2025-2026学年人教版八年级数学下学期期末总复习--第二十一章四边形

**基本信息** 八年级下四边形单元期末复习卷，全面覆盖四边形核心知识，通过生活情境与分层问题设计，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|凸多边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形性质与判定|结合伸缩门（四边形不稳定性）等生活情境，基础概念辨析| |填空题|6|多边形内角和、正五边形、矩形叠放、动点面积、正方形中点连线、伸缩门计算|融入图形变换与实际应用，如正五边形角度计算、伸缩门长度变化| |解答题|6|垂直平分线作图、正多边形边数与内角计算、菱形与矩形证明、正方形动点探究|分层设计，如24题分观察猜想-类比探究-拓展延伸，培养推理与创新意识|

八年级下期末复习--第二十一章 四边形 答案 一、单选题 1．下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】根据凸多边形的定义判断，满足两点：一是多边形，各顶点首尾顺次相接；二是整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧． 【详解】解：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫作凸多边形， 因此选项A、D都不符合题意，选项C符合题意； 多边形各顶点要首尾顺次相接，因此选项B不符合题意． 2．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，先求出的度数，再计算的度数即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、在中，必有，添加此条件没有意义，不能使成为菱形； B、在中，添加，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得到为菱形，符合题意； C、在中，添加，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不能使成为菱形； D、在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能使成为菱形． 4．如图所示的伸缩门，其原理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．四边形的不稳定性 【答案】D 【分析】观察伸缩门的结构，发现其由许多四边形组成，利用四边形的不稳定性使其能够自由伸缩； 【详解】解：∵伸缩门是由许多四边形组成的结构， ∴利用的是四边形的不稳定性，使其能够自由伸缩． 5．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解∶如图， A．，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故A不符合题意． B．，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故B不符合题意． C．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故C符合题意． D．， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 6．在菱形中，对角线与相交于点O，点E为边中点．若，，则线段长度为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，，然后根据勾股定理及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵点E为边中点， ∴． 7．下列说法正确的是（     ） A．矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分 B．有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形 C．正方形具有矩形和菱形的所有性质 D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】根据特殊平行四边形的性质、判定，以及三角形全等的判定定理，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A、矩形和平行四边形都具有对角线互相平分这一条性质，故选项不符合题意； B、有三个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项不符合题意； C、因为正方形是矩形（四条边都相等的矩形是正方形）和菱形（有一个内角是直角的菱形是正方形）的特殊情形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质，说法正确，故选项符合题意； D、两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，只有当这个角是两边的夹角时才全等，故选项不符合题意． 8．如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转某个角度后又沿直线前进到达点，再向左转相同的角度后沿直线前进到达点…，照这样走下去，小明第一次回到出发点时一共走了，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得该多边形为正十二边形，然后根据等腰三角形的性质及正多边形内角和可进行求解． 【详解】解：由题意可知：该多边形的边数为， ∴该多边形为正十二边形， ∴，， ∴． 9．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 【答案】A 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理，求出的长，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短和等积法进行求解即可. 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴， ∴， 连接， ∵于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为边上一动点， ∴当时，的值最小，即的值最小， 此时：， ∴， 解得， ∴的最小值为. 10．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，，由折叠的性质可得，，推出，，设，用勾股定理解求出，，作于点H，得矩形，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， 如图，作于点H，则四边形是矩形， ，， ， ． 11．如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 12．正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】证明是等腰直角三角形，得到，证明四边形是矩形，得到，，即可判断①；连接，证明，得到，然后由矩形的性质得到，即可判断②；根据题意直角三角形斜边大于直角边得到，即可得到四边形不可能是菱形，进而判断③；延长交于点G，推出，证明四边形是正方形，得到，证明，得到，然后证明四边形是平行四边形，推出，然后等量代换得到，即可判断④；当F运动到的中点时，设，则然后根据等面积法表示出，然后得到即可判断⑤． 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴四边形的周长，是定值，故①正确； ②如图，连接， ∵四边形是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，故②正确； ③∵四边形是矩形 ∴ ∴在中， ∴四边形不可能是菱形，故③错误； ④如图，延长交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴，即 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴，故④正确； ⑤当F运动到的中点时， 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②④⑤． 二、填空题 13．一个多边形的外角和与所有的内角相加是，则这个多边形的边数为_____________． 【答案】6 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： 解得： ∴这个多边形的边数为6． 14．如图，五边形是正五边形，F，G是边上的点，且．若，则_______ ． 【答案】/度 【分析】过点作交于点，根据平行线的性质先求出的度数，由多边形内角和定理可求出的度数，最后利用平行线的性质求得即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ， 在正五边形中，， ， ，， ， ． 15．两个全等的矩形，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】设交于点G，先证，得到．设，在中，根据勾股定理求出的长度，可得的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点G， 四边形和四边形是全等的矩形， ，，， 在和中 ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：， ∴， 阴影部分的面积：． 16．如图，在中，．动点M，N分别在边上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为_____ ． 【答案】1 【分析】先推导出图形变化规律可知：当增大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大，进而求出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ， ∴， 由图形变化规律可知：由，，得为等腰三角形， ∴当变大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大， ∵动点，分别在边，上， ∴时，取得最大值，此时的面积最大 ∵，， 此时， ∴． 17．如图，在边长为的正方形中，E，F分别是边的中点，连接，，P，Q分别是，的中点，连接，则______． 【答案】2 【分析】连接并延长，交于点M，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长，交于点M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵E，F分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵Q是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵P，Q分别是的中点， ∴． 18．某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了约______．（结果精确到，） 【答案】4.4 【分析】连接，相交于O，首先根据勾股定理及度角的性质求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，根据菱形的性质及等边三角形的判定和性质求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，相交于O， ， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴校门关闭时，伸缩门的宽度为． 如图所示，连接， ∵校门部分打开时，菱形内角的度数从缩小到， ∴是等边三角形， ∴， ∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为， ∴伸缩门的总长度缩小了． 三、解答题 19．如图，在中， (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，连接，作线段的垂直平分线，交于，交于（要求：不写作法，保留作图痕迹，请把作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接、，得到的四边形是什么四边形，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求作的线段垂直平分线． (2)四边形是菱形，理由如下： 如图，设和的交点为点， 四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）作一条线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线才是线段的垂直平分线； （2）根据平行四边形性质得出，进而得出，又由垂直平分可得出，，，进而得出，从而，根据四条边相等的四边形是菱形即可说明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如作线段××的垂直平分线××． 20．下面是正多边形M和正多边形N的对话： (1)求正多边形M和正多边形N的边数； (2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 【答案】(1)M和N的边数分别是4和6； (2)见解析 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和的综合运用： （1）分别设出两多边形的边数，再根据多边形内角和公式列方程求解即可； （2）先计算每个外角，再计算每个内角即可．（也可以先计算正多边形的内角和，再计算每个内角度数） 【详解】（1）设M的边数为，N的边数为，由题意得： 解得：， ∴，， ∴M和N的边数分别是4和6； （2）嘉嘉解法：． 淇淇解法：正六边形的每个外角为：； 故正六边形的每个内角为． 21．如图，在菱形中，对角线，交于点，，，连接，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可知，然后问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，则有，，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 在菱形中，， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ，， ，， 四边形的面积． 22．如图，在中，是的平分线，，交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再结合是的平分线，可得，从而得到，即可求证； （2）过点C作交的延长线于点G，证明，根据直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，过点C作交的延长线于点G，    ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 23．如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点F，连接，根据正方形的性质，结合中点的定义得到，进而，根据同角的余角相等得到，即可证明，得到，从而，得证结论； （2）先根据中点的定义得到，再根据勾股定理在中求出，再在中求出即可． 【详解】（1）证明：取的中点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点F是的中点，点M是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴平分． （2）解：如图， ∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 24．已知在中，，，D为直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边在其右侧作正方形，连接． 【观察猜想】 (1)如图1，当点D在线段上时，可以证明，则： ①线段与的位置关系为________． ②线段之间的数量关系为________． 【类比探究】 (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，（1）中①②的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请你写出正确结论并证明． 【拓展延伸】 (3)点D在直线上，其他条件不变，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)①成立，②不成立，正确的结论为：，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①证明， 根据全等三角形的对应角相等求解；②根据全等三角形的对应边证明即可； （2）仿照（1）证明即可； （3）分两种情况讨论，对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， ②， ， ， ， （2）解：①成立，②不成立，正确的结论为： ∵四边形是正方形， ， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， ②， ， ， ， （3）解：∵， ∴， 当点在线段上， 由（1）知， ∴ ∴； 当点在线段延长线上时， 由（2）知， ∴ ∴， 综上：线段的长或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下期末复习--第二十一章 四边形 一、单选题 1． 下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的伸缩门，其原理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．四边形的不稳定性 5．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．在菱形中，对角线与相交于点O，点E为边中点．若，，则线段长度为（     ） A．2 B．3 C． D． 7．下列说法正确的是（     ） A．矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分 B．有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形 C．正方形具有矩形和菱形的所有性质 D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 8．如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转某个角度后又沿直线前进到达点，再向左转相同的角度后沿直线前进到达点…，照这样走下去，小明第一次回到出发点时一共走了，则的大小为（     ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 10．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 11．如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 12．正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．①②④⑤ 二、填空题 13．一个多边形的外角和与所有的内角相加是，则这个多边形的边数为_____________． 14．如图，五边形是正五边形，F，G是边上的点，且．若，则_______ ． 15．两个全等的矩形，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 16．如图，在中，．动点M，N分别在边上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为_____ ． 17．如图，在边长为的正方形中，E，F分别是边的中点，连接，，P，Q分别是，的中点，连接，则______． 18．某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了约______．（结果精确到，） 三、解答题 19．如图，在中， (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，连接，作线段的垂直平分线，交于，交于（要求：不写作法，保留作图痕迹，请把作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接、，得到的四边形是什么四边形，并说明理由． 20．下面是正多边形M和正多边形N的对话： (1)求正多边形M和正多边形N的边数； (2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 21．如图，在菱形中，对角线，交于点，，，连接，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 22．如图，在中，是的平分线，，交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求的长． 23．如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 24．已知在中，，，D为直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边在其右侧作正方形，连接． 【观察猜想】 (1)如图1，当点D在线段上时，可以证明，则： ①线段与的位置关系为________． ②线段之间的数量关系为________． 【类比探究】 (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，（1）中①②的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请你写出正确结论并证明． 【拓展延伸】 (3)点D在直线上，其他条件不变，连接．若，，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $