湖北省荆州中学2026届高三下学期模拟考试五数学试卷

**基本信息** 2026年荆州中学数学模拟卷聚焦核心素养，以晚会节目安排、超市集卡片等真实情境命题，融合函数、几何、概率等模块，梯度设计适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、立体几何、排列组合|基础题考查数学眼光，如第3题空间线面关系判断| |多选题|3/18|统计、等比数列、立体几何翻折|第11题翻折轨迹问题，体现空间观念与创新意识| |填空题|3/15|函数求值、双曲线离心率|第14题结合角平分线斜率考离心率，凸显数学思维| |解答题|5/77|三角函数导数、概率统计、抛物线综合|第18题以集卡片为情境考几何分布，第19题抛物线综合题，强化数学语言表达与模型应用|

高三数学（答案） -、单选题：1.C2.A3.C4.C5.C6.C7.B 8.C 二、多选题： 9.ABC 10.ABD 11.AD 三、填空题：12.-5 13.1 14.V3+1 sine sin20 4【解折】解：9-专可得-东 4 即 sin0sin20 sm0cos20-cos0sin20 cose cos20 所以sin0sin20=言(in20-cos0sin20)=言sin(0-20)=-言sin0, 因为m品有意义，所以sdn9≠0.可得sin29=-青所以2n6c0s0=一专即sin6co0s0=一号 因此，sim9+c=(sin29+cos20j2-2sim29cos2g-1-2x若-0 5.【解析】解：先排4个歌舞节目：A件=24，排好后会产生5个空位（包括两端）；将2个机器人节目插入空位： A号=20： 排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有A?=24种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人” 的排列，有A?=2种方法.故不满足条件的情况有A·A?=48.故总数为：24×20-48=432. 6【解析】由向量数量积公式店·4AC=A4G1cos∠BAC,得：AA=正=45=8. c0s30°-3 因此△ABC的面积为：S6ABc=AAClsin30°=号×8×号2 由题意，SAMBC+S△MCA+SAMAB=1+x十y=S△ABc=2,故x+y=1(x>0,y>0)。 目标函数为++岁代入y=1-x得：f)=+是+言+ 0<x<1). 对f)求导：f'因=-支+18山-+3令f')=0,解得：”可→x= (1-x)2 此时=1}是代入目标函数得：是+号+星=4+号+写=15 1 年年 7【解析】如图，设以AB为直径的圆的圆心为B,F(2√3,0)，显然两圆内切，所以0E=4-引BA,① 又0E为△ABF的中位线，所以0=BF,② 由O②可得：1BF1=4-1BA,则有BA+IBF=8>4W3=IAF1, 所以B的轨迹为以A,F为焦点的椭圆， 由2a=8,可得a=4,又c=2V3,由a2=b2+c2,可得b=V16-12=2, 显然当B为椭圆短轴顶点即(0,2)时，S△BcD的面积最大，最大值为lBO1×CD1=8. 8.【解析】解：因为y=ex与y=g(x)图象关于直线y=x对称，所以函数g(x)=x, 所以f(x)=lnx+(a-1)x,a>1: 设f(x)=t,那么由f[f(x)]=x,得f(t)=x,所以(x,t),(t,x)均在函数y=f(x)图象上： 假设x>t,因为y=f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)>f(t),即t>x,与假设矛盾： 假设x<t,因为y=f(x)在(O,+o)上单调递增，∴f(x)<f(t),即t<x,与假设矛盾； 所以t=x,即f)=x在2,4上有解，即2-0=匹；令()=，那么导函数0'()= x2 所以当x∈(e,+o)时，p'(x)<0:当x∈(0，e)时，p'(x)>0, 所以p(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 又p2)=9④=受p(e)=名所以受≤2-a≤台解得：2-言≤a≤2-受 2 即实数a的取值范围为2-，2-受]。 9.【解析】【详解】原数据方差D(x)=2,设y:=2x-1,则D(y)=22D(x)=22×2=8,故A正确： P(B)=P(A)P(B1A)+P(AP(B1A=0.6×0.5+0.4×0.2=0.3+0.08=0.38,故B正确： 模型y=cex取对数得lny=lnc+kx,令z=lny,则回归方程为2=kx+lnc, 已知2=4x+0.3,故k=4,l1nc=0.3,即k=4,c=e3,故C正确： 所有样本点都在直线y=一x+1上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为1，直线斜率为负，故相关系数为-1， 故D错误. 10.【解析】解：选项A:当q=1时，等比数列{an}为常数列，an=1,前n项和Sm=n.则bn=3an-Sn=3-n。 bn+1-bn=[3-(m+1)]-(3-n)=-1,故b是公差为-1的等差数列，选项A正确。 选顶B:当g-时，4，=a,q1-产，前n顶和5，-1字=21-丹=2-白， 1-1 则bn=3a-S=3×()m-1-[2-()”1]=4×()m-1-2=()”-3-2。 由于y=()x-3是单调递减函数，故化}各项互不相等，任意两项差均不为0，选项B正确。 选项C:假设bn为常数列，则b=C(常数)对任意n成立。 当g≠1时，5。=号a=,则：6，=301号=314无六=g6+高)司 1-g 令指数项系数为0：3+吕，=0，解得g=多 此时6。=0广2（常数）.故存在9一号使，]为常数列，选项C错误。 选项D:假设{bn-2}为等比数列，则bn-2=3m-5n-2需满足等比数列定义（非零且后项与前项比值为常数）。 当q=时，bn=2,则bn-2=0,不是等比数列（等比数列各项非零）。 当q≠别，0，-2=q13+品)-（亡+2）常数项-(+2)≠0，无法构成等比数列（等比数列无常数 项)，故不存在q使b-2}为等比数列，则选项D正确。 11.【解析】解：因为在矩形ABCD中，AD=2AB=4,E为BC的中点，又将△BAE沿AE向上翻折到△PAE, 所以逐一分析各个选项如下： 对于A:因为平面PAE⊥平面ABCD,平面PAE∩平面ABCD=AE, 因为E是BC中点，BC=CDLABE=∠DCE=90°，所以AE=ED=2N2,所以AE2+ED2=AD2,所以AE⊥ED, EDC平面ABCD,所以DE⊥平面PAE,PAC平面PAE,所以AP⊥ED,故A正确； 对于B:由己知梯形AECD的面积为6，AE=2V2,直角△APE斜边AE上的高为√2， 当平面PAE1平面AECD时，四棱锥P-AECD的体积取最大值；×√2×6=2√2，故B错误； 对于C:如图1，取PA的中点G,则GF,EC平行且相等，四边形ECFG是平行四边形， 所以点F的轨迹与点G的轨迹形状完全相同，过点G作AE的垂线，垂足为H,HG=号， 点G的轨迹是以H为圆心，半径为二的半圆弧，从而PD的中点F的轨迹长度为π，故C错误； 2 P(B) G.H B.-- (1) (2) 对于D:如图2，△PAE的外接圆01的半径为V2,O1是AE的中点，△ADE外接圆O2的半径为2， AE是圆01与圆02的公共弦，IO2O1=√2，设三棱锥P-AED外接球心为0，半径为R, 则R=10E=√101E2+10102=V101E2+102012+I0202=√4+10202， 因为02O1∈[0，+∞)，所以R∈[2，+∞)，所以R的最小值为2， 所以三棱锥P-AED的外接球表面积的最小值为16π，故D正确， 12.【解析】(1+x)(a-x)5=ao十a1x+.+a7x7,a0+a1+.+a=0, 令x=1,则2(a-1)6=a0+a1+.+a7=0,解得a=1..(1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)5. (1-x)的通项公式T+1=C6(-x)r,，令r=3或r=2,则a3=-C+C后=-5. 13.【解折】因为fW=22026(x-k2=2026k2-2206xk+2026x号， 可得f(化是一个开口向上的关于k的二次函数，所以函数在其图象的对称轴处取得最小值， 即k=2--=a,又因为k=a,所以a=a,解得=1. 2×20262026 14.【解析】设∠F1PF2的平分线所在直线与∠PF1F2的平分线所在直线交于点I,∠F1PF2的平分线所在直线与x轴交 于点Q,∠PQF2=a,∠IF1Q=B,则k1=tana,k2=tanB. 因为Q=∠PFl+LIPF1=(uPF,F+∠RPF)=-∠PFF)=骨 且∠F1lQ=∠PQF2-∠Ir1Q=a-B,所以tan(a-B)=a-tmg 1+tanatanβ k1-2=√3， 1+k1k2 由题可得k1k2=1,且k1>0,k2>0,所以k1=2+V3,k2=2-V3. 所以mpr,=an28=器=漫-号 又PFF2E(O,),所以∠PF1=云则FPF,= 在Rt△F1PF2中，因为F1F2l=2c,所以PF2l=c,IPF1=V3C, 又IPF-PF=2a,所以V3c-c=2a,故C的离心率e=台是=V3+1, 四、解答题： 15.【答案】解：（四）由f)的图象的两条相邻对称轴间的距离为号且F(-孕)=一 可得=子，即T=,可得w=经=2， ….2分 又si血(2×(-军+9)=-cosp=-号由0<p<,可得p=号则f)=sin(2x+3), .4分 f(-名)=0，f0)=号，f2×品+)=1，f2×晋+)=-1. 且f()在区间0，m)上有最大值无最小值，可得m的取值范国是（受1： ….6分 (2)证明：f)=sin(2x+罗)的导数为f'()=2c0s(2x+3), ..7分 可得曲线y=f()在x=-处的切线的斜率为k=2c0s(-号+)=2， .8分 切点为(-石，0)，切线的方程为y=2x+号 ….9分 设g()=f(w)-2x-3=sin(2x+3)-(2x+写)， ...10分 则g′()=2cos(2x+)-2≤0，可得g()在R上递减， 而g(-君)=0，可得f()-2x-号=0有唯一解x=-石，即l与曲线y=f(x)有唯一的公共点。..13分 16.【答案】解：()由题意得，函数f()=x-lnx+a2的定义域为(0，+o)。对f)求导，得f′(w)=1-是。 当a≤0时，因为x>0,所以≤0，则f'()=1-≥1>0。故函数f()在(0，+∞)上单调递增。….2分 当a>0时，令f'()=0,即1-=0，解得x=a。 当x∈0，o)时，>1，则f′6=1-<0，函数f)单调递减： 当xE(a,+∞)时，<1，则f'()=1->0,函数f)单调递增。 …….6分 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增： 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增。 ….7分 (2)由(1)可知： 当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增，无最小值，不符合题意。 ….8分 当a>0时，f(x)在x=a处取得极小值，也是最小值，即f(a)=a-alna+a2. 依题意，f()<2,即a-ana+a2<2 ….9分 设g(a)=a2+a-alna-2(a>0),则需解不等式g(a<0. …….10分 对g(a求导，得g′(a=2a+1-na+1)=2a-lna. 令h(@=2a-lna(a>0),则h'(@=2-是。令h'(@)=0,得a=2 当aE(0,)时，h'(@<0,h(@单调递减：当ae(分，+o)时，h'(@)>0,h(a)单调递增..12分 故n(@mm=h()=2×分-h吃1+ln2>0, 所以g'(a)=h(a)>0在(0，+o)上恒成立，即g(a)在(0，+o)上单调递增。 又因为g(1)=12+1-1×ln1-2=0,所以当0<a<1时，g(a)<0。 ………….14分 综上，a的取值范围是(0,1)。 ...15分 17.【答案】解：(1)证明：连A1G交BC于D,连AD, 由于G为△A1BC的重心，所以D为BC的中点， 在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为AB=AC,A1A=A1A,∠A1AB=∠A1AC,所以△A1AB兰△A1AC, 从而A1B=A1C, ·….2分 由于D为BC的中点，所以AD1BC,A1D1BC,又ADNA1D=D,所以BCI平面A1AD, ….3分 因为A1AC平面A1AD,所以BC1A1A,因为A1A/B1B,所以BC1B1B. ……….4分 (2)①证明：因为A1A=AB=2,∠A1AB=60°，所以△A1AB为正三角形， 同理△A1AC也为正三角形，所以A1B=A1C=BC=2, 从而三棱锥A一A1BC的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， .....6分 由于G为△A1BC的重心，所以AG1平面A1BC,又C1P⊥平面A1BC,所以AG/C1P. .8分 ②设△ABC的重心为0,0∈AD,且AO:OD=2:1, 在平面ABC内，过O作OE/BC,连AO, 则A101平面ABC, 以0为原点，以OA,OE,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， ……….10分 因为A,0=√A12-A0=√2-(9)2=25， 31 所以4(0,0，B(-号10，C(-号-1,0)，A00,2), 因为0G=0A+AC=04+AC=00,2)+(-V3,-10)=(-V3-1,2), 所以c1(-V5,-19). 设G(x,y,z),A1P与平面A1BC所成的角为0， 则6%)-o0,29)+(-1.0+(--101=(-2号025). 所以AG=(-90,2), 因为PE平面ABC,所以设P(x,y,0), G C 由①知C1P/AG,从而存在实数L,使C1P=1AG, 所以x+3,y+1,-2)-a(-0,29)-(-8y30,2S9). x+V3=-8W3 9 则{y+1=0 ·解得=-3，y=-1,x=55从面P(号，-10)， …..13分 2W6_26λ 9 4P=(9-1,-2y)/6,-V3-2V②，令a=5,-V3-2V② c=(-8g0,25)/-40,V2,令元=(-40，V2, 1a列-I5x-4)+(-V3)×0+(-22×☑-2N2 sin0=简 3 ....15分 √52+3+8×(-4)2+2 18【解析】解：（①）第一次购买的卡片类型任意，第二次购买的卡片与第一次相同的概率为号 第三次购买的卡片与前两次不同的概率为片故所求概率为1××号是 .3分 (2)()设X表示在甲已获得第(i-1)种类型的卡后，获得第i(i∈N+,i≤n)种类型卡片需要购买的玩具数， 则Xn=X1+X(2)++X(m .4分 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为”二， 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为”是， 依此类推，在甲已获得第(m-1)种类型的卡片后，每次试验中获得第加种类型卡片的概率片 则X1,X(2),…,Xm均服从几何分布， 所以E(X)=BK)+ECKa)+…+BXm)=n2=是 ….8分 (i证明：X)=1++2+…+n=n(++2+…+1)=n1++…+ 设f)=x+1)-x,则f'()=点1-1=希 当xE(-1,0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(0，+o)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)≤f(0)=0,得ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时，等号成立， 令x=克得m<京则n0n+1)=m2+n2+…+ln件<1++…+片@， n 72 n 72 ….12分 设g)=lh(c+1)-本则g'(冈=x 当x∈(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(0，+o)时，g′()>0，g(x)单调递增， 所以g≥g(0)=0,得年1≤血(x+1),当且仅当x=0时，等号成立， 令x=0m之2).得片<血则1++<1+n2+2+…+血，=1+m②，.16分 由O2得n6n+1)<1+号+号++片<1+mn, 所以nln0m+1)<n1+号++克)<n+nlm,即nn(m+1)<E(X,)<n+nln. ……….17分 19.【解析】解：(1)因为点Nxo)是抛物线x2=2py上一点，所以x号=2p×号=p2,得x=士p,则N(土p), 易知抛物线x2=2py的准线方程为y=-号 由点N到点M(0,4的距离是其到抛物线准线距离的倍，得p2+(4-号》2-1号-(-，解得=4， 故抛物线的方程为x2=8y: ….3分 (2)由题意知直线L1的方程为y=k1x+4,与抛物线方程联立， 得呢-+4消去，整星得28x32=0,则&6+128>0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x32=8k1,x1x2=-32, 则xE=12=4k1,yE=k1xE+4=4k3+4,所以E(4k,4k3+4,同理得F(4k2,43+4), ...5分 由题意知直线EF的斜率存在，所以ke=5++9=:2十k1, 4k2-4k1 ….6分 所以直线EF的方程为y-(4k好+4)=(k2+k1)x-41), .8分 好+方一号得+-一kk,因此直线的方程为y=-应e+9)+4、 所以直线EF过定点Q(-兰，4)： ..10分 ()由点N在第二象限，得N(-4,2),由直角三角形的斜边大于直角边可知，当WQ1EF时，d最大， 此时d=01-J(-9+4+(4-22-2平，即d的最大值为2西 ……….12分 @由@知当NQL时，d最大，此时直线EF的斜率为点喜-专 .13分 于是k+2=景k1妇-号得k-导k2=营于是(-号)，F(,18四)， 2 ......14分 则E-、(-号}+（号-g92=8平则sw-支×9×2-g 3 3 9 ..15分 易知直线0W的方程为x+2y=0,I0N=2√5， 0学学-，5w-×25×2-停 √5 45 9 ….16分 所以四边形0NEF的面积S=SANEF+SANOF=194+2e=352 9 9 9 …….17分机密★启用前 2026年湖北省荆州中学模拟考试五 数 学 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整，笔迹清楚。 4. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若，则的真子集个数为(    ) A. B. C. D. 2. 已知向量若，则(    ) A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则(    ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 5. 某晚会由个歌舞节目和个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有种． A. B. C. D. 6. 已知是内的一点，且，若和的面积分别为，，，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 7. 已知点，，是：与轴的交点点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 8. 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列命题正确的是(     ) A. 若样本数据，，的方差为，则数据的方差为 B. 若，，，则 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和 D. 在一组样本数据，，，，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 10. 等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的有(      ) A. 时，为等差数列 B. 时，中任意两项的差均不为 C. 不存在，使得为常数列 D. 不存在，使得为等比数列 11. 如图，在矩形中，，为的中点，将沿向上翻折到，连接，，在翻折过程中，下列说法正确的是(      ) A. 若平面平面，则 B. 四棱锥的体积最大值为 C. 点从点翻折到中点的过程中，的中点形成的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，若，则 ． 13.已知样本数据，，，的平均数为，设，当函数取最小值时，   ． 14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且位于第一象限，若，的平分线所在直线的斜率与的平分线所在直线的斜率分别为，，且，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设函数已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且． 若在区间上有最大值无最小值，求实数的取值范围； 设为曲线在处的切线，证明：与曲线有唯一的公共点． 16.本小题分 已知函数． 讨论的单调性 若存在最小值，且最小值小于，求的取值范围． 17.本小题分 已知三棱柱中，底面是边长为的正三角形，为的重心，． 求证：； 已知，平面，且平面． 求证：； 求与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． 若，求甲恰好购买件玩具就集齐种不同类型的卡片的概率． 在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，，，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． 求的数学期望； 证明：． 19.本小题分 已知点是抛物线上一点，且点到点的距离是其到抛物线准线距离的倍 求抛物线的方程． 若点在第二象限，过点作斜率分别为，的直线，，分别与抛物线交于点，和，，线段，的中点分别为，，，点到直线的距离为． 求的最大值； 若是坐标原点，当取最大值时，求四边形的面积． $