核心考点培优07：立体几何中的球模型8大必考题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优07：立体几何中的球模型8大必考题型 (高一复习全国通用) 题型一 正方体长方体的外接球 4 题型二 圆锥、棱锥外接球 5 题型三 直棱柱、圆柱的外接球 6 题型四 圆台、棱台的外接球 8 题型五 二面角模型的外接球 9 题型六 正四面体的外接球与内切球 10 题型七 内切球问题 11 题型八 棱切球问题 13 思维导图 知识点01 墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 经典重现+变式提升 题型一 正方体长方体的外接球 方法点拨： 1、正方体与长方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为. （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为. 2、补全为正方体与长方体的外接球 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 (4)墙角模型与对棱相等模型都是可以放置到长方体内，可以借助补全图形来求外接球问题 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。 刷经典·悟方法 【例1】（24-25高三下·河北·开学考试）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为______． 【变式1-1】（22-23高二下·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·陕西汉中·一模）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则______． 题型二 圆锥、棱锥外接球 方法点拨： 1、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、可补全为圆锥的外接球 （1）若在平面上的射影是的外接圆圆心（即），则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 （2）正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。 3、当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径。 4、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 5、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底 刷经典·悟方法 【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 【变式2-1】（24-25高一下·山西太原·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·浙江温州·期中）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】(多选题)（22-23高一下·浙江杭州·期末）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，则（    ）    A．设内切球的半径为，外接球的半径为，则 B．设内切球的表面积，外接球的表面积为，则 C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则 D．设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为 题型三 直棱柱、圆柱的外接球 方法点拨： 1、柱体的外接球 （1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 （2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 2、可补全成柱体的外接球 （1）一条侧棱垂直于底面 ⇒ 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2 （2）若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。 刷经典·悟方法 【例3】（22-23高三上·天津河北·期末）已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为，且球的表面积为，则这个正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】(多选题)（24-25高一下·四川成都·期末）陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．剩下几何体的表面积为 B．剩下几何体的体积为 C．挖去圆柱体的外接球表面积为 D．若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 【变式3-2】(多选题)（2025·甘肃·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为的中点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【变式3-3】（多选题）（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 题型四 圆台、棱台的外接球 方法点拨： 1、台体的外接球 (1) 圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 (2) 棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式. 刷经典·悟方法 【例4】（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三下·浙江·月考）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高一下·河南信阳·月考）已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为（    ） A． B．或2 C． D．或 题型五 二面角模型的外接球 方法点拨： 1、两面垂直的三棱锥的外接球 在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 2、二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。 3、 当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径 4、 当二面角不为直角时，依然需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复杂 刷经典·悟方法 【例5】（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高三上·山东德州·期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 题型六 正四面体的外接球与内切球 方法点拨： 在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积 刷经典·悟方法 【例6】（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 【变式6-2】(多选题)（2026·辽宁沈阳·二模）若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 【变式6-3】（24-25高一下·天津和平·期末）已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为 ，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则 （   ） A． B． C． D． 题型七 内切球问题 方法点拨： 定义：与几何体的所有面都相切的球体，球心到几何体各个面的距离都等于球的半径r，且内切球在几何体内部，仅规则几何体（正方体、正四面体、正棱锥）有唯一内切球。 性质：① 内切球球心是几何体的内心，到各个面的距离相等（均为r）；② 正多面体的内切球与外接球球心重合； 解题方法：核心使用等体积法：；结合全面积与几何体体积，直接求解内切球半径。 刷经典·悟方法 【例7】（24-25高二下·湖北·月考）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】(多选题)（24-25高一下·辽宁·期末）“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 【变式7-2】（22-23高二下·四川南充·月考）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为______ 【变式7-3】(多选题)（23-24高一下·重庆·期中）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（    ） A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形 B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则 C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则 D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为 题型八 棱切球问题 方法点拨： 定义：与几何体的所有棱都相切的球体，区别于内切球（与所有面相切），球心到几何体每条棱的距离都等于球的半径r，高考中属于低频考点，仅在少数模拟题中出现。 性质：① 棱切球球心到所有棱的距离相等，且球心在几何体的对称中心上；② 正方体的棱切球直径等于其面对角线长度；③ 正四面体的棱切球与外接球、内切球球心重合，半径介于内切球与外接球之间。 解题方法：高考低频考点，仅掌握正四面体、正四棱锥模型；利用几何体中心对称性，结合棱距公式求解半径，了解基础模型即可。 刷经典·悟方法 【例8】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 【变式8-1】（24-25高三下·河南·月考）在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】(多选题)（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（    ） A．点到平面的距离等于1 B．点到直线的距离等于1 C．球在正八面体外部的体积小于 D．球在正八面体外部的面积大于 【变式8-3】(多选题)（21-22高一下·湖北荆州·期中）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．正方体外接球的直径为 B．点在线段上运动，则四面体的体积不变 C．与所有12条棱都相切的球的体积为 D．是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃武威·月考）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 5．(多选题)（23-24高一下·四川德阳·期末）圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台外接球表面积为 D．圆台能装下最大球的体积为 6．(多选题)（23-24高一下·吉林长春·期中）在圆锥中，C是母线上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 B．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为 C．当时，圆锥的外接球表面积为 D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 7．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为______． 8．（2022·四川雅安·三模）已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 9．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 10．（24-25高一下·吉林·期中）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为______．      11．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 12．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于______. 13．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）在平面五边形中，，，，，且．将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的体积为_________． 14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 四、解答题 15．（24-25高一下·天津·期中）如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点.    (1)若边长为2，求三棱柱的高； (2)求三棱锥的体积； (3)若球与三棱柱的各棱均相切，求球的表面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优07：立体几何中的球模型8大必考题型 (高一复习全国通用) 题型一 正方体长方体的外接球 4 题型二 圆锥、棱锥外接球 7 题型三 直棱柱、圆柱的外接球 11 题型四 圆台、棱台的外接球 17 题型五 二面角模型的外接球 21 题型六 正四面体的外接球与内切球 26 题型七 内切球问题 30 题型八 棱切球问题 36 思维导图 知识点01 墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 经典重现+变式提升 题型一 正方体长方体的外接球 方法点拨： 1、正方体与长方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为. （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为. 2、补全为正方体与长方体的外接球 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 (4)墙角模型与对棱相等模型都是可以放置到长方体内，可以借助补全图形来求外接球问题 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。 刷经典·悟方法 【例1】（24-25高三下·河北·开学考试）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为______． 【答案】3 【分析】根据已知确定正方体外接球、内切球的半径，由球体表面积公式求出比值. 【详解】根据题意，正方体的外接球的半径为，内切球的半径为． 所以外接球表面积与内切球表面积的比值为， 所以棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为3． 故答案为：3 【变式1-1】（22-23高二下·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可． 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 【变式1-2】（2022·陕西汉中·一模）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积． 【详解】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径， 设球半径为，则， 球表面积为． 故选：C． 【变式1-3】（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则______． 【答案】 【分析】根据三棱锥结构，可补成正方体，利用正方体外接球求半径，再由等体积法求出三棱锥内切球半径，利用球的面积公式得解. 【详解】由题意可知，三棱锥可以为棱，补成棱长为的正方体， 所以三棱锥的外接球与所在正方体的外接球相同， 所以外接球直径，其面积， 设三棱锥内切球半径为，则由等体积法可得：, 即， 解得，故， 所以. 故答案为： 题型二 圆锥、棱锥外接球 方法点拨： 1、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、可补全为圆锥的外接球 （1）若在平面上的射影是的外接圆圆心（即），则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 （2）正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。 3、当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径。 4、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 5、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底 刷经典·悟方法 【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 【答案】A 【分析】根据内切球和外接球球心重合，得到角之间的关系，继而可求外接球半径. 【详解】 因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到 所以外接球半径， ∵，∴ 因此圆锥外接球的表面积为48π. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·山西太原·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 【变式2-2】（23-24高一下·浙江温州·期中）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由面积公式可得，由余弦定理结合基本不等式可求，根据正弦定理可得外接圆半径，由勾股定理即可求解. 【详解】如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线， 则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且， 在中，，即， 所以， 即（当且仅当时取等号）， 设外接圆半径为，由正弦定理得，即， 所以外接球的半径，则， 故三棱锥的外接球表面积的最小值为. 故选：. 【点睛】方法点睛：解决外接球问题： （1）通过球心位置的确定，利用勾股定理列方程求解； （2）已知线面垂直，构造矩形模型； （3）三个两两垂直的墙角模型，补形成长方体或正方体. 【变式2-3】(多选题)（22-23高一下·浙江杭州·期末）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，则（    ）    A．设内切球的半径为，外接球的半径为，则 B．设内切球的表面积，外接球的表面积为，则 C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则 D．设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为（即为的重心），即可求出的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球的体积公式判断C，所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，即可求出，不妨设为上的点，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，即可求出截面圆的半径，从而判断D. 【详解】作出圆锥的轴截面如下：    因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形， 又，所以， 设球心为（即为的重心），所以，， 即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故A正确； 设内切球的表面积，外接球的表面积为，则，故B错误； 设圆锥的体积为，则， 内切球的体积为，则，所以，故C正确； 设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上）， 设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则， 过点作交于点，则，所以， 即，解得， 所以平面截内切球截面圆的半径， 所以截面圆的面积为，故D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径. 题型三 直棱柱、圆柱的外接球 方法点拨： 1、柱体的外接球 （1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 （2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 2、可补全成柱体的外接球 （1）一条侧棱垂直于底面 ⇒ 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2 （2）若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。 刷经典·悟方法 【例3】（22-23高三上·天津河北·期末）已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为，且球的表面积为，则这个正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用球的表面积公式可求得，根据正棱柱的外接球半径满足可构造方程求得正棱柱的高，代入棱柱体积公式可求得结果. 【详解】设正三棱柱的高为，球的半径为， 球的表面积，解得：， 正三棱柱的底面是边长为的等边三角形， 的外接圆半径， ，解得：， . 故选：B. 【变式3-1】(多选题)（24-25高一下·四川成都·期末）陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．剩下几何体的表面积为 B．剩下几何体的体积为 C．挖去圆柱体的外接球表面积为 D．若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 【答案】BCD 【分析】结合图形，利用圆锥、圆柱的表面积和体积公式计算即可判断A，B；对于C，根据圆柱的对称性判断外接球的球心，易得其半径，即得其表面积；对于D，利用等体积列方程求解即得. 【详解】对于A，设圆柱体的底面半径为，高为，则，， 圆锥的母线长为，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱得到的几何体的表面积为： ，故A错误； 对于B，由题意，剩下几何体的体积为： ，故B正确； 对于C，如图，设的中点为，由圆柱的对称性可知，圆柱的外接球的球心即点， 设外接球的半径为，由图知，， 则圆柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，设该实心球的半径为，依题意，， 即得，则，故D正确. 故选：BCD. 【变式3-2】(多选题)（2025·甘肃·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为的中点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BC 【分析】对于A，只需说明即可判断；对于B，由等体积法即可求解；对于C，将所求转换为相交直线的角，结合余弦定理即可求解；对于D，只需求得该外接球的直径即可. 【详解】对于A，如图，设分别为的中点，连接. 在直三棱柱中，有. 因为为的中点， 所以.又， 所以，则， 从而与不垂直，A不正确. 对于B，易得平面，则，B正确. 对于C，易知，则与所成的角为，由， 得，C正确. 对于D，易知三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 该外接球的直径为， 则三棱锥的外接球的表面积为，D不正确. 故选：BC. 【变式3-3】（多选题）（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【分析】对于A，由条件分别证明，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质即可证得；对于B，假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，排除B；对于C，结合锥体体积公式推出，由此可求体积，排除C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积. 【详解】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 题型四 圆台、棱台的外接球 方法点拨： 1、台体的外接球 (1) 圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 (2) 棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式. 刷经典·悟方法 【例4】（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为，高为， 故， 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，所以球心与点重合， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 所以球心与点重合， 综上所述，，故，所以. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高三下·浙江·月考）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 【变式4-2】（2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B    【变式4-3】（22-23高一下·河南信阳·月考）已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为（    ） A． B．或2 C． D．或 【答案】D 【分析】由棱台的结构特征结合多面体的内接、外切问题求解即可. 【详解】图1所示，设，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为， 则由正弦定理，得， 即．因为，所以． 设外接球的半径为，由外接球的体积为，得，即． 设球心到上､下底面的距离分别为， 所以， 故（如图1）或（如图2）， 即或，解得或， 所以的面积为或． 故选：D.    题型五 二面角模型的外接球 方法点拨： 1、两面垂直的三棱锥的外接球 在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 2、二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。 3、 当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径 4、 当二面角不为直角时，依然需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复杂 刷经典·悟方法 【例5】（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积. 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 【变式5-1】（23-24高三上·山东德州·期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，所以为二面角的平面角，过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，设球的半径为，在中利用余弦定理可得，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，取的中点，连接，， 由题意，，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且， 所以，为外接圆的圆心， 又是边长为2的等边三角形，所以， 过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上， 设球的半径为，连接，可得， 在中，， 利用余弦定理可得， 所以，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，找出外接球球心的位置，利用以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径即可得解. 【详解】如图， 取中点，连接，因为是边长为6的正三角形，， 则由三线合一可知， 所以二面角的平面角为， 取三角形的外心，设外接球的球心为，则平面， 且，其中为四面体外接球的半径， 过点作垂直平面，垂足为点，由对称性可知点必定落在的延长线上面， 由几何关系，设， 而由正弦定理边角互换得， 进而， 由勾股定理得， 从而，， 所以，， 所以由得，，解得， 所以四面体的外接球的表面积为. 故选：B. 【变式5-3】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【答案】 【分析】取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角， 平面平面，平面， 所以平面， 因为，，所以，， ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，其中， 解得，即外接球的半径为， 所以该球的体积为. 题型六 正四面体的外接球与内切球 方法点拨： 在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积 刷经典·悟方法 【例6】（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 【详解】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. 【变式6-1】（23-24高一下·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答. 【详解】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为， 令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，， 即，， 而， 则， 在中，，解得，， 所以它的外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 【变式6-2】(多选题)（2026·辽宁沈阳·二模）若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】先根据表面积计算出正四面体的棱长，然后运用正四面体的性质求出高，进而得到体积，最后通过将四面体放入正方体求解外接球表面积. 【详解】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，A正确； 作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点， 则有，于是该正四面体的高为，B错误； 由 A选项和B选项的分析可知该正四面体的体积为，C正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球， 其半径为，表面积为，D正确. 【变式6-3】（24-25高一下·天津和平·期末）已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为 ，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正四面体的性质，即内切球半径为高的四分之一，外接球半径为高的四分之三，再结合勾股定理进行求高，再利用球的表面积公式和体积公式，即可求解. 【详解】    如图能装下正四面体的最小正方体，其体积为，可知正方体边长为， 从而可得正四面体的棱长为正方体的面对角线长，    利用正四面体的性质可知， 正四面体的内切球球心位于正四面体的高线上，且内切球半径为高的四分之一； 正四面体的外接球球心位于正四面体的高线上，且外接球半径为高的四分之三； 由球与底面的切点为底面中心，可知， 而，所以， 即内切球半径为，外接球半径为， 所以有正四面体的体积为， 即， 故选：A. 题型七 内切球问题 方法点拨： 定义：与几何体的所有面都相切的球体，球心到几何体各个面的距离都等于球的半径r，且内切球在几何体内部，仅规则几何体（正方体、正四面体、正棱锥）有唯一内切球。 性质：① 内切球球心是几何体的内心，到各个面的距离相等（均为r）；② 正多面体的内切球与外接球球心重合； 解题方法：核心使用等体积法：；结合全面积与几何体体积，直接求解内切球半径。 刷经典·悟方法 【例7】（24-25高二下·湖北·月考）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥可以嵌入一个长方体内用体积转化的方法求解该三棱锥的内切球的半径. 【详解】根据题意，三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，，如图所示， 则，，，解得，，. 所以该三棱锥的的体积为， 而， 所以可求得，故选：C 【变式7-1】(多选题)（24-25高一下·辽宁·期末）“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 【答案】AB 【分析】对于A选项，直接观察几何体即可判断选项正误； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，然后通过面积公式计算即可判断选项正误； 对于C选项，通过求解正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离，并将该距离与比较即可判断选项正误. 对于D选项，通过比较正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离与正方体的中心和半正多面体三角形侧面的距离是否相等，即可判断选项正误 【详解】对于A选项，该半正多面体共有24条棱，12个顶点，故A项正确； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，所以表面积为，故B项正确； 对于C选项，正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离为2，，故C项错误； 对于D选项，正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离为，正方体的中心和半正多面体三角形侧面的三个顶点构成棱长为1的正四面体，所以该正四面体的高，故半正多面体不存在内切球，故D项错误. 故选：AB 【变式7-2】（22-23高二下·四川南充·月考）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为______ 【答案】 【分析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 【详解】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 【变式7-3】(多选题)（23-24高一下·重庆·期中）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（    ） A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形 B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则 C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则 D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为 【答案】ABD 【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为（即为的重心），即可求出的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球的体积公式判断C，所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，即可求出，不妨设为上的点，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，即可求出截面圆的半径，从而判断D. 【详解】作出圆锥的轴截面如下：    因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，故A正确； 又，所以， 设球心为（即为的重心），所以，， 即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故B正确； 设圆锥的体积为，则， 内切球的体积为，则，所以，故C错误； 设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上）， 设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则， 过点作交于点，则，所以， 即，解得， 所以平面截内切球截面圆的半径， 所以截面圆的面积为，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径. 题型八 棱切球问题 方法点拨： 定义：与几何体的所有棱都相切的球体，区别于内切球（与所有面相切），球心到几何体每条棱的距离都等于球的半径r，高考中属于低频考点，仅在少数模拟题中出现。 性质：① 棱切球球心到所有棱的距离相等，且球心在几何体的对称中心上；② 正方体的棱切球直径等于其面对角线长度；③ 正四面体的棱切球与外接球、内切球球心重合，半径介于内切球与外接球之间。 解题方法：高考低频考点，仅掌握正四面体、正四棱锥模型；利用几何体中心对称性，结合棱距公式求解半径，了解基础模型即可。 刷经典·悟方法 【例8】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 【答案】A 【分析】设正方体棱长为，分别求出与正方体的各条棱相切的球的半径以及正方体外接球的半径，再求其表面积之比. 【详解】设正方体棱长为， 因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度， 即半径； 正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径； 所以球与球的表面积之比为. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高三下·河南·月考）在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出三棱锥的高，设出棱切球的半径，求出，由半径相等列出方程，求出半径，进而求出球的表面积. 【详解】取的中心，连接， 则平面，且与棱均相切的球的球心在上， 连接并延长交于，则为的中点，， 连接，易证， 过作，交于点， 设球的半径为，则， 由题意易求得， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而，所以， 所以， 故球的表面积为. 【点睛】解决与球有关的内切，棱切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径，而棱切球，要注意切点的位置和球心的位置，利用半径相等得到方程，求出答案.. 【变式8-2】(多选题)（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（    ） A．点到平面的距离等于1 B．点到直线的距离等于1 C．球在正八面体外部的体积小于 D．球在正八面体外部的面积大于 【答案】BCD 【分析】对于A，先确定球的中心，然后利用正八面体的性质计算即可；对于B，直接利用三角形面积公式即可；对于C，计算在正八面体外部的球冠对应的圆锥的体积，然后估计出球在正八面体外部的体积的上界即可；对于D，利用旋转体体积公式求得球冠体积，并得到球冠与圆锥的总体积占整个球的比例，即可得到球冠的表面积，然后进行放缩即可. 【详解】对于A，由对称性可知棱切球球心就是正八面体的中心，而， 所以. 设点到平面的距离为，则有 ， 故，故A错误； 对于B，由于，故在平面上的投影就是正方形的中心， 故平面，而在平面内，故. 又因为，知点到直线的距离，故B正确； 对于C，根据上面的分析，球的半径等于点到直线的距离，即. 从而平面截棱切球所得圆的半径，设这个圆为圆. 设球的体积为，而以为顶点、圆为底面的圆锥的体积为， 则棱切球在正八面体内部的体积大于. 从而球在正八面体外部的体积小于 ，故C正确； 对于D，球在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积. 而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于球冠的表面积. 从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积. 该圆锥的底面半径，高，故母线长. 所以每个球冠的表面积都大于该圆锥的侧面积. 所以8个球冠的表面积之和大于，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的方式对球冠的表面积和体积进行估计 【变式8-3】(多选题)（21-22高一下·湖北荆州·期中）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．正方体外接球的直径为 B．点在线段上运动，则四面体的体积不变 C．与所有12条棱都相切的球的体积为 D．是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是 【答案】ABC 【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A；求得四面体的体积是否变化判断选项B；求得与所有12条棱都相切的球的体积判断选项C；求得长的最小值判断选项D. 【详解】选项A：连接，则为正方体外接球的直径， 又，则正方体外接球的直径为.判断正确； 选项B：点在线段上运动，点到平面的距离恒为1， 则四面体的体积不变. 判断正确； 选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为， 该球体积为， 则与所有12条棱都相切的球的体积为.判断正确； 选项D：正方体的内切球的半径为，球心为中点， 是球面上任意一点，则长的最小值是.判断错误.    故选：ABC 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案. 【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C 2．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 【详解】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. 3．（23-24高二下·甘肃武威·月考）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体表面积公式求解即可. 【详解】设圆台上､下底面圆心分别为，则圆台内切球球心一定在中点处，    设球与母线切于点，（为球的半径）， 与全等，，同理 ， 圆台的内切球半径内切球的表面积. 故选：B. 4．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积. 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 5．(多选题)（23-24高一下·四川德阳·期末）圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台外接球表面积为 D．圆台能装下最大球的体积为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到圆台的母线长，进而求出侧面积，加上上下底面积，得到表面积；B选项，利用台体体积公式进行计算；C选项，作出辅助线，得到外接球半径，求出表面积；D选项，当为球的直径时，球的体积为，故得到圆台能装下最大球的体积小于等于，D错误. 【详解】A选项，圆台的上底面面积为，下底面面积为， 由题意得，过点作⊥于点， 则，由勾股定理得， 故侧面积为， 故表面积为，A错误； B选项，圆台的体积为，B正确； C选项，设外接球球心为，连接，则， 设，则， 由勾股定理得，即， 同理可得， 故，解得， 故，故圆台外接球表面积为，C正确； D选项，当为球的直径时，即半径为1，此时球的体积为， 故圆台能装下最大球的体积不会大于，D错误. 故选：BC 6．(多选题)（23-24高一下·吉林长春·期中）在圆锥中，C是母线上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 B．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为 C．当时，圆锥的外接球表面积为 D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 【答案】BC 【分析】依题意可得，对于A，利用余弦定理求出，即可判断为钝角，从而求出截面面积最大值，对于BCD，首先求出圆锥的高，将圆锥的侧面展开，化曲为直，利用余弦定理计算最小值，即可判断B，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积，从而判断C，再求出圆锥的内切球的半径与正四面体的外接球的半径，即可判断D； 【详解】依题意可知，所以， 对于A，，所以， 所以为钝角，    所以过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，A错误. 对于BCD，当时，，圆锥的高为. 以下分析BCD： 侧面展开图的弧长为，所以圆心角.    所以，B正确. 设圆锥的外接球的球心为，半径为， 所以，解得， 所以外接球的表面积为，C正确. 棱长为的正四面体如下图所示，    正方体的边长为，体对角线长为， 所以棱长为的正四面体的外接球半径为. 设内切圆的半径为，则，解得， 所以，所以棱长为的正四面体在圆锥内不可以任意转动，D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的解决关键是，正四面体在圆锥内可以任意转动等价于正四面体的外接球的半径小于或等于圆锥轴截面的内切圆的半径，从而得解. 7．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为______． 【答案】64 【分析】利用球的体积公式求出球半径，进而求出正方体的棱长即可. 【详解】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 8．（2022·四川雅安·三模）已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为：    9．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 10．（24-25高一下·吉林·期中）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为______．      【答案】 【分析】根据正八面体的结构特征确定球心位置，令正八面体的棱长为2，有外接球半径，再由等体积法求得内切球的半径，即可得. 【详解】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点， 令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为，则外接球半径， 各侧面积，构成正八面体的两个正四棱锥的高为， 所以正八面体的体积，可得， 所以外接球和内切球的表面积比为. 故答案为： 11．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【分析】利用补形法，把底面是直角三角形的直三棱柱补形为长方体，再利用长方体的外接球直径是长方体的对角线，即可求解外接球的表面积. 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 12．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于______. 【答案】 【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，进而求半径表达式并利用配方法求出球半径的最小值，从而可得的值. 【详解】设球的半径为，则球的体积为， 所以球体积取得最小值时，则球的半径最小. 设，则， 由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H， 易知分别为的中点，且四点共圆， 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O， 为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图： 由条件知， 在中，由余弦定理可得 ， ∴的外接圆直径， 当时，球的半径取得最小值. 故. 故答案为： 13．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）在平面五边形中，，，，，且．将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的体积为_________． 【答案】 【分析】设的中心为，矩形的中心为，根据球的性质得，直线与的交点为几何体外接球的球心，取的中点，连接，，在直角中，利用球的截面圆的性质，求得球的半径，结合和球的体积公式，即可求解. 【详解】设的中心为，矩形的中心为， 过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线， 则由球的性质可知，直线与的交点为几何体外接球的球心， 取的中点，连接，，可得，， 连接，因为，可得， 连接，则为所得几何体外接球的半径， 在直角中，由，，可得， 即外接球的半径为， 故所得几何体外接球的体积为． 故答案为：． 14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 【答案】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·天津·期中）如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点.    (1)若边长为2，求三棱柱的高； (2)求三棱锥的体积； (3)若球与三棱柱的各棱均相切，求球的表面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三棱柱的体积公式求解； （2）利用等体积法，进行求解； （3）设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上，根据球与三棱柱的各棱均相切，求得，可求解. 【详解】（1）设的高为， ， ； （2） ； （3）设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上，    球切棱于，切棱于， 由题意，① 因为，又， 所以， 所以，解得②， 联立①②可得，所以球的半径为， 所以球的表面积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $