第八单元 找次品易错题单元提升自测-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 第八单元“找次品”易错题单元卷，聚焦分组策略与最不利情况分析，结合端午、中药等文化情境，适配单元复习巩固与推理能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空|25分|分组方法、称量次数推理|融入端午包粽子等生活情境| |选择|10分|次品判断与最优分组|结合天平称重图示考查推理| |判断|5分|称量次数结论辨析|针对易错点设计正误判断| |计算|29分|基础运算|保障数学运算能力考查| |解答|31分|分组策略应用、流程图绘制|通过中药、月饼等情境综合考查模型意识与创新应用|

第八单元 找次品 易错题单元提升自测 (考试时间：90分 试题满分：100分) 姓名： 总分： 易错点题目双向细目表 易错点1 忽略“最不利情况” 题号 3 5 8 9 11 14 24 28 正误 易错点2 分组策略不当 题号 2 6 10 13 26 29 正误 一、填空题（共25分） 1．（本题1分）在乒乓球比赛中，对乒乓球的要求非常严格。现有11个乒乓球，其中10个质量相同，另一个是次品（次品重一些）。用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 2．（本题2分）找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。 3．（本题2分）从12件外观相同的商品中找出其中1件次品，把12份商品分成( )份称较为合适，至少称( )次能保证找到次品。 4．（本题2分）“粽叶飘香五月五，浓情端午共安康”。端午前夕，笑笑一家一共包了16个豆沙粽和24个蜜枣粽。把它们分口味放在包装盒里，要使每盒数量相等并且没有剩余，每盒最多放( )个。在24个蜜枣粽中，其中一个少放了一颗蜜枣，质量稍轻一些。如果用天平称，至少要称( )次才能保证把它找出来。 5．（本题1分）三七花具有止血、活血、降血压等功效，王叔叔要从10袋外观完全相同的三七花中找出一袋次品（质量稍轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 6．（本题3分）利用天平称找出次品的最优的方法，下列数量的物品分成3份应该怎样分？请把分的数量写在圆圈里。 7．（本题3分）8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成( )份，每份个数分别是( )颗，这样至少称( )次就能保证找出次品来。 8．（本题2分）社区负责人李叔叔为了表彰八个抗疫小勇士，他买了八个“冰墩墩”分别编上了字母序号A～H送给他们。其中有6个“冰墩墩”都是重200克，另外两个“冰墩墩”都是重198克。李叔叔用天平称了三次，结果第一次A＋B比C＋D重；第二次E＋F比G＋H轻；第三次A＋C＋E和B＋D＋H一样重，那么重198克的两个“冰墩墩”的字母编号分别为( )和( )。 9．（本题4分）端午节是我国的传统节日。端午节前夕学校组织包粽子活动，五（1）班同学包了24个咸蛋粽和32个豆沙粽。把两种粽子各自平均分装到礼盒里，且盒数相同。 (1)最多可装( )个礼盒，每个礼盒有( )个咸蛋粽和( )个豆沙粽。 (2)在24个咸蛋粽中，有1个是小彤包的，质量轻一些，其余23个质量相同。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这个咸蛋粽。 10．（本题5分）有9袋外包装相同的食盐，其中8袋质量相同，另有1袋质量不足。用天平称，至少称几次能保证找出这袋食盐？下面是小明的操作过程，请你补充完整。 6二、选择题（共10分） 11．（本题2分）用无砝码的天平从下面的羽毛球中找出一个次品（重一些）。如果称3次，最多能从（    ）个羽毛球中找出次品。 A．30 B．27 C．81 D．9 12．（本题2分）有5瓶钙片，其中1瓶少3片，看作次品，用天平称一次（如图）。（    ）号钙片一定是正品。 A．①② B．③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 13．（本题2分）26个零件中有1个次品（较重），借助天平称量，要想尽快找出次品，第一次的分组方法正确的是（    ）。 A．（13，13） B．（8，8，10） C．（8，9，9） D．（10，10，6） 14．（本题2分）10瓶饮料，其中一瓶变质了（略重一些），用天平称，至少称（    ）次能保证找出次品。 A．3 B．4 C．5 D．6 15．（本题2分）园园有5颗糖果，其中的4颗质量相同，另有1颗不小心摔掉了一点。根据下图，可以判断（    ）。 A．③一定是摔掉的那颗 B．④一定是摔掉的那颗 C．①②⑤一定不是摔掉的那颗 D．③④⑤一定不是摔掉的那颗 三、判断题（共5分） 16．（本题1分）有12个零件，其中1个是残次品，质量较轻，如果借助天平，至少需要称3次才能保证将残次品找出来。( ) 17．（本题1分）在36个同样的零件中，工人叔叔不小心混进了一个次品（稍轻一些），用天平称，至少称4次就一定能找出这个次品。( ) 18．（本题1分）有14个形状、大小一样的玻璃球，其中一个质量较轻的是不合格产品，如果用天平称，那么至少称3次能保证找出这个不合格的玻璃球。( ) 19．（本题1分）有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称3次就能保证把这瓶找出来。( ) 20．（本题1分）23个产品中有一个稍轻的次品，要想找出次品至少需要称3次才能保证找出。( ) 四、计算题（共29分） 21．（本题8分）我是口算能手。（直接写出得数）             `                                                          22．（本题12分）下面各题怎样简便就怎样算。                                                 23．（本题9分）解方程。 x＋＝           3x－＝           x－（＋）＝ 五、解答题（共31分） 24．（本题5分）一架天平只有5g和30g两个砝码，要把300g白砂糖平均分成3份，至少要称几次？请写出称量方案。 25．（本题5分）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 26．（本题5分）猫妈妈的肉食店进了13罐质量相同的牛肉干，馋嘴的小猫偷吃了某一罐中的5块。 将13罐牛肉干分成（    ）份，用（   ，   ，   ）表示。 （1）至少称几次可以保证找出来？ （2）如果天平两端各放1罐，称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐吗？ 27．（本题5分）中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。 （1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。 （2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？ 28．（本题5分）桌面上有一架天平和12个大小相同的金属球，其中有11个是铁球，1个是铅球，铅球比铁球重一些。 （1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ 29．（本题6分）有9盒月饼，其中8盒的质量相同，另外1盒轻一些，为次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （1）把下表补充完整，并回答下列问题。 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 4 2，2，2，3 3 4，4，1 3 3，3，3 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成（    ）份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差（    ），这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有几盒？ 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．3 【分析】要求“保证找出次品”，需要考虑最不利的情况，找次品的最优策略是尽量平均分成三组，以此分析即可。 【详解】第一次称：把11个乒乓球分成4个、4个、3个，把两份4个放在天平两端，最坏情况次品在较重的那4个中； 第二次称：把含次品的4个分成1个、1个、2个，把两份1个放在天平两端，最坏情况次品在较重的那2个中； 第三次称：把含次品的2个分开放天平两端，较重的就是次品。 因此至少称3次才能保证找出次品。 2． 3 平均 【详解】 平均分成3份天平称量只有3种结果左边轻 、​右边轻 ​、两边一样重  ，一次称量就能直接排除掉2份物品，最快锁定次品在哪一份。不能平均分的时候，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。最多的一份4个，最少的一份3个，只相差1，各组数量接近可确保无论次品在哪组，剩余待排查物品数量都最少。 3． 【分析】将12份商品分成3份通过天平称重逐步缩小范围，每次称重排除三分之二的物品，至少称重3次才能找出质量不足的1件。 【详解】第一次称重： 将12件商品分成3组：4件、4件、4件。 天平两边各放4件，若平衡，次品在剩余4件中，若不平衡，次品在轻的4件中。 第二次称重： 将4件分成3组：1件、1件、2件。 天平两边各放1件，若平衡，次品在剩余2件中，若不平衡，次品是轻的1件。 第三次称重： 天平两边各放1件，次品是轻的1件。 最坏的情况下需要称重3次才能保证找出次品。 4． 8 3 【分析】要使每盒数量相等并且没有剩余，求每盒最多放几个粽子就是求16和24的最大公因数，把16和24分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是16和24的最大公因数。 找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。 【详解】16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 16和24的最大公因数：2×2×2，即每盒最多放8个。 第一次称重 把24个蜜枣粽平均分成三份，每份8个。任取两份放在天平两端。如果天平平衡，较轻的蜜枣粽就在未取的那8个中；如果天平不平衡，较轻的蜜枣粽就在天平轻的一端的8个中。 第二次称重 假设较轻的蜜枣粽在某8个中，把这8个再平均分成三份，分别是3个、3个、2个。把两份3个的分别放在天平两端。若天平平衡，较轻的蜜枣粽就在剩下的2个中；若天平不平衡，较轻的蜜枣粽就在天平轻的一端的3个中。 第三次称重 如果较轻的蜜枣粽在剩下的2个中，把这2个分别放在天平两端，轻的一端就是较轻的蜜枣粽；如果较轻的蜜枣粽在某3个中，任取其中2个放在天平两端，若天平平衡，未取的那个就是较轻的蜜枣粽，若天平不平衡，轻的一端就是较轻的蜜枣粽。 因此至少要称3次才能保证把它找出来。 即把它们分口味放在包装盒里，要使每盒数量相等并且没有剩余，每盒最多放3个。在24个蜜枣粽中，其中一个少放了一颗蜜枣，质量稍轻一些。如果用天平称，至少要称3次才能保证把它找出来。 5．3 【分析】将10袋三七花分成三组，分别是：3袋、3袋、4袋。把两组3袋的分别放在天平两端。若天平平衡，说明次品在剩下的4袋中；若天平不平衡，次品在较轻的那3袋中。 第二次分组称重，情况一：次品在4袋中，将这4袋分成三组：1袋、1袋、2袋。把两组1袋的放在天平两端，若平衡，次品在剩下的2袋中；若不平衡，较轻的那袋就是次品（此时仅需2次）。 情况二：次品在3袋中，从这3袋中任取2袋放在天平两端，若平衡，剩下的1袋是次品；若不平衡，较轻的那袋是次品（此时仅需2次）。 当第一次称重后次品在4袋中，且第二次称重平衡时，需对剩下的2袋进行第三次称重，较轻的那袋即为次品。 【详解】将10袋分成三组：3袋、3袋、4袋。 两组3袋称，若平衡，次品在剩下的4袋中；若不平衡，次品在较轻的那3袋中。 第2次称重：次品在4袋中，将这4袋分成三组：1袋、1袋、2袋。 两组1袋称，若平衡，次品在剩下的2袋中；若不平衡，较轻的那袋就是次品。 第3次称重：对剩下的2袋进行第三次称重，较轻的那袋即为次品。 如次品在3袋中，从这3袋中任取2袋放在天平两端，若平衡，剩下的1袋是次品；若不平衡，较轻的那袋是次品。 用天平至少称3次能保证找出次品。 6．见详解 【分析】找次品的最优策略：把待分物品分成3份；每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。 【详解】将9平均分成3份，9÷3＝3，9可以分成3、3、3； 将16尽可能平均分成3份，16÷3＝5……1，16可以分成5、5、6； 将28尽可能平均分成3份，28÷3＝9……1，28可以分成9、9、10。 如图所示： （后两题里面数字顺序不唯一） 7． 3 3、3、2 2 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】因为本题中有8颗珍珠，尽可能的平均分成3组（3、3、2），称一次可以找出次品所在的组，再称一次就能找出这个次品，1＋1＝2（次），至少称2次能保证找出次品来。 所以8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成3份，每份个数分别是3、3、2颗，这样至少称2次就能保证找出次品来。 8． D E 【分析】根据题意，第一次A＋B比C＋D重，说明C、D中有一个重198克的“冰墩墩”；第二次E＋F比G＋H轻，说明E、F中有一个重198克的“冰墩墩”；第三次A＋C＋E和B＋D＋H一样重，说明A、C、E和B、D、H两组中各有一个重198克的“冰墩墩”。结合前两次的推论，B、D、H三者中，D重198克，那么C重200克，则A、C、E中E重198克。 【详解】通过分析可知，重198克的两个“冰墩墩”的字母编号分别为D和E。 【点睛】本题考查找次品问题。根据每次称重结果，确定重198克的“冰墩墩”编号所在的范围是解题的关键。 9．(1) 8 3 4 (2)3 【分析】（1）根据题意，把24个咸蛋粽和32个豆沙粽平均分装到礼盒里，且盒数相同，则礼盒的数量是24和32的公因数；求礼盒最多的数量，就是求24和32的最大公因数；再看咸蛋粽和豆沙粽里分别有几个这样的最大公因数，即可求出每个礼盒里有咸蛋粽、豆沙粽的个数。 （2）把24个咸蛋粽平均分成3份，每份8个，即（8，8，8），第一次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，小彤包的就在较轻的8个中；如果天平平衡，小彤包的在剩下的8个中；把较轻的8个咸蛋粽分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，小彤包的就在较轻的3个中；如果天平平衡，小彤包的就在剩下的2个中；考虑最不利因素，较轻的咸蛋粽在数量最多的里面；把较轻的3个咸蛋粽平均分成3份， 即（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，小彤包的就是较轻的那1个；如果天平平衡，小彤包的就是剩下的那1个。所以至少称3次能保证找出这个咸蛋粽。 【详解】（1）24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 24和32的最大公因数是：2×2×2＝8 即最多可装8个礼盒。 咸蛋粽：24÷8＝3（个） 豆沙粽：32÷8＝4（个） （2） 至少称3次能保证找出这个咸蛋粽。 10．分组：3；3；3；3 称量：3；轻；1 结论：2 【分析】根据9袋食盐，有1袋质量不足，其它8袋质量相等，可以将这9袋平均分成3份，取两份放到天平两端，看是否平衡，从而找到质量不足的那袋所在的一份；接着从这一份里任意取两袋放在天平两端，看天平是否平衡从而找到质量不足的那1袋。 【详解】 11．B 【分析】利用无砝码天平找次品，每次称量可以将物品分成3份（天平左边、天平右边、天平外），根据天平的平衡状态（左重、右重、平衡）可以将次品所在的范围缩小到原来的三分之一。 【详解】根据找次品的最优策略，每次称量应将物品尽量平均分成3份。 称1次，最多能从3个物品中找出次品； 称2次，最多能从（3×3）个物品中找出次品； 称3次，最多能从（3×3×3）个物品中找出次品。 3×3×3 ＝9×3 ＝27 最多能从27个羽毛球中找出次品。 12．C 【分析】根据题意：次品少3片，因此次品比正品更轻，且5瓶里只有1瓶次品。由此分析。 【详解】观察天平：左盘放①②，右盘放③④，左重右轻，说明次品在更轻的右盘，也就是次品只可能是③、④中的一瓶。 因此剩下的①、②、⑤都不可能是次品，一定是正品。 13．C 【分析】找次品时把零件平均分成3份，不能平均分成3份的也要把第三份比另外两个多或少1个，这样一次就能把次品范围缩小到最小。 【详解】26个零件中有1个次品（较重），借助天平称量，要想尽快找出次品，第一次的分组方法正确的是（8，9，9）。 14．A 【分析】根据找次品的最优策略，应将待测物品分成份，每份数量尽量平均。要保证找出次品，必须考虑最不利的情况，即每次称重后次品所在分组数量最多的情形，据此确定至少需要的称量次数。 【详解】．把瓶饮料分成份，数量分别为瓶、瓶、瓶。 ．第一次称量：在天平两端各放瓶。 若天平不平衡，次品在较重的瓶中。把这瓶分成瓶、瓶、瓶，第二次称量即可找出次品，共需次。 若天平平衡，次品在剩下的瓶中。 ．为了保证能找出次品，需考虑最不利情况，即次品在剩下的瓶中。 ．把这瓶分成份，数量分别为瓶、瓶、瓶。 ．第二次称量：在天平两端各放瓶。 若天平不平衡，较重的那瓶是次品，共需次。 若天平平衡，次品在剩下的瓶中。 ．继续考虑最不利情况，即次品在剩下的瓶中。 ．第三次称量：在天平两端各放瓶，较重的那瓶是次品。 ．综上所述，至少称次能保证找出次品。 15．C 【分析】摔掉一点的糖果质量会更轻。从图中天平可知，①②的总质量 ＞③④的总质量，说明较轻的糖果在③④中，⑤未参与称量且天平倾斜与⑤无关，据此解答。 【详解】A.无法确定③是摔掉的那颗，该选项错误； B .无法确定④是摔掉的那颗，该选项错误； C .①②是较重的那端，⑤未参与称量且天平倾斜与⑤无关，因此①②⑤一定不是摔掉的那颗，该选项正确； D .③④是较轻的一端，包含较轻的摔掉的糖果，因此 “③④⑤一定不是” 的表述错误，该选项错误。 故答案为：C 16．√ 【分析】天平有三种状态：左轻、右轻、平衡。次品是轻的，所以天平翘起的一侧或未放上天平的那一组包含次品。 【详解】把12个零件分成3组，每组4个，第一次把任意2组放在天平两端，如果天平平衡，就把剩下的那1组分成1、1、2；第二次把1、1放在天平两端，天平平衡，把剩下的2分成1、1；第三次把1、1放在天平两端，就找到了较轻的次品。所以，至少需要称3次才能保证将残次品找出来。 故答案为：√ 17．√ 【分析】利用天平找次品的最优策略，即将物品尽可能平均分成3份进行称量。如果不能均分，也尽量使两份相差1个物体。选其中的两份放在天平两端称量，可找到有次品的1份，再按照上述方法称量，直到找出次品。 【详解】待测36个零件平均分成3份。 称1次，最多能从3个物品中找出次品； 称2次，最多能从9个物品中找出次品； 称3次，最多能从27个物品中找出次品； 称4次，最多能从81个物品中找出次品。 因为27＜36 ≤81，所以36个零件至少称4次就一定能找出次品。 故答案为：√ 18．√ 【分析】根据题意，用天平找次品时，每次称量可以把物品分成3份，能最快缩小次品的范围。对于14个玻璃球： 第一次：把14分成5、5、4，用天平称5和5，若两边平衡，次品在剩下的4个里；若不平衡，次品在轻的那5个里。 第二次：如果次品在5个里，就分成2、2、1，称2和2；如果在4个里，就分成1、1、2，称1和1，进一步缩小次品的范围。 第三次：再称剩下的2个或1个，就能确定次品。 所以至少称3次能保证找出这个不合格的玻璃球，据此解答。 【详解】第一次：14→5、5、4，称5和5，确定次品在5或4中； 第二次：若在5中→2、2、1，称2和2；若在4中→1、1、2，称1和1，缩小范围； 第三次：称剩余的2个或1个，找出次品。 “至少称3次能保证找出这个不合格的玻璃球”的说法正确。 故答案为：√ 19．× 【分析】把9瓶药平均分成3份，每份3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就在天平翘起的3瓶中；如果天平平衡，较轻的药品在剩下的3瓶中；再把有较轻药品的3瓶药分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就是天平翘起的那一瓶；如果天平平衡，较轻的药品是剩下的那1瓶。所以至少称2次就能保证把这瓶找出来。 【详解】 有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称2次就能保证把这瓶找出来。 原题说法错误。 故答案为：× 20．√ 【分析】根据题意，第一次，把23个产品分成三份（7，7，9），取相等的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，较轻的产品在天平上升的一端；第二次，如果次品在7个中，分成三组（3、3、1）；如次品在9个中，分成三组（3、3、3）；如果是7个，若天平平衡，则剩下那个是次品；若天平不平衡，较轻的产品在天平上升的一端；如果是9个，若天平平衡，则剩下那个是次品；若天平不平衡，较轻的产品在天平上升的一端；第三次，取含有较轻的一份，任取其中的2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，较轻的产品在天平上升的一端；据此即可找出较轻的次品。 【详解】第一次，把23个产品分成三份（7，7，9），取相等的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，较轻的产品在天平上升的一端； 第二次，如果次品在7个中，分成三组（3、3、1）；如次品在9个中，分成三组（3、3、3）； 如果是7个，若天平平衡，则剩下那个是次品；若天平不平衡，较轻的产品在天平上升的一端； 如果是9个，若天平平衡，则剩下那个是次品；若天平不平衡，较轻的产品在天平上升的一端； 第三次，取含有较轻的一份，任取其中的2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，较轻的产品在天平上升的一端； 所以要想找出次品至少需要称3次才能保证找出；故原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查找次品，关键注意每次取产品的个数。 21． ；；；； ；；0.95； 【解析】略 22．2；4.55；； ；0.3；5 【分析】算式一，利用加法交换律和结合律，先将分母相同的数先加，据此计算简便； 算式二，算式中只有加减法，将分数化为小数，按从左往右的顺序计算； 算式三，算式中只有加减法，根据带符号搬家可以调换加减法的顺序，可以使计算简便； 算式四，根据减法的性质，一个数减去两个数的和，等于连续减去这两个数，据此计算简便； 算式五，根据减法的性质，一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和，据此计算简便； 算式六，算式中只有加减法，根据带符号搬家可以调换加减法的顺序，可以使计算简便。 【详解】 ＝ ＝2＋ ＝2 ＝4.8－0.75＋0.5 ＝4.05＋0.5 ＝4.55 ＝ ＝1－ ＝ ＝ ＝1－ ＝ ＝2.3－ ＝2.3－（） ＝2.3－2 ＝0.3 ＝（1.15＋3.85）＋（） ＝5＋ ＝5 23．x＝；x＝；x＝ 【分析】（1）根据等式的性质1， 方程两边同时减去求解。 （2）先根据等式的性质1，方程两边同时加上；再根据等式的性质2，方程两边同时除以3求解。 （3）先化简方程，再根据等式的性质2，方程两边同时加上求解。 【详解】（1）x＋＝ 解：x＋－＝－ x＝－ x＝ （2）3x－＝ 解：3x－＋＝＋ 3x＝5 3x÷3＝5÷3 x＝ （3）x－（＋）＝ 解：x－（＋）＝ x－＝ x－＋＝＋ x＝ 24．至少称3次；称量方案见详解 【分析】第一次：用5g砝码和30g砝码称35g糖；第二次：用30g砝码加35g糖称65g糖；第三次：用第一次和第二次的糖共（g）称100g糖，最后剩下的糖也是100g。 【详解】第一次：用砝码称35g糖； 第二次：（g），用30g砝码加35g糖称65g糖； 第三次：（g）第一次和第二次的糖共100g，即可再称出100g糖，最后剩下的糖也是100g。 答：至少要称3次。 【点睛】本题考查了找次品方法的灵活应用，天平的特点是只要平衡，两边一样重。 25．3次；流程图见详解 【分析】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【详解】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 26．3；4；4；5； （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐 【分析】（1）通过合理分组称重，把13罐牛肉干分成4、4、5，步骤如下： 第一次称：称4和4。 若不平衡，次品在轻的4罐中，若平衡，次品在5罐中； 若在5罐中，再分成2、2、1；第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 若次品在4罐中，分成2和2，第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 因此，至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 【详解】将13罐牛肉干分成3份，用（4，4，5）表示。 （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 27．（1）2次；见详解；（2）可能；见详解 【分析】（1）把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 （2）称一次是可能找出这副药，因为如果天平两端平衡的话，这8幅中药就没有次品，就说明次品就是没称的那副中药。据此解答。 【详解】（1）答：用天平称2次，能保证找到这副中药。 过程如下： （2）答：有可能找出来这副药，因为如果两边各放4副药，称一次，如果平衡的话，则没有称的一副药是要找的次品。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 28．（1）3次 （2）3次 （3）3次 【分析】（1）先把12个球平均分成3份，每份是4个，任取两份进行称量，可以确定铅球在较重的那一份中；再把重的这份分成（2，2）进行称量，此时可以确定铅球在哪一份中；最后把重的那2个球分成（1，1），进行称量，最终找出铅球； （2）先把12个球平均分成4份，每份是3个，任取两份进行称量，要称两次，从而确定铅球在哪一份（3个）中；再把这份的3个球分成（1，1，1）进行称量，称量一次，最终找出铅球； （3）先把12个球平均分成2份，称量一次，找出铅球在哪一份；再把这6个球平均分成（3，3），称量一次，找出铅球在哪一份；最后把3个球分成（1，1，1），称量一次，最终找出铅球，据此解答。 【详解】（1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，先取两份放在天平两边称，若平衡，则将另外一份平分成2份放在天平两边称，称出较重的一份，再将其分成两份，放在天平两边称，重的就是铅球；若不平衡，则将较重的一份平均分成2份放在天平两边，称出较重的一份，再将其分成两份，放在天平两边称，重的就是铅球，故至少称3次。 （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，先在天平两边各放一份，看天平是否平衡，再把另两份放在天平两边，看天平是否平衡，则较重的一份含有铅球，此时取两个金属球放在天平两端，如果平衡，则剩余的一个是铅球，如果不平衡，较重的一个是铅球，故至少称3次。 （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，先在天平两边各放一份，称出较重的一份，将较重的一份分成两份放在天平两边，再称出较重的一份，此时取两个金属球放在天平两端，如果平衡，则剩余的一个是铅球，如果不平衡，较重的一个是铅球，故至少称3次。 29．（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）3；1 （3）这些月饼可能有10~27盒。 【分析】（1）根据分成的份数，用天平称一称，完成表格； （2）找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）用天平找次品时，如果只含1个次品，且已知次品比正品轻，所测物品的数量与保证能找出次品至少需要测量的次数之间有以下关系：2~3个物品，1次；4~9个物品，2次；10~27个物品，3次；28~81个物品，4次…… 【详解】（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有10~27盒。 答案第2页，共16页 答案第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $