第八单元 数学广角——找次品（高频常考易错题单元检测提升二）2025-2026学年人教版数学五年级下册

第八单元 数学广角——找次品（高频常考易错题单元检测提升二） 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 五 总分 评分 一、选择题（共16分） 1．（本题2分）有10个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称（    ）次，一定能找到次品球。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】找次品时把物品数量尽可能平均分成三组，先称其中的两组，分天平平衡和不平衡两种情况，依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】把10个乒乓球分成（3，3，4）三组，第一次先称（3，3）这两组。 ①如果天平平衡，则次品在剩余的一组中；再把剩余的4个乒乓球分成（1，1，2）三组，第二次称（1，1）两组，如果天平不平衡，次品在天平翘起的一端；如果天平平衡，则次品在剩余的2个乒乓球中，最后把2个乒乓球分成（1，1）两组，第三次称（1，1）两组，天平翘起一端为次品。 ②如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端中；再把翘起的这一端的3个乒乓球分成（1，1，1）三组，第二次随意选择（1，1）两组称，如果天平平衡，则次品在没有称的一组；如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端。 因此有10个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称3次，一定能找到次品球。 故答案为：B 2．（本题2分）有11枚银币，外表完全一样，其中有一枚是假的，比其他的稍轻一些。利用天平至少称（    ）次能确保找出这枚假币。 A．1 B．2 C．3 【答案】C 【分析】本题属于找次品问题，需利用天平称量次数最少的策略。根据分组原则，每次尽可能将物品均分三组，利用天平三种结果缩小范围。 【详解】第一次称量：将11枚银币分成4、4、3三组。 称量两组4枚： 若平衡，假币在剩余3枚中，进入步骤①。 若不平衡，假币在较轻的4枚中，进入步骤②。 步骤① 第二次称量（剩余3枚）：取2枚分别放天平两侧： 若平衡，假币为未称的1枚。 若不平衡，较轻一侧为假币。 此时共需2次。 步骤② 第二次称量（剩余4枚）：将4枚分成1、1、2三组。 称量两组1枚： 若平衡，假币在未称的2枚中，进入步骤③。 若不平衡，较轻者为假币，此时共需2次。 步骤③ 第三次称量（剩余2枚）：取2枚各放一侧，较轻者为假币。 此时共需3次。 综上，最坏情况下需3次。 故答案为：C 3．（本题2分）有27瓶饮料，其中26瓶质量相同，另一瓶比其他各瓶轻一些。用天平来称，若要保证能找出这瓶轻一些的饮料，至少要称（    ）次。 A．3次 B．4次 C．5次 【答案】A 【分析】把27瓶水平均分成3份，每份9瓶，即（9，9，9），第一次称，天平两边各放9瓶，如果天平不平衡，次品就在轻的9瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的9瓶中；把有次品的9瓶水平均分成3份，每份是3瓶，即（3，3，3）；第二次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的3瓶中；最后把有次品的3瓶水分成3份，即（1，1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1瓶；如果天平平衡，次品就是剩下的那1瓶，所以至少称3次保证能找到次品。 【详解】根据分析可知，有27瓶饮料，其中26瓶质量相同，另一瓶比其他各瓶轻一些。用天平来称，若要保证能找出这瓶轻一些的饮料，至少要称3次。 故答案为：A 4．（本题2分）有7瓶酱油，其中有6瓶的质量相同，另一瓶酱油的质量稍微轻些，用天平至少称（    ）次，能保证找出这瓶酱油。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】把7瓶酱油分成3瓶、3瓶、1瓶这样三组。将两份3瓶的分别放在天平秤两端。 情况一：若天平平衡，说明剩下的那1瓶就是质量稍轻的，这样仅需称1次就找出了。但这是幸运情况，题目要求“保证找出”，得考虑最不利情形。 情况二：若天平不平衡，那么质量稍轻的那瓶在天平轻的一端的3瓶之中。 第二次称重：针对天平轻的一端的3瓶，任取其中2瓶，分别放在天平秤两端。 情况一：若天平平衡，说明没称的那1瓶就是质量稍轻的。 情况二：若天平不平衡，轻的一端放的就是要找的那瓶质量稍轻的酱油。 【详解】第一次将7瓶分成3瓶、3瓶、1瓶，称量两组3瓶：若平衡，剩余1瓶为次品，共1次（但需按最坏情况分析）。若不平衡，次品在较轻的3瓶中。 第二次从较轻的3瓶中取2瓶称量：若平衡，剩余1瓶为次品；若不平衡，轻的一侧为次品。 所以用天平至少称2次，能保证找出这瓶酱油。 故答案为：B 5．（本题2分）一箱纯牛奶有24盒，其中有一盒是次品，比正品轻一些，用天平称，至少称（    ）次就能保证找出这盒不合格的纯牛奶。 A．3 B．4 C．5 【答案】A 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将24盒纯牛奶分成（8、8、8），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（8、8），无论平衡不平衡都可确定次品在其中8盒；将8分成（3、3、2），称（3、3），不平衡，次品在其中3盒；将3盒分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 至少称3次就能保证找出这盒不合格的纯牛奶。 故答案为：A 6．（本题2分）有15瓶奶糖，其中14瓶的质量相同，只有1瓶质量不足，轻一些。如果要确保找出轻的那一瓶奶糖，至少要用天平称（    ）次。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】第一次：把15瓶奶糖分成（5、5、5）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品； 第二次：把有次品的5瓶奶糖分成（2、2、1）三组，在天平两边各放2瓶，若平衡，则剩下的一瓶就是次品，若不平衡 ，次品在上升的2瓶中，再称1次即可。 【详解】由分析可知： 如果要确保找出轻的那一瓶奶糖，至少要用天平称3次。 故答案为：B 【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 7．（本题2分）国王让工匠打造9顶黄金王冠，工匠在打造过程中，将其中一顶用其它轻的金属代替了黄金，但外观与其它王冠完全一样。用一只无砝码的天平称，至少称（    ）次可以找出假王冠。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】第一次：把9顶黄金王冠平均分成三份，每份3顶，任取其中两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，假王冠即在未取3顶中（再按照下面方法操作），若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假王冠；第二次：从天平秤较高端的3顶王冠中，任取2顶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，未取的那顶即是假王冠，若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假王冠，据此即可解答。 【详解】第一种情况： 第一次：把9顶黄金王冠平均分成三份，每份3顶，任取其中两份，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的3顶王冠中，任取2顶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，未取的那顶即是假王冠，若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假王冠； 第二种情况： 第一次：把9顶黄金王冠平均分成三份，每份3顶，任取其中两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，假王冠即在未取3顶中；第二次：从未取的3顶王冠中，任取2顶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，剩余的那枚即是假王冠，若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假王冠。 所以用天平至少称两次就找出来。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力。 8．（本题2分）阿凡提从他的朋友那里得到了8枚外表一模一样的金币，但是其中有1枚是假的，重量较轻．想一想，他至少需要用天平称（     ）次才能找出假的硬币． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【详解】略 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）妈妈买了7瓶质量相同的水果糖，其中一瓶被妹妹吃了几颗，用天平至少称( )次能保证找出这瓶水果糖。 【答案】2 【分析】将7瓶水果糖分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量轻的一瓶。 【详解】将质量轻的一瓶当作次品。 第一次，将7瓶水果糖分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端； 第二次，将含有次品的3瓶，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端； 由此可找到轻的一瓶。 所以用天平至少称2次能保证找出这瓶水果糖。 【点睛】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3瓶，体现公平性。 10．（本题3分）一箱牛奶有20袋，其中19袋质量相同，另一袋质量不足，用天平称，至少( )次保证能找出这袋牛奶。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将20袋牛奶分成（7、7、6），只考虑最不利的情况，先称（7、7），不平衡，次品在7袋中；将7袋分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3袋中；再将3袋分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 11．（本题3分）有15瓶水，其14瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称( )次能保证找出这瓶盐水？    【答案】3 【分析】把15瓶水分成（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要2次。