精品解析：2026年湖北天门市十二校联考九年级5月份阶段性练习试卷

九年级5月份阶段性练习 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提醒： 1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置． 2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观． 3．请认真审题，仔细答题，诚信应答，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度分别相等，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列四个选项正确的是( ) A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是关于x的一元二次方程的两个根，且，，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，若，于点A，则为（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样调查的方式 B. 明天下雨是随机事件 C. 任意画一个多边形，其外角和是随机事件 D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 7. 如图，是⊙的切线，为切点，连接并延长交⊙于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 函数解析式为 B. 当时， C. 当时， D. 当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 9. 平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________． 12. 电影《哪吒之魔童闹海》自2025年1月上映以来大受欢迎，好评如潮．截至2025年3月中旬，其票房收入（含预售）累计已达149亿元，数字149亿元用科学记数法可表示为______元． 13. 在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是________． 14. 计算的结果是______． 15. 如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解不等式组． 17. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE=DF，连接AF，CE．求证：∠E=∠F． 18. “珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） （1）求BC段的长度（结果保留整数）； （2）判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（） 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 （1）统计表中的_______；统计图中B组对应扇形的圆心角为_______度； （2）阅读时间在的众数是_______；阅读时间的中位数是________； （3）请你估计全校2000名同学课外阅读时间不少于40min的人数有多少人； （4）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 20. 我国很多经典古籍中记载了“河图”和“洛书”，它是中国重要的文化遗产之一．“河图”和“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： （1）请按照图1“洛书”中的顺序把数字填入图2对应的正方形空格中； （2）我们把图2叫作一个“三阶”幻方．不难发现：“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上数字之和都相等．若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，则“幻方和”与“中心数”还存在着一定的倍数关系． ①如图3，已知，，幻方的“中心数”，则的值为________； ②如图4，、、、、、是含有字母的整式，，，若幻方的“中心数”，，且为常数，求的值． 21. 如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 22. “五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 23. 在中，，，P是边上的一个动点（点P与A，C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转到，连接与交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长；． （3）如图3，过点A作的垂线与的延长线交于点F．探究与的数量关系，并说明理由． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级5月份阶段性练习 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提醒： 1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置． 2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观． 3．请认真审题，仔细答题，诚信应答，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度分别相等，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【详解】解：从正面看去，是两个有公共边的长方形，如图所示： 故选D． 2. 有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列四个选项正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据数轴判定出有理数、的大小关系，然后逐项判定即可. 【详解】由数轴，可知 A选项，应为； B选项，应为； C选项，，正确； D选项，应为； 故答案为C. 【点睛】此题主要考查数轴上有理数的大小比较，熟练掌握，即可解题. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，负整数指数幂法则，积的乘方计算法则，单项式除以单项式法则分别计算并判断． 【详解】解：A. 与 不是同类项，不能合并，故错误； B. ，正确； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握合并同类项法则，负整数指数幂法则，积的乘方计算法则，单项式除以单项式法则是解题的关键． 4. 已知，是关于x的一元二次方程的两个根，且，，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵，， ， 当时，，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，． 5. 如图，直线，若，于点A，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，从而得到，再由平行线的性质进行计算即可得到的度数． 【详解】解：， ． ， ． ， ． ． 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样调查的方式 B. 明天下雨是随机事件 C. 任意画一个多边形，其外角和是随机事件 D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】结合抽样调查适用条件，随机事件与必然事件定义，多边形外角和性质，方差的意义，逐一判断选项即可得到错误说法。 【详解】选项A：调查长江中现有鱼的种类范围大，无法进行全面调查，适宜抽样调查，所以A说法正确，不符合要求； 选项B：明天下雨可能发生也可能不发生，属于随机事件，所以B说法正确，不符合要求； 选项C： 任意多边形的外角和恒为，因此“任意画一个多边形，其外角和是”是必然事件，不是随机事件，所以C说法不正确，符合要求； 选项D：方差越小，数据波动越小，数据越稳定，且 ，所以乙组数据更稳定，D说法正确，不符合要求． 7. 如图，是⊙的切线，为切点，连接并延长交⊙于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，与⊙相切于点，得到，根据三角形内角和求出，再根据三角形外角的性质，求出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 与⊙相切于点， ， ， ， ， ， ． 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 函数解析式为 B. 当时， C. 当时， D. 当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】将，代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：观察图象，可知图中函数为反比例函数， 即， 当时，， 得， 解得， ∴函数解析式为，故选项A正确； 当时，，故选项B错误； 当时，， 得，故选项C正确； ∴当电压一定时，电流随电阻的增大而减小，故选项D正确． 9. 平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，过点作轴于点，可得，，则，可得．由旋转得，，可知点在轴正半轴上，进而可得点的坐标为． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， ， ， ． 线段绕点逆时针旋转， ，， ， 点在轴正半轴上， 点的对应点的坐标为． 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图步骤可知是的角平分线，是的垂直平分线，则，利用勾股定理可得，因为，所以，则，即，解得，所以． 【详解】由题意可知：是的角平分线，是的垂直平分线， ∵四边形是矩形， ∴，，， ， ，， 则， AD∥BQ， ，即，解得， ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了角平分线、垂直平分线的作图方法、矩形的性质、相似三角形判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握角平分线、垂直平分线的作图方法以及找准相似三角形进行线段计算． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据绝对值的定义及有理数的大小比较方法求解即可． 【详解】解：∵|-1|=1，1<3， ∴这个负数可以是-1． 故答案为：-1（答案不唯一）． 【点睛】一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 12. 电影《哪吒之魔童闹海》自2025年1月上映以来大受欢迎，好评如潮．截至2025年3月中旬，其票房收入（含预售）累计已达149亿元，数字149亿元用科学记数法可表示为______元． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：149亿元元元， 故答案为：． 13. 在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 利用简单事件的概率计算公式即可得． 【详解】解：单词中字母“”有2个，单词中总共有5个字母， ∴选中字母“”的概率， 故答案为：． 14. 计算的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先化为同分母，利用同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】 ． 15. 如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 ①. 3 ②. 54 【解析】 【分析】（1）由函数图象得； （2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点， 当时，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当点与点重合时，的值最大， 由函数图象经过点， 则当时，， 当时，连接，，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 当点与点重合时，的值最大，， ∴的最大值为54． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】解：解不等式得； 解不等式得， 所以不等式组的解集为． 17. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE=DF，连接AF，CE．求证：∠E=∠F． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】证明△ADF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠ADB=∠DBC． ∵∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠DBC=180° ∴∠ADF=∠CBE． 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠E=∠F． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 18. “珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） （1）求BC段的长度（结果保留整数）； （2）判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 【答案】（1）BC段的长度约为140米 （2）小汽车在BC段行驶时没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别在和中求出求和，即可求出BC段的长度； （2）根据时间和BC段的长度计算出车速，与限速比较即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：段的长度约为140米； 【小问2详解】 解：小汽车没有超速，理由如下： 小汽车行驶的速度（米/秒）， ∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时， ∴小汽车在段行驶时没有超速． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（） 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 （1）统计表中的_______；统计图中B组对应扇形的圆心角为_______度； （2）阅读时间在的众数是_______；阅读时间的中位数是________； （3）请你估计全校2000名同学课外阅读时间不少于40min的人数有多少人； （4）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）5，144 （2）40 ，40 （3）估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于 （4） 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求众数与中位数，用样本估计总体，树状图法求概率，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用总数减去其他组的人数求出的值，360度乘以B组人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）根据众数和中位数的确定方法进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：5，144 【小问2详解】 解：阅读时间在的数据中出现次数最多的是40； 故众数为40； 将数据排序后，第10个和第11个数据均为40， ∴中位数为：； 【小问3详解】 解：（名）； 答：估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种； （一名男生和一名女生）． 20. 我国很多经典古籍中记载了“河图”和“洛书”，它是中国重要的文化遗产之一．“河图”和“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： （1）请按照图1“洛书”中的顺序把数字填入图2对应的正方形空格中； （2）我们把图2叫作一个“三阶”幻方．不难发现：“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上数字之和都相等．若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，则“幻方和”与“中心数”还存在着一定的倍数关系． ①如图3，已知，，幻方的“中心数”，则的值为________； ②如图4，、、、、、是含有字母的整式，，，若幻方的“中心数”，，且为常数，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）根据“洛书”中实心点或空心点的个数填在正方形空格中即可； （2）①根据图2中相关数字可知：“幻方和”是“中心数”的3倍，然后求出a的值即可； ②根据幻方特点得出，，从而得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据“洛书”中实心点或空心点的个数填图如下： 【小问2详解】 解：①根据图2可知，“幻方和”为，“中心数”为5， ∴“幻方和”是“中心数”的3倍， ∴，， ∵，，幻方的“中心数”， ∴， 解得：， ∴， 解得：； ②∵“幻方和”是“中心数”的3倍， ∴，，， ∵，，，， ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查探索与表达规律，一元一次方程的应用．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 21. 如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）连接．证明，由题意知，推出，即，即可证明； （2）由题意知：，，设，则，由（1）知，利用勾股定理半径，推出，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵是的高， ∴． ∴． ∴． ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由题意知：，， 设，则， 由（1）知， ∴在中，， 即， 解得． ∴． ∴的面积． 22. “五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 【答案】（1）38，10640； （2）见解析；当或360时有最大值元； （3）见解析；，且为10的整数倍. 【解析】 【分析】（1）由题意，民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而求出利润； （2）设利润为元，则，由于 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当或，又获利润不低于10360元，则，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故，进而可以判定求解. 【小问1详解】 解：由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴ ∴ ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间； ∴此时利润（元） 故答案为：38，10640； 【小问2详解】 由题意，设利润为元， ∴ ∵ ∴开口向下，对称轴为直线， 又∵ 为10的整数倍， ∴当或时，有最大值 【小问3详解】 由题意，令 ∴或 又∵所获利润不低于10360元， ∴ ∵该民宿空闲房间数不能超过20间 ∴ 解得： ∴，且为10的整数倍. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式等相关知识和内容，解题时要熟练掌握并能灵鹤运用二次函数的性质是关键. 23. 在中，，，P是边上的一个动点（点P与A，C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转到，连接与交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长；． （3）如图3，过点A作的垂线与的延长线交于点F．探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，证明，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求得， ．从而求得，再证明，得，即．所以，即可求解； （3）在上取点N，连接，使．再证明，得到．根据， 即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图， ∵，即． 由将绕点B顺时针旋转到，可得：，， 即， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ． ∵， ∴． 同理，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 【小问3详解】 解 ：． 理由如下：在上取点N，连接，使． 则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．本题综合性强，有一定难度． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， 故抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交于，过点作轴交于， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， 将代入，得到 ， ，， 轴，轴， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 的最大值为， ； 【小问3详解】 当点绕着点顺时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ， ，， 点在直线：上，设点， 则，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或 当点绕着点逆时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得点的坐标为 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，同角的余角相等,全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $