第10讲 空间角度、距离与体积的综合求解（6题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学期末重点题型归纳及应试过关检测（人教A版）

第10讲 空间角度、距离与体积的综合求解 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一：求点线、点面、线面距离的方法 3 知识点二：异面直线所成角的常用方法 3 知识点三：直线与平面所成角的常用方法 3 知识点四：作二面角的三种常用方法 4 知识点五：求体积的常用方法 4 03 重难点题型 5 题型一：异面直线所成角的求解方法 5 题型二：直线与平面所成角的计算技巧 6 题型三：二面角的平面角求解与应用 8 题型四：点面距、线面距与面面距的转化计算 10 题型五：锥体体积的求解与常用技巧 11 题型六：综合应用问题（存在类、翻折类） 13 04 过关检测 16 知识点一：求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点二：异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 知识点三：直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点四：作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 知识点五：求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解． 题型一：异面直线所成角的求解方法 例1．（2026·高一·河北保定·期中）如图，在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（     ）    A． B． C． D． 例2．（2026·高一·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 例3．（2026·高一·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高一·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高一·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型二：直线与平面所成角的计算技巧 例4．（2026·高一·福建厦门·期中）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 例5．（2026·高一·全国·期末）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 例6．（2026·高一·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 变式3．（2026·高一·四川·期末）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 变式4．（2026·高一·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 题型三：二面角的平面角求解与应用 例7．（2026·高一·安徽·期末）如图，在直三棱柱中，点到平面的距离为 的面积为.    (1)求直三棱柱的体积. (2)若直线与平面所成的角为 分别为 的中点，且. （i）求直三棱柱的外接球的表面积； （ii）求二面角的大小. 例8．（2026·高一·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 例9．（2026·高一·河北唐山·期中）如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求： (1)直线与的夹角的余弦值； (2)三棱锥的体积； (3)二面角的余弦值． 题型四：点面距、线面距与面面距的转化计算 例10．（2026·高一·广西南宁·期中）如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 例11．某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 例12．（2026·高二·浙江杭州·期末）直四棱柱的所有棱长均为2，，则直线到平面的距离为_____________． 变式5．（2026·高一·上海闵行·期末）若正四棱柱的底面边长为1，直线与底面所成角的大小是，则到底面的距离为______． 变式6．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 题型五：锥体体积的求解与常用技巧 例13．（2026·高一·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 例14．（2026·高一·四川凉山·期末）已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 例15．（2026·高一·福建泉州·期中）如图1，设半圆的直径为4，点B、C三等分半圆，点M、N分别是OB、OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2），在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段MN的长； (2)求四面体ACMN的体积． 变式7．（2026·高一·湖南湘潭·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 变式8．（2026·高一·江苏·期中）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且. (1)求证：四点共面； (2)延长交延长线于点，延长交延长线于点，求证：； (3)设平面将该正方体分成上、下两个几何体，求两几何体的体积之比. 题型六：综合应用问题（存在类、翻折类） 例16．如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 例17．如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题： （1）求三棱锥的体积. （2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 例18．（2026·高一·江苏无锡·期末）如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至. (1)在线段上是否存在点，使得面？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由； (2)在(1)的条件下，，求证：； (3)若，求二面角的正切值． 变式9．（2026·高一·云南大理·阶段检测）如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 变式10．（2026·高一·重庆·期末）正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 1．（2026·高一·浙江·阶段检测）在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·黑龙江·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 5．（2026·高一·河北邯郸·期末）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 6．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 7．（2026·高一·湖南长沙·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，为的中点，平面. (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 8．（2026·高一·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 9．（2026·高一·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 10．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 11．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 12．（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）如图，已知三棱柱，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 13．如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且． (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； (3)求三棱锥的体积． 14．（2026·高一·山东青岛·期中）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 15．如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 16．（2026·高一·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，．    (1)求证：； (2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由． 17．（2026·高一·全国·单元测试）如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置． (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 空间角度、距离与体积的综合求解 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一：求点线、点面、线面距离的方法 3 知识点二：异面直线所成角的常用方法 3 知识点三：直线与平面所成角的常用方法 3 知识点四：作二面角的三种常用方法 4 知识点五：求体积的常用方法 4 03 重难点题型 5 题型一：异面直线所成角的求解方法 5 题型二：直线与平面所成角的计算技巧 8 题型三：二面角的平面角求解与应用 14 题型四：点面距、线面距与面面距的转化计算 19 题型五：锥体体积的求解与常用技巧 24 题型六：综合应用问题（存在类、翻折类） 29 04 过关检测 38 知识点一：求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点二：异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 知识点三：直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点四：作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 知识点五：求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解． 题型一：异面直线所成角的求解方法 例1．（2026·高一·河北保定·期中）如图，在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正方体中，连接，，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即为异面直线与所成角， 不妨设，则，， 取的中点，因为，所以， 在直角中，， 可得. 所以异面直线与所成角的正弦值为. 例2．（2026·高一·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 例3．（2026·高一·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角. 不妨设，则中，，，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦为. 变式1．（2026·高一·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 变式2．（2026·高一·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型二：直线与平面所成角的计算技巧 例4．（2026·高一·福建厦门·期中）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 在中，，所以， 又，即，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面, 因为，平面，所以平面平面． （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以，取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 例5．（2026·高一·全国·期末）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）略． （2）设， 在中，，， 则， 故， 作，垂足为，则， 由（1）知平面，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，即点到平面的距离为， 因为是棱的中点，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成的角为， 则， 设，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值是． 例6．（2026·高一·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 变式3．（2026·高一·四川·期末）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 【解析】（1）略 （2）略 （3）设，并连接， 由（2）可知平面，所以直线与平面所成的角为， 设正方体的棱长为， 在中，， 同理可得，易知为的中点，所以， 所以， 易知为锐角，故， 所以直线与平面所成的角的大小为. 变式4．（2026·高一·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1） 由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 题型三：二面角的平面角求解与应用 例7．（2026·高一·安徽·期末）如图，在直三棱柱中，点到平面的距离为 的面积为.    (1)求直三棱柱的体积. (2)若直线与平面所成的角为 分别为 的中点，且. （i）求直三棱柱的外接球的表面积； （ii）求二面角的大小. 【解析】（1）因为， 所以 ； （2）（i）在直三棱柱中，平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 即，所以，即四边形为正方形， 因为分别为 的中点，且， 所以且， 因为平面，所以， 因为，且 ，所以平面， 因为平面，所以， 在正方形中， ，因为 ，且 平面， 所以平面，即，所以 ， 因为，所以， 直三棱柱底面为等腰直角三角形，所以球心为点，半径为， ，所以， 所以球的表面积为 . （ii）过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，且 平面，所以 ， 因为，且 平面， 所以平面， 因为平面，所以，所以即为二面角的平面角， 因为，，,平面， 所以平面，因为平面，所以以， 在直角中，, 又， 则，所以， 所以， 由（2）（i）知，，则， 所以，即二面角的大小为. 例8．（2026·高一·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 例9．（2026·高一·河北唐山·期中）如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求： (1)直线与的夹角的余弦值； (2)三棱锥的体积； (3)二面角的余弦值． 【解析】（1）取中点，连接、. 由中位线性质，， 故为直线与的夹角（或其补角）. 在中，，，、为中点，故. 同理，，. 在中，由余弦定理： ， 故直线与夹角的余弦值为. （2）设底面正的中心为，连接，则平面. 底面正三角形的外接圆半径. 在中，. 底面的面积. 所以. （3）过作于，连接. 由正三棱锥对称性，，故，为二面角的平面角. 在中，，， 由余弦定理得， ， 故，同理. 在中，， 由余弦定理：， 故二面角的余弦值为. 题型四：点面距、线面距与面面距的转化计算 例10．（2026·高一·广西南宁·期中）如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【解析】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 故答案为：. 例11．某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【解析】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 例12．（2026·高二·浙江杭州·期末）直四棱柱的所有棱长均为2，，则直线到平面的距离为_____________． 【答案】 【解析】如图，连接相交与点， 在直四棱柱中，平面，平面， ∴， 同理， ∵直四棱柱的所有棱长均为2， ∴四边形是菱形， ∴，平面，平面，， ∴平面， ∴为直线到平面的距离， 在中，，，为中点， ∴，∴， 故答案为：. 变式5．（2026·高一·上海闵行·期末）若正四棱柱的底面边长为1，直线与底面所成角的大小是，则到底面的距离为______． 【答案】 【解析】如图，连接 正四棱柱的底面边长为1，则，所以 且底面，则直线与底面所成角即 则 则在正四棱柱中，到底面的距离为即到到底面的距离. 故答案为：. 变式6．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【解析】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 题型五：锥体体积的求解与常用技巧 例13．（2026·高一·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【解析】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 例14．（2026·高一·四川凉山·期末）已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 【解析】（1）略 （2）连接，如下图所示， 因为是边长为2的正三角形，为正方形， 所以，， 所以， 所以四面体的体积为. 例15．（2026·高一·福建泉州·期中）如图1，设半圆的直径为4，点B、C三等分半圆，点M、N分别是OB、OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2），在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段MN的长； (2)求四面体ACMN的体积． 【解析】（1）在图2中，设圆锥的底面圆半径为r，则，解得. 因为在图1中，点B、C三等分半圆，所以在图2中，点B、C为圆锥的底面圆周的三等分点， 则为等边三角形，所以，所以. 又因为点M、N分别是OB、OC的中点，所以 （2）因为，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体ACMN的体积为 变式7．（2026·高一·湖南湘潭·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 【解析】（1）如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）由（1）平面，所以点，到平面的距离相等. 已知是的中点，侧棱与底面垂直，. 则为三棱锥的高， 又底面为正方形， 所以 . 变式8．（2026·高一·江苏·期中）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且. (1)求证：四点共面； (2)延长交延长线于点，延长交延长线于点，求证：； (3)设平面将该正方体分成上、下两个几何体，求两几何体的体积之比. 【解析】（1）在上取一点，使得，连接， 在中，因为，所以且， 因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，且，则四边形是平行四边形， 所以，故， 所以四点共面； （2）在正方体中，， 所以，则，解得， 同理，则，解得， 以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系如图所示： 则，，， 设所在直线为， 则，解得， 所以所在直线为， 将代入可得，， 所以在所在的直线上，故； （3）由（2）可知，， ， ， 所以平面截正方体下半部分体积为， 而正方体的体积为， 故平面截正方体下半部分体积为正方体的一半， 所以平面将该正方体分成上、下两个几何体的体积之比为. 题型六：综合应用问题（存在类、翻折类） 例16．如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：如图1所示，取中点，连接， 因为，所以， 又因为，所以 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）存在． 如图1所示，作于点，由（1）知， 因为，且平面，所以平面， 设，则，， 因为无解，即点在延长线上，如图2所示， 所以，解得，即， 所以，所以垂足与构成一个正方形， 过作交于，连接, 因此平面，所以平面，所以， 记，则，， 所以，解得，即存在满足条件． 例17．如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题： （1）求三棱锥的体积. （2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意，得，解得. 由，，得，，， ∴， ∴三棱锥的体积. （2）当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为. 证明如下： ∵，分别为，的中点，∴， ∴就是异面直线与所成的角. ∵，，，∴. 又，∴， ∴当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为. 例18．（2026·高一·江苏无锡·期末）如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至. (1)在线段上是否存在点，使得面？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由； (2)在(1)的条件下，，求证：； (3)若，求二面角的正切值． 【解析】（1）存在，当时，平面，理由如下： 在图①中，设的中点为，连接， 则，又，所以， 是的中点，为中点，即， 在图②中，连接, 因为，所以，又平面，平面， 所以平面，又，同理可得平面， 平面，平面平面， 又平面，所以平面. （2）证明：在(1)的条件下，，， ，即，又，所以， 由题知，， 又平面，，所以平面， 又，所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以. （3）由（2）知平面，以为原点建立如图空间直角坐标系， ，， ， 解得，或 ， （Ⅰ）当时，， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，， 易知平面的一个法向量， ， 由题知二面角的平面角为锐角，所以正切值为， （Ⅱ）当时，， 同理可得平面的一个法向量， ， 由题知二面角的平面角为锐角，所以正切值为， 综上，二面角的正切值为或. 变式9．（2026·高一·云南大理·阶段检测）如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且，所以平面 （2）如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积． （3）假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以，则为二面角的平面角． 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故． 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故． 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为． 变式10．（2026·高一·重庆·期末）正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由于平面， 故平面， 又平面， 所以 （2）过作于，连接, 由（1）知,平面， 所以平面，平面， 故， 因此即为二面角的平面角， ，则为中点， ， 由等面积法可得,解得， 在中，， 故二面角的正弦值为. （3）设点到平面的距离为， 由于，所以，， 则， 因此， 所以， ， 由等体积法可得,所以， 由于直线PM与平面AMN所成角为，则， ，令，则， 故，当且仅当时取等号，此时，这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值， 1．（2026·高一·浙江·阶段检测）在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，， 所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，， . 2．（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，，则， ，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，， ， 在中，由余弦定理可得，， 由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角， 因为为等边三角形，所以直线与所成角为， 即直线与所成角的余弦值为，故D正确. 3．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，取中点，中点，连接， 因为是中点，则，，所以或其补角为异面直线与所成的角， 设，因为圆锥是等边圆锥，则，， 又圆面，则，又，，则, 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 4．（2026·高一·黑龙江·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 5．（2026·高一·河北邯郸·期末）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 【答案】 / 【解析】依题意，，则是异面直线AD和FP所成的角或其补角， 在中，，因此； 将截半立方体还原成正方体，由截半立方体的结构特征知，平面平面， 则直线EB到平面PGQ的距离等于平面与平面的距离， 而三棱锥都是正三棱锥，它们的高所在直线与正方体的一条体对角线重合， 设三棱锥的高等于，而侧棱长为，由， 得，即，解得， 而，所以所求距离. 故答案为：； 6．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 【答案】/ 【解析】由题意知：正六面体是棱长为的正方体， 有且，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则有平面， 同理平面， ，平面，平面平面， 连接， ，，，平面，平面， 又平面，，同理可证得：， 又平面，， 平面，平面， 设垂足分别为，则平面与平面间的距离为. 正方体的体对角线长为. 在三棱锥中，，易知， 则由等体积法求得：， ∴平面与平面间的距离为：. 故答案为：. 7．（2026·高一·湖南长沙·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，为的中点，平面. (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 而平面，平面平面，所以. （2）如图，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 由（1）得，且，则， 所以平面，又平面，所以. 因为为的中点，且，所以， 又平面，所以平面， 所以是在平面内的射影，为与平面所成角. 由且，为的中点，得， 因为平面，所以，故，即， 又因为且，所以， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 8．（2026·高一·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接， 在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 9．（2026·高一·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 【解析】（1）略 （2）取中点，连接MC，， 因为是边长为2的正三角形，点是中点，所以， 在直三棱柱中平面ABC，平面，所以 ， 而 ， 平面，所以平面， 因为 平面，所以 ，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为是边长为2的正三角形，为正方形，所以， 在中，，所以. 所以二面角 的正弦值为． 10．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【解析】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． 11．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 则，且， 又为的中点，在矩形中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）作交的延长线于点，连接， 则， 所以即为二面角的平面角， 由，则， 所以，故二面角的正切值为． 12．（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）如图，已知三棱柱，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）略 （2）因为，， 取中点，连接，由底面，且，则平面， 又平面，所以， 又因为为正边的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 取中点，连接，则，可得平面， 即为三棱锥的高，则， 所以. 13．如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且． (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； (3)求三棱锥的体积． 【解析】（1）因为，且， 所以四边形是平行四边形，可得． 又平面平面，所以直线平面. （2）过作于，连接， 因为平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得， 所以是二面角的平面角． 因为，所以是的中点， 得到是三角形的中位线，所以． 在中，， 所以，即二面角的大小为. （3）过作于，因为平面， 平面，所以平面平面， 因为，平面平面， 所以平面，即为点到平面的距离． 因为正三角形中，， 故三棱锥的体积． 14．（2026·高一·山东青岛·期中）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【解析】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 15．如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）过点在平面内作，垂足为点， ，，，则平面， 平面，， ，，平面， 平面，则， 故当平面时，四棱锥的体积取最大值， ，，，平面， 因为，，为的中点，所以，且， 故四边形为平行四边形，所以，， 平面，平面，平面， 因为平面，平面平面，，因此，平面. （2）因为平面，与平面所成角为， 因为平面，， 所以，，解得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，，解得或. 因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 16．（2026·高一·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，．    (1)求证：； (2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：因为，，，， 所以四边形是直角梯形，且，， 故，即． 又平面，平面，所以 又，且PA，平面PAC，所以平面PAC， 又平面PAC，所以 （2）存在符合条件的点M，且M为PD的中点， 证明如下，过点M作于点N，连接BN， 因为平面，平面，所以， 因为MN，平面PAD，所以， 因为，所以， 因为，平面，所以平面， 则∠MBN为BM与平面所成的角． 设，则，，， 由得， 解得或（舍去） 所以M为PD的中点， 过点N作于点G，连接MG， 因为平面，平面，所以， 又，平面MGN，故平面MGN， 因为平面MGN，所以，所以∠MGN为二面角的平面角， 在中，，所以， 即当点M为PD的中点时，符合题意，且二面角的大小为． 17．（2026·高一·全国·单元测试）如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置． (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长． 【解析】（1）证明：∵且O是的中点， ∴，即， 又∵，平面平面，∴平面． （2）在平面内，作于点D，则由（1）可知， 又平面，即是三棱锥的高， 又，∴当D与O重合时，三棱锥的体积最大， 此时平面, 过O作于点H，连接，如图, 由（1）知平面，又平面， ∴， ∵，∴平面，平面，, ∴即为二面角的平面角． 在中，， ∴， ∴，故二面角的余弦值为.. （3）假设在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为， 如图，连接， 在（2）的条件下，平面, 故平面，∴与平面所成的角为， ∴，∴， 又在中，,, 则，故, 而，∴，∴， ∴， 即故在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为，此时. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $