精品解析：2026年湖北省恩施州九年级数学中考第二次模拟考试试卷

2026年初中毕业年级调研测试 数 学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 实数大小比较中，负数小于0，0小于正数， ∴ 先排除负数和， ∵ ，， ∴，可得， ∴ 四个数中最大的数是． 2. 下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图（不考虑花纹因素）一样的是（ ） A. B.     C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图即可判定． 【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意； B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则、同底数幂除法法则、单项式乘法法则、完全平方公式逐一判断选项． 【详解】解：选项A，∵与不是同类项，不能合并， ∴该选项不符合题意； 选项B，∵， ∴该选项不符合题意； 选项C，∵，运算正确， ∴该选项符合题意； 选项D，∵， ∴该选项不符合题意． 4. 斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组在安全的前提下测得，验证了斑马线是由一组平行线组成的．这种验证方法依据的基本事实是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：，且为同位角， 根据同位角相等，两直线平行，判定直线是平行的． 5. 下列调查中，只适宜采用全面调查的是（ ） A. 了解一批日光灯管的使用寿命 B. 了解全国九年级学生的视力状况 C. 调查长江流域的水质状况 D. 检查运载火箭的各零部件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用场景，解题思路是根据调查是否具有破坏性，范围大小，是否对结果精度有极高要求来判断选择． 【详解】解：∵调查一批日光灯管的使用寿命具有破坏性，无法对所有灯管进行测试， ∴不适宜全面调查，A错误； ∵全国九年级学生人数多，调查范围过大， ∴不适宜全面调查，B错误； ∵长江流域水域范围广，无法对全流域水质逐一检查， ∴不适宜全面调查，C错误； ∵运载火箭各零部件的质量直接关系发射安全，必须保证每个零件都合格，对精度要求极高， ∴只适宜采用全面调查，D正确． 6. 已知方程，下列选项中是此方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把各选项的值代入方程中计算即可判断． 【详解】解：A、把代入方程得，， ∴是方程的解，该选项符合题意； B、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； C、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； D、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意． 7. 如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线交于B，C两点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合半径相等证明为等边三角形，求出的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， 由作图可知直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 为等边三角形， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， . 8. 在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程． 先根据已知条件分别表示出100元费用下电动汽车和燃油车的行驶路程，再结合“电动汽车可行驶总路程是燃油车的9倍”这一核心等量关系列方程即可． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元， ∴燃油车平均每公里的加油费为元， ∵100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里，100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍， ∴可列方程． 故选：D． 9. 如图，“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的水，水从壶底的小孔匀速漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间．用t表示漏水时间，h表示壶内底面到水面的高度，下列图象能表示h与t的变化关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，据此可判断对应的函数图象． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度， ∴随的增大而匀速地减小，选项B图象适合表示与的对应关系． 10. 如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个绝对值等于自身的值的数：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握正数和的绝对值等于它本身是解题的关键．根据绝对值的性质，找出绝对值等于自身的数． 【详解】解：因为正数和的绝对值等于它本身， 所以可以取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在一个平衡的天平左右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜．现从质量为的砝码中，随机选取一个放置在天平右端的托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，随机选择一个砝码，共3种等可能的结果，其中能使天平恢复平衡的结果只有一种情况， ∴天平恢复平衡的概率为. 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】先将整式1通分为与原式同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 【详解】解：． 14. 如图，矩形是长方体玻璃片的截面，已知．现将长方体玻璃片打磨成一个凸透镜（截面如图中的阴影部分所示），透镜的边缘经过矩形各边的中点E，F，G，H，若点E，F，G在以点O为圆心的圆上，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，根据矩形的性质和中点的定义可得，，，由圆的对称性可知圆心在直线上，设半径为，在中利用勾股定理构建关于的方程求解. 【详解】解：连接交于点， 四边形是矩形，分别是的中点， 则：互相垂直平分， ，   ∵点在上， 圆心在弦的垂直平分线上， 且平分， 圆心在直线上， 设的半径为，则， 由图可知点在的延长线上， ， 在中，由勾股定理得，  ， 解得. 15. 数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题干图形规律总结出算式 ，利用该规律分别计算两小题，第二小题需将带分数拆分为整数部分与分数部分分别求和.  【详解】解：①∵，，， ∴； ②由①可知：，     .  三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 17. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交于点．判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形等知识．根据已知条件证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】解：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵点是的中点， ， 又， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形． 18. 如图，点A在反比例函数 图象上，过点A作垂直于x轴于点B．已知，． （1）求k的值． （2）点C是反比例函数 的图象上一点，点 D，E在x 轴上，，．若，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）先根据平行线的性质求出，，进一步可得，根据相似三角形的性质得出，即可得出的长，即点C的纵坐标，最后根据点C在反比例函数的图象上即可求解． 【小问1详解】 解：∵垂直于x轴，，， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数 图象上， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵点 D，E在x 轴上，，，垂直于x轴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴，即点C的纵坐标为2， ∵点C是反比例函数 的图象上一点， ∴点C的横坐标为， ∴． 19. “五一”国际劳动节来临之际，某校开展以“勤学乐干，劳动光荣”为主题的实践活动，并对学生“一周参与家务劳动时间”进行问卷调查．以下是对问卷调查数据收集、整理与描述的过程． 【收集数据】在全校学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查． 【整理数据】将问卷数据进行整理，根据劳动时间x（单位：min）将其分为以下四组：A组，B组，C组，D组． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下不完整的条形图和扇形图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次共抽取了 名学生进行问卷调查，并补全条形统计图． （2）在扇形图中求C组所对圆心角的度数． （3）估计该校1500名学生中一周参与家务劳动时间不低于1小时的人数． 【答案】（1）这次共抽取了200名学生进行问卷调查，补全条形统计图见解析 （2） （3）1350 【解析】 【分析】（1）用B组的人数除以B组所占百分比即可，可得总人数，用调查的总人数乘可得C组人数，进而求得A组人数，再补全条形统计图； （2）用乘C组所占百分比； （3）用样本估计总体进行计算． 【小问1详解】 解：（名），所以这次共抽取了200名学生进行问卷调查， C组人数：（名），A组人数：（名）， 补全条形统计图即可如下： 【小问2详解】 ， C组所对圆心角是； 【小问3详解】 （名）， 该校1500名学生中一周参与家务劳动时间不低于1小时的学生约有1350名． 20. 某班数学兴趣小组学习勾股定理后，对构成直角三角形三边长a，b，c（c为斜边长）为正整数的情况进行深入探究． 【特例发现】 （1）①；②；③；④；…它们都满足 ，若，则 ． 【提出问题】 该兴趣小组进一步探究发现，当时，总能找到正整数b，c使 于是该小组成员提出问题：当或时，是否存在正整数b，c，满足 【解决问题】 小组成员给出了当时，不存在正整数b，c，满足的证明过程． 证明：假设存在正整数b，c满足 移项得： 因式分解： ∵b，c为正整数且 ∴ ∵或 ∴，，解得，与假设相矛盾；或，． 综上所述，不存在正整数b，c，满足 （2）请类比上面的方法证明：当时，不存在正整数b，c，满足． 【答案】（1） （2） 见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理计算正整数的值即可； （2）类比题目给出的证明方法，使用反证法，先假设存在正整数满足等式，再通过平方差公式因式分解，讨论正整数因数分解，推出矛盾，证明结论.  【小问1详解】 解：∵，，为斜边长，满足，且为正整数， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问2详解】 解：假设存在正整数，满足， 移项得， 利用平方差公式因式分解得； ∵，为正整数且 ∴ ∵ ∴，，解得，与假设相矛盾， 故不存在正整数b，c，满足. 21. 如图，在中，，是的角平分线．以O为圆心，为半径作． （1）求证：是的切线． （2）已知交于点E，延长交于点 D．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作于F，由题意可知，再根据角平分线的性质可得，即可得证； （2）先根据平行线的性质和角的等量代换求得，再根据三线合一求得，再由角平分线的性质和角度计算可得，进而根据解直角三角形可得的长，即可求得的长． 【小问1详解】 证明：过点O作于F， ∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， ∴在中，，即， ∴， ∴． 22. 图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C．     （1）请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式． 方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系； 方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系． （2）当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】（1）方案一：,图见解析；方案二：,图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方案一，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得；方案二，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得； （2）根据当水面下降时，求出y 的值，把y值代入解析式求出x的值，再求出下降前和下降后的差值即可． 【小问1详解】 解：方案一，如图， 根据题意可知，抛物线与x轴的交点为，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； 方案二，如图， 根据题意可知，，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图，以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 当水面下降时，， 将代入得：， 解得：， ∴水面宽度增加米． 23. 如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，其中点 B，点C的对应点分别为点E 和点D，连接． （1）当时，求的度数． （2）如图2，当点 D落在边 上时，求 的长． （3）如图3，延长交 于点F． ①求证：点 F为 的中点； ②连接，当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）①见解析：② 【解析】 【分析】（1）首先根据旋转性质，等腰三角形性质，结合三角形内角和定理即可计算的度数． （2）先由勾股定理计算的长度，过点C作于点F，由，求出，得，得，即得． （3）①连接，由，得点F在的外接圆上，得，得，即得F是的中点，②解：过点A作于点H，过点E作交延长线于点I，证明，得，得，由勾股定理求出，得，得，证明，得，证明，得，即得． 【小问1详解】 解：由旋转知， ，， ． 【小问2详解】 解：∵中，，，， ∴． 过点C作于点F， 则， ∴， ∴， 由旋转性质得：， 当在上，， ∴​． 【小问3详解】 解：①证明：连接， 由旋转性质得 ， ， ∴， ∵的延长线交于点F， ∴点F在的外接圆上， ∴， ， ， ∴， 是的中点； ②解：过点A作于点H，过点E作，交延长线于点I，由已知得， 则 ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设 ， ∵， ∴， 解得（）， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． （3）如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当 时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）①； ②或； 【解析】 【分析】（1）利用已知点和点坐标，直接代入抛物线的一般式，通过二元一次方程组求解未知系数和，得到完整解析式； （2）先通过抛物线与轴交点条件求出点坐标，再根据轴性质得到点纵坐标，代入抛物线求点坐标；求出直线解析式之后，利用直线得到夹角的几何特征，通过等腰直角三角形的边长关系计算点到直线的距离，避免复杂的点到直线公式运算； （3）①利用轴的性质，直接用横坐标表示点坐标，将面积转化为以为底，为高的直角三角形面积；分两种情况讨论：点在点左侧（）时点在轴上方，点在点右侧（）时点在轴下方，分别计算长度，得到分段面积函数； ②分别代入两段面积函数解不等式：时，二次函数开口向下，最大值为2，因此恒成立，只需的不等式得到对应区间；时，二次函数开口向上，同时解和两个不等式，取符合的公共区间，最后合并两个区间得到最终结果． 【小问1详解】 解：已知抛物线与轴交于点，， 将点坐标代入抛物线解析式中，可得方程组，解得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为直线，且轴，点坐标为，点与点关于直线对称， ，， 令，即， ，解得，， ， 设直线解析式为，代入点， ， 解得， 直线解析式为， 过点作于点， ， ， ，为等腰直角三角形： ， 点到直线距离为． 【小问3详解】 解：①点横坐标为，且在轴正半轴， 因此，且， 轴，交直线于点，可得， 线段长度为， 当时，点在轴上方，长度为， ， 当时，点在轴下方，长度为， ， 因此关于的函数解析式为： ②当时， 当时， 由， 得， ， 解得，，结合，得 ； 由， ， ， 解得，为任意数， 两部分取公共部分：； 当时， 由得， ， 解得，或； 由， ， ； 取两者公共部分：， 综上，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业年级调研测试 数 学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图（不考虑花纹因素）一样的是（ ） A. B.     C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组在安全的前提下测得，验证了斑马线是由一组平行线组成的．这种验证方法依据的基本事实是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两直线平行，同位角相等 5. 下列调查中，只适宜采用全面调查的是（ ） A. 了解一批日光灯管的使用寿命 B. 了解全国九年级学生的视力状况 C. 调查长江流域的水质状况 D. 检查运载火箭的各零部件 6. 已知方程，下列选项中是此方程的解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线交于B，C两点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的水，水从壶底的小孔匀速漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间．用t表示漏水时间，h表示壶内底面到水面的高度，下列图象能表示h与t的变化关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 当时， 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个绝对值等于自身的值的数：__________． 12. 如图，在一个平衡的天平左右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜．现从质量为的砝码中，随机选取一个放置在天平右端的托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 13. 计算：________． 14. 如图，矩形是长方体玻璃片的截面，已知．现将长方体玻璃片打磨成一个凸透镜（截面如图中的阴影部分所示），透镜的边缘经过矩形各边的中点E，F，G，H，若点E，F，G在以点O为圆心的圆上，则的半径为________． 15. 数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算： 17. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交于点．判断四边形的形状，并说明理由． 18. 如图，点A在反比例函数 图象上，过点A作垂直于x轴于点B．已知，． （1）求k的值． （2）点C是反比例函数 的图象上一点，点 D，E在x 轴上，，．若，求点C的坐标． 19. “五一”国际劳动节来临之际，某校开展以“勤学乐干，劳动光荣”为主题的实践活动，并对学生“一周参与家务劳动时间”进行问卷调查．以下是对问卷调查数据收集、整理与描述的过程． 【收集数据】在全校学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查． 【整理数据】将问卷数据进行整理，根据劳动时间x（单位：min）将其分为以下四组：A组，B组，C组，D组． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下不完整的条形图和扇形图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次共抽取了 名学生进行问卷调查，并补全条形统计图． （2）在扇形图中求C组所对圆心角的度数． （3）估计该校1500名学生中一周参与家务劳动时间不低于1小时的人数． 20. 某班数学兴趣小组学习勾股定理后，对构成直角三角形三边长a，b，c（c为斜边长）为正整数的情况进行深入探究． 【特例发现】 （1）①；②；③；④；…它们都满足 ，若，则 ． 【提出问题】 该兴趣小组进一步探究发现，当时，总能找到正整数b，c使 于是该小组成员提出问题：当或时，是否存在正整数b，c，满足 【解决问题】 小组成员给出了当时，不存在正整数b，c，满足的证明过程． 证明：假设存在正整数b，c满足 移项得： 因式分解： ∵b，c为正整数且 ∴ ∵或 ∴，，解得，与假设相矛盾；或，． 综上所述，不存在正整数b，c，满足 （2）请类比上面的方法证明：当时，不存在正整数b，c，满足． 21. 如图，在中，，是的角平分线．以O为圆心，为半径作． （1）求证：是的切线． （2）已知交于点E，延长交于点 D．若，，求的长． 22. 图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C．     （1）请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式． 方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系； 方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系． （2）当水面下降时，水面宽度增加多少？ 23. 如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，其中点 B，点C的对应点分别为点E 和点D，连接． （1）当时，求的度数． （2）如图2，当点 D落在边 上时，求 的长． （3）如图3，延长交 于点F． ①求证：点 F为 的中点； ②连接，当时，直接写出的长． 24. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． （3）如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当 时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $