专题02 相交线与平行线（5常考4易错9压轴64题）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 以“常考-易错-压轴”三级架构系统整合相交线与平行线知识，通过模型化方法提炼与分层训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考基础|5题型(1-5)|角度计算、平行判定与性质|从对顶角/垂线概念到平行判定性质，构建基础运算与推理体系| |易错辨析|4题型(6-9)|概念辨析、分类讨论|针对三线八角识别、多解漏解等易错点，强化概念准确性与思维严谨性| |压轴模型|9题型(10-18)|辅助线添加(过拐点作平行)、模型归纳(M型/U型/蛇形)、动态分类|从静态模型(猪蹄M型)到动态探究(旋转/折叠/动点)，结合新定义与跨学科应用，培养空间观念与模型意识|

专题02 相交线与平行线（5常考4易错9压轴） 题型1 对顶角角度计算（常考） 题型10 猪蹄 M 型（两平行线中间一个拐点）（压轴） 题型2 垂线与余角计算（常考） 题型11 铅笔头（U 型，两平行线内凹三点）（压轴） 题型3平行线判定基础（由角证平行）（常考） 题型12 羊角（拐角 / 外侧拐点）（压轴） 题型4 平行线性质基础（由平行求角）（常考） 题型13 蛇形 / 锯齿模型（连续多次拐弯）（压轴） 题型5 命题与证明（选择常考） 题型14 平行线 + 三角板旋转（分类讨论压轴） 题型6 概念混淆类（易错） 题型15 折叠 + 平行线（压轴） 题型7 三线八角（选择易错） 题型16动点动态探究压轴（压轴最后一题） 题型8 角平分线 + 平行综合（易错） 题型17新定义与阅读理解题（上海压轴新考法） 题型9 多解漏分类题型（填空易错） 题型18生活实际应用与跨学科（上海压轴新考法） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对顶角角度计算（常考）（共3小题） 1．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，已知直线、相交于点，平分，，____． 【答案】130 【详解】解：平分，， ， ． 2．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，直线、相交于点，平分，且，那么______ 【答案】36 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海静安·阶段检测）直线，相交于点O，平分，且，那么______度． 【答案】 【详解】解：∵平分， ， 又∵，且， ∴， 又∵点，，在同一条直线上， ， ， ， ∵， ， 故答案为：． 题型2 垂线与余角计算（常考）（共3小题） 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则________度． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海静安·阶段检测）如图，，，，则______． 【答案】 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3平行线判定基础（由角证平行）（常考）（共3小题） 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    【答案】（或或或） 【详解】解：∵ ∴； ∵， ∴； ∵或 ∴； 故答案为：（或或或）． 8．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （     ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 9．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析 【详解】解：你选择作为已知条件的是：①②，作为结论的是：③． 证明：，， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 题型4 平行线性质基础（由平行求角）（常考）（共4小题） 10.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 11.（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    【答案】的度数是，理由见解析 【详解】解：的度数是． 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 题型5 命题与证明（选择常考）（共3小题） 14．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 15．（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 16．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 【答案】D 【详解】解：A、连接A、B两点，不是命题，故A不符合题意； B、画一条线段等于已知线段，不是命题，故B不符合题意； C、过点M作直线的垂线，不是命题，故C不符合题意； D、同旁内角不互补，两直线不平行，是命题，故D符合题意； 故选：D. 题型6 概念混淆类（易错）（共6小题） 17．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．在同一平面上，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线一定相交 【答案】C 【分析】A：两直线平行，同旁内角互补；故本选项说法错误； B：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角（如平行线的同位角）；故本选项说法错误； C：平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且仅有一条直线与已知直线垂直，此为垂线唯一性定理；故本选项说法正确； D：同一平面上，若两直线均垂直于第三条直线，则这两条直线平行，永不相交；故本选项说法错误； 故选：C 18．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 19．（24-25七年级下·上海·阶段检测）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【答案】B 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. 直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离，故该选项正确，符合题意； C. 同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，故该选项不正确，不符合题意； D. 同一平面内，如果两条直线不垂直，那么这两条直线相交或平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 20．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设． 故选：B． 21．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设__________，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“__________”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 22．（25-26七年级下·上海松江·期中）用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 【答案】，同位角相等，两直线平行，；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【详解】解：证明：假设，过点M作直线，使得， 根据同位角相等，两直线平行，可得到， 又因为，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 矛盾， 故假设不成立，所以． 题型7 三线八角（选择易错）（共6小题） 23．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是直线、被直线所截得的内错角 B．与是直线、被直线所截得的同位角 C．与是直线、被直线所截得的同旁内角 D．与是直线、被直线所截得的同旁内角 【答案】B 【详解】解：A、与在直线之间，且在直线两侧， 与是内错角，原说法正确，故选项不符合题意； B、在直线上方，在直线下方， 与不是同位角，原说法不正确，故选项符合题意； C、与在直线之间，且在直线同旁， 与是同旁内角，原说法正确，故选项不符合题意； D、与在直线之间，且在直线同旁， 与是同旁内角，原说法正确，故选项不符合题意． 24．（25-26七年级下·上海·期中）如图，四位同学根据所学数学知识在找同位角，其中正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是同位角 D．与是同位角 【答案】C 【详解】解：A. 与不是同位角； B. 与不是同位角； C. 与是同位角； D. 与不是同位角． 25．（25-26七年级下·上海金山·期末）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 【答案】C 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故该选项说法错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成角，即互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，故该选项说法正确，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，而不是互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意． 26．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【详解】解：A. 与是同旁内角，错误，不符合题意， B. 与是内错角，错误，不符合题意， C. 与是同位角，错误，不符合题意， D. 与是同旁内角，正确，符合题意， 故选：D． 27．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，原说法正确，符合题意； D、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； 故选C． 28．（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【详解】解：两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上，那么这个图形表示的是内错角， 故选：C． 题型8 角平分线 + 平行综合（易错）（共3小题） 29．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知直线，给出下列信息： ；平分；． 请在上述条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是_________，结论是_________．（只要填写序号），并说明理由． 【详解】解：条件：，结论：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； 条件：，结论：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：，； 条件：，结论：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故答案为：，． 30．（25-26七年级下·上海·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空． 证明：∵（已知）， ∴ （ ） ∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， 同理， ， ∴（等量代换） ∴ （ ） ∴（ ） 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 31．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：，平分，平分．求证：． 对于这道题，某同学的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，内错角相等）． 平分，平分． ，． ． （内错角相等，两直线平行）． (1)请找出这位同学出错的地方，并指出错误原因； (2)请写出本题正确的证明过程． 【详解】（1）解：最后一步出现错误，与不是一组内错角； （2）证明：， （两直线平行，内错角相等）． 平分，平分． ，． ． （内错角相等，两直线平行）． 题型9 多解漏分类题型（填空易错）（共4小题） 32．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转得到，其中点、的对应点为、．如果的一边与原边平行，且旋转角小于，那么的度数是______． 【答案】 或 【详解】解：绕顶点逆时针旋转得到， ， 的一边与原边平行， 当平行于， ， ； 当平行于， ， ， ． 33．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在中，，，点是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么______ 【答案】或 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 综上可得：或． 34．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知．点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，如果，那么_________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， 将沿着翻折得，点的对应点为点， ∴， ①当点在直线上方时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②点在直线下方时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或． 35．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）某江两岸的主道路、上安装了两座可旋转射灯、，如图所示．已知，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，已知灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度．如果灯发出的光束先转动20秒，灯发出的光束才开始转动，在灯发出的光束到达之前，当两灯发出的光束互相平行时，灯转动的时间是______秒． 【答案】10 或 85 【详解】解：设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行， 当A光束与重合时：秒， 当A光束返回与重合时：秒， 当B光束与重合时：秒， 当时，灯A射线转动至，灯B射线转动至， 则，，， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，灯A射线转动至立即回转并转至，灯B射线转动至， 则，，， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，灯A射线转动至立即回转并转至，灯B射线转动至， 则，，， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意， 综上所述，灯A转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 题型10 猪蹄 M 型（两平行线中间一个拐点）（压轴）（共3小题） 36．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）保持规范的姿势有助于视力保护（如图1），小乐在阅读时，示意图如图2所示．已知水平线桌面，从侧面看到的书本与桌面的夹角是，视线与水平线的夹角为． (1)如果视线与书本的夹角为，求书本与桌面的夹角的度数； (2)请根据图3中的读姿规范要求，求出符合规范要求下度数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点P作，运用平行线的性质，得出，故，再代入数值得出； （2）结合（1）得，又因为，代入整理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵水平线桌面， ∴， ∵， ∴， ∵为． ∴ ∵为， ∴． （2）解：由（1）的角度关系可得：， 根据规范要求，书本与桌面夹角满足， 代入得： ∴， 即符合要求的范围为：． 37．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质可求出，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用（1）的结论可得：，然后利用同角的余角相等可得：，即可解答； （3）利用（1）的结论可得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 由（1）可得：， ； （3）解：由（1）可得：，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 38．（25-26七年级下·上海·期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵ ∴（ ） ∴ ∴（等量代换） ∴． (2)方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ． （用含、的代数式表示） 【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行， (2)，见解析 (3)①42°；② 【分析】（1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可； （2）同理可得，由平角的定义可得，则； （3）①根据（2）的结论得到，再由角平分线的定义和角之间的关系得到，，则；②仿照①求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∴（等量代换） ∴． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：①同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②如图 ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 题型11 铅笔头（U 型，两平行线内凹三点）（压轴）（共3小题） 39．（2022七年级下·上海·专题练习）探究并尝试归纳： (1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明． (2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝　　度． (3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：　　【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】 【答案】(1)360° (2)540 (3) 【详解】（1）解：过A作AB//直线， 则AB//直线， ， ； （2）解：过作AC//直线，BD//直线， 则AC//BD//直线， ， ， 故答案为：540； （3）解：由（1），（2）知， 当形成个折时，所有角与、的总和， 当形成个折时，所有角与、的总和， 当形成个折时，所有角与、的总和， 故答案为：． 40.如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 41.【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”． 解：过点作 因为， 所以 所以， 因为 所以 (1)【学以致用】由题意得，当，，则________． (2)如图1，若，，则求出的度数． (3)①如图2，若、分别平分和，请判断与的数量关系，并说明理由． ②如图3，设，，，则________． ③如图4，设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 【答案】(1)65 (2) (3)①，理由见解析；②75；③ 【详解】（1）∵， ∴ 故答案为：65 （2）过点作 ， 即 ∵，， （3）① 理由是：过点作 平分，平分 ， 由（2）知， ∴ ②过点作 ∵， ∴， 由（2）知， ∴ ∵ ∴ 故答案为：75 ③过点作 ∵， ∴， 由（2）知， ∴ ∵ ∴ 题型12 羊角（拐角 / 外侧拐点）（压轴）（共4小题） 42．已知：直线，点P在的上方，且，． (1)如图，求的度数； (2)如图，若的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点P作， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ． 43．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 44．“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：过点作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， 即， 故答案为：． （2）①， 理由如下：过点作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 理由如下：过点作，则， ∴ ∵ ∴ ∴． 45．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 题型13 蛇形 / 锯齿模型（连续多次拐弯）（压轴）（共3小题） 46．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3： 【详解】解：问题1： ，理由如下： 过点P作，如图所示： ， ， 又， ， ， ； 问题2：过点Q作如图所示： ，， ， 由问题1结论可知：， ， ， ， ； 问题3： 过点作如图所示： , 同理可得：， 故答案为： 47．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【详解】解：（1）过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点P作， ， ， ，， ，， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 48．已知．    (1)填空：如图1所示，则之间的数量关系为______． (2)如图2所示，写出之间们数量关系并说明理由； (3)如图3，设． ①请直接写出的大小；（用含的式子表示）． ②如图4，请直接写出的度数． 【详解】（1）作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：；    （2）； 证明：如图，过点作，   ， ， ， ， ； （3）如图，过点M作，过点N作， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    ②如图，由（2）题和（3）①的方法同理可得：， ∵， ∴， 解得：．    题型14 平行线 + 三角板旋转（分类讨论压轴）（共4小题） 49．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示， 当时，， ∴， ∵， ∴； 如图所示， 当时，， ∵， ∴； 综上，当的度数为或时，， 故答案为：或． 50．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒或秒或 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 51．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 52．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， ； （2）解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：依题意，分以下五种情况： ①当时 由（1）知，， 则（秒）， ②当时，此时，与重合 则 ∴（秒）； ③当时，此时，， 则， ∴（秒）； ④当时，此时，与重合 则， ∴（秒）； ⑤当时 则， ∴（秒）； 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 题型15 折叠 + 平行线（压轴）（共2小题） 53．折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 54．（24-25七年级下·上海宝山·阶段检测）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在、两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】(1)垂直；；平行 (2)①；② (3)或；或或 【详解】（1）解：如图， 折叠， 直线折叠重合为两个角，平角为， ，即， 与直线的位置关系是：垂直， 如图： ， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动秒后，灯射线开始转动， 灯转动秒后度数为， 又当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， 此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ， ， 两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∵，∴不符合题意，舍去； 综上所述：当为或时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，如图， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：当为或或时，两灯的光束互相垂直． 题型16 动点动态探究压轴（压轴最后一题）（共3小题） 55.已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． (1)如图，平分，若，求的度数． (2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)或，证明见解析 【详解】（1）解：如图，作， ， ，， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：①如图， ， ，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． ②如图， ， ，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 综上，可得 当在直线上运动（不与点重合）时，或． 56．如图，直线，A，B为直线a上不重合的两点（点B在A的右侧），直线，分别与b相交于点C，D，，．P为直线上一点，且满足．将线段沿直线平移，得到线段，点E在直线上，连接，，直线与直线交于点G． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)在线段平移的过程中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：如图，过点P作， ∵将线段沿直线平移，得到线段，， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 解得， ， ， 由平移知，， ， ， ， ； （3）解：过点G作， ∵将线段沿直线平移，得到线段，， ∴ ∴，， 又∵， ∴ 如图，：过点G作， ∵将线段沿直线平移，得到线段，， ∴ ∴，， 又∵， ∴ 综上所述，的度数为或． 57．（25-26七年级下·上海普陀·期中）已知直线，一副直角三角尺中的等腰直角三角尺（，）边在直线上，点在直线下方；这幅三角尺中另一块为含有角的直角三角尺（，）的一边在直线上，点在直线的右侧． (1)如图1，当的顶点与点重合时，点恰好落在直线上，求的度数． (2)设直线与直线相交于点； ①如图2，将沿直线平移，当点与点重合时，求的度数． ②将沿直线平移，点是直线上的动点、且时，请直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)①的度数；②的度数为或或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：①∵，，，， ∴， 由题意得， ∴． ②当点在和之间时，过点作，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在下方时，如图所示： 同理，得， ∴， 当点在上方时，如图所示： 同理，得， ∴， 综上可得，的度数为或或． 题型17新定义阅读理解题（上海压轴新考法）（共3小题） 58．（25-26七年级下·上海·阶段检测）综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 【详解】（1）答：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； ②证明：∵，， ∴， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：平分． 59.如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【详解】（1）解：过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：与（1）同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 按照上述方法可知， ∵，平分，平分，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：，； （4）解：过点作，过点作，如图所示，则，    ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 60．（23-24七年级下·上海·单元复习）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，， 解得，， 的4系补周角的度数为， 故答案为60； （2）解：①过作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，此时． 若是的k系补周角， 则， ∴， 过F作， 又， ，， ，即， ∴k， 又∵，， ∴， ∵平分，PD平分， ∴，， ∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴． 题型18生活实际应用与跨学科（上海压轴新考法）（共4小题） 61．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 【详解】任务一：画图如下： ∵， ∴； 任务二：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：， ∵， ∴； 任务三：设需要； 当时，， ∴， 解得：； 答：需要秒． 62．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 【详解】（1）解：数量关系：， ，（已知） （平行于同一直线的两直线互相平行）， ∴ 由题意得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴数量关系为； （2）解：如图， 由（1）结合已知可得， 设， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴反射角为； （3）解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，而 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得． 63．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；；②30 (3)不发生变化， 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：60． （2）解：①设灯转动秒， 则，， 故答案为：；． ②若，则， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：30． （3）解：不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， 而， ， ， 即． 64．（23-24七年级下·上海闵行·期中）闵行区今年实施了滨水步道的升级改造，某河道两岸安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．    (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光线会互相平行？请直接写出答案． 【答案】(1)， (2) (3)15秒或82.5秒 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，； （2）解：如图，过点作，     ， ， 设两灯转动时间为秒，则，， ， ，， ， ， 解得， ， ； （3）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①如图，     ， ， ， ， ， 在灯射线到达之前，由题意得：， 解得：； ②如图，       ， ， ， ， ， 在灯射线到达之后，由题意得：， 解得：． 综上所述，灯转动15秒或秒时，两灯的光束互相平行． $专题02 相交线与平行线（5常考4易错9压轴） 题型1 对顶角角度计算（常考） 题型10 猪蹄 M 型（两平行线中间一个拐点）（压轴） 题型2 垂线与余角计算（常考） 题型11 铅笔头（U 型，两平行线内凹三点）（压轴） 题型3平行线判定基础（由角证平行）（常考） 题型12 羊角（拐角 / 外侧拐点）（压轴） 题型4 平行线性质基础（由平行求角）（常考） 题型13 蛇形 / 锯齿模型（连续多次拐弯）（压轴） 题型5 命题与证明（选择常考） 题型14 平行线 + 三角板旋转（分类讨论压轴） 题型6 概念混淆类（易错） 题型15 折叠 + 平行线（压轴） 题型7 三线八角（选择易错） 题型16动点动态探究压轴（压轴最后一题） 题型8 角平分线 + 平行综合（易错） 题型17新定义与阅读理解题（上海压轴新考法） 题型9 多解漏分类题型（填空易错） 题型18生活实际应用与跨学科（上海压轴新考法） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对顶角角度计算（常考）（共3小题） 1．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，已知直线、相交于点，平分，，____． 2．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，直线、相交于点，平分，且，那么______ 3．（24-25七年级下·上海静安·阶段检测）直线，相交于点O，平分，且，那么______度． 题型2 垂线与余角计算（常考）（共3小题） 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则________度． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 6．（24-25七年级下·上海静安·阶段检测）如图，，，，则______． 题型3平行线判定基础（由角证平行）（常考）（共3小题） 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    8．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （     ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 9．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 题型4 平行线性质基础（由平行求角）（常考）（共4小题） 10.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 11.（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 12．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    13．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    题型5 命题与证明（选择常考）（共3小题） 14．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 15．（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 16．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 题型6 概念混淆类（易错）（共6小题） 17．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．在同一平面上，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线一定相交 18．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 19．（24-25七年级下·上海·阶段检测）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 20．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设__________，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“__________”矛盾，故假设不成立．所以． 22．（25-26七年级下·上海松江·期中）用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 题型7 三线八角（选择易错）（共6小题） 23．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是直线、被直线所截得的内错角 B．与是直线、被直线所截得的同位角 C．与是直线、被直线所截得的同旁内角 D．与是直线、被直线所截得的同旁内角 24．（25-26七年级下·上海·期中）如图，四位同学根据所学数学知识在找同位角，其中正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是同位角 D．与是同位角 25．（25-26七年级下·上海金山·期末）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 26．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 27．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 28．（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 题型8 角平分线 + 平行综合（易错）（共3小题） 29．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知直线，给出下列信息： ；平分；． 请在上述条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是_________，结论是_________．（只要填写序号），并说明理由． 30．（25-26七年级下·上海·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空． 证明：∵（已知）， ∴ （ ） ∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， 同理， ， ∴（等量代换） ∴ （ ） ∴（ ） 31．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：，平分，平分．求证：． 对于这道题，某同学的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，内错角相等）． 平分，平分． ，． ． （内错角相等，两直线平行）． (1)请找出这位同学出错的地方，并指出错误原因； (2)请写出本题正确的证明过程． 题型9 多解漏分类题型（填空易错）（共4小题） 32．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转得到，其中点、的对应点为、．如果的一边与原边平行，且旋转角小于，那么的度数是______． 33．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在中，，，点是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么______ 34．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知．点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，如果，那么_________． 35．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）某江两岸的主道路、上安装了两座可旋转射灯、，如图所示．已知，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，已知灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度．如果灯发出的光束先转动20秒，灯发出的光束才开始转动，在灯发出的光束到达之前，当两灯发出的光束互相平行时，灯转动的时间是______秒． 题型10 猪蹄 M 型（两平行线中间一个拐点）（压轴）（共3小题） 36．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）保持规范的姿势有助于视力保护（如图1），小乐在阅读时，示意图如图2所示．已知水平线桌面，从侧面看到的书本与桌面的夹角是，视线与水平线的夹角为． (1)如果视线与书本的夹角为，求书本与桌面的夹角的度数； (2)请根据图3中的读姿规范要求，求出符合规范要求下度数的取值范围． 37．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 38．（25-26七年级下·上海·期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵ ∴（ ） ∴ ∴（等量代换） ∴． (2)方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ． （用含、的代数式表示） 题型11 铅笔头（U 型，两平行线内凹三点）（压轴）（共3小题） 39．（2022七年级下·上海·专题练习）探究并尝试归纳： (1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明． (2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝　　度． (3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：　　【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】 40.如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 41.【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”． 解：过点作 因为， 所以 所以， 因为 所以 (1)【学以致用】由题意得，当，，则________． (2)如图1，若，，则求出的度数． (3)①如图2，若、分别平分和，请判断与的数量关系，并说明理由． ②如图3，设，，，则________． ③如图4，设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 题型12 羊角（拐角 / 外侧拐点）（压轴）（共4小题） 42．已知：直线，点P在的上方，且，． (1)如图，求的度数； (2)如图，若的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 43．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 44．“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 45．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 题型13 蛇形 / 锯齿模型（连续多次拐弯）（压轴）（共3小题） 46．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 47．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 48．已知．    (1)填空：如图1所示，则之间的数量关系为______． (2)如图2所示，写出之间们数量关系并说明理由； (3)如图3，设． ①请直接写出的大小；（用含的式子表示）． ②如图4，请直接写出的度数． 题型14 平行线 + 三角板旋转（分类讨论压轴）（共4小题） 49．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 50．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 51．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 52．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 题型15 折叠 + 平行线（压轴）（共2小题） 53．折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 54．（24-25七年级下·上海宝山·阶段检测）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在、两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 题型16 动点动态探究压轴（压轴最后一题）（共3小题） 55.已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． (1)如图，平分，若，求的度数． (2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 56．如图，直线，A，B为直线a上不重合的两点（点B在A的右侧），直线，分别与b相交于点C，D，，．P为直线上一点，且满足．将线段沿直线平移，得到线段，点E在直线上，连接，，直线与直线交于点G． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)在线段平移的过程中，若，求的度数． 57．（25-26七年级下·上海普陀·期中）已知直线，一副直角三角尺中的等腰直角三角尺（，）边在直线上，点在直线下方；这幅三角尺中另一块为含有角的直角三角尺（，）的一边在直线上，点在直线的右侧． (1)如图1，当的顶点与点重合时，点恰好落在直线上，求的度数． (2)设直线与直线相交于点； ①如图2，将沿直线平移，当点与点重合时，求的度数． ②将沿直线平移，点是直线上的动点、且时，请直接写出此时的度数． 题型17新定义阅读理解题（上海压轴新考法）（共3小题） 58．（25-26七年级下·上海·阶段检测）综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 59.如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 60．（23-24七年级下·上海·单元复习）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 题型18生活实际应用与跨学科（上海压轴新考法）（共4小题） 61．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 62．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 63．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 64．（23-24七年级下·上海闵行·期中）闵行区今年实施了滨水步道的升级改造，某河道两岸安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．    (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光线会互相平行？请直接写出答案． $