如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需要3次。所以至少3次保证可能找出这瓶盐水。 【详解】由分析可知： 至少称3次能保证找出这瓶盐水。 【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物体尽量的平均分成3份是解题的关键。 12．（本题3分）如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量( )的一边会翘起，质量( )的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量( )时，天平才会平衡。 【答案】 轻 重 相等/一样 【详解】如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量轻的一边会翘起，质量重的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量相等时，天平才会平衡。 如图：，当左边砝码质量比长方体轻时，左边就会翘起，右边就会下沉；当左边砝码质量等于长方体质量时，天平才会平衡。 13．（本题3分）有15瓶外观完全相同的水，其中14瓶质量相同，另一瓶是盐水，比其他的水略重一些。如果用天平称，至少称_______次能保证找出这瓶盐水。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】经分析得： 将15瓶分成3份：5，5，5；第一次称重，在天平两边各放5瓶，手里留5瓶； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5瓶分为2，2，1，在天平两边各放2瓶，手里留1瓶， a.如果天平平衡，则次品在手里1瓶中； b.如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的2瓶中。 接下来，将这2瓶分成2份：1，1。天平的两边分别放1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的5瓶中，将这5瓶分成三份：2，2，1，在天平两边各放2瓶，手里留1瓶， a.如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘的2瓶中， 接下来，将这2瓶分成2份：1，1。天平的两边分别放1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。 b.如果天平平衡，则次品在手中的1瓶中。 故至少称3次能就能保证可以找出这一瓶。 【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 14．（本题3分）有一袋零件共30个，其中有一个是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次才能保证找出这个次品。 【答案】4/四 【分析】把30个零件分成（10、10、10）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；把有次品的10个分成（3、3、4）三组，在天平两边各放3个零件，若平衡，则次品在剩下的4个零件中；再把这4个零件分成（1，1，2），在天平两边各放1个零件，若平衡，则次品在剩下的2个中，再称1次即可；若不平衡，则次品在上升的3个零件中，把这3个零件分成（1，1，1），则再称1次即可。 【详解】由分析可知： 用天平称，至少称4次才能保证找出这个次品。 【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 15．（本题3分）王叔叔做的15个零件中有一个是次品，次品重一些，其他14个质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出次品。 【答案】3/三 【分析】把15个零件分成5、5、5三组，称量5、5两组，若天平平衡，则未拿的那组里有次品；若天平不平衡，再将天平低的那端5个零件分成2、2、1三组，把其中的两份2个的放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的一个，若天平不平衡，次品在天平较低的2个中；进而再将较重的那2个称量一次就可以找到次品了。 【详解】第一次：每边放5个，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较低端的5个中； 第二次：将天平较低的那端5个零件分成2、2、1三组，把其中的两份2个的放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的一个，若天平不平衡，次品在天平较低端的2个中； 第三次：将含有次品的2个零件放入天平两端，天平较低端的零件是次品； 因此，至少称3次可以保证找出次品。 【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。 16．（本题3分）有5个外形完全一样的零件，其中有一个是次品，根据下图可以推断出( )号一定是正品。 【答案】⑤ 【分析】次品的质量可能比正品轻，也可能比正品重，此时天平不平衡，说明次品在天平上，那么剩下的一个一定是正品，据此解答。 【详解】分析可知，次品一定在①②③④中，可以推断出⑤号一定是正品。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 17．（本题3分）有7盒规格为50根/盒的曲别针，其中6盒是正品，有1盒少装了2根。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出这盒曲别针。 【答案】2/两/二 【分析】将7盒曲别针分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量较轻的一盒。 【详解】将质量轻的一盒当作次品。 第一次，将7盒曲别针分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端； 第二次，将含有次品的3盒，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；由此可找到轻的一盒。 综上，在7盒曲别针中有一盒次品，如果用天平称，至少称2次可以保证找出这盒曲别针。 【点睛】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3盒，体现公平性。 18．（本题3分）9个外表相同的零件里混入一个次品（次品轻一些），找这个次品如果能用天平称的话，最好的方法是先把零件尽量均分为( )份，至少称( )次能保证找出次品。 【答案】 3/三 2/两/二 【分析】根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。 【详解】第一次：先把9个零件分成（3，3，3），把两个3个一组的放在天平上称，如果天平平衡，次品在未称的一组中，如果天平不平衡，次品在较轻的一组中； 第二次：如果第一次天平平衡，将剩下3个分成（1，1，1），把两个1个一组的放在天平上称，如果天平平衡，次品就是没称轻的那1个；如果天平不平衡，次品在较轻的一组。 如果第一次天平不平衡，次品在较轻的一组中，按同样的方法把3个分（1，1，1），也只需要称一次就能找到次品。 综上所述，最好的方法是先把零件尽量均分为3份，至少称2次就能找出次品。 【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。 三、判断题（共10分） 19．（本题2分）用天平找次品时，已知待测物品中有一个次品（次品轻一些），要保证3次测出次品，待测物品可能是10~27个。( ) 【答案】√ 【分析】用天平找次品，把物品尽量平均分成3份来称，能最快找出次品。 保证1次测出次品时，物品最多3个（分成1、1、1）。 保证2次测出次品时，物品最多9个（第一次分成3、3、3，称一次确定在哪3个里，第二次分成1、1、1）。 保证3次测出次品时，第一次把物品分成9、9、9来称，确定在哪9个里；第二次把9个分成3、3、3，确定在哪3个里；第三次把3个分成1、1、1找出次品。所以物品最多27个，最少10个（因为9个及以下2次就能测出，所以10个开始需要3次）。 【详解】题目中说待测物品可能是10－27个，符合上述通过分组称量得出的规律，所以该说法正确。 故答案为：√ 20．（本题2分）有8瓶口香糖，其中1瓶轻一些，用天平找次品的方法，我们至少称2次才能找出这瓶口香糖。( ) 【答案】√ 【分析】把8瓶口香糖分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3瓶口香糖分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那一瓶。所以至少称2次才能找出这瓶口香糖。 【详解】 至少称2次才能找出这瓶口香糖。 原题说法正确。 故答案为：√ 21．（本题2分）有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。( ) 【答案】√ 【分析】根据找次品问题的解题策略，将物品尽可能均分三组（9、9、10），先称9瓶的两组，若平衡，盐水在第三组；若不平衡，盐水在重的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小盐水所在范围，直至确定盐水。 【详解】第一次将28瓶分成9瓶、9瓶、10瓶，先称9瓶的两组：若平衡，盐水在第三组10瓶中；若不平衡，在较重的9瓶中；第二次将较重的9瓶分成3、3、3，称3瓶的两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至3瓶），若不平衡，在较重的3瓶中（将范围缩小至3瓶）；或者将含有盐水的10瓶分成3、3、4，称3瓶的两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至4瓶），若不平衡，在较重的3瓶中（将范围缩小至3瓶）；第三次将较重的3瓶分成1、1、1，称前两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至1瓶）；若不平衡，较重的1瓶是盐水；或者将含有盐水的4瓶分成1、1、2，称前两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至2瓶）；若不平衡，较重的1瓶是盐水；第四次将含有盐水的2瓶分成1、1，较重的1瓶是盐水；因此至少称4次能保证找出这瓶盐水。 故答案为：√ 22．（本题2分）有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。( ) 【答案】√ 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将6个羽毛球分成（2，2，2），取其中两组各2个称量。无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2个；将2个分成（1、1），再称一次即可确定次品，共2次，所以原题说法正确。 故答案为：√ 23．（本题2分）11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称2次就能找出这个次品。( ) 【答案】× 【分析】根据找次品的最优策略，将物品尽量平均分成三组。这11个零件，第1次分成4、4、3，若第1次称量4、4平衡，则次品在剩下3个零件中，需再称2次；若第1次称量4、4不平衡，则次品在这8个零件中，剩下的3个零件是正品，将这8个零件重新分组3，3，2，先称数量相同的两组，若天平平衡，则次品在剩下一组里面，需再称1次；若天平不平衡，称其中一组和另外3个正品，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】 综上所述，11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称4次就能找出这个次品，所以题目说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查找次品问题，因为不知道次品比正品轻还是比正品重，需要多次称重才能确定次品在哪一组里面，逐步缩小范围直到最后确定次品是解答题目的关键。 四、解答题（共44分） 24．（本题7分）一箱糖果有12袋,其中有11袋质量相同,另有1袋质量轻一些．如何找出这袋糖果来? 【答案】把12袋糖果平均分成3份,每份4袋,在天平的两端各放1份,会出现两种情况:(1)平衡,次品在第3份中,把第3份的4袋糖果分成1、1、2这样的3份,在天平的两端各放1袋,①平衡,次品在剩下的2袋中,将剩下的2袋在天平的两端各放 1袋,轻的是次品,②不平衡,轻的是次品;(2)不平衡,次品在轻的4袋糖果中,把这4袋分成1、1、2这样的3份,在天平的两端各放1袋,①平衡,次品在剩下的2袋中,将剩下的2袋在天平的两端各放1袋,轻的是次品;②不平衡,轻的是次品． 【详解】略 25．（本题7分）爸爸买了5个冰淇淋，其中4个都是150克，另外1个有155克．用天平称，至少称几次一定能找出重155克的那个冰淇淋？ 【答案】至少称2次 【详解】首先从5个冰淇淋里任选4个，平均分成2份，分别放在天平的两端，若天平平衡，则未取的冰淇淋就是155克的；若天平不平衡，把在天平重的一端的两个冰淇淋分别放在天平两端，比较重的冰淇淋就是155克的． 26．（本题7分）妈妈买了8千克的茶叶，分成了8袋包装，其中7袋质量相等，有1袋不知轻些还是重一些，怎样用天平找出这一袋，是轻还是重？ 【答案】见详解 【详解】把这8袋分3份（3，3，2），先在天平两端各放3袋，如果天平平衡说明这两份都是正常的，用其中的一袋和剩下的2袋分别比较，平衡的就是正常的，如果不平衡，剩下的托盘下沉，说明那袋重，如果抬高说明那袋轻；如果不平衡，说明剩下的是正常的，用不平衡的天平上的每一袋和正常的比较，就能找到不一样的那一袋。 27．（本题7分）有8个外形相同的机器零件，其中有一个次品，比其他零件要轻，如果用天平称，至少称几次就能保证找出这个零件？ 【答案】2次 【详解】略 28．（本题8分）技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的15个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把15个网球平均分成3份，每份5个，即（5，5，5），第一次称，天平两边各放5个，如果天平不平衡，次品就在较重的5个中；如果天平平衡，次品在剩下的5个中；把有次品的5个网球分成3份，即（2，2，1），第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就在较重的2个中；如果天平平衡，次品就是剩下的那1个；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2个网球分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，次品就是较重的那1个。所以至少称3次保证能找出次品。 答：用天平称，至少称3次能保证找出次品。 【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。 29．（本题8分）为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 【答案】3次，过程见详解 【分析】找次品中，可将11个沙包分为4、4、3共3份，在天平上称相同数量的，如果平衡则在3个沙包一份，再重复上述操作直到天平不平衡时，向上的一端的沙包是轻的。如果第一次称天平不平衡，则较轻的沙包在向上的一端的四个沙包中；再将它分成2、2共两份，再进行上述操作，要进行三次称量得出。 【详解】至少需要称量3次； 过程：将11个分成3份：4，4，3；第一次称重，在天平两边各放4个，手里留3个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的3个分为1，1，1，在天平两边各放1个，手里留1个， a.如果天平平衡，则次品在手里； b.如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘中； （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的4个中，将这4个中的2个在天平两边各放1个，手里留2个， a.如果天平不平衡，则找到次品在上升的天平托盘中； b.如果天平平衡，则次品在手中的2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 故至少称3次能保证找出次品。 【点睛】本题主要考查的是找次品的方法，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角——找次品（高频常考易错题单元检测提升二） 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 五 总分 评分 一、选择题（共16分） 1．（本题2分）有10个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称（    ）次，一定能找到次品球。 A．2 B．3 C．4 2．（本题2分）有11枚银币，外表完全一样，其中有一枚是假的，比其他的稍轻一些。利用天平至少称（    ）次能确保找出这枚假币。 A．1 B．2 C．3 3．（本题2分）有27瓶饮料，其中26瓶质量相同，另一瓶比其他各瓶轻一些。用天平来称，若要保证能找出这瓶轻一些的饮料，至少要称（    ）次。 A．3次 B．4次 C．5次 4．（本题2分）有7瓶酱油，其中有6瓶的质量相同，另一瓶酱油的质量稍微轻些，用天平至少称（    ）次，能保证找出这瓶酱油。 A．1 B．2 C．3 5．（本题2分）一箱纯牛奶有24盒，其中有一盒是次品，比正品轻一些，用天平称，至少称（    ）次就能保证找出这盒不合格的纯牛奶。 A．3 B．4 C．5 6．（本题2分）有15瓶奶糖，其中14瓶的质量相同，只有1瓶质量不足，轻一些。如果要确保找出轻的那一瓶奶糖，至少要用天平称（    ）次。 A．2 B．3 C．4 7．（本题2分）国王让工匠打造9顶黄金王冠，工匠在打造过程中，将其中一顶用其它轻的金属代替了黄金，但外观与其它王冠完全一样。用一只无砝码的天平称，至少称（    ）次可以找出假王冠。 A．2 B．3 C．4 8．（本题2分）阿凡提从他的朋友那里得到了8枚外表一模一样的金币，但是其中有1枚是假的，重量较轻．想一想，他至少需要用天平称（     ）次才能找出假的硬币． A．2 B．3 C．4 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）妈妈买了7瓶质量相同的水果糖，其中一瓶被妹妹吃了几颗，用天平至少称( )次能保证找出这瓶水果糖。 10．（本题3分）一箱牛奶有20袋，其中19袋质量相同，另一袋质量不足，用天平称，至少( )次保证能找出这袋牛奶。 11．（本题3分）有15瓶水，其14瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称( )次能保证找出这瓶盐水？    12．（本题3分）如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量( )的一边会翘起，质量( )的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量( )时，天平才会平衡。 13．（本题3分）有15瓶外观完全相同的水，其中14瓶质量相同，另一瓶是盐水，比其他的水略重一些。如果用天平称，至少称_______次能保证找出这瓶盐水。 14．（本题3分）有一袋零件共30个，其中有一个是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次才能保证找出这个次品。 15．（本题3分）王叔叔做的15个零件中有一个是次品，次品重一些，其他14个质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出次品。 16．（本题3分）有5个外形完全一样的零件，其中有一个是次品，根据下图可以推断出( )号一定是正品。 17．（本题3分）有7盒规格为50根/盒的曲别针，其中6盒是正品，有1盒少装了2根。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出这盒曲别针。 18．（本题3分）9个外表相同的零件里混入一个次品（次品轻一些），找这个次品如果能用天平称的话，最好的方法是先把零件尽量均分为( )份，至少称( )次能保证找出次品。 三、判断题（共10分） 19．（本题2分）用天平找次品时，已知待测物品中有一个次品（次品轻一些），要保证3次测出次品，待测物品可能是10~27个。( ) 20．（本题2分）有8瓶口香糖，其中1瓶轻一些，用天平找次品的方法，我们至少称2次才能找出这瓶口香糖。( ) 21．（本题2分）有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。( ) 22．（本题2分）有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。( ) 23．（本题2分）11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称2次就能找出这个次品。( ) 四、解答题（共44分） 24．（本题7分）一箱糖果有12袋,其中有11袋质量相同,另有1袋质量轻一些．如何找出这袋糖果来? 25．（本题7分）爸爸买了5个冰淇淋，其中4个都是150克，另外1个有155克．用天平称，至少称几次一定能找出重155克的那个冰淇淋？ 26．（本题7分）妈妈买了8千克的茶叶，分成了8袋包装，其中7袋质量相等，有1袋不知轻些还是重一些，怎样用天平找出这一袋，是轻还是重？ 27．（本题7分）有8个外形相同的机器零件，其中有一个次品，比其他零件要轻，如果用天平称，至少称几次就能保证找出这个零件？ 28．（本题8分）技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的15个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 29．（本题8分）为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $