第02讲 实数21题型4重难（暑假培优讲义）新八年级数学新教材人教版

第02讲 实数（培优讲义） 析知识·讲要点（10大知识点） 2 剖题型·讲技巧 6 题型1 求一个数的算术平方根 6 题型2 利用算术平方根的非负性解题 7 题型3 估计算术平方根的取值范围 7 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 8 题型5 算术平方根的实际应用 8 题型6 平方根概念理解 9 题型7 求一个数的平方根 9 题型8 立方根概念理解 10 题型9 求一个数的立方根 10 题型10与立方根有关的规律探 11 题型11 立方根的实际应用 11 题型12 利用平方根或立方根解方程 12 题型13 无理数 13 题型14无理数的估算 13 题型15无理数整数部分的计算 14 题型16 实数的分类 15 题型17 实数的性质 15 题型18 实数与数轴 16 题型19 实数的大小比较 17 题型20程序设计与实数运算 17 题型21 实数的混合运算 18 释疑惑·重难拓展 19 题型1 算术平方根和立方根的综合应用 19 题型2 实数与新定义问题 20 题型3 实数与规律探究问题 21 题型4 实数综合题 22 知中考·真题探源 24 练好题·提分培优 26 课标要点 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、立方根。 2.理解开方与乘方互为逆运算，会求百以内整数的平方根、立方根（含负整数）。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。 4.会求实数的相反数、绝对值，能进行简单的实数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）。 析知识·讲要点 知识点01 平方根的定义及性质 ★1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ★2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ★3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ★4、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 知识点02 算术平方根的定义及性质 ★1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ★2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ★3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ★4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. ★4、算术平方根与平方根的联系和区别： 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根 个数 一个 两个，且互为相反数 表示方法 结果 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根式平方根中的正的平方根. 存在条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根. 特殊值0 0的平方根和算术平方根都是0. 知识点03 算术平方根的估算 ◆求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 知识点04 用计算器求算术平方根 ◆1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. ◆2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 知识点05 立方根及其性质 ●●立方根的定义 ★1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ★2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ★3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ★4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. ●●立方根的性质 ★1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ★2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ★3、平方根与立方根的区别和联系： （1）平方根与立方根的区别： （2）平方根与立方根的联系： 知识点06 无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】 1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点07实数的概念和分类 ★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ★2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 知识点08 实数与数轴的关系 ★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. ★3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 知识点09 实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| 知识点10 实数的运算 ★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ★3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 剖题型·讲技巧 题型1 求一个数的算术平方根 方法技巧 先明确算术平方根定义（正数 x²=a，x>0 则 x 为 a 的算术平方根，0 的算术平方根是 0），再通过平方逆运算求解，注意结果非负，且被开方数需非负. 1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）计算：（     ） A． B． C．3 D．9 2．（25-26七年级下·广西北海·期中）的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 方法技巧 抓住算术平方根双重非负性（被开方数 a≥0，算术平方根≥0），若多个非负项相加为 0，则每一项均为 0，据此列方程求解. 1．（2026·河北石家庄·二模）若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）若x，y为实数，且，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2026 3．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 题型3 估计算术平方根的取值范围 方法技巧 找出与被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根介于这两个完全平方数的算术平方根之间，从而确定取值范围. 1．（2026·云南曲靖·二模）在校园文化广场的矩形花坛设计中，对角线长为，估计这个对角线的长度在哪两个整数之间（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 2．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知是正整数，当取最小值时，的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·北京顺义·期中）下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 方法技巧 先计算前几个相关算术平方根的值，观察结果的数字特征、符号变化等规律，再根据规律推导后续结果或通用表达式 . 1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）若，，则（     ） A．38.1 B．381 C．12 D．120 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 3．若 则 _______________． 题型5 算术平方根的实际应用 方法技巧 先根据实际问题确定所求量与算术平方根的关联，列出含算术平方根的关系式，再结合算术平方根定义和性质求解，最后检验结果是否符合实际意义. 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．4 C． D．3 题型6 平方根概念理解 方法技巧 牢记平方根定义（x²=a，则 x 为 a 的平方根），明确正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数无平方根，区分平方根与算术平方根的差异. 1．（25-26九年级下·吉林·阶段检测）下列各数没有平方根的是（   ） A．4 B．0 C． D．10 2．（22-23七年级下·内蒙古赤峰·期中）下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 3．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列说法：①；②64的平方根是，立方根是；③；④已知，则．其中结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．只有①④ 题型7 求一个数的平方根 方法技巧 依据平方根定义，通过平方逆运算求解，正数结果为 ±（a≥0），0 的平方根是 0，注意结果的正负性和被开方数非负的要求. 1．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）的平方根为（   ） A． B． C． D．5 2．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 题型8 立方根概念理解 方法技巧 紧扣立方根定义（x³=a，则 x 为 a 的立方根），知道任何数（正、负、0）都有且仅有一个立方根，正数立方根正，负数立方根负，0 的立方根是 0 . 1．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 2．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）下列说法：①是4的算术平方根；②16的平方根是4；③的算术平方根是9；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 题型9 求一个数的立方根 方法技巧 利用立方与开立方互为逆运算求解，正数结果为正，负数结果为负，0 的立方根是 0，直接根据立方运算反推即可. 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 题型10与立方根有关的规律探 方法技巧 计算前若干个立方根相关的结果，分析结果的数值、符号等规律，总结规律后用于求解后续问题或得出通用结论. 1．（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）若，则_____，若，则_____． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知，．请根据已知条件填空： （1）_________； （2）若，则_________． 题型11 立方根的实际应用 方法技巧 根据实际场景（如体积计算等）建立所求量与立方根的联系，列出含立方根的等式，结合立方根性质求解，验证结果是否符合实际情况. 1．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型12 利用平方根或立方根解方程 方法技巧 对于含平方根的方程，先将平方根项单独放在等式一边，再两边平方消去平方根（注意检验增根）；含立方根的方程，直接两边立方消去立方根，进而求解方程. 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）求式子中的x的值： (1) (2) 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）求下列各式中的x； (1)； (2)． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）求下列各式中x的值． (1) (2)． 题型13 无理数 方法技巧 判断一个数是否为无理数，依据无理数定义（无限不循环小数），常见形式为含 π 的数、开方开不尽的数、有规律不循环的数，注意区分无理数与无限小数、带根号数的不同. 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列各数为无理数的是（     ） A． B． C．3.1415926 D． 2．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）在实数，，，0.101001000100001⋯，中，无理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型14无理数的估算 方法技巧 找到无理数（如含根号的无理数、含 π 的数）相邻的两个可确定大小的有理数，确定无理数介于这两个有理数之间，实现估算. 1．（2026·天津·二模）估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（2026·宁夏固原·二模）若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型15无理数整数部分的计算 方法技巧 先估算无理数的取值范围，确定范围内的最大整数，该整数即为无理数的整数部分. 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）若为整数，且，则整数的值为_____． 2．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）已知2是a的平方根，b是的整数部分，则的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·贵州毕节·月考）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 题型16 实数的分类 方法技巧 按定义分，先区分有理数（有限小数或无限循环小数，含整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；按性质分，先分正实数（正有理数、正无理数）、0、负实数（负有理数、负无理数），逐一归类. 1．（2026·辽宁朝阳·二模）下列数是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 3．（25-26七年级下·四川德阳·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                    }； (2)无理数：{                    }； (3)正实数：{                    }； (4)负实数：{                    }． 题型17 实数的性质 方法技巧 求相反数时，实数 a 的相反数为 - a；求绝对值时，正实数绝对值是本身，0 的绝对值是 0，负实数绝对值是其相反数；利用这些性质结合题目条件计算或判断. 1．（25-26七年级下·陕西延安·期中）实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列各组实数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型18 实数与数轴 方法技巧 根据实数与数轴一一对应关系，在数轴上找到表示已知实数的点，或由数轴上的点确定对应的实数，利用数轴上点的位置关系比较实数大小（右边点表示的数大于左边点表示的数）. 1．（2026年北京市顺义区九年级二模数学试卷）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． (1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段的长度为 ． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c， ①实数c的值为 ； ②若与互为相反数，求的值． 题型19 实数的大小比较 方法技巧 正实数 > 0 > 负实数；两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的数小；也可借助数轴，根据点的左右位置比较，或通过作差、作商等方法比较. 1．比较大小： （填“”、“”或“”）． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）比较大小：_________． 3．比较大小： （填不等号） 题型20程序设计与实数运算 方法技巧 根据程序给定的运算步骤（如输入数→进行乘方、开方、加减乘除等运算→输出结果），按顺序逐步进行实数运算，注意运算顺序和运算律的运用. 1．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 2．一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 题型21 实数的混合运算 方法技巧 遵循 “先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内” 的顺序，灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律简化运算. 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段检测）计算 (1) (2) 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 释疑惑·重难拓展 题型1 算术平方根和立方根的综合应用 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 2．（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 3．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 题型2 实数与新定义问题 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 2．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）已知整数满足下列条件：，以此类推，则的值为（　　） A．2024 B．2026 C．1012 D．1013 3．（25-26八年级上·北京延庆·期末）对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 题型3 实数与规律探究问题 1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 2．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）问题情境： 学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： ，，，，…． 实践探究： (1)按照此规律： ①计算：______； ②第n个式子是______；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：______； 迁移应用： (3)计算：． 题型4 实数综合题 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 知中考·真题探源 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 4．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是_____________b．（填“”“”或“”） 6．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则__________． 7．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 8．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 9．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 10．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 练好题·提分培优 1．（2026·四川绵阳·二模）若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列运算中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 4．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 5．（2025七年级下·全国·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 6．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知是9的算术平方根，则的值为____． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 9．（25-26七年级下·重庆·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 10．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    11．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 13．（23-24七年级上·山东青岛·期末）计算： (1) (2) 14．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 16．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 17．（24-25七年级下·湖南常德·期末）已知：的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求的平方根 (2)先化简，再求值：． 18．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 实数（培优讲义） 析知识·讲要点（10大知识点） 2 剖题型·讲技巧 6 题型1 求一个数的算术平方根 6 题型2 利用算术平方根的非负性解题 7 题型3 估计算术平方根的取值范围 8 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 10 题型5 算术平方根的实际应用 11 题型6 平方根概念理解 12 题型7 求一个数的平方根 14 题型8 立方根概念理解 15 题型9 求一个数的立方根 16 题型10与立方根有关的规律探 17 题型11 立方根的实际应用 19 题型12 利用平方根或立方根解方程 21 题型13 无理数 23 题型14无理数的估算 24 题型15无理数整数部分的计算 25 题型16 实数的分类 26 题型17 实数的性质 28 题型18 实数与数轴 29 题型19 实数的大小比较 31 题型20程序设计与实数运算 32 题型21 实数的混合运算 33 释疑惑·重难拓展 35 题型1 算术平方根和立方根的综合应用 35 题型2 实数与新定义问题 37 题型3 实数与规律探究问题 40 题型4 实数综合题 43 知中考·真题探源 46 练好题·提分培优 52 课标要点 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、立方根。 2.理解开方与乘方互为逆运算，会求百以内整数的平方根、立方根（含负整数）。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。 4.会求实数的相反数、绝对值，能进行简单的实数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）。 析知识·讲要点 知识点01 平方根的定义及性质 ★1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ★2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ★3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ★4、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 知识点02 算术平方根的定义及性质 ★1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ★2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ★3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ★4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. ★4、算术平方根与平方根的联系和区别： 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根 个数 一个 两个，且互为相反数 表示方法 结果 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根式平方根中的正的平方根. 存在条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根. 特殊值0 0的平方根和算术平方根都是0. 知识点03 算术平方根的估算 ◆求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 知识点04 用计算器求算术平方根 ◆1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. ◆2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 知识点05 立方根及其性质 ●●立方根的定义 ★1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ★2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ★3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ★4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. ●●立方根的性质 ★1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ★2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ★3、平方根与立方根的区别和联系： （1）平方根与立方根的区别： （2）平方根与立方根的联系： 知识点06 无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】 1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点07实数的概念和分类 ★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ★2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 知识点08 实数与数轴的关系 ★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. ★3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 知识点09 实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| 知识点10 实数的运算 ★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ★3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 剖题型·讲技巧 题型1 求一个数的算术平方根 方法技巧 先明确算术平方根定义（正数 x²=a，x>0 则 x 为 a 的算术平方根，0 的算术平方根是 0），再通过平方逆运算求解，注意结果非负，且被开方数需非负. 1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）计算：（     ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·广西北海·期中）的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴求的算术平方根即求4的算术平方根， ∵， ∴的算术平方根是2． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，相反数的概念，掌握相关概念是解题的关键. 根据算术平方根的定义，该实数为 ，其相反数为. 【详解】解：设该实数为 ， ∵ （）， ∴ ， ∴ 相反数为 . 故选：A． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 方法技巧 抓住算术平方根双重非负性（被开方数 a≥0，算术平方根≥0），若多个非负项相加为 0，则每一项均为 0，据此列方程求解. 1．（2026·河北石家庄·二模）若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 2．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）若x，y为实数，且，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出，的值后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ，且 ∴， 即， 解得， ∴． 3．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】平方数与算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此求出和的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ， ∴. 题型3 估计算术平方根的取值范围 方法技巧 找出与被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根介于这两个完全平方数的算术平方根之间，从而确定取值范围. 1．（2026·云南曲靖·二模）在校园文化广场的矩形花坛设计中，对角线长为，估计这个对角线的长度在哪两个整数之间（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】将被开方数和相邻整数的平方数比较，即可确定√7的范围． 【详解】∵ ，且， ∴ ， 即， 因此的长度在2和3之间． 2．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知是正整数，当取最小值时，的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义和无理数的估算，解题思路是： 表示与的差的绝对值，该值最小等价于正整数最接近，只需估算的大小范围，找到最接近它的正整数即可． 【详解】解：，，且， ， ，，可知更接近，因此更接近， 时，取最小值． 3．（25-26八年级上·北京顺义·期中）下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数比较大小的知识点，将数值1169与表格中行的数值进行比较，判断其所处范围，且准确找到与之间的倍数关系是解题的关键． 通过观察表格中的值，找到1169介于1156和1225之间，从而确定在34和35之间，进而得到在3.4和3.5之间． 【详解】∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴ 即， ∴在之间． 故答案为：A． 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 方法技巧 先计算前几个相关算术平方根的值，观察结果的数字特征、符号变化等规律，再根据规律推导后续结果或通用表达式 . 1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）若，，则（     ） A．38.1 B．381 C．12 D．120 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向左（或向右）每移动两位，其算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位即可得． 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【答案】C 【分析】先从表格中总结被开方数与算术平方根的小数点移动规律，再利用规律计算得到结果． 【详解】解：观察表格可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相同方向移动一位． ∵，即16.9的小数点向右移动两位得到1690， ∴ ． 3．若 则 _______________． 【答案】 【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 题型5 算术平方根的实际应用 方法技巧 先根据实际问题确定所求量与算术平方根的关联，列出含算术平方根的关系式，再结合算术平方根定义和性质求解，最后检验结果是否符合实际意义. 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这个正方体的棱长为，根据已知表面积列方程求解即可． 【详解】解：设这个正方体的棱长为， ∵正方体的表面积为， ∴， ∴， ∴这个正方体的棱长为． 2．（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题中已知条件及图形，得到，直接开方得到正方形的边长的范围，再结合四个选项数据即可确定答案． 【详解】解：若的面积为，的面积为，由图可知， 正方形的边长要满足， 则由四个选项中的数据可知，满足题中条件的只有2． 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】根据正方形的面积可得，，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4， ∴，， ∴ ． 题型6 平方根概念理解 方法技巧 牢记平方根定义（x²=a，则 x 为 a 的平方根），明确正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数无平方根，区分平方根与算术平方根的差异. 1．（25-26九年级下·吉林·阶段检测）下列各数没有平方根的是（   ） A．4 B．0 C． D．10 【答案】C 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可求解． 【详解】解：∵只有非负数才有平方根，负数没有平方根，且，，都是非负数，是负数； ∴没有平方根 2．（22-23七年级下·内蒙古赤峰·期中）下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 【答案】B 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，先化简题目中的二次根式，再根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： A. ∵， ∴的算术平方根是，不是，A错误； B. ∵， ∴是144的平方根，B正确； C. ∵， ∴的平方根是，不是，C错误； D. 当时，的算术平方根是，因此的算术平方根不一定是，D错误． 3．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列说法：①；②64的平方根是，立方根是；③；④已知，则．其中结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．只有①④ 【答案】C 【详解】解：判断①：∵表示4的算术平方根，结果为非负数， ∴，①错误； 判断②：∵，， ∴64的平方根是，立方根是4，②错误； 判断③：∵， ∴，③正确； 判断④：要使和有意义，需满足解得且， ∴，④正确； 综上，正确的序号是③④． 题型7 求一个数的平方根 方法技巧 依据平方根定义，通过平方逆运算求解，正数结果为 ±（a≥0），0 的平方根是 0，注意结果的正负性和被开方数非负的要求. 1．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）的平方根为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】正数有两个互为相反数的平方根，根据定义即可计算得出结果 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 2．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的求解方法，逐个判断即可． 【详解】解：是的算术平方根，为，A选项错误，不符合题意； 是的平方根，为，B选项错误，不符合题意； ，C选项正确，符合题意； ，D选项错误，不符合题意． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的计算，利用正数的两个不同的平方根互为相反数的性质，先求出a的值，再计算m的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根是与， ∴， 解得， 将代入，得， ∵是该平方根的平方， ∴． 故选：D． 题型8 立方根概念理解 方法技巧 紧扣立方根定义（x³=a，则 x 为 a 的立方根），知道任何数（正、负、0）都有且仅有一个立方根，正数立方根正，负数立方根负，0 的立方根是 0 . 1．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 2．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）下列说法：①是4的算术平方根；②16的平方根是4；③的算术平方根是9；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：① 算术平方根为非负数，的算术平方根是，不是， ①错误； ② ，的平方根是，不是只有， ②错误； ③ ，的算术平方根是，不是， ③错误； ④ ，的算术平方根是， ④正确； ⑤ 正数的立方根是唯一正数，的立方根是，不是， ⑤错误； 综上，正确的说法只有个. 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根和立方根的定义，理解平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：∵0和正数都有平方根， ∴①错误， ∵是的一个平方根， ∴②正确， ∵平方根等于它本身的数只有， ∴③正确， ∵的立方根是3， ∴④错误， 故选：C． 题型9 求一个数的立方根 方法技巧 利用立方与开立方互为逆运算求解，正数结果为正，负数结果为负，0 的立方根是 0，直接根据立方运算反推即可. 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则． 故选：C． 3．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根， ∴， 则， 故选：C． 题型10与立方根有关的规律探 方法技巧 计算前若干个立方根相关的结果，分析结果的数值、符号等规律，总结规律后用于求解后续问题或得出通用结论. 1．（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）若，则_____，若，则_____． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义等知识点，掌握平方根、立方根小数点的移动规律是解题的关键． 根据平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，即可求得；根据立方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动三位，结果移动一位，即可求得． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，12． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知，．请根据已知条件填空： （1）_________； （2）若，则_________． 【答案】 24.77 0.006137 【分析】（1）利用算术平方根的性质：被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点就向右移动一位； （2）利用立方根的性质：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，其立方根的小数点就向左（或向右）移动一位． 【详解】解：（1）已知 ∵， ∴． （2）已知． ∵， ∴． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的小数点移动规律，解题关键是掌握：算术平方根：被开方数小数点每移动两位，结果小数点移动一位；立方根：被开方数小数点每移动三位，结果小数点移动一位． 题型11 立方根的实际应用 方法技巧 根据实际场景（如体积计算等）建立所求量与立方根的联系，列出含立方根的等式，结合立方根性质求解，验证结果是否符合实际情况. 1．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 3．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 题型12 利用平方根或立方根解方程 方法技巧 对于含平方根的方程，先将平方根项单独放在等式一边，再两边平方消去平方根（注意检验增根）；含立方根的方程，直接两边立方消去立方根，进而求解方程. 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）求式子中的x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先移项，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，或； （2）解：， ， ， ． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）求下列各式中的x； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根与立方根解方程，掌握这两个概念是关键； （1）等式变形为，利用平方根的概念即可求解； （2）等式变形为，利用立方根的概念即可求解． 【详解】（1）解：等式变形为， ∴； （2）解：等式变形为， 即， ∴． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）求下列各式中x的值． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根，注意整数的立方根是正数，负数的立方根是负数．根据立方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） 题型13 无理数 方法技巧 判断一个数是否为无理数，依据无理数定义（无限不循环小数），常见形式为含 π 的数、开方开不尽的数、有规律不循环的数，注意区分无理数与无限小数、带根号数的不同. 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列各数为无理数的是（     ） A． B． C．3.1415926 D． 【答案】D 【详解】解：A、，2是整数，属于有理数，故A不符合题意； B、是分数，属于有理数，故B不符合题意； C、3.1415926是有限小数，属于有理数，故C不符合题意； D、是无理数，故D符合题意． 2．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）在实数，，，0.101001000100001⋯，中，无理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解： ， ∴无理数有，，0.101001000100001⋯，共3个． 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，逐个判断各数即可得到答案． 【详解】解： ，是整数，属于有理数；，是有限小数，是分数，都属于有理数； 根据无理数的定义得：无理数为，，，共个． 题型14无理数的估算 方法技巧 找到无理数（如含根号的无理数、含 π 的数）相邻的两个可确定大小的有理数，确定无理数介于这两个有理数之间，实现估算. 1．（2026·天津·二模）估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，再推导的范围即可得到结果 【详解】解：，，，且， ∴，即， 则， 的值在4和5之间 2．（2026·宁夏固原·二模）若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一确定，，，各在数轴上的大体位置进行确定结果． 【详解】解：由数轴可知盖住的数大于0小于3， ，，，， 四个数，，，，只有被墨迹覆盖． 3．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，利用被开方数越大，对应的算术平方根越大的性质，先确定的取值范围，再推导的取值范围． 【详解】解：， ， 即， 不等式三边同时减1得. ， 即． 题型15无理数整数部分的计算 方法技巧 先估算无理数的取值范围，确定范围内的最大整数，该整数即为无理数的整数部分. 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）若为整数，且，则整数的值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查无理数的大小估算，熟练记忆常用的完全平方数是解题关键． 通过比较完全平方数，估算的范围，从而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）已知2是a的平方根，b是的整数部分，则的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方根的定义求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】解：2是a的平方根， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的算术平方根是． 3．（23-24八年级上·贵州毕节·月考）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的概念，实数的大小范围，是解本题的关键． （1）根据立方根与算术平方根的定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即得m与n的值； （2）根据，，求出a与b，即可求出的值． 【详解】（1）∵的立方根为3，的算术平方根为4， ∴，解得， （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵a和b是连续的整数，且， ∴，， ∴． 题型16 实数的分类 方法技巧 按定义分，先区分有理数（有限小数或无限循环小数，含整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；按性质分，先分正实数（正有理数、正无理数）、0、负实数（负有理数、负无理数），逐一归类. 1．（2026·辽宁朝阳·二模）下列数是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负无理数的概念，负无理数需同时满足两个条件，是负数且是无理数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是分数，属于有理数，故A错误； 是正数，不满足负数要求，故B错误； 是有限小数，属于有理数，故C错误； 由于，且是开方开不尽的数，是无限不循环小数即无理数，则是负无理数，故D正确． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【答案】 ，， ， ， 【分析】先化简题目中的算术平方根，再根据整数、分数、无理数的定义对各数进行分类即可. 【详解】解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 3．（25-26七年级下·四川德阳·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                    }； (2)无理数：{                    }； (3)正实数：{                    }； (4)负实数：{                    }． 【答案】(1)，，，， (2)，，（两个3之间依次增加一个0） (3)，，，，（两个3之间依次增加一个0） (4)，， 【详解】（1）解：，， 有理数：{，，，，}； （2）解：无理数：{，，（两个3之间依次增加一个0）}； （3）解：正实数：{，，，，（两个3之间依次增加一个0）}； （4）解：负实数：{，，}． 题型17 实数的性质 方法技巧 求相反数时，实数 a 的相反数为 - a；求绝对值时，正实数绝对值是本身，0 的绝对值是 0，负实数绝对值是其相反数；利用这些性质结合题目条件计算或判断. 1．（25-26七年级下·陕西延安·期中）实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，任意实数的相反数为， 的相反数是． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的正负性，再根据绝对值的定义计算结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列各组实数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题需依据算术平方根、立方根、绝对值的定义，分别计算每组中的两个实数，再判断是否相等，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，，故，符合题意； B、，，故，不符合题意； C、，故，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 题型18 实数与数轴 方法技巧 根据实数与数轴一一对应关系，在数轴上找到表示已知实数的点，或由数轴上的点确定对应的实数，利用数轴上点的位置关系比较实数大小（右边点表示的数大于左边点表示的数）. 1．（2026年北京市顺义区九年级二模数学试卷）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， 故只有选项D正确. 2．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，然后根据数轴与实数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为，且， ∴， ∵点表示的数为，点在点的右侧， ∴点所表示的数为． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． (1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段的长度为 ． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c， ①实数c的值为 ； ②若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的实际应用，实数的混合运算： （1）求出边长，即可得出结果，根据两点间的距离公式求出线段的长度即可； （2）①根据数轴上点的移动规则，进行计算即可；②利用非负性进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，线段的长度为； （2）①由题意，得：实数c的值为； ②∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴或． 题型19 实数的大小比较 方法技巧 正实数 > 0 > 负实数；两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的数小；也可借助数轴，根据点的左右位置比较，或通过作差、作商等方法比较. 1．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为： 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）比较大小：_________． 【答案】 【分析】此题考查了实数的比较大小． 比较两个负数的大小，需先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而较小． 【详解】解：因为，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．比较大小： （填不等号） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，准确计算是解题的关键．通过作差法求解即可． 【详解】 ， ，， ，， ， 即， 即； 故答案是：． 题型20程序设计与实数运算 方法技巧 根据程序给定的运算步骤（如输入数→进行乘方、开方、加减乘除等运算→输出结果），按顺序逐步进行实数运算，注意运算顺序和运算律的运用. 1．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：输入的值是27时，取立方根为，为有理数， 则取算术平方根为，为无理数， 则输出的值是． 2．一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的概念和性质；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【详解】解：∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求立方根， ∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求算术平方根， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：B． 题型21 实数的混合运算 方法技巧 遵循 “先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内” 的顺序，灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律简化运算. 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的计算，算术平方根的性质等知识；掌握这些知识是关键； （1）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可； （2）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用有理数的乘方运算法则、算术平方根、立方根的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用有理数的乘方运算法则、算术平方根、立方根的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】（1） ； （2） ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）根据立方根、幂的运算、绝对值的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可； （2）根据算术平方根、绝对值、立方根、幂的运算逐项化简，再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 释疑惑·重难拓展 题型1 算术平方根和立方根的综合应用 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 2．（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 3．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解： ，，， ， 的立方根为． 题型2 实数与新定义问题 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 2．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）已知整数满足下列条件：，以此类推，则的值为（　　） A．2024 B．2026 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的混合运算，求一个数的绝对值，解题的关键是找出规律． 根据给定示例，找出运算规律，然后直接代入公式计算即可． 【详解】解：∵, , , , , , ... ∴ 当n为偶数时，；当n为奇数时，． ∵ 2025是奇数， ∴ ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·北京延庆·期末）对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，估算无理数的大小，理解符号表示不大于的最大整数是解题的关键． （1）先求出，，再根据符号表示不大于的最大整数求解即可； （2）先根据符号表示不大于的最大整数求出的取值范围，再求解即可； （3）根据数轴上两点间距离求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴； ∵， ∴， ∵符号表示不大于的最大整数， ∴； （2）∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴， ∴； （3）∵点，表示的数分别为和， ∴． ∵点表示的数为，点表示的数为，由数轴可知点在点的左边， ∴． ∵点是的中点， ∴， ， ， ， ∴点表示的数为． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型3 实数与规律探究问题 1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）原式 ． 2．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 【答案】(1)7，21 (2) (3) 【分析】（1）观察可知，一个正整数与比它大4的乘积与4的和的算术平方根等于这个正整数与2的和，据此可得答案； （2）根据（1）的规律可知答案； （3）根据（2）的规律把所求式子的每一项变形，再计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）问题情境： 学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： ，，，，…． 实践探究： (1)按照此规律： ①计算：______； ②第n个式子是______；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：______； 迁移应用： (3)计算：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少1，从而得出答案； ②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； （2）根据①得到的规律化简每一个根式，再计算乘法即可； （3）先计算每一个根式，再计算乘法． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少1，那么； ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， （2）解： ； （3）解： ． 题型4 实数综合题 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)1 (3)2 【分析】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的立方根． （1）由题意可直接求出的值是； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的立方根． 【详解】（1）解：实数m的值是． 故答案为：； （2） ． ． （3）∵与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 则的立方根为． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2   (2)4   (3) 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的分离方法，掌握通过平方数比较确定无理数的取值范围是解题的关键． （1）通过平方数比较确定​的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先分别确定​和​的取值范围，相加后得到的范围，进而确定整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算． 【详解】（1）解：且 ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：，，且， ， ，，且， ， ， 的整数部分是，小数部分：． （3）解：， ， ，， ． 知中考·真题探源 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数大小，无理数的估算，掌握比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键，根据比较实数大小的法则求解即可． 【详解】解：负数小于0，0小于正数， ， 又，，且， ， ， 最大的是， 故选：． 3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 4．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 5．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是_____________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 6．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 7．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 8．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 9．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 10．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 练好题·提分培优 1．（2026·四川绵阳·二模）若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列运算中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①先化简带分数：，，①错误； ②算术平方根的结果为非负数，，②错误； ③根据立方根的性质，负数的立方根是负数，，③正确； ④，负数没有算术平方根，原式运算不成立，④错误； 综上，正确的运算只有1个． 3．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根的定义，根据平方根与算术平方根的定义逐一判断每个结论即可得到答案． 【详解】①因为，所以是的平方根，该结论正确； ②负数没有算术平方根，所以没有算术平方根，该结论错误； ③ 表示的算术平方根，不是的平方根，该结论错误； ④因为，所以的平方根是，该结论正确； ⑤因为，所以的算术平方根是4，该结论正确． 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选：B 4．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性可知，，得到x、y，然后根据，得到m，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵，即，是的小数部分， ∴的整数部分为2，即， ∴． 5．（2025七年级下·全国·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义和性质，以及代数式求值，通过立方根的性质求出x的值，再代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴或1或， 解得或1或3， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值为0或2或6． 故选：D． 6．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先找到排列的数的规律：第n排有n个数，四个数一循环，再求解与表示的数即可解答． 【详解】解：根据数的排列方法可知， 第一排：1个数， 第二排：2个数， 第三排：3个数， 第四排：4个数， …， 第排：个数， 规律：从第一排到排共有个数， ， 根据数的排列方法，每四个数一个循环， 由可知是第5排第4个数是， 表示第9排第9个数，而 ， 即前8排共有36个数，因此第9排第9个数是整个序列中的第个数． ， 表示的数为循环中的第1个数：， 与表示的两数之积为 ∴两数之积为． 7．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知是9的算术平方根，则的值为____． 【答案】 3 【详解】解：∵ 9的算术平方根为3， ∴ 由题意得， 解得． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据新定义的运算规则，先计算内层运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：首先计算 ， 然后计算 ， 故答案为：． 9．（25-26七年级下·重庆·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 【答案】/ 【分析】首先根据数轴确定的大小关系，然后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，从而进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 10．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    【答案】 / 【分析】利用正方形面积公式求出边长，再根据数轴的特点（右侧的数比左侧的数大）即可求出点所表示的数． 【详解】解：设正方形的边长为，则根据题意可得：； 解得：； ∵，点在数轴上表示的数为1，且点在点的右侧， ∴ 则点所表示的数为． 11．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出的值，再根据平方根的定义求出的值，计算得到后，求其平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数 解得 的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 解得 ∵的平方根是 的平方根为． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 13．（23-24七年级上·山东青岛·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，乘方运算，再进行加减运算即可； （2）先进行开方，乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可； （2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可． 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 16．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：    ； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 17．（24-25七年级下·湖南常德·期末）已知：的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求的平方根 (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)，150 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，整式的化简求值，解题关键是熟练掌握平方根的定义和估算无理数的大小． （1）先根据的立方根是，的算术平方根是3，列出关于，的方程，解方程求出，，再估算的大小，求出它的整数部分，代入求得平方根即可； （2）先化简整式，再把（1）中所求的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：原式 ， 当，时，原式． 18．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)整数部分是4，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，则可得，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $