=)×ACx BD=5 xACxh, 2 、1 1 1 ×AC×h=二×AB×h+二×AC×h, 2 2 .AB=AC, 2x4Cxh=x4CxA+ 1 2 .BD=h,+h2. 故答案为：h+h. 20.(24-25七年级下.上海青浦阶段检测)在ABC中，AB=AC，D为直线BC上任意一点，连结AD, DE1AB于点E,DF1AC于点F,BG为AC边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2 分) E B D D B ① ② ③ 【画图探究】(1)如图①，当点D在边BC上时，请画出BG,猜想DE,DF,BG之间的数量关系并证 明 【运用】(2)如图②，当点D为BC中点时，BG与DE的数量关系为 【拓展】(3)如图③，当点D在CB的延长线上时，DE、DF、BG之间的数量关系为 【详解】解：(1)依题意，AC边上的高BG如下图所示： 12/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE,DF,BG之间的数量关系：BG=DE+DF. E B D 证明：：DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,AB=AC, SABC S.ABD+S.ACD' :.AC.BG=1 AB-DE+AC.DF, 2 :BG=DE +DF (2)BG与DE的数量关系为：BG=2DE. 理由：如图，过点B作BG⊥AC交AC于点G, B :DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC, S.ABC =S.ABD+S.ACD . )ACBG=AB·DE+AC·DF .BG=DE+DF, :AB=AC,点D为BC中点时， DE-C.DF. :DE=DF, .BG DE+DF=DE DE 2DE, 故答案为：BG=2DE; (3)DE,DF,BG之间的数量关系：DF=DE+BG. 理由：如图，过点B作BG⊥AC交AC于点G, 13/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E :DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC, S△AcD=S△ABD+S△HBc, 4C.DF=-4B-DE+-AC.BG. .DF =DE+BG, 故答案为：DF=DE+BG. 题型7双角平分线模型（易错）（共4小题） 21.(24-25七年级下.上海青浦·期中)如图，在ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,如果 LA=82°，那么∠BEC=. 【答案】131 【详解】”∠A=82°， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°， :BE平分∠ABC,CE平分∠ACB, :∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB, :∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=x98°=49 .∠BEC=180°-(LEBC+∠ECB)=131°， 故答案为：131 22.(24-25七年级下.上海闵行期中)如图，在ABC中，延长BC到D,∠ABC、∠ACD的角平分线相交 于点A点.∠A,BC与∠ACD的外角平分线交于点A,∠A,BC与∠A,CD的外角平分线交于点A,依次类推， ∠An-1BC与∠An-CD的外角平分线交于点An,如果∠A=m°，那么∠An=.(用含m、n的表示). 14/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】是 【详解】解：：∠ACD是ABC的外角， .∠A=LACD-∠ABC, :∠ACD是△ABC的外角， ∠A=∠A,CD-∠A,BC, :BA平分∠ABC,C4A平分∠ACD, ∠AcD-AcD,ABc=ABc, ACD-ABC-ACD-C 同理可得：4,4=京∠4= 1 2， ∠An= 2， m 故答案为： 2· 23.(25-26七年级下.上海松江·期中)如图，在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线0B、0C相交于点O. B (1)若∠A=70°，则∠B0C=_ (2)探究∠A与∠B0C的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)解：：ABC的内角和为180°，∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°， :OB、OC为LABC、∠ACB的平分线， :∠AB0=∠OBC=∠ABC,∠AC0=∠OCB=∠ACB, 2 15/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠0BC+∠0CB=2∠ABC+ZACB)=5°， :△BOC的内角和为180°， LB0C=180°-L0BC+L0CB=125°， (2)解：∠A与∠B0C的数量关系为：∠B0C=90+}∠A,理由如下： 2 :ABC的内角和为180°， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :OB、OC为∠ABC、∠ACB的平分线， :∠ABO=∠OBC=∠ABC,∠ACO=∠OCB=∠ACB, 208c+<0cB248c+24c-l80-A=0号4 :△B0C的内角和为180°， .∠B0C=180°-∠0BC+∠0CB)=180°- 90-3A=90+4. 24.(24-25七年级下.上海崇明期末)综合与实践 图1 图2 图3 (1)如图1，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,如果∠A=70°，那么∠BPC=_ (2)如图2，作ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,试求出∠Q、∠A之间的数量关系- (3)如图3，延长BP、QC交于点E,在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程， 求∠A的度数. 【答案】(1)125° 2)∠0=90°-1∠A 2 (3)36°或45°或135°或144° 【详解】(1)解：：∠A=70°. 16/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°， :点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， BPC180°-ABC+LACB)=180°-X109a1 (2)解：：外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q, ∴.∠QBC+∠QCB=-(∠MBC+∠NCB) =B60°-∠ABC-∠ACB) =2080°+∠0 =90°+1∠A, 2 ·∠Q=180°- (3)解：延长BC至F, B -F :CQ为ABC的外角∠NCB的角平分线， ·CE是ABC的外角LACF的平分线， ∴.∠ACF=2LECF, :BE平分∠ABC, ∴∠ABC=2LEBC, :∠ECF=LEBC+LE, .2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=LABC+2LE, 又：∠ACF=LABC+LA, ∠A=2∠E,即∠E=∠A; :∠EBQ=∠EBC+∠CBQ 17/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC+∠A+∠ACB=90°， .∠Q+∠E=90°： 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①∠EBQ=4∠E=90°，则∠E=22.5°，A=2LE=45°； ②∠EBQ=4∠Q=90°，则∠Q=22.5°，∠E=67.5°，∠A=2LE=135°； ③∠Q=4∠E,则∠E=18°，解得∠A-36°： ④∠E=4∠Q，,则∠E=72°，解得∠A=144° 综上所述，∠A的度数是36°或45°或135°或144° 题型8折叠求角度（易错）（共4小题） 25.(25-26七年级上·上海阶段检测)如图，将纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，且AB 平分∠ABC,A'C平分∠ACB,若∠1=44°，L2=46°，则LBA'C的度数为· B D 2 【答案】112.5° 【详解】解：如图，连接AA', B 沿DE折叠， D .∠DAA'=∠DA'A,∠EAA'=∠EA'A, :∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA',∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA', .∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=44°+46°=90°， ∠BAC=45°， :∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°， :AB平分∠ABC,A'C平分∠ACB, ∠A"BC=1 Ac,∠4CB=4c8. 18/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC+∠ACB= 2X135°=67.50， ∠BA'C=180°-67.5°=112.5°， 故答案为：112.5°. 26.（24-25七年级下·上海阶段检测)如图，点D为三角形ABC的边AB上一点，如果LA=60°，将三角 形ACD沿着直线CD翻折后，点A落在处，那么当∠ACD=时，有A'D∥CA. B D -------·A C 【答案】60 【详解】解：：∠A=60°， .∠ACD+LADC=180°-∠A=120°， 由翻折得∠ADC=∠A'DC, :当∠ACD=∠A'DC时，A'D∥CA, .∠ADC=∠ACD, ∠ACD=60°， 故答案为：60. 27.(23-24七年级下·上海浦东新·期末)在ABC中，AB=AC,把ABC折叠，使点B与点A重合，折 痕交AB于点M,交AC于点N,如果△CBN是等腰三角形，则∠C的度数为 A M B 【答案】72°或 540。 7 【详解】解：设∠A=a, 19/78 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB=AC, ∠ABC=∠C=180°-a 2 :把ABC折叠，使点B与点A重合， :AN BN, ∴∠NBA=∠A=a, ∴.∠BNC=∠NBA+∠A=a+a=2a, :∠NBC=180°-∠C-∠BNC=180°-180°-g-2a=180°-3a 2 2 :△CBN是等腰三角形， ①若NB=NC,则∠NBC=LC, 即180°-3a-180°-a 2 2， 解得：a=0°，不符合题意； ②若BN=BC,则∠C=∠BNC, 即180°-a=2a, 2 解得：a=36°， ÷∠C=180°-4=180-36 2 2 =72°； ③若CB=CN,则LNBC=∠BNC, 即180°-3a =20 180 解得：a= 0 7 180° 180 180°- 7 540。 2 2 7 综上所述，∠C的度数为72°或 540。 7 540 故答案为： 72°或 7 28.(24-25七年级下.上海长宁.期末)如图，己知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=50°，点D在边AC上， 将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD,如果直线ED与ABC的一条边垂直，那么∠DBC的度数是 20/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A 【答案】10°或50° 【详解】解：①如图1，当ED1BC时， 图1 :∠ABC=90°，∠A=50°， AB⊥BC,∠ACB=90°-∠A=40°， ED∥AB, ∠ADE=∠A=50°， 由折叠的性质得：∠ECD=LBCD=40°，∠DBC=∠E, ∴∠DBC=∠E=LADE-∠ECD=I0°： ②如图2，当ED⊥AC时， E D B 图2 ∠CDE=90°， 由折叠的性质得：∠CDB=∠CDE=90°， ∠DBC=90°-∠ACB=90°-40°=50°； ③如图3，当ED⊥AB时， 21/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D B A 图3 :AB⊥BC, .ED∥BC, .∠CDE=∠ACB=40°， 由折叠的性质得：∠ECD=∠BCD=40°，∠DBC=∠E, ∠DBC=∠E=180°-∠ECD-∠CDE=100°>90°， ·∠DBC>∠ABC，不符合题意，舍去： 综上，∠DBC的度数是10°或50°， 故答案为：10°或50°. 题型9三角板拼接/旋转求角（易错）（共4小题） 29.(24-25七年级下.上海期中)把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角 边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△0AB以O为中心顺 时针旋转一周，两条斜边AB∥CD,则∠AOC的度数为 B 【答案】15°或150° 【详解】解：由已知可得∠D=60°，∠A=∠AB0=45°，∠A0B=∠C0D=90°， 分以下两种情况讨论： 当AB与OD相交于点E时， 22/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C B A D B 图1 由旋转的性质可知，∠A=∠A',LAOB=LB′， :A'B'∥CD, ∠D=∠A'E0=60°， LA'0E=180°-LA'-∠A'E0=180°-45°-60°=75°， ∴∠A'0C=90°-LA'0E=15°； 当AB与AO相交于点F时， B B A D '0 图2 由旋转的性质可知，∠A=∠A,∠AOB=LB', :A'B'∥CD, LD=LAFB'=60°， ∠B'+∠A0B'=∠AFB'=60°， ∠A0B'=60°-∠B′=60°-30°=30°， ∴∠A0A'=90°-∠A0B′=90°-30°=60°， ∠A'0C=∠A0A'+90°=150°， 综上所述：∠A0C的度数为15°或150°. 故答案为：15°或150°. 23/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 30.(23-24七年级下.上海松江期中)如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点C叠放在一起， 其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°. CB4 ■ 备用图1 备用图2 (1)猜想∠ACD与∠BCE存在怎样的数量关系，并说明理由： (2)若∠BCD=2LACE,则∠BCD的度数为一； (3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE,当∠BCD的度数为时，CE∥AB.(直接在 横线上写出答案) 【详解】(1)解：∠ACD=∠BCE,理由如下： :∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°， ∴∠ACB=LDCE=90°， .∠ACB-ACE=∠DCE-ACE, 即LACD=LBCE: (2)解：：∠BCD=∠BCE+LACD+∠ACE,LBCD=2∠ACE, ∴.∠BCE+∠ACD=∠ACE, :∠ACD=∠BCE, :∠BCE=∠ACD=1∠ACE. 2 :∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°， )ACE+∠ACE=90 .∠ACE=60°， .∠BCD=2×60°=120°， 故答案为：120°； (3)解：分两种情况： ①如图1所示， 24/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 R 备用图1 当CE∥AB时，∠B+∠BCE=I80°， ∠BCE=180°-∠B=120°， :∠DCE=90°， ∴∠BCD=360°-120°-90=150°； ②如图2所示， D E 备用图2 当CE∥AB时，∠BCE=∠B=60°， :∠DCE=90°， ∠BCD=90°-60°=30°； 综上，当∠BCD的度数为150°或30°时，CE∥AB, 故答案为：150°或30°. 31.(24-25七年级下.上海静安期中)如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在 直线AC上，且ED∥AC,DF与AB相交于点G,其中LACB=90°，∠ABC=60°，∠BAC=30°， ∠EFD=90°，∠DEF=∠EDF=45°. 25/78 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B B D 0 ▣ F 图1 图2 备用图 (1)求此时∠DGA的度数： (2)如图2，若三角板DEF绕点F按顺时针方向旋转，当ED∥AB时，求此时∠DFA的度数： (3)在(2)的前提下，三角板DEF绕F点按逆时针方向以每秒5°的速度旋转，设旋转的时间为(0<1<72) 秒，当三角板DEF第一次回到图2的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板DEF的某一条边与 AB平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)75° (215° (3)9秒或27秒或36秒或45秒或63 【详解】(1)解：如图1，过G作GH∥AC. ED∥AC,GH∥AC, ∴ED∥GH∥AC. .∠DGH=∠EDF=45°，∠AGH=LBAC=30°， ∴∠DGA=∠DGH+LAGH=75°. B 图1 (2)解：如图2，过F作FH∥AB. :ED∥AB,FH∥AB, .ED∥AB∥FH ∴∠DFH=∠EDF=45°，∠AFH=LBAC=30°， .∠DFA=LDFH-∠AFH=15°. 26/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图2 (3)解：如图3，当EF∥AB时， :EF∥AB,∠BAC=30°， ∠EFA=150°， ∠DFA=∠EFA-∠EFD=60°. 51+15=60, 解得：t=9. F A 图3 如图4，当DF∥AB时， :DF∥AB,∠BAC=30°， .∠DFA=150°. .5t+15=150, 解得：1=27. B 图4 如图5，当DE∥AB时，过F作FG∥AB :DE∥AB,FG∥AB, 27/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴DE∥FG∥AB LAFG=180°-∠BAC=180°-30°=150°，∠GFD=LEDF=45°. .5t=150+45-15, 解得：1=36. B G D E 图5 如图6，当EF∥AB时， :EF∥AB,∠BAC=30°， ∠EFA=30°， .∠AFD=30°+90°=120° .5t+15=360-120, 解得：1=45. F D 图6 如图7，当DF∥AB时， :DF∥AB,∠BAC=30°， .∠DFA=150°. 51+15=360-30, 解得：1=63. 28/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F D 图7 综上，t值为9秒或27秒或36秒或45秒或63秒时，存在三角板的某一条边与AB平行的情况. 32.(24-25七年级下.上海阶段检测)如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30 ,∠DAE=45°，，LBAC=∠D=90°，如图2，固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋 转，记旋转角∠CAE=o(0°<a<180)」 固定三角板ABC 旋转三角板ADE 图1 图2 图3 图4 各用图 (1)当0为 度时，AD∥BC,并在图3中画出相应的图形： (2)如图4，在旋转过程中，当0°<a<45°时，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系： (3)若ADE旋转速度为5°/秒，当它的一边与ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值. 【详解】(1)解：如图所示，即为所求： B :AD∥BC, ∠CAD=∠ACB=30°， 29/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a=∠CAE=∠DAE-∠CAD=45°-30°=15°； (2)解：由旋转的性质可得a=∠CAE, :∠CAE+∠BAE=∠BAC=90°，∠CAE+∠CAD=∠DAE=45°， .a+∠CAD=45°，a+∠BAE=90°， ∠BAE-∠CAD=45°： (3)解：依题意，分以下五种情况： ①当AD∥BC时 由(1)知，a=15°， 则1=号3（秒） ②当DE∥AB时，此时，AD与AC重合 则a=45°， 六1=45=9（秒）： 5 ③当DE∥BC时，此时，AD⊥BC, 则a=90°-∠ACB+∠DAE=90°-30°+45°=105°， 105 =21(秒)； ④当DE∥AC时，此时，AD与AB重合 则a=90°+∠DAE=90°+45°=135°， 六1-135-27（秒）： 5 ⑤当AE∥BC时 则∠BAE=∠ABC=60°，a=90°+∠BAE=90°+60°=150°， 10-0秒)： 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒， 题型10全等三角形判定辨析（易错）（共4小题） 33.(24-25七年级下.上海·期中)在ABC与ADEF中，∠B=∠E,添加下列哪组条件一定能说明ABC与 ADEF全等() A.∠A=∠D,∠C=∠F B.AB=DE,AC=DF C.AB=DE,BC=EF D.BC=EF,AC=DF 30/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】c 【详解】解：添加条件∠A=∠D,∠C=∠F,结合∠B=∠E不能利用AAA证明ABC与ADEF全等，故A 不符合题意； 添加条件AB=DE,AC=DF,结合∠B=∠E不能利用SSA证明ABC与ADEF全等，故B不符合题意； 添加条件AB=DE,BC=EF,结合∠B=∠E能利用SAS证明ABC与ADEF全等，故C符合题意： 添加条件BC=EF,AC=DF,结合∠B=∠E不能利用SSA证明ABC与ADEF全等，故D不符合题意； 故选：C 34.(24-25七年级下·上海杨浦·期末)下列说法中，错误的是() A.两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B.两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C.两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D.两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 【答案】B 【详解】解：A.两角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合AAS全等判定，正确，不符合题意； B.两边对应相等，但其中一组等边的对角相等，属于SSA条件，SSA无法唯一确定三角形（存在歧义情况）， 不能保证全等，错误，符合题意： C.两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，正确，不符合题意： D.两角对应相等，且一组等角的平分线相等，通过角平分线定理可推第三边相等，符合ASA或AAS全等 判定，正确 故选：B. 35.(24-25七年级下.上海宝山期末)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，ABC的角平分线AD、BE相交 于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H. 则对于以下结论：①LAPB=135°；②△ABP≌△FBP;③LAHP=LABC;④AH+BD=AB;其中错误的 是() A.① B.② c.③ D.④ 31/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】c 【详解】解：在ABC中，LACB=90°， .∠BAC+∠ABC=90°， 又：AD、BE分别平分∠BAC、LABC, :∠BAD=∠BAC,∠ABE=。∠ABC, 1 2 :∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)=45°， :∠APB=135°，故①正确； ∠BPD=45°， 又：PF⊥AD, .∠FPB=90°+45°=135°， ∠APB=∠FPB, 又：∠ABP=LFBP, 在△ABP和△FBP中， ∠ABP=∠FBP BP=BP ∠APB=∠FPB △ABP≌△FBP(ASA,故②正确： ∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF, ∠BAP=LCAP, ∴∠PAH=∠PFB, 在APH和△FPD中， ∠APH=∠FPD ∠PAH=∠PFB, PA=PF △APH≌△FPD(AAS), :AH FD, 又：AB=FB, AB=FD+BD=AH+BD;故④正确； 32/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ACB=90°，PF⊥AD, LACB=∠APH=90°， :∠AHP+∠PAH=∠ABC+∠BAC=90°， :∠PAH≠LBAC, :∠AHP≠∠ABC，故③错误； 故选：C. 36.(24-25七年级下.上海期末)如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作 等边△ABC和等边△ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下 结论不正确的是() B A.AD=BE B.DE=DP C.AP=BO D.∠A0B=60° 【答案】B 【详解】解：由于△ABC和△ECD是等边三角形， 可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=LDCE=60°， .∠BCD=60°，∠ACD=∠BCE=120°， .△ACD≌△BCE(SAS), :AD=BE,∠ADC=∠BEC, 可判断A正确； :∠DCP=∠ECQ=60°，CD=CE, △CDP≌△CEQ(ASA, :DP=EO, :DE≠EQ, DE≠DP,可判断B错误； △ACD≌△BCE, .∠DAC=∠EBC, 33/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：∠ACP=∠BCQ=60°， .△CQB≌△CPA(ASA), BQ=AP,故结论C正确： :∠A0B=L0AE+∠AE0=∠CBE+∠AE0=∠ACB=60,可判断D正确. 故选：B 题型11中线面积压轴（填空压轴）（共3小题） 37.(25-26七年级上上海阶段检测)如图，将ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A,B,C,点A,B分别 与A,B对应，连接A,B,B,B,设BB与A,C交于点O.如果AC⊥B,B,点O是线段BB的中点，且 S因边形AB,CB=3S△48B,若S有BB=a,则SABc= (用含有a的式子表示). 倍120 【详解】解：如图， B A B C :S西道形4CB=3Sa48,且S48B=a, S因边影8cB=3a, S△BcB=2a, :AC⊥B,B,点O是线段B,B的中点， 1 1 SA480-7Sa SACHo-7SAncB=a. :△A,B,C是ABC旋转得到的， 3 S△8c=Sa4ae=2a, 3 故答案为：2a. 34/78 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 38.(24-25六年级下.上海期中)如图所示，在ABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC= c, 求阴影部分面积是三角形ABC面积的 (几分之几). D B E F 【答*】号 【详解】解：8D=24D,BE=EF=FC=写8C, △DBF面积：ABC面积=(2：3)2， 设ABC的面积为a, ∴△DBF面积：a=4:9, :6DBF面积=)a, 4 :△DBE面积=△DEF面积， △D8E面积-号0+2-号a, 同理，△GFC面积：ABC面积=(1：3)2， △GFC面积：a=1:9, aGFC面积=号 :△GFC面积×2=△ADG面积， 4DG面积-号a, :阴影面积=a- 212 4 “阴影部分面积是三角形ABC面积的： 故答案为：9 4 39.(25-26七年级下.上海闵行期中)设ABC的面积为1.如图①，E,D分别是AC,BC的中点， BE,AD相交于点O,△BO,D,与△AO,E的面积差记为S,;如图②，E2,D2分别是AC,BC的3等分点， BE2,AD2相交于点Q,△B0D2与△AOE2的面积差记为S2;如图③，E,D,分别是AC，BC的4等分 35/78 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，BE,AD相交于点Q,△BO,D与△AO,E,的面积差记为S,…依此类推，则S26的值为· E2 0 B D B D B D 图① 图② 图③ 【答案】 2025 2027 【详解】解：由题意得：S=So,D-SAo,E=S,cE,-S4cn, :E,D分别是AC,BC的中点， 1 .S.nen=S.4nc,S4cD=7S.40c S1=S.BCE-S.ACD =0. 同理可得：S=S,BCs,-S,4cn,= 5 1 1 3 则5 41 4,55… Sn=”-1=n-1 n+1n+1n+1 2026-12025 ∴.S2026= 2026+12027 题型12拐角+平行线+三角形外角（解签压轴）（共3小题） 40.(23-24七年级下.上海杨浦期中)(1)【问题情境】如图1，己知三角形ABC,试说明 ∠BAC+∠B+∠C=180°的理由， D 图1 图2 图3 解：过A点作DE∥BC(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行) (请按照上述思路继续完成说理过程) (2)【尝试运用】如图2，若∠BAC=80°，DE∥BC且经过A点，∠EAC=n∠EAF,∠ABC=n∠FBC,求 ∠AFB的度数（用含n的代数式表示)· 36/78 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)【拓展探索】如图3，在三角形ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC,DG平 分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG交于点G.若∠A=40°，求∠G的度数 【详解】(1)证明：过A点作DE∥BC(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)， .∠DAB=∠B，LEAC=∠C, :∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∠BAC+∠B+∠C=180°； (2)解：如图2，过F作FH∥BC, D E H-- ----≥F :∠BAC=80°， B 图2 LABC+LC=180°-∠BAC=100°， DE∥BC, .FH IDE, ∠EAF=∠HFA, :FH∥BC, ∠CBF=∠HFB, :∠AFB=∠AFH+∠BFH=∠EAF+∠CBF, :DE∥BC, ∠EAC=∠C, .·∠EAC=n∠EAF,∠ABC=n∠FBC, :∠EAF=∠EAC,∠CBF=L∠ABC, n n ∠AFB=∠EAF+∠CBF=L∠BAC+L∠ABC=(∠C+∠ABC-100 n n n (3)解：：DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ACF=∠A+∠ABC,∠GFM=∠GDE. :DG平分∠ADE,BG平分∠ABC, &ZGDE-ACF2A+LABC.,∠GBF-ZABC© 37/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.∠GFM=(∠A+∠ABC)=∠GBF+∠G, 41.(2024七年级下.上海.专题练习)已知，直线GE上有一点C,B在直线GE外一点， 。 1 A D G G C E 图1 图2 图3 (1)如图1，点A在GE上，作LBAG,LBCG的平分线AF,CF交于点F,请直接写出∠B与∠F数量关系. (2)如图2，A在直线GE外（在B点的下方，直线GE的上方），过A作HD∥GE,试说明 ∠BCE+∠ABC=∠BAD, (3)如图3，HD∥GE,分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，两线交于点F,问∠B与∠F有何数量关系， 试说明. 【详解】(1)解：：∠BAG,LBCG的平分线AF,CF交于点F, ∠BAC=2∠FAC,∠BCG=2∠FCG, :∠BCG=∠B+∠BAC,∠FCG=LF+LFAC, ∠B=2∠F, (2)证明：：HD∥GE(已知) :∠BND=∠BCE(两直线平行，同位角相等)， :∠BAD=∠BND+∠ABC, .∠BCE+∠ABC=∠BAD; (3)解：∠B=2∠F,理由如下： :HD∥GE(己知)， .∠FMH=∠FCG,∠BNH=∠BCG, :FA,FC是∠BAH与∠BCG的角平分线， ∴.∠BAH=2∠FAH, ∠BCG=2∠FCG, ∠BNH=2∠FMH, 38/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠BNH=∠B+∠BAH, ∠FMH=∠F+∠FAH, ∠B=2∠F 42.(23-24七年级下.上海闵行期中)已知直线a∥b,点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，连接 AD、BC,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,且BE、DE所在直线交于点E. A B 图1 图2 备用图 (1)如图1： ①如果∠ABC=100°，∠ADC=60°，那么∠BED的度数为 ②如果设∠ABC=m°，∠ADC=n°，那么∠BED的度数为 (用含有m、的式子表示) (2)如图2： ①试说明∠ABC+∠ADC=2LE; ②设线段BE与线段AD的交点为点M,线段DE与线段BC的交点为点N,如果LABC+LADC=90°，那 么∠BMD+∠BND的度数为一· 【答案】(1)0160°；②180°- 30 (2)①见详解；②135° 【详解】(1)解：①如下图，过点E作EF∥a, B b D C :LABC=100°，BE平分∠ABC, 8ABE∠ABCx100=50 :EF∥a, ∠BEF=180°-∠ABE=130°， :∠ADC=60°，DE平分∠ADC, 39/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 .∠CDE= 2×60°=30°， 1 EF∥a,a∥b, EF∥b, .∠DEF=∠CDE=30°， ∠BED=∠BEF+∠DEF=130°+30°=160°； ②如下图，过点E作EF∥a, B E -b C :∠ABC=m°，BE平分∠ABC, ∠ABE=∠ABC=m°， 2 2 :EF∥a, ·∠BEF=180°-∠ABE=180°-1 m°， :LADC=n°，DE平分∠ADC, 1 .LCDE=。LADC=。n°， 2 2 :EF∥a,a∥b, .EF∥b, 1 ∠DEF=∠CDE=5n°， 2 ∠BED=∠BEF+∠DEF=18O°- 1 2m+2, 1 版答案为：0160°：2180°m97 (2)①证明：如下图，过点E作EF∥a, B D C :BE平分∠ABC, 40/78 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 ∠ABE=)∠ABC EF∥a, 1 ∠BEF=∠ABE= ABC, 2 :DE平分∠ADC, :∠CDE=∠ADC, 2 :EF∥a,a∥b, .EF∥b, ÷∠DEF=∠CDE=∠ADC, :∠BED=∠BEF+∠DEF=(∠ABC+∠ADC), ∠ABC+∠ADC=2LBED: ②如下图， B y >E -b D C :a∥b, ∠BAD=LADC,∠ABC=∠BCD, :BE平分∠ABC, 1 ∠ABE=24BC, :∠BMD=∠BAD+∠ABE=∠ADC+∠ABC, :DE平分∠ADC, 1 ∴∠CDE=二∠ADC, :∠BND=∠CDE+∠BCD=∠ADC+∠ABC, 2 :∠ABC+∠ADC=90°， ∠BMD+∠BND=∠ADC+)∠ABC+∠ADC+∠ABC=3(∠ABC+∠ADC)=x90°=135°. 2 故答案为：135°. 41/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型13一线三垂直(K型全等)（解答压轴）（共6小题） 43.(24-25七年级下.上海普陀期末)如图，己知：在ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上， FD=DE,BF=CD,∠FDE=∠B,∠FDE=∠B. B D (1)求证：AB=AC; (2)连接AD,如果AD平分∠FDE，,求证：AD⊥BC. 【详解】(1)证明：：∠FDC=∠FDE+∠EDC, ∠FDC=∠B+∠BFD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)， 且∠FDE=∠B, ∴LBFD=LCDE. 在BDF和△CED中， FD=DE, ∠BFD=∠CDE, BF=CD, △BDF≌△CED(SAS). :.∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). :AB=AC(等角对等边)， (2)证明：：AD平分∠FDE, ∴.∠ADF=∠ADE 在△ADF和ADE中， DF DE, .∠ADF=∠ADE, AD=AD, △ADF≌△ADE(SAS). ·∠DAF=∠DAE(全等三角形的对应角相等). 又：AB=AC, 42/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AD⊥BC(等腰三角形三线合一)： 44.(24-25七年级下.上海崇明·期中)如图1，AB=10Cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A、B, AC=7cm,点P在线段AB上以3cms的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动， 它们运动的时间为(s)(当点P运动结束时，点Q运动随之结束)· D A→P A-P 图1 图2 (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与BPQ是否全等？此时线段PC和线段 PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“AC⊥AB,BD1AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为xcms,其他条件不变，当 △ACP与BPQ全等时，求出相应的x与t的值， 【答案】(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ 2x=3,1=1;x=21, 5 3 【详解】(1)解：当t=1时，△ACP与BPQ全等；线段PC和线段PO的位置关系是：PC⊥PQ,理由如 下： :点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3cm/s,且运动的时间t=1s, .AP =3cm BO=3cm, .AP BO =3cm, 4B =10cm, ∴BP=AB-AP=7cm, 又：AC=7cm, .AC BP =7cm :AC⊥AB,BD⊥AB, ×∠A=∠B=90°， 在△ACP与BPQ中， AP=BO ∠A=∠B=90°， AC=BP 43/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△ACP≌△BPQ(SAS), ∠C=∠BPQ, 在Rt△APC中，∠C+∠APC=90°， ∠BPQ+∠APC=90°， ∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°， PC⊥PQ; (2)依题意得：AP=3tcm,BQ=xtcm, .4B =10cm, .BP=AB-AP=10-3t(cm), 又：AC=7cm,∠CAB=∠DBA, ①当AP=BQ,AC=BP时，△ACP≌△BPQ, 由AP=BQ,得：31=xt, 解得：x=3, 由AC=BP,得：7=10-31， 解得：t=1, ②当AP=BP,AC=BQ时，△ACP≌△BQP, 由AP=BP,得：31=10-3t, 解符：1 由AC=BQ,得：7=xt, 3=7, 解得：x=21 5， 综上所述：当1=1时，x=3ms;当1=时，x=2c 3 5cm6. 45.(24-25七年级下.上海崇明期末)(1)如图1，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点 C作直线DE,且有AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明 理由. (2)如图2，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作AD⊥CE于点 D,过点B作BE⊥CE于点E,AD=1I,BE=5,则DE的长为 (3)如图3，LBAD=LCAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直 44/78 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 线AF交于点G.若BC=28,AF=19,求△ADG的面积. B D E 图1 图2 图3 【详解】解：(1)AD+BE=DE,理由如下： :AD⊥DE,BE⊥DE, ∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACD+∠CAD=90°， :∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°， ∠CAD=∠BCE, 在△CAD和△BCE中， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=BC ∴.△CAD≌△BCE(AAS), .CD=BE,AD=CE. CD+CE=DE, .BE+AD=DE (2):AD⊥DE,BE⊥DE, .∠ADC=∠CEB=90°， ∴.∠ACD+∠CAD=90°， :∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°， ∠CAD=∠BCE, 在△CAD和△BCE中， 45/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=BC ∴.△CAD≌△BCE(AAS), :CD=BE,AD=CE; AD=11,BE=5, .DE CE-CD=AD -BE =6. 故答案为：6； (3)解：如图，过点D作DP⊥AG于P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q, D B A E 由(2)思路可证△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA, .DP=AF =19,EO=AF=19,AP=BF,AO=CF, 在△DPG和△EOG中， ∠DPG=∠EQG=90° ∠DGP=∠EGQ DP=EO △DPG≌△EQG(AAS), ..PG=GO, :BC=28, ∴.CF+BF=AQ+AP=28, .AP+AP+PG+PG=28, .AG=AP+PG=14, S脑)x19x14=139 46.(24-25七年级下.上海黄浦期末)(1)观察理解：如图1，ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线 I过点C,点A,B在直线I同侧，BD⊥I,AE⊥I,垂足分别为D,E,由此可得：∠AEC=∠CDB=90 46/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,所以∠CAE+∠ACE=90°，又因为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以∠CAE=∠BCD,又因 为AC=BC,所以△AEC≌△CDB ；(请填写全等判定的方法) B B 2 图1 图2 图3 (2)理解应用：如图2，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,利用(1)中的结论，请按照图 中所标的数据计算图中ABC的面积是 (3)拓展提升：如图3，等边aEBC中，EC=8cm,点O在BC上，且OC=5cm,动点P在射线EC上， 连接OP,将线段OP绕点0逆时针旋转120°得到线段0F. ①当OF∥ED时，OP的长是 ②当点F恰好落在射线EB上时，请直接写出EP的长. 【答案】(1)AAS;(2)8;(3)①5cm;②11cm 【详解】(1)解：如图1，ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线1过点C,点A,B在直线l同侧， BD⊥I,AE⊥I,垂足分别为D,E,由此可得：∠AEC=∠CDB=90°，所以LCAE+LACE=90°，又因 为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以∠CAE=∠BCD,又因为AC=BC,所以△AEC≌△CDB (AAS), 故答案为：AAS; (2)解：由(1)同理可证，△AEF2△BAG(AAS),△CBG≌△DCH(AAS), .EF=AG,GC=DH, :EF=5,DH=3, AG=5,GC=3, .AC=AG+GC=8, BG=2, ：ABC的面积是)4CBG=×2×8=8, 故答案为：8. (3)①如图，当0F∥ED时， 则∠F0C=∠PC0, 47/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :等边aEBC中，EC=8cm,且OC=5cm, ∴∠BEC=∠ECB=∠CBE=60°， ∠F0C=∠PC0=60°， :∠F0P=120°， .∠P0C=60°， .∠0PC=60°， .△POC是等边三角形， .0P=0C=5cm, A B E D 故答案为：5cm. ②如图所示，当点F恰好落在射线EB上时， :等边aEBC中，EC=8cm,且OC=5cm, ∴∠BEC=∠ECB=∠CBE=60°，BC=EC=8cm,BO=BC-OC=3cm, ∴∠FB0=∠0CP=120°， ∠F0P=120°， ∠F0B+∠P0C=60°， 又：∠ECB=60°， .∠0PC+∠P0C=60°， .∠FOB=∠OPC, E C P D 又：F0=0P, 48/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·△FOB≌OPC(AAS), .PC=OB =3cm, .EP EC+PC =11cm. 47.(2026七年级下.上海.专题练习)解决问题 D E 60 图1 图2 图3 (1)如图1，ABC为等边三角形，BD=CF,∠EDF=60°，求证：△BDE≌△CFD; (2)如图2，正方形ABCD的顶点B在直线1上，分别过点A,C作AE⊥1于点E,CF⊥I于点F.则线段 EF,AE,CF的数量关系为 (3)如图3所示，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,DE=4cm, AD=6cm,求BE的长， 【详解】(1)解：：△ABC是等边三角形， .LB=LC=60°. ∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°. :∠EDF=60°， .∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， :ZBED ZCDF. 在BDE和△CFD中， ∠B=∠C ∠BED=∠CDF, BD=CF ∴.△BDE≌△CFD(AAS). (2)解：EF=AE+CF; 理由：：四边形ABCD是正方形， LABC=90°，AB=BC. 49/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABE+∠CBF=180°-∠ABC=90° :AE⊥1，CF⊥1， ·∠AEB=∠CFB=90°. ∠ABE+∠EAB=90° ·∠EAB=∠CBF. 在△ABE和BCF中， ∠AEB=∠CFB ∠EAB=∠CBF, AB=BC ∴△ABE≌△BCF(AAS). :AE=BF,BE CF. :EF BE+BF AE +CF. (3)解：：∠ACB=90°， ·∠BCE+∠ACD=90°. :BE⊥CE,AD⊥CE, ∠CEB=∠ADC=90°. ∠BCE+∠CBE=90°. :∠CBE=LACD. 在△BCE和△CAD中， ∠CBE=∠ACD ∠CEB=∠ADC, BC=AC .△BCE≌△CAD(AAS). :BE CD CE AD =6cm. .BE CD =CE-DE=6-4=2cm. 48.（24-25七年级下.上海阶段检测)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的 基本图形. 50/78 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E M A A H 图① 图② 图③ (1)如图①，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,BD⊥直线1，CE⊥直线1，垂足分别 为D、E.可证得：DE、BD、CE的数量关系为-； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件改 为：在ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线1上，并且有LBDA=LAEC=LBAC=Q,其中a为任 意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以ABC的边AB、 AC为腰向外作等腰直角△ABE和△ACG,其中LBAE=∠CAG=90°，若AH⊥BC,垂足为点H,延长HA 交EG于点M.求证：点M是EG的中点. 【详解】(1)解：DE、BD、CE的数量关系为：DE=BD+CE,理由如下： 如图1所示： B 3 A E 图① :BD⊥l,CE⊥1， ∴∠BDA=∠AEC=90°， .∠1+∠2=90°， 在ABC中，∠BAC=90°， .∠1+∠3=90°， ∠2=∠3， AB=AC, △ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE,AD=CE, 51/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DE=AE+AD =BD CE 故答案为：DE=BD+CE; (2)解：(1)中的结论成立，证明如下： 如图2所示： B -l A E 图② :∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,AB=AC, ∠1+∠3=180°-∠BAC=180°-a, 在△ABD中，∠1+∠2=180°-∠BDA=180°-a, ∠2=∠3， :∠BDA=∠AEC=a,AB=AC, .△ABD≌△CAE(AAS), ∴.BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD =BD+CE; (3)解：证明：过点E作EN∥AG,交AM的延长线于点N,如图3所示： iN G M E A H 图③ :△ABE和aACG都是等腰直角三角形，且LBAE=LCAG=90°， .AB=AE,AC=AG, :AH⊥BC, ∠ABC+∠HAB=90°， :∠BAE=90°， 52/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠HAB+∠EAN=90°， ∴∠ABC=∠EAN, :LBAE=∠CAG=90°， ∠BAC+∠EAG=180°， :EN∥AG, .∠AEN+∠EAG=180°， ∠BAC=∠AEN, △ABC≌△EAN(ASA), :AC =EN, AC=AG, .EN =AG, :EN∥AG, ∴.∠N=∠MAG,∠MEN=∠MGA, ∴△EMN≌AGMA(ASA, ∴EM=GM, :点M是EG的中点。 题型14手拉手全等模型（解答压轴）（共6小题） 49.(22-23七年级下·上海·期末)已知ABC与ADE为等边三角形，ADE绕着点A顺时针旋转； 图1 图2 (1)如图1，若ADE旋转至点B、D、E在同一直线上，说明AD∥CE的理由； (2)如图2，在ADE旋转的过程中，BD与CE的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请 说明理由. 【详解】(1)：aABC与ADE为等边三角形， 53/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°， .∠BAD=∠CAE,∠ADB=120° 在△BAD与△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴△BAD≌△CAE(SAS), .LAEC=∠ADB=120°， ∴.∠BEC=120-∠AED=120°-60°=60°， .∠ADE=∠BEC, AD∥CE; (2)BD与CE的夹角不改变， 理由：设CE,BD交于F,AD与EF交于G, 由(1)知△BAD≌△CAE, ∠AEC=LADB, :∠AGE=∠DGF, ∴∠DFE=∠DAE=60°， ∠CFB=∠DFE=60°， 故BD与CE的夹角不改变. 50.(24-25七年级下.上海崇明期末)如图，A0B与△C0D的顶点0重合，∠A0B=∠C0D=90°， OA=OB,OC=OD,连接AD、BC,将△COD绕点O旋转， 54/78 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，BC和AD的关系为 (2)如图2，将△C0D绕点0转动至如图2所示示位置时，探究(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写 出证明过程：若不成立，请说明理由 【详解】(1)解：：A0B和△C0D是等腰直角三角形， 0A=0B,0C=0D, :∠AOB=∠COD=90°， △AOD≌△BOC(SAS, .AD BC,ZOBC=Z0AD, 延长BC交AD于F,如图1， D 图1 :∠0AB+∠ABF+∠OBC=90°， ∠0AB+∠ABF+∠0AD=90°， .∠BFA=90°， AD⊥BC, 故答案为：AD=BC,AD⊥BC; (2)解：结论仍然成立，理由如下： 如图2，设BC、AD相交于E, 55/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图2 :AOB和△COD是等腰直角三角形， ∴.0A=0B,OC=OD, :∠AOB=∠COD=90°， .△AOD≌aB0C(SAS, AD=BC,∠OBC=LOAD, :∠0AB+∠ABE+∠0BC=90°， ∠OAB+∠ABE+∠OAD=90°， ∠BEA=90°， :AD 1 BC. 51.(24-25七年级下.上海杨浦阶段检测)如图，ABC中，∠ACB=90°，LA=60°，点F是边AB上一 点，且AF=AC,点D是边AB上一点，连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,使点E在CD上侧，连 接EF,EB. 图1 图2 (1)直接写出CF与BF的数量关系」 (2)求∠DFE的度数， (3)过点E作EG⊥AB,交AB于点G.求证：2DG+EF=AB. 【详解】(1)解：CF=BF, 理由：：∠ACB=90°，∠A=60°， 56/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LB=30°， AF=AC, :△ACF是等边三角形， LAFC=60°， .∠FCB=∠AFC-∠B=30°， ∠B=∠BCF, :CF =BF, 故答案为：CF=BF; (2)解：：AF=AC,∠A=60°， :△ACF是等边三角形， AC=CF,LAFC=∠ACF=60°， :aCDE是等边三角形， CD=CE,∠DCE=60°， .∠ACD=∠FCE, △ACD≌△FCE(SAS, .∠CFE=∠A=60°， :∠DFE=∠AFC+∠CFE=120°； (3)证明：：△ACD≌△FCE, :AD EF, :∠BFE=180°-∠DFE=60°=∠CFE, CF-BF=AF=TAB,EF=EF. △BFE≌△CFE(SAS), :CE BE, :BE=ED, GE⊥DB, :BD=2DG, :2DG+EF=2DG+AD AB, 即2DG+EF=AB. 57/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 52.(24-25七年级下.上海阶段检测)如图1，等边ABC与等边△ECD的顶点B,C,D三点在一条直线 上，连接AD,BE,两线相交于点F 图1 图2 (1)求∠BFD的度数； (2)如图2，连接FC, ①求证：FB是∠AFC的平分线； ②若AF=4,CF=2,求BF的长度. 【详解】(1)解：：△ABC和△ECD都是等边三角形， BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=∠BAC=60°， ∠BCA+LACE=∠ECD+∠ACE, :∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， BC=AC ∠BCE=∠ACD, CE=CD :.△BCE≌AACD(SAS）, ∠ADC=∠BEC, :∠AFB=∠EBC+∠ADC, :∠AFB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°， :∠AFB+∠BFD=180°， ∴.∠BFD=120°； (2)①证明：过C作CG⊥BF于G,CH上AD于H, .∠BGC=∠AHC=90°， H 58/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BCE≌△ACD, ∠CAH=∠CBG, AC=BC, :△ACH≌△BCG(AAS), .CH=CG, ZCFG=∠CFHD∠BFD 由(1)知∠AFB=60°，∠BFD=120°， ∴.∠BFC=60°=∠AFB, :.FB是∠AFC的平分线： ②解：如图，在BF上截取FM=CF,连接CM, 图2 因LBFC=60°，则△CMF是等边三角形， ∴.∠FCM=60°，CM=CF, ∠ACB=60°， :∠ACF=LBCM,(等量减等量，差相等) ∴.∠BCM=∠ACF, :∠CBM=∠CAF,BC=AC, .∠BCM≌aACF(ASA), :BM AF, :BF BM +FM AF CF, :AF=4,CF=2, .BF=6. 53.(24-25七年级下.上海宝山期末)己知ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且 AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G、F分别是DC与BE的中点. 59/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=一： (2)如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=: (3)如图3，若∠DAB=《,试探究LAFG与0的数量关系，并给予证明. 【详解】(1)解：连接AG, B 图1 :∠DAB=LCAE, ∴∠DAB+∠BAC=LCAE+∠BAC, .∠DAC=∠BAE, 在△ADC和△ABE中， AD=AB ∠DAC=∠BAE, AC=AE .△ADC≌aABE(SAS), .DC=BE,∠ADC=LABE, :G、F分别是DC与BE的中点， DG-DC.FE .DG=BF, 在△ADG和△ABF中， 60/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=AB ∠ADC=∠ABE, DG=BF ∴.△ADG≌△ABF(SAS), ∴AG=AF,∠DAG=∠BAF, .∠AGF=∠AFG,∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG, ∠DAB=∠GAF, :∠DAB=60°， ∠GAF=60°， :∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°， ∠AFG=60°， 故答案为：60°； (2)解：同(1)可证DAB=∠GAF,AG=AF, :∠DAB=90°， .∠GAF=90°， AG=AF, ∠4FG=2180°-90)=45， 故答案为：45°； (3)解：同(1)可证∠DAB=∠GAF,AG=AF, :∠DAB=a, ∠GAF=a, AG=AF, ∠4rG=180-a. 54.(24-25七年级下.上海杨浦阶段检测)【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了 MA平分∠EMD,他探究此问题的方法是“作∠MC1=60°"构造等边三角形解决问题. 61/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 图3 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形ABC中，D为边BC上一点，LABE=LCAD,CF∥BE交AD延长线于点F. ①直接写出∠AEB的度数， ②若BE=10,AF=15,求AE的长 (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究： ①△ABD和△ACE都是等边三角形，位置如图所示，此时MA平分∠EMD的结论是否成立？ (填“成 立”，“不成立”或“不能确定”)； ②求MB+MC+2AM的值. DM+EM 【答案】(1)①120°：②5 (2①成立；②1 【详解】(1)①：△ABC是等边三角形， AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=60°， :∠ABE=∠CAD, :.∠CAD+∠BAE=LABE+∠BAE=∠BAC=60°， ∠AEB=120°， 故答案为：120°； ②如图，在AF上截取FH=FC,连接CH, :∠AEB=120°， D 62/78 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BED=60°， .BE CF, ∠BED=∠F=60°， 又：FH=FC, :△FCH是等边三角形， :CF=CH=FH,∠FCH=∠FHC=60°， ∠AHC=120°=∠AEB, 在△ABE和△CAH中， ∠ABE=∠CAD ∠AEB=∠AHC, AB=AC AABE≌aCAH(AAS), :BE=AH=10,AE=CH, :FH =CH =AE=5: (2)①如图，过点A作AF⊥BE于F,AG⊥CD于G, A :△ABD,△ACE都是等边三角形， AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°， ∠DAC=LBAE, 在△ABE和△ADC中， AB=AD ∠BAE=∠DAC, AE=AC AABE≌△ADC(SAS), ·BE=CD,SACD=S。AEB CD.AF-EG. 63/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AF=AG, 又：AF⊥BE,AG⊥CD, :MA平分∠EMD, 故答案为：成立； ②如图，在EM上截取AM=KM,在DM上截取MH=AM,连接AK,AH, H :AABE≌△ADC, ∠ADC=∠ABE, ∠ADC+∠BDC+∠ABD+∠DAB=180°，∠BDC+∠ABE+∠ABD+∠BMD=180°， ∠DMB=∠BAD=60°， ∠DME=120°， .∠AMD=∠AME=60°， AM =KM,MH=AM, ∴△AKM和△AMH是等边三角形， :AM=AK=KM=AH=MH,∠MAK=LEAC=60°，∠MAH=∠BAD=60°， ∠EAK=∠CAM，∠DAH=∠BAM, :△AEK≌△CAM(SAS),ADAH≌△BAM(SAS), :EK=CM,DH BM MB+MC+2AM_MH+HM+EK+KM=DM+EM-1. DM+EM DM+EM DM+EM 题型15倍长中线模型（解答压轴）（共3小题） 55.(24-25七年级下.上海期中)安安同学遇到这样一个问题：如图，ABC中，AB=6,AC=4,AD是 中线，求AD的取值范围.宁宁同学提示她可以延长AD到E,使DE=AD,连接BE,证明 △BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决， 64/78 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)请说明△BED≌△CAD理由； (2)求BE的长，并根据AB、BE的长，求出AE的取值范围； (3)请根据AE与AD的数量关系，直接写出AD的取值范围； (4)过点D作直线FG,分别交边AC、BE于点F、G,画图并求证：DF=DG· 【详解】(1)证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE,如图1所示： C AD是中线， 图1 :BD=CD, 在△BED和△CAD中， BD=CD ∠BDE=∠CDA, DE=AD △BED≌△CAD(SAS）: (2)解： BED≌CAD,AB=6,AC=4, :BE AC=4, 在△ABE中，根据三角形三边之间的关系得：AB-BE<AE<AB+BE, .2<AE<10; (3)解：：DE=AD, :AE 2AD, 又：2<AE<10, 2<2AD<10, 1<AD<5; (4)证明：如图2所示： 65/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D BED≌CAD, G 图2 :ZEBD ZC, 即∠C=∠GBD, 在△DCF和△DBG中， ∠C=∠GBD BD=CD ∠BDG=∠CDF ∴△DCF≌ADBG(ASA, :.DF=DG 56.(24-25八年级上·上海期中)倍长中线是初中数学一种重要的数学思想.某同学在学习过程中，遇到 这样的一个问题：如图1：在ABC中，AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组 同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD.请根据他们的方法解决以下问题： B B D 图1 图2 图3 (1)求AD的取值范围： 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知∠BAC+∠CDE=I80°，AB=AC,DC=DE,P为BE的中点； (2)如图2，若A、C、D三点共线，AC:CD=3:5,SABp=6,求S边形4BD: (3)如图3，若A、C、D三点不共线，AP=PD,求证：AB⊥AC, 【详解】(1)解：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,如图， 66/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB, AE=ED △ADC≌△EDB(SAS), .AC=BE=4, AB-BE AE AB+BE, 6-4<2AD<6+4, .1<AD<5, 故答案为：1<AD<5; (2)解：如图，延长DP交AB延长线于点F, E ∠BAC+∠CDE=180°， :AF∥DE(同旁内角互补，两直线平行)， .∠PFB=∠PDE,∠PBF=∠PED, :P为BE的中点， :BP=PE, 在△BPF和△EPD中， ∠PFB=∠PDE ∠PBF=∠PED, PB=PE .△BPF≌△EPD(AAS), BF DE,PD=PF S.PBF =S.PDE, 67/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 六S写范荐4BED=S4DF, DC=DE, .DC=BF, AB=AC,AC:CD=3:5, AB:BF=3:5, .S.4BP:S.BPF AB:BF =3:5, :S△ABP=6, S.BPF=10, 则SAPr=16, :PF=PD, ∴S.ADP=SAFP, Sg楚带HBED=SDF=2S.4PF=32: (3)证明：延长DP至点F,使得PF=PD,连接BF、AF、AD,如图， 由(1)同理易证：△DPE≌△FBP(SAS, .BF=DE=CD,∠E=∠FBP, :∠BAC+∠CDE=I80°，且LABP+∠BAC+LCAD+LADC+LCDE+LE=360°， LABP+LE+LCAD+LCDA=180°， .∠ABF+∠CAD+∠CDA=180°， :∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°， ∴∠ABF=∠ACD, 在△ABF和△ACD中， 68/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC ∠ABF=∠ACD, BF=CD ∴△ABF≌△ACD(SAS), AF=AD,∠BAF=∠CAD, 在△APF和△APD中， AF=AD AP=AP, PF=PD .△APF≌△APD(SSS), .∠APD=∠APF=180°÷2=90°， AP=PD, .∠PAD=45°， 同理可得，∠PAF=45°， .∠FAD=90°， ∠BAC=90°， AB⊥AC. 57.【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,请根据小明 的方法思考： 图① 图② 图③ (1)由己知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.SSA 69/78 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己知条件和所求 证的结论集中到同一个三角形之中. 【初步运用】 (3)如图②，AD是ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,若EF=5,EC=3,求线段 BF的长. 【拓展提升】 (4)如图③，在ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.求证：BE+CF>EF. 【详解】(1)解：在△ADC和△EDB中 CD=BD ∠CDA=∠BDE, AD=DE △ADC≌△EDB(SAS), 故选：B; (2)由(1)得：△ADC≌△EDB, .AC=BE=6, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,即10-6<2AD<10+6, 2<AD<8, 故答案是：2<AD<8; (3)延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图所示： B M AE EF,EF=5, AC=AE+EC=5+3=8, :AD是ABC中线， :CD=BD, 70/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△ADC和△MDB中， DC=DB ∠ADC=∠MDB, DA=DM △ADC≌△MDB(SAS), .BM=AC,∠CAD=∠M, :AE EF, .∠CAD=∠AFE, :∠AFE=LBFD, ∠BFD=∠CAD=∠M, .BF=BM =AC=8; (4)解：延长ED到点G,使DG=ED,连接GF,GC,如图所示： E B :ED⊥DF, .∠EDF=∠GDF=90°， FD=FD, .△FDE2AFDG(SAS, .EF=GF, :D是BC的中点， :BD=CD, 在△BDE和aCDG中， ED-GD ∠BDE=∠GDC, BD=CD △DBE≌△DCG(SAS, .BE CG, 71/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△CGF中，CG+CF>GF, .BE CF EF 题型16新定义与阅读理解题（上海压轴新考法）（共3小题） 58.(24-25七年级下.上海虹口期末)费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在 一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”， (1)如图，ABC中，∠A=90°，AB=AC,点D在线段BC上且线段BD>DC,请判断：点D是否为 ABC的费马点，并说明理由， B (2)现有真命题：在ABC中，三个内角都小于120°，在其内部存在一点P,满足 LAPB=LAPC=BPC=I20°，则点P称为ABC的费马点. 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于120°的ABC,分别以线段AB、AC为边向外侧作等边三角形ABD和等边三 角形ACE,连接CD、BE交于点P.请完成证明： ①求证：∠ADC=∠ABE; ②在线段DP上取点F使PF=BP,连接BF, 求证：点P是ABC的费马点. 【详解】(1)结论：点D不是ABC的费马点. 理由：如图，作AE⊥BC于点E,连接AD, .BE CE. 72/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BD>DC, E、D不重合. 在ADE中，∠ADE<LAED=90°， AD>AE, :点E到各顶点的距离之和=BC+AE<BC+DA=点D到各顶点的距离之和， .点D不是ABC的费马点； (2)①证明：：△ABD和△ABE都为等边三角形， ∴∠DAB=∠CAE=60°，AD=AB,AC=AE, ∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即LDAC=∠BAE, △ABE≌△ADC(SAS), ∠ADC=LABE; ②证明：如图，连接AP 由①知LABD=∠ADB=60°，∠ADP=∠ABP, D ∠BPC=∠PDB+LPBD=LADB-∠ADP+∠ABD+∠ABP=60°-∠ADP+60°+LABP=120°， ∠BPD=180°-∠BPC=60°. 又：PF=PB, ·△PBF为等边三角形， ∴BF=BP,∠BFP=∠FBP=∠DBA=60°， ∠FBP-∠FBA=∠DBA-∠FBA,即∠DBF=∠FBP, ∴△DFB≌△ABP(SAS), ∠APB=∠DFB=180°-∠BFP=120°. 由∠APB+∠APC+∠BPC=360°，得∠APC=120°， 点P是ABC的费马点. 59.（24-25七年级下.上海金山期末)设平面上的三个点A、B、C.需确定点P的位置，使PA+PB+PC 73/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 最小.当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点.当点A、B、C不共线时，分成两类；ABC有一 个内角大于或等于120°和ABC的三个内角均小于120°.约1640年，法国数学家费马(PierredeFermat, 1601-1665)提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明. D 图1 图2 E 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在ABC中，∠BAC=120°时， 为所求费马点 (2)如图2，己知：在ABC中，最大角∠BAC<120°时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下： 分别以ABC的边AB、BC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形BCE,此时CD和AE交于一点P,点 P就是所求的费马点， ①请找出图中与AE相等的线段，并说明理由： ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接BP,求证：∠APB=LBPC=LCPA=I20°. 【详解】(1)解：将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到aA'B'C,连接AA' B 图1 .AC A'C, ∴△AA'C是等边三角形， ∠CAA'=60°， :∠BAC=120°， ∴.∠BAC+∠CAA'=180°， 点B,A,A三点共线， AB+AA'=A'B最短， 74/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “点A为所求费马点； 故答案为：A; (2)①解：AE=CD, 理由：：△ABD与△BCE是等边三角形， ∴AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°， .∠ABE=∠DBC, :△ABE≌△DBC(SAS), .AE CD ②证明：设AE与BC交于G, D 图2 E :△ABE≌△DBC, ∠DCB=∠AEB, :∠CGP=∠BGE, ∠CPG=∠EBG=60°， .∠APD=∠CPG=60°，∠APC=120°， 在DC上截取PP'=AP, △AP'P是等边三角形， ∠AP'P=∠PAP=60°，AP=AP, ∠DAP'=∠BAP, AD =AB, △ADP'≌△ABP(SAS), ∠APD=∠APB=180°-60°=120°， ∴∠BPC=360°-120°-120°=120°， 75/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠APB=∠BPC=∠CPA=120° 60.(23-24七年级下.上海普陀期末)小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”， 关于“布洛卡点”有很多重要的结论.小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布 洛卡点”在一些特殊三角形中的性质.让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填 空 【阅读定义】如图1，ABC内有一点P,满足LPAB=∠PBC=LPCA,那么点P称为ABC的“布洛卡点”， 其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”.如图2，当LQAC=LQCB=LQBA时，点Q也是ABC 的“布洛卡点”.一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”. 图1 图2 图3 图4 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由) 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有一个，“布洛卡角”的度数为一度： 问题2：在等腰三角形ABC中，已知AB=AC,点M是ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是"布洛卡角” (1)∠AMB与ABC的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说 理。 (2)当∠BAC=90°（如图4所示），BM=5时，求点C到直线AM的距离. 【答案】问题1：1,30；问题2：(1)∠4MB=2∠ABC,(2)三 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， :等边三角形每个角为60°， .两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为30°， 故答案为：1,30. 问题2：(1)∠AMB=2∠ABC,理由如下： 76/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 M B AB=AC, .∠ABC=∠ACB, :M是ABC的“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”， .∠MAC=∠ABM, ·∠MAC+∠BAM=∠ABM+∠BAM, 即∠BAC=∠ABM+∠BAM, :∠180°-∠ABC-∠ACB=∠BAC,∠ABM+∠BAM=180°-∠AMB, ∠ABC+LACB=LAMB, :∠ABC=∠ACB, ∠AMB=2∠ABC, (2)过C点作CD⊥AM与D,如图， M B 则∠ADC=90°， ∠BAC=90°，AB=AC, LABC=∠ACB=45°， :∠MAC=∠MCB=∠ABM, ∠AMB=180°-∠ABM-∠BAM =180°-∠MAC-∠BAM=180°-∠BAC=90°， ∠BMC=180°-∠MBC-∠MCB =180°-∠MBC-ABM =180°-∠ABC =135°， 77/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ADC=∠BMA=45°，∠CMD=∠MCD=45°， .MD=CD, 在△ADC和△BMA中， ∠ADC=∠BMA ∠CAD=∠ABM, AC=BA △ADC≌ABMA(AAS), .AD=BM CD=AM, :AD=2CD, ∴.BM=2CD, :BM=5, c0 78/78专题03 三角形（4常考6易错6压轴） 题型1 三角形三边关系（常考） 题型9 三角板拼接 / 旋转求角（易错） 题型2 三角形三线（高/中线/角平分线）（常考） 题型10 全等三角形判定多结论（易错） 题型3 内角和 + 外角定理（全章计算核心）（常考） 题型11 中线面积压轴（填空压轴） 题型4全等基础（性质 + 判定基础）（常考） 题型12 拐角+平行线+三角形外角（解答压轴） 题型5 等腰三角形边长与含绝对值化简（易错） 题型13 一线三垂直（K型全等）（解答压轴） 题型6 三角形高线（易错） 题型14手拉手全等模型（解答压轴） 题型7 双角平分线模型（易错） 题型15倍长中线模型（解答压轴） 题型8 折叠求角度（易错） 题型16新定义与阅读理解题（上海压轴新考法） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 三角形三边关系（常考）（共4小题） 1．（24-25七年级下·上海普陀·阶段检测）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 2．（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 3．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 4．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 题型2 三角形三线（高/中线/角平分线）（常考）（共3小题） 5．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 6．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 7．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，以下是一位同学将翻折至阴影处的三种不同折纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的分别是的（    ） A．角平分线、高、中线 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高 D．中线、角平分线、高 题型3 内角和 + 外角定理（全章计算核心）（常考）（共3小题） 8．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 9．（25-26七年级下·上海闵行·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”有一个内角为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_____． 10．（25-26七年级下·上海·期中）汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，_____度 题型4全等基础（性质 + 判定基础）（常考）（共4小题） 11．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知与全等，那么__________． 12．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：（已知）， （①_______）． ，（②_______）， （③_______）， （已知）， ④_______（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤________）， （⑥_______）． 题型5 等腰三角形边长与含绝对值化简（易错）（共3小题） 15．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简：______． 16．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 17．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 题型6 三角形高线（易错）（共3小题） 18．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 19．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 20．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 题型7 双角平分线模型（易错）（共4小题） 21．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 22．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 23．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，在中，、的平分线相交于点O． (1)若，则________ (2)探究与的数量关系，并说明理由． 24．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 题型8 折叠求角度（易错）（共4小题） 25．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若 ， ，则 的度数为_____． 26．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，点为三角形的边上一点，如果，将三角形沿着直线翻折后，点A落在处，那么当______时，有． 27．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为_______． 28．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知中，，，点在边上，将沿直线翻折得到，如果直线与的一条边垂直，那么的度数是___________． 题型9 三角板拼接 / 旋转求角（易错）（共4小题） 29．（24-25七年级下·上海·期中）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______． 30．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 31．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 32．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 题型10 全等三角形判定辨析（易错）（共4小题） 33．（24-25七年级下·上海·期中）在与中，，添加下列哪组条件一定能说明与全等（   ） A．， B．， C．， D．， 34．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 35．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 36．（24-25七年级下·上海·期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型11 中线面积压轴（填空压轴）（共3小题） 37．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，分别与，对应，连接，，设与交于点．如果，点是线段的中点，且，若，则________（用含有的式子表示）． 38．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的______（几分之几）． 39．（25-26七年级下·上海闵行·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 题型12 拐角+平行线+三角形外角（解答压轴）（共3小题） 40．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）（1）【问题情境】如图1，已知三角形，试说明的理由． 解：过A点作 （过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成说理过程） （2）【尝试运用】如图2，若且经过A点，，求的度数（用含n的代数式表示）． （3）【拓展探索】如图3，在三角形中，点D是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G．若，求的度数． 41．（2024七年级下·上海·专题练习）已知，直线上有一点，在直线外一点， (1)如图，点在上，作，的平分线，交于点，请直接写出与数量关系． (2)如图，在直线外（在点的下方，直线的上方），过作，试说明． (3)如图，，分别作与的角平分线，两线交于点．问与有何数量关系，试说明． 42．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 题型13 一线三垂直（K型全等）（解答压轴）（共6小题） 43．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：在中，点分别在边上，．． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 44．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 45．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 46．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 47．（2026七年级下·上海·专题练习）解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 48．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 题型14手拉手全等模型（解答压轴）（共6小题） 49．（22-23七年级下·上海·期末）已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转； (1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由； (2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由． 50．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 51．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，中，，，点F是边上一点，且．点D是边上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，连接，． (1)直接写出与的数量关系______． (2)求的度数． (3)过点E作，交于点．求证：． 52．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 (1)求的度数； (2)如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 53．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 54．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数 ； ②若，，求的长． (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 题型15倍长中线模型（解答压轴）（共3小题） 55．（24-25七年级下·上海·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请说明理由； (2)求的长，并根据的长，求出的取值范围； (3)请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； (4)过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 56．（24-25八年级上·上海·期中）倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 57.【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． 题型16新定义与阅读理解题（上海压轴新考法）（共3小题） 58．（24-25七年级下·上海虹口·期末）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 59．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 60．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． $