第01讲 相交线与平行线22题型4重难（暑假培优讲义）新八年级数学新教材人教版

第01讲 相交线与平行线（培优讲义） 析知识·讲要点（13大知识点） 2 剖题型·讲技巧 8 题型1 对顶角及其性质 8 题型2 邻补角及其性质 10 题型3 垂直的定义 11 题型4 垂线的画法及其性质 13 题型5 垂线段最短的实际应用 14 题型6 点到直线的距离 16 题型7 同位角、内错角、同旁内角 17 题型8 平行线及其画法 19 题型9 平行公理及其推论 21 题型10 平行线判定的条件 22 题型11 平行线的性质 25 题型12 平行线的性质在实际生活中的应用 27 题型13 平行线的性质解决折叠问题 29 题型14 定义、命题的判断 31 题型15 真假命题的判断 32 题型16 写出命题的题设和结论 34 题型17 举反例 35 题型18 根据给出论断组成命题并证明 36 题型19 已知证明过程填写理论依据 39 题型20生活中的平移 42 题型21平移的性质 43 题型22利用平移解决实际问题 46 题型22 平移作图 48 释疑惑·重难拓展 52 题型1 相交线的综合题 52 题型2 平行线的性质与判定的综合 56 题型3 平行线与拐点问题 60 题型4 平相交线与平行线的压轴题 65 知中考·真题探源 72 练好题·提分培优 77 课标要点 1.理解对顶角、邻补角、垂线、垂线段等概念，掌握对顶角相等、垂线段最短等性质。 2.理解点到直线的距离的意义，会度量点到直线的距离。 3.识别同位角、内错角、同旁内角。 4.理解平行线的概念，掌握平行公理及其人民教育出版社。 5.掌握平行线的判定方法（同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行）。 6.掌握平行线的性质（两直线平行 ⇒ 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），并能进行简单推理与计算。 7.了解命题、定理、证明的意义，能区分命题的条件与结论。 8.理解平移的概念，掌握平移的性质（对应点连线平行且相等，图形形状、大小不变），能按要求画出平移后的图形。 析知识·讲要点 知识点01 邻补角、对顶角的概念及其性质 ★1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图中∠1 和∠2，∠1 和∠3 都互为邻补角. ★2、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．互为邻补角是互为补角的特殊情况. 如上图：∠1 +∠2=180°， ∠1 +∠3 =180°. ★3、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个. ★4、对顶角的性质：对顶角相等． 【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. 知识点02 垂线的概念、画法及性质 ★1、垂线的概念： 垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. ★2、垂直的表示方法： 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. ★3、垂线的画法 一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点； 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． ★4、垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【注意】①不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直. ②“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点03 垂线与点到直线的距离 ★1、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ★2、垂线段的性质： 连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短． 【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． ★3、点到直线的距离： （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离. 知识点04 同位角、内错角、同旁内角 ★1、同位角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． ★2、内错角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． ★3、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 知识点05 平行线的概念及其表示方法 ◆1、平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． 知识点06 平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 【注意】 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. 知识点07 平行线的基本事实及其推论 ◆1、平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ◆2、平行线的基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 知识点08平行线的判定 ◆1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． ◆2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ◆3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行线的基本事实（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3）利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 知识点09 平行线的性质 ◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． ◆2、平行线的判定与性质 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． （4） 辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点10 定义、命题及其组成 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． ★2、命题的概念：可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句，叫作命题. 【注意】 （1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. （2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. ★3、命题的组成 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． ★4、真假命题 1、真命题：被判断为正确(或真)的命题叫作真命题， 2、假命题：被判断为错误(或假)的命题叫作假命题. 【注意】真命题-------可以用推理的方法；假命题-------可以举反例来说明. 反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子. 知识点11 定理、证明 ★1.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据． 【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实. 如直线公理：两点确定一条直线. ★2、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明． 【注意】 （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. （2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. ★3、证明的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 知识点12 平移的概念及性质 ◆1、平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． ◆2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ◆3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. ◆4、平移的性质： ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 知识点13 平移作图 ◆1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. ◆2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 剖题型·讲技巧 题型1 对顶角及其性质 方法技巧 1. 识别：有公共顶点、两边互为反向延长线；2. 性质：对顶角相等；3. 常用：求角度、证角相等、列方程求解。 1．（25-26七年级下·广东茂名·期中）下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，根据对顶角的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：对于A选项：和有一条公共边，另一条边互为反向延长线，是邻补角，不是对顶角，不符合题意； 对于B选项：和没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； 对于C选项：和的两边互为反向延长线，有公共顶点，是对顶角，符合题意； 对于D选项：和有公共顶点，但两边不是互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）若与互为对顶角，且的邻补角为，则的度数为_______°． 【答案】135 【分析】此题主要考查了邻补角的性质和对顶角的性质．根据邻补角的定义，可得，再根据对顶角的相等即可求解． 【详解】解：∵与互为对顶角， ∴， ∵的邻补角为， ∴， ∴． 故答案为：135． 题型2 邻补角及其性质 方法技巧 1. 识别：共一条边、另一边反向延长，相邻且互补；2. 性质：邻补角和为 180°；3. 技巧：知一角求邻角、列方程（如∠1+∠2=180°）。 1．（25-26七年级下·四川内江·期中）如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，由此即可求解． 【详解】解：根据邻补角的概念可得，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 只有选项D符合题意． 2．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 【答案】 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，是的邻补角． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，直线，相交于点O，，若，则的大小为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ． 题型3 垂直的定义 方法技巧 1. 定义：夹角 =90°，两线互相垂直；2. 互推： - 若 AB⊥CD ⇒ 四角都是 90°； - 若一角 = 90° ⇒ 两线垂直；3. 符号：⊥、直角符号。 1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，已知直线，相交于点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴． 2．（2026年陕西省榆林市高新区九年级初中学业水平考试模拟卷数学）如图，直线、交于点，过点作，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等的性质及垂线的定义，根据图形找出角度间的关系是解题关键，由对顶角相等可得，由垂直可得，进而利用角的和差关系求解． 【详解】解： 直线、交于点， （对顶角相等）， ， ， ． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 题型4 垂线的画法及其性质 方法技巧 1. 画法：一落、二移、三画（三角板直角边对齐、过点、画线）；2. 性质：平面内过一点有且只有一条垂线；3. 注意：点可在直线上 / 外；空间不唯一。 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线的方法，掌握三角尺的正确摆放位置是解题的关键．根据垂线的定义及画法，需保证三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 操作步骤如下： 将三角尺的一条直角边与直线重合； 沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过点； 沿经过点的直角边画直线． 观察各选项： A选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； B选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； C选项，三角尺的一条直角边与直线重合，但另一条直角边未经过点，故错误； D选项，三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点，符合操作规范，故正确． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，两个画图过程，直观地刻画了一个基本事实，这个基本事实指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【详解】解：由作图可知，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 题型5 垂线段最短的实际应用 方法技巧 1. 结论：直线外一点到直线，垂线段最短；2. 应用：最短路径、最短距离、选址问题；3. 做法：过点作垂线，垂线段即为最短。 1．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图所示，王师傅为了检验门框是否垂直于地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅锤线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（     ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】解：根据题意，所用数学知识为：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，从村庄到公路共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离近的理由是（     ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【详解】解：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短． ∴居民选择路线到公路的距离近的理由是垂线段最短． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，为了解决村民饮水困难的问题，需要在河岸建立取水点为使该村村民到河边取水最近，取水点应建在（    ） A．点B处 B．点A处 C．点C处 D．点D处 【答案】A 【详解】解：根据直线外一点与直线上点的连线中，以垂线段为最短， ∴点B处最短． 题型6 点到直线的距离 方法技巧 1. 定义：垂线段的长度（不是线段本身）；2. 求法：作垂线、量长度、计算；3. 易错：区分 “垂线段”（图形）和 “距离”（数值）。 1．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图，直角三角形中，，，，则点A到的距离为（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】利用等面积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：设点到的距离为， ， ， ，即点到的距离为． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于6 B．点到直线的距离等于10 C．点到的距离等于6 D．点到的距离等于8 【答案】A 【详解】解：A、点到直线的距离为线段的长，即为6，故说法正确； B、点到直线的距离为线段的长，即为8，故说法不正确； C、点到的距离不等于6，不符合点到直线的距离为垂线段的长，故说法不正确； D、点到的距离为线段的长，即为10，故说法不正确． 3．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知线段，是的中点，直线经过点．在直线绕点自由旋转的过程中，点到直线的最大距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据线段中点的定义，由的长度求出的长度，再过点作直线的垂线，得到点到直线的距离，然后在中，利用直角三角形中直角边小于等于斜边的性质，得出，最后判断出当直线与垂直时，与重合，此时取得最大值，最大值等于的长度． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， 如图，过点作于点，则的长即为点到直线的距离， 在中，为直角边，为斜边， 根据直角三角形的性质，直角边的长度小于等于斜边的长度， ∴， 当且仅当直线时，与重合，此时取得最大值，最大值等于的长度， ∴点到直线的最大距离为． 题型7 同位角、内错角、同旁内角 方法技巧 1.同位角：F 型，同侧同方位（截线同旁，两线同侧） 2.内错角：Z 型，错开在内部（截线两侧，两线中间） 3.同旁内角：U 型，同旁在内部（截线同侧，两线中间） 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，下列判断错误的是(     ) A．与是内错角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．与是邻补角，原表述错误，符合题意； B．与是内错角，正确，不符合题意； C．与是同位角，正确，不符合题意； D．与是同旁内角，正确，不符合题意． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是邻补角 【答案】B 【详解】解：A. 与是内错角，而与不是内错角，本选项错误，不符合题意； B. 与是同旁内角，本选项正确，符合题意； C. 与不是同位角，本选项错误，不符合题意； D. 与不是邻补角，本选项错误，不符合题意． 3．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在所标识的角中，下列说法正确的是（　　） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】根据邻补角、同旁内角、对顶角以及同位角定义，依次判断选项即可． 【详解】解：A、的邻补角是，选项说法错误，不符合题意； B、对顶角的两边互为反向延长线，故与不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； C、与是同旁内角，选项说法正确，符合题意； D、同位角是指在两条平行线被一条横线（截线）所截时，位于同一侧且位置相同的角，故与不是同位角，选项说法错误，不符合题意． 题型8 平行线及其画法 方法技巧 1. 定义：同一平面内不相交的两条直线；2. 画法：一落、二靠、三移、四画（三角板 + 直尺平移）；3. 注意：线段平行看所在直线；过直线上点不能画平行线。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条不重合直线的位置关系，需明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，根据基础定义即可判断选项． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合的直线，若没有交点则为平行，若有一个交点则为相交， 又由于垂直是相交的特殊情况，不能作为单独的位置关系分类， 则同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有平行或相交． 2．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 3．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据网格即可找出格点，画出的平行线； （2）根据网格即可得图中满足要求的格点的个数； （3）根据网格即可找出格点，画的垂线，垂足为； （4）根据点到直线的距离定义即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作， （2）解：由图可知图中满足要求的格点D共可以找出个； （3）解：如图，点即为所求作； （4）解： 线段的长是点到直线的距离． 题型9 平行公理及其推论 方法技巧 1. 平行公理：过直线外一点有且只有一条平行线；2. 推论：平行于同一直线的两直线平行（传递）；3. 格式：∵a∥b，b∥c，∴a∥c。 1．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时， 时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：由题意可知，当时，；当时， ， 点，，在同一直线上 其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．（25-26七年级下·福建·阶段检测）在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行可得到结论． 【详解】解：∵， ∴     又∵ ∴ 3．下面推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【答案】C． 【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案． 【详解】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误； B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误； C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确； D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行． 故选：C． 【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 题型10 平行线判定的条件 方法技巧 1. 同位角相等 ⇒ 两直线平行；2. 内错角相等 ⇒ 两直线平行；3. 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行；4. 补充：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；5. 技巧：先找截线、找三类角、再用判定。 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； C、不能判定，符合题意； D、，，故，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选C． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，，，，为的平分线． (1)请问与平行吗？试说明理由； (2)请问与平行吗？试说明理由； 【答案】(1) ，理由见解析 (2) ，理由见解析 【分析】（1）证明，根据同位角相等，两直线平行，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】（1）解： ； 因为，所以 ， 因为，所以，所以 ； （2） ；理由： 因为，所以， 因为为的平分线，所以， 因为，所以，所以 ． 3．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可； （2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行． 【详解】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 题型11 平行线的性质 方法技巧 1. 两直线平行 ⇒ 同位角相等；2. 两直线平行 ⇒ 内错角相等；3. 两直线平行 ⇒ 同旁内角互补；4. 区别：判定：角→平行；性质：平行→角；5. 技巧：已知平行求角、证角相等 / 互补。 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示， ∵， ∴． ∵直尺的两边平行， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图， 于，交于，平分交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴ 故选：A． 题型12 平行线的性质在实际生活中的应用 方法技巧 1. 建模：把实际场景抽象为平行线 + 截线；2. 选性质：用同位角 / 内错角 / 同旁内角关系；3. 计算：列角度方程、求解实际问题（如坡度、方向角）。 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C. 3．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行、抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 题型13 平行线的性质解决折叠问题 方法技巧 1. 折叠性质：折叠前后角相等、边相等；2. 平行线性质：平行带来角相等 / 互补；3. 技巧：设未知数、利用折叠等角 + 平行性质列方程；4. 关键：找折叠重合角、平行线截出的角。 1．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】C． 【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数． 【详解】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°， ∴∠ADE＝50°， 又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处， ∴∠ADE＝∠EDF＝50°， ∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 题型14 定义、命题的判断 方法技巧 1. 定义：严密说明名称 / 术语意义；2. 命题：能判断真假的陈述句；3. 不是命题：祈使句、疑问句、感叹句、无判断句子；4. 技巧：看是否有 “是 / 不是 / 等于 / 平行” 等判断词。 1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． 2．（25-26八年级上·贵州·期末）下列语句中是命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．三角形三个内角的和等于 C．美丽的月亮湖 D．你的寒假想好怎么过了吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键．根据命题是可以判断真假的陈述句的定义进行判断即可． 【详解】解：A．作线段的垂直平分线，为指令句，故不是命题； B．三角形三个内角的和等于，为陈述句，故是命题； C．美丽的月亮湖，为短语，故不是命题； D．你的寒假想好怎么过了吗？为疑问句，故不是命题； 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查命题的概念，熟练掌握相关知识是关键． 判断一件事情的语句叫做命题，命题需是可判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解： A、是可判断真假的陈述句，属于命题； B、是作图操作指令，不是判断事情的语句，无法判断真假，不属于命题； C、是可判断真假的陈述句，属于命题； D、是可判断真假的陈述句，属于命题． 故选：B． 题型15 真假命题的判断 方法技巧 1. 真命题：正确，可证明；2. 假命题：错误，举反例即可；3. 技巧： - 真：用定义、公理、定理推导； - 假：找 1 个满足条件、不满足结论的例子。 1．（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及其推论，根据相关知识点逐一判断每个说法即可． 【详解】解：① 若与相交，与相交，与可能平行（如两条平行线都与第三条直线相交），因此①是假命题． ② ，，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，，因此②是真命题． ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，因此③是真命题． ④ 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，因此④是假命题． 综上，真命题共有2个，故选B． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两直线平行 C．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 D．相等的两个角是对顶角 【答案】A 【分析】根据平行线的公理与性质，对顶角的概念逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：A 项：平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理的推论，是真命题； B 项：垂直于同一条直线的两直线平行，缺少“同一平面内”的前提条件，不在同一平面内时结论不成立，故是假命题； C 项：过一点有且只有一条直线和已知直线平行，缺少“过直线外一点”的前提条件，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，结论不成立，故是假命题； D 项：相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角相等但不是对顶角，故是假命题． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等．其中假命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，因此该命题是假命题； ③该命题缺少“同一平面内”的前提，条件不完整，因此是假命题； ④该命题缺少“直线外”的前提，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，因此是假命题． ⑤该命题缺少“两直线平行”的前提，只有两直线平行时同位角才相等，因此是假命题． 综上，假命题共有4个． 题型16 写出命题的题设和结论 方法技巧 1. 改写：先写成 “如果…，那么…”；2. 题设：“如果” 后部分（已知条件）；3. 结论：“那么” 后部分（推出结果）；4. 技巧：无明显连接词时，先补全再拆分。 1．（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，即可拆分出题设． 【详解】解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式 ． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】本题考查命题的改写，找准命题中的题设与结论是解题的关键；将原命题分解为题设和结论，并用“如果”引导题设，“那么”引导结论． 【详解】解：把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式为“如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零”． 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）命题“和为的两个角互为补角”的条件 _，结论是 ． 【答案】 两个角的和为 这两个角互为补角 【详解】解：命题“和为的两个角互为补角”的条件是：两个角的和为，结论是：这两个角互为补角． 题型17 举反例 方法技巧 1. 目的：说明命题是假命题；2. 要求：满足题设、不满足结论；3. 技巧：找特殊值、特殊图形、特殊位置；4. 格式：“例如：…，此时…（条件成立），但…（结论不成立）”。 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：选项A：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项B：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项C：，，满足，但，不满足结论，是符合要求的反例； 选项D：，，满足，且，满足结论，不是反例． 2．可以用来说明“若则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反证法的应用． 本题需找到满足“”但不满足“”的反例，以此证明原命题为假命题． 【详解】∵选项A中，， ∴， ∵，即，且，即 ∴该选项满足原命题的前提但不满足结论，可作为反例说明原命题是假命题 选项B中，，符合原命题结论，不是反例 选项C、D中，，不满足原命题的前提，均不是反例 故选：A 3．（2026·北京石景山·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件，此时，，且，故不满足，故可以说明该命题是假命题． 题型18 根据给出论断组成命题并证明 方法技巧 1. 选论断：从已知论断中选 1 个作条件、1 个作结论；2. 组命题：写成 “如果…，那么…”；3. 证明：画图、写已知 / 求证、用定理推导；4. 技巧：优先选平行、角相等 / 互补类论断。 1．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知： _，求证： ．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【详解】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知： _， ． 求证： ． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 _；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【答案】(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 题型19 已知证明过程填写理论依据 方法技巧 1. 熟记依据：定义、公理、定理、性质；2. 对应步骤：看上下句关系，匹配依据；3. 高频：对顶角相等、邻补角互补、垂直定义、平行判定 / 性质；4. 技巧：不写自创理由，用课本规范表述。 1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴ 又∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角定义） ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 2．（24-25七年级下·上海·期中）将下面证明过程补充完整． 如图，已知，、分别平分、且． 求证：． 证明：、分别平分、 ， ______=______ ____________ ______∥______（______） ______，______（______） 【答案】1；；2；3；；；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质，补角的性质，同角的补角相等，解题时注意：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．根据角平分线的定义得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，，依据等角的补角相等即可证得． 【详解】证明：、分别平分、 ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） ． 3．（24-25七年级下·上海·期中）已知：如图，点在上，交于，交于，，．求证：．把以下解答过程补充完整． 证明：， ， 又， ， ______________________， ， ___________， ______________________． 【答案】；；；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，证明，可推出，则可证明，再证明即可证明结论． 【详解】证明：， ， 又， ， ， ， ， ． 题型20生活中的平移 方法技巧 1. 识别：整体沿直线移动，形状、大小不变；2. 实例：电梯、传送带、推拉窗、滑雪；3. 特征：方向不变、距离相同、无旋转翻转；4. 技巧：判断是否为平移，看是否 “整体直线移动”。 1．（25-26七年级上·上海松江·期末）中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握平移的性质是解题的关键．四方连续纹样是指一个单位纹样向上下左右四个方向反复循环排列形成的装饰图案，根据平移的性质判断即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）下列现象属于平移的是（   ） A．太阳东升西落 B．人在镜子中的像 C．电梯的升降 D．人造卫星围绕地球转动 【答案】C 【分析】本题考查了平移的知识，熟练掌握平移和旋转的概念是解题的关键．根据平移的概念判断即可． 【详解】解：太阳东升西落是旋转现象，故A选项不符合题意； 人在镜子中的像不是平移现象，故B选项不符合题意； 电梯的升降是平移现象，故C选项符合题意； 人造卫星围绕地球转动是旋转现象，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（2025九年级下·北京·专题练习）下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A、通过旋转得到，故本选项不符合题意； B、通过平移得到，故本选项符合题意； C、通过轴对称得到，故本选项不符合题意； D、通过旋转得到，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型21平移的性质 方法技巧 1. 形状大小：平移后图形与原图形全等；2. 对应点：连线平行（或共线）且相等；3. 对应边：平行且相等；对应角：相等；4. 技巧：求线段长、证平行、找对应点距离。 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段的长度相等是解题的关键． 根据平移的性质确定平移线段的长度，再将拆分为三段，通过相加计算出的长度． 【详解】解：将三角形沿方向平移得到对应的三角形， ． ， ． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键． 根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长． 【详解】解：∵将线段平移得到线段 ∴， ∵ ∴ ∵平移的距离为 ∴， ∴四边形的周长为： 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知，因为，可知，根据梯形的面积公式可得：，由重叠可知，从而可得． 【详解】解：平移距离为， ， 由平移的性质可知， ， ， ， 两个直角三角形可以重叠在一起， ， ， ． 故选：C． 题型22利用平移解决实际问题 方法技巧 1. 转化：把不规则图形通过平移变规则（如求周长 / 面积）；2. 距离：平移距离 = 对应点连线长度；3. 应用：铺地砖、道路面积、阴影部分计算；4. 技巧：平移后周长不变 / 面积不变，简化计算。 1．（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 2．（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，其余部分为绿地，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得：这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴， ∴这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形， 故， ∴这块草地的绿地面积是， 故选：A． 3．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 题型22 平移作图 方法技巧 1. 四步：定、找、移、连； - 定：平移方向、距离； - 找：图形关键点（顶点、端点）； - 移：过关键点作平行且相等线段，得对应点； - 连：按原顺序连对应点；2. 技巧：平移方向用箭头，距离用线段长度，保证准确。 1．（24-25七年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上． (1)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，请作出三角形； (2)连接，，则线段和线段有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：，． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）在如图所示的方格纸中，按要求画图、填空： (1)点向右移动4格，向下移动3格到达格点（网格线的交点叫格点）；再向下移动3格，向左移动5格到达格点，请画出点，点的位置． (2)作射线，连接． (3)过点画线段的垂线，垂足为． (4)画出线段的垂直平分线，其中与的位置关系为_______，依据为______． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解 (4)图见详解，平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查平移、平行线的判定、线段、射线及垂线，熟练掌握平移、平行线的判定、线段、射线及垂线的定义是解题的关键； （1）根据平移的性质可进行求解； （2）根据射线及线段的定义可进行求解； （3）根据垂线的定义可进行求解； （4）根据垂线的定义及平行线的判定可进行求解． 【详解】（1）解：点，点的位置如图所示： （2）解：作射线，连接，如图所示； （3）解：过点画线段的垂线，垂足为，如图所示； （4）解：画出线段的垂直平分线，如图所示；由图可知：与的位置关系为平行，依据为同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 故答案为平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 3．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，格点三角形顶点是网格线交点的三角形）的顶点，的坐标分别是，． (1)请在下面的网格内画出平面直角坐标系． (2)把先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到．请在图中画出，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)答图见解析 (2)答图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移变换的作图，建立平面直角坐标系，熟练掌握平移的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点，的坐标分别是，，即可得到原点的位置，进而得出平面直角坐标系； （2）依据平移的方向和距离，先得到、、的对应点、、的位置和坐标，然后顺次连接、、，即可得到． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示， （2）解：画出如图所示， 由图可得，点的坐标为． 释疑惑·重难拓展 题型1 相交线的综合题 1．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)与垂直，理由见解析 【分析】（1）根据对顶角定义直接求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义可得的度数； （3）根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义可得． 【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是； （2）平分，， ， ， 的度数为； （3）与垂直，理由如下： 平分，平分， ，， 又， ， ． 2．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了对顶角和邻补角、垂直、角平分线，熟练掌握角平分线的运算是解题关键． （1）根据对顶角和邻补角的定义即可得； （2）先根据垂直的定义可得，则可得，再根据角平分线的定义可得，则可得，然后根据对顶角相等即可得； （3）先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：的对顶角是， ∵， ∴与互为邻补角， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 由对顶角相等得：． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图，已知点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作射线，使得，求的度数； (3)在的内部作一条射线，射线OM在射线OF的上方，使得，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、角的和与差、邻补角，根据题意画出图形是解题的关键． （1）根据平分得到，利用周角的性质求出的即可； （2）在（1）的条件下，分别讨论在下方和上方时的情况，分别求出的度数即可； （3）由，设，用x表示，设，则，由，用x表示，再分别用x表示，求出比值即可． 【详解】（1）解：由已知，平分，， ∴， ∴ ； （2）当在下方时，， ∴， 当在上方时，， ∴， 的度数是或． （3）由， ∴设， ∴ ， 若， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴． 题型2 平行线的性质与判定的综合 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点D、B分别在AE、FC上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）与性质定理（两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等）是解题的关键． （1）通过已知角相等的条件，利用等量代换得到内错角相等，从而证明两直线平行． （2）先由（1）的平行结论推出同旁内角互补，再结合角相等的条件证明另一组直线平行，最后利用平行线的性质得到角相等，进而求出角的度数． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 3．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型3 平行线与拐点问题 1．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案． 【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）【阅读理解】如图①，与的边与互相平行，另一组边、交于点，且点在、之间，且在直线右侧，试说明：．老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作， ∴______________， ∵______________， ∴ ______________， ∴， ∴ ______________， ∴． 【理解应用】如图③，当图①中的点在直线左侧时，其它条件不变，若，求与的和． 【拓展】与的边与互相平行，且点、在直线同侧，另一组边、交于点，且点在、之间．若的角平分线与的角平分线交于点，设，请借助图①和图③，用含的代数式直接写出的度数． 【答案】【阅读理解】：两直线平行，内错角相等；已知；平行于同一条直线的两条直线平行；等式的性质．【理解应用】与的和是；【拓展】的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的判断与性质， 解答此类问题的关键所在是作出辅助线． 【阅读理解】：过点作，利用平行线的传递性可得，利用平行线的性质可得，，然后利用等式的性质即可得证； 【理解应用】：过点作，类似【阅读理解】可得出，然后代入的度数求解即可； 【拓展】：分点在直线左侧和点在直线右侧两种情况讨论即可． 【详解】解：【阅读理解】：如图②，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴（等式的性质）， ∴． 解：【理解应用】过点作，如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故与的和是． 解：【拓展】如图①所示： 由上述可知，， 同理可证， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， 故； 如图③所示： 由上述信息可得，， 又∵， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上的度数为或． 题型4 平相交线与平行线的压轴题 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． _____ ， （理由是：____________________） （理由是：____________________） ，_____， _____ [迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数． 【答案】（1）60；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；105；（2） 【分析】（1）根据题意，对每个步骤填写结论和依据； （2）过点作，根据平行线的性质得，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）补全过程如下： 如图2，过点作，过点作， 则． ， ， ， （理由是：平行于同一直线的两直线平行） （理由是：两直线平行，内错角相等） ， ， ； （2）如图3，过点作， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，已知，将直角三角板的一个顶点放在点O处，其中，平分． (1)如图1，当时，_______； (2)如图2，当时，求的度数； (3)如图3，当时，______（用含的式子表示）； (4)当时，若直角三角板的边与的一边平行，则________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角之间的数量关系、灵活应用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据角的和差先求出，再根据角平分线的定义求出，再利用角的和差即可解答； （2）同（1）的思路求解即可； （3）分两种情况分析：当时，当时，结合图形求解即可； （4）分当时，当时，两种情况，分别结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （4）如图所示：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（3）得：， ∵平分， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， 由（3）得：； 故答案为：或． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2)①图见解析，；②存在，或或或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）①当时，作，则，根据，求解作答即可； ②由题意知，分四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：①如图3，当时，作， ，， ， ，， ， ； ②存在，如图3，当时，； 如图4， 当时，， ； 如图5， 当时，； 如图6， 当时，， ； 如图7， 当时，， ． 综上，这两块三角尺存在一组边互相平行，此时的值为或或或或． 知中考·真题探源 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·四川雅安·中考真题）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质可求出的度数，再由对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键． 由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可． 【详解】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 4．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 5．（2025·四川德阳·中考真题）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质； 根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 7．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 8．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 9．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意，得到两条折射光线平行，根据平行线的性质得到，即可． 【详解】解：∵， ∴在空气中的两条直线也平行， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 70．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键． 根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与、的和，再求解即可． 【详解】解：沿方向平移个单位长度得到， ，， 四边形的周长 的周长 ． 故答案为：． 练好题·提分培优 1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】B 【详解】解：A、与是同位角，正确，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，符合题意； C、与是同旁内角，正确，不符合题意； D、与是内错角，正确，不符合题意． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 ，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 3．（2026·北京房山·二模）如图，直线，被直线所截，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解： 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的内错角， 若 ，则 ，故①符合题意； 与 分别是直线 、 被两条不同的直线所截形成的角，无法判断 ，故②不符合题意； ③ 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的同位角， 若 ，则 ，故③符合题意； 综上所述，能判断 的有①③，共2个． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，难度不大，熟练掌握平行线的判定是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项正确，符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意； C、第一次向右拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 6．（25-26七年级下·北京·期中）如图，已知直线相交于点平分，若，则_______． 【答案】/度 【分析】设，，根据角平分线定义得出，利用邻补角互补列出关于的方程，求出的度数，最后根据邻补角定义计算的度数，即可求解． 【详解】解：设，， 平分， ， ， ， 解得， ， ， ． 7．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有__________．（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；④互补的两个角是邻补角；⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离． 【答案】②③/③② 【详解】解：①“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的结论需要添加“在同一平面内”的前提才能成立，题目未给出前提，因此①是假命题； ②根据平行公理的推论可知，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此②是真命题； ③若同旁内角互补，则两个同旁内角的和为，角平分线将两个同旁内角各分为一半，两个半角的和为， 因此两条角平分线的夹角为，即互相垂直，因此③是真命题； ④互补仅要求两个角的和为，不要求两个角有公共顶点与公共边，邻补角不仅要求互补还要求位置相邻，因此互补的两个角不一定是邻补角，因此④是假命题． ⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，垂线段的长度叫作这点到这条直线的距离，距离是长度不是垂线段本身，因此⑤是假命题． 8．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在一块长为7，宽为5的草地上有两条小路：路Ⅰ和路Ⅱ．其中路Ⅰ是弯曲的，路Ⅱ是直的，且每条小路的左边线向右平移1就是它的右边线，则这块草地的青草覆盖面积为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移得到长方形，再利用长方形的面积公式得出是解题关键．根据路Ⅰ和路Ⅱ的左边线向右平移1就是它的右边线，可得路Ⅰ和路Ⅱ的宽度，根据平移的性质，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：∵路Ⅰ和路Ⅱ的左边线向右平移1就是它的右边线， ∴将路Ⅰ和路Ⅱ左半部分的草地向右平移，分别与路Ⅰ和路Ⅱ的右半部分对接，可以得到一个长方形，长为：，宽为：5， ∴因此这块草地的绿地面积是． 故答案为：25． 9．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示） 【答案】 【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作，则， ， ∴，， 又∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴ ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义． 10．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对顶角相等和角平分线的定义即可求解； （2）根据同位角的定义即可求解； （3） 的同旁内角是， 的内错角有，，根据对顶角相等，角平分线的定义，以及角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：因为 ， 所以 ， 因为 平分 ， 所以 ； （2）解：与互为同位角的角是； （3）解： 的同旁内角是， 的内错角有，， 因为， 所以， 因为平分 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的所有内错角，同旁内角的度数之和为． 11．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3) 【分析】本题考查对顶角，与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据对顶角相等，垂直的性质，角平分线的定义作答即可； （2）垂直求出的度数，平角求出，平分求出，角的和差关系求出的度数即可； （3）根据角平分线的定义，推出，平角结合比例关系求出的关系，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由对顶角的性质得：； ∵平分，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （3）解：∵平分． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 12．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合角平分线的定义，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行的判定与性质，熟练掌握平行的判定与性质是解题的关键． （1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到即可证明； （2）由平行的性质得到，求出即可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ． 14．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·陕西延安·期中）已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 相交线与平行线（培优讲义） 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 8 题型1 对顶角及其性质 8 题型2 邻补角及其性质 9 题型3 垂直的定义 10 题型4 垂线的画法及其性质 11 题型5 垂线段最短的实际应用 12 题型6 点到直线的距离 13 题型7 同位角、内错角、同旁内角 14 题型8 平行线及其画法 15 题型9 平行公理及其推论 15 题型10 平行线判定的条件 16 题型11 平行线的性质 17 题型12 平行线的性质在实际生活中的应用 18 题型13 平行线的性质解决折叠问题 19 题型14 定义、命题的判断 20 题型15 真假命题的判断 21 题型16 写出命题的题设和结论 21 题型17 举反例 22 题型18 根据给出论断组成命题并证明 22 题型19 已知证明过程填写理论依据 24 题型20生活中的平移 25 题型21平移的性质 26 题型22利用平移解决实际问题 27 题型22 平移作图 28 释疑惑·重难拓展 30 题型1 相交线的综合题 30 题型2 平行线的性质与判定的综合 32 题型3 平行线与拐点问题 33 题型4 平相交线与平行线的压轴题 35 知中考·真题探源 37 练好题·提分培优 40 课标要点 1.理解对顶角、邻补角、垂线、垂线段等概念，掌握对顶角相等、垂线段最短等性质。 2.理解点到直线的距离的意义，会度量点到直线的距离。 3.识别同位角、内错角、同旁内角。 4.理解平行线的概念，掌握平行公理及其人民教育出版社。 5.掌握平行线的判定方法（同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行）。 6.掌握平行线的性质（两直线平行 ⇒ 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），并能进行简单推理与计算。 7.了解命题、定理、证明的意义，能区分命题的条件与结论。 8.理解平移的概念，掌握平移的性质（对应点连线平行且相等，图形形状、大小不变），能按要求画出平移后的图形。 析知识·讲要点 知识点01 邻补角、对顶角的概念及其性质 ★1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图中∠1 和∠2，∠1 和∠3 都互为邻补角. ★2、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．互为邻补角是互为补角的特殊情况. 如上图：∠1 +∠2=180°， ∠1 +∠3 =180°. ★3、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个. ★4、对顶角的性质：对顶角相等． 【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. 知识点02 垂线的概念、画法及性质 ★1、垂线的概念： 垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. ★2、垂直的表示方法： 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. ★3、垂线的画法 一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点； 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． ★4、垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【注意】①不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直. ②“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点03 垂线与点到直线的距离 ★1、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ★2、垂线段的性质： 连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短． 【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． ★3、点到直线的距离： （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离. 知识点04 同位角、内错角、同旁内角 ★1、同位角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． ★2、内错角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． ★3、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 知识点05 平行线的概念及其表示方法 ◆1、平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． 知识点06 平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 【注意】 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. 知识点07 平行线的基本事实及其推论 ◆1、平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ◆2、平行线的基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 知识点08平行线的判定 ◆1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． ◆2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ◆3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行线的基本事实（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3）利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 知识点09 平行线的性质 ◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． ◆2、平行线的判定与性质 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． （4） 辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点10 定义、命题及其组成 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． ★2、命题的概念：可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句，叫作命题. 【注意】 （1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. （2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. ★3、命题的组成 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． ★4、真假命题 1、真命题：被判断为正确(或真)的命题叫作真命题， 2、假命题：被判断为错误(或假)的命题叫作假命题. 【注意】真命题-------可以用推理的方法；假命题-------可以举反例来说明. 反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子. 知识点11 定理、证明 ★1.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据． 【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实. 如直线公理：两点确定一条直线. ★2、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明． 【注意】 （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. （2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. ★3、证明的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 知识点12 平移的概念及性质 ◆1、平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． ◆2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ◆3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. ◆4、平移的性质： ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 知识点13 平移作图 ◆1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. ◆2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 剖题型·讲技巧 题型1 对顶角及其性质 方法技巧 1. 识别：有公共顶点、两边互为反向延长线；2. 性质：对顶角相等；3. 常用：求角度、证角相等、列方程求解。 1．（25-26七年级下·广东茂名·期中）下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）若与互为对顶角，且的邻补角为，则的度数为_______°． 题型2 邻补角及其性质 方法技巧 1. 识别：共一条边、另一边反向延长，相邻且互补；2. 性质：邻补角和为 180°；3. 技巧：知一角求邻角、列方程（如∠1+∠2=180°）。 1．（25-26七年级下·四川内江·期中）如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，直线，相交于点O，，若，则的大小为______． 题型3 垂直的定义 方法技巧 1. 定义：夹角 =90°，两线互相垂直；2. 互推： - 若 AB⊥CD ⇒ 四角都是 90°； - 若一角 = 90° ⇒ 两线垂直；3. 符号：⊥、直角符号。 1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，已知直线，相交于点，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026年陕西省榆林市高新区九年级初中学业水平考试模拟卷数学）如图，直线、交于点，过点作，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 题型4 垂线的画法及其性质 方法技巧 1. 画法：一落、二移、三画（三角板直角边对齐、过点、画线）；2. 性质：平面内过一点有且只有一条垂线；3. 注意：点可在直线上 / 外；空间不唯一。 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C． D． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，两个画图过程，直观地刻画了一个基本事实，这个基本事实指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 3．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A．B．C．D． 题型5 垂线段最短的实际应用 方法技巧 1. 结论：直线外一点到直线，垂线段最短；2. 应用：最短路径、最短距离、选址问题；3. 做法：过点作垂线，垂线段即为最短。 1．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图所示，王师傅为了检验门框是否垂直于地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅锤线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（     ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，从村庄到公路共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离近的理由是（     ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，为了解决村民饮水困难的问题，需要在河岸建立取水点为使该村村民到河边取水最近，取水点应建在（    ） A．点B处 B．点A处 C．点C处 D．点D处 题型6 点到直线的距离 方法技巧 1. 定义：垂线段的长度（不是线段本身）；2. 求法：作垂线、量长度、计算；3. 易错：区分 “垂线段”（图形）和 “距离”（数值）。 1．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图，直角三角形中，，，，则点A到的距离为（    ） A． B．6 C．8 D．10 3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于6 B．点到直线的距离等于10 C．点到的距离等于6 D．点到的距离等于8 3．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知线段，是的中点，直线经过点．在直线绕点自由旋转的过程中，点到直线的最大距离为（   ） A． B． C． D． 题型7 同位角、内错角、同旁内角 方法技巧 1.同位角：F 型，同侧同方位（截线同旁，两线同侧） 2.内错角：Z 型，错开在内部（截线两侧，两线中间） 3.同旁内角：U 型，同旁在内部（截线同侧，两线中间） 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，下列判断错误的是(     ) A．与是内错角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是邻补角 3．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在所标识的角中，下列说法正确的是（　　） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 题型8 平行线及其画法 方法技巧 1. 定义：同一平面内不相交的两条直线；2. 画法：一落、二靠、三移、四画（三角板 + 直尺平移）；3. 注意：线段平行看所在直线；过直线上点不能画平行线。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 2．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 3．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 题型9 平行公理及其推论 方法技巧 1. 平行公理：过直线外一点有且只有一条平行线；2. 推论：平行于同一直线的两直线平行（传递）；3. 格式：∵a∥b，b∥c，∴a∥c。 1．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时， 时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 2．（25-26七年级下·福建·阶段检测）在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 3．下面推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 题型10 平行线判定的条件 方法技巧 1. 同位角相等 ⇒ 两直线平行；2. 内错角相等 ⇒ 两直线平行；3. 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行；4. 补充：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；5. 技巧：先找截线、找三类角、再用判定。 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，，，，为的平分线． (1)请问与平行吗？试说明理由； (2)请问与平行吗？试说明理由； 3．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 题型11 平行线的性质 方法技巧 1. 两直线平行 ⇒ 同位角相等；2. 两直线平行 ⇒ 内错角相等；3. 两直线平行 ⇒ 同旁内角互补；4. 区别：判定：角→平行；性质：平行→角；5. 技巧：已知平行求角、证角相等 / 互补。 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图， 于，交于，平分交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型12 平行线的性质在实际生活中的应用 方法技巧 1. 建模：把实际场景抽象为平行线 + 截线；2. 选性质：用同位角 / 内错角 / 同旁内角关系；3. 计算：列角度方程、求解实际问题（如坡度、方向角）。 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行、抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型13 平行线的性质解决折叠问题 方法技巧 1. 折叠性质：折叠前后角相等、边相等；2. 平行线性质：平行带来角相等 / 互补；3. 技巧：设未知数、利用折叠等角 + 平行性质列方程；4. 关键：找折叠重合角、平行线截出的角。 1．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 题型14 定义、命题的判断 方法技巧 1. 定义：严密说明名称 / 术语意义；2. 命题：能判断真假的陈述句；3. 不是命题：祈使句、疑问句、感叹句、无判断句子；4. 技巧：看是否有 “是 / 不是 / 等于 / 平行” 等判断词。 1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 2．（25-26八年级上·贵州·期末）下列语句中是命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．三角形三个内角的和等于 C．美丽的月亮湖 D．你的寒假想好怎么过了吗？ 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 题型15 真假命题的判断 方法技巧 1. 真命题：正确，可证明；2. 假命题：错误，举反例即可；3. 技巧： - 真：用定义、公理、定理推导； - 假：找 1 个满足条件、不满足结论的例子。 1．（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两直线平行 C．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 D．相等的两个角是对顶角 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等．其中假命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型16 写出命题的题设和结论 方法技巧 1. 改写：先写成 “如果…，那么…”；2. 题设：“如果” 后部分（已知条件）；3. 结论：“那么” 后部分（推出结果）；4. 技巧：无明显连接词时，先补全再拆分。 1．（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式 ． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）命题“和为的两个角互为补角”的条件 _，结论是 ． 题型17 举反例 方法技巧 1. 目的：说明命题是假命题；2. 要求：满足题设、不满足结论；3. 技巧：找特殊值、特殊图形、特殊位置；4. 格式：“例如：…，此时…（条件成立），但…（结论不成立）”。 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．可以用来说明“若则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京石景山·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 题型18 根据给出论断组成命题并证明 方法技巧 1. 选论断：从已知论断中选 1 个作条件、1 个作结论；2. 组命题：写成 “如果…，那么…”；3. 证明：画图、写已知 / 求证、用定理推导；4. 技巧：优先选平行、角相等 / 互补类论断。 1．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知： _，求证： ．（只须填写序号） 证明： 2．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知： _， ． 求证： ． 证明： 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 _；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 题型19 已知证明过程填写理论依据 方法技巧 1. 熟记依据：定义、公理、定理、性质；2. 对应步骤：看上下句关系，匹配依据；3. 高频：对顶角相等、邻补角互补、垂直定义、平行判定 / 性质；4. 技巧：不写自创理由，用课本规范表述。 1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 2．（24-25七年级下·上海·期中）将下面证明过程补充完整． 如图，已知，、分别平分、且． 求证：． 证明：、分别平分、 ， ______=______ ____________ ______∥______（______） ______，______（______） 3．（24-25七年级下·上海·期中）已知：如图，点在上，交于，交于，，．求证：．把以下解答过程补充完整． 证明：， ， 又， ， ______________________， ， ___________， ______________________． 题型20生活中的平移 方法技巧 1. 识别：整体沿直线移动，形状、大小不变；2. 实例：电梯、传送带、推拉窗、滑雪；3. 特征：方向不变、距离相同、无旋转翻转；4. 技巧：判断是否为平移，看是否 “整体直线移动”。 1．（25-26七年级上·上海松江·期末）中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）下列现象属于平移的是（   ） A．太阳东升西落 B．人在镜子中的像 C．电梯的升降 D．人造卫星围绕地球转动 3．（2025九年级下·北京·专题练习）下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 题型21平移的性质 方法技巧 1. 形状大小：平移后图形与原图形全等；2. 对应点：连线平行（或共线）且相等；3. 对应边：平行且相等；对应角：相等；4. 技巧：求线段长、证平行、找对应点距离。 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型22利用平移解决实际问题 方法技巧 1. 转化：把不规则图形通过平移变规则（如求周长 / 面积）；2. 距离：平移距离 = 对应点连线长度；3. 应用：铺地砖、道路面积、阴影部分计算；4. 技巧：平移后周长不变 / 面积不变，简化计算。 1．（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 2．（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，其余部分为绿地，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 题型22 平移作图 方法技巧 1. 四步：定、找、移、连； - 定：平移方向、距离； - 找：图形关键点（顶点、端点）； - 移：过关键点作平行且相等线段，得对应点； - 连：按原顺序连对应点；2. 技巧：平移方向用箭头，距离用线段长度，保证准确。 1．（24-25七年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上． (1)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，请作出三角形； (2)连接，，则线段和线段有什么关系？ 2．（2025七年级上·全国·专题练习）在如图所示的方格纸中，按要求画图、填空： (1)点向右移动4格，向下移动3格到达格点（网格线的交点叫格点）；再向下移动3格，向左移动5格到达格点，请画出点，点的位置． (2)作射线，连接． (3)过点画线段的垂线，垂足为． (4)画出线段的垂直平分线，其中与的位置关系为_______，依据为______． 3．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，格点三角形顶点是网格线交点的三角形）的顶点，的坐标分别是，． (1)请在下面的网格内画出平面直角坐标系． (2)把先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到．请在图中画出，并直接写出点的坐标． 释疑惑·重难拓展 题型1 相交线的综合题 1．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 2．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 3．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图，已知点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作射线，使得，求的度数； (3)在的内部作一条射线，射线OM在射线OF的上方，使得，若，求的值． 题型2 平行线的性质与判定的综合 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点D、B分别在AE、FC上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 题型3 平行线与拐点问题 1．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）【阅读理解】如图①，与的边与互相平行，另一组边、交于点，且点在、之间，且在直线右侧，试说明：．老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作， ∴______________， ∵______________， ∴ ______________， ∴， ∴ ______________， ∴． 【理解应用】如图③，当图①中的点在直线左侧时，其它条件不变，若，求与的和． 【拓展】与的边与互相平行，且点、在直线同侧，另一组边、交于点，且点在、之间．若的角平分线与的角平分线交于点，设，请借助图①和图③，用含的代数式直接写出的度数． 题型4 平相交线与平行线的压轴题 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． _____ ， （理由是：____________________） （理由是：____________________） ，_____， _____ [迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数． 2．（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，已知，将直角三角板的一个顶点放在点O处，其中，平分． (1)如图1，当时，_______； (2)如图2，当时，求的度数； (3)如图3，当时，______（用含的式子表示）； (4)当时，若直角三角板的边与的一边平行，则________． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 知中考·真题探源 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2025·四川雅安·中考真题）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川德阳·中考真题）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 8．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 9．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为__________． 70．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为______． 练好题·提分培优 1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 ，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 3．（2026·北京房山·二模）如图，直线，被直线所截，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 6．（25-26七年级下·北京·期中）如图，已知直线相交于点平分，若，则_______． 7．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有__________．（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；④互补的两个角是邻补角；⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离． 8．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在一块长为7，宽为5的草地上有两条小路：路Ⅰ和路Ⅱ．其中路Ⅰ是弯曲的，路Ⅱ是直的，且每条小路的左边线向右平移1就是它的右边线，则这块草地的青草覆盖面积为 ． 9．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示） 10．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 11．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 12．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 14．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 15．（24-25七年级下·陕西延安·期中）已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $