第04讲 二元一次方程组14题型5重难（暑假培优讲义）新八年级数学新教材人教版

第04讲 二元一次方程组（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 5 题型1二元一次方程的识别 5 题型2 利用二元一次方程的定义求字母参数的范围 6 题型3 利用二元一次方程的解求字母参数的范围 6 题型4 求二元一次方程的特殊解 7 题型5二元一次方程组的识别 7 题型6 解二元一次方程组 8 题型7二元一次方程组的特殊解法 9 题型8 由方程组的解求字母参数 10 题型9 由实际问题列二元一次方程组 11 题型10 二元一次方程组的实际应用 12 题型11 二元一次方程组的方案设计问题 14 题型12 三元一次方程组的识别 17 题型13 解三元一次方程组 17 题型14 三元一次方程组的实际应用 18 释疑惑·重难拓展 19 题型1 二元一次方程组遮挡问题 19 题型2 二元一次方程组的同解问题 20 题型3 二元一次方程组的看错解问题 21 题型4 方程组的解满足的条件求字母参数的值 22 题型5 二元一次方程组与新定义问题 22 知中考·真题探源 24 练好题·提分培优 26 课标要点 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。 2.掌握代入消元法、加减消元法，能解简单的二元一次方程组。 3.能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，解决简单的实际问题，并能检验结果是否合理。 4.了解三元一次方程组的概念，会解简单的三元一次方程组（选学）。 析知识·讲要点 知识点01 二元一次方程 ★二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. ★二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0) 【注意】（1）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． （2）“一次”是指含未知数的项的次数是 1，而不是未知数的次数.不可理解为两个未知数的次数都是1.例如: 5xy+1 =0就不是二元一次方程. 知识点02 二元一次方程组 ★二元一次方程组的定义：方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 【注意】1、二元一次方程组的特点： ①方程组中共有2个不同的未知数； ②方程组有2个整式方程； ③一般用大括号把2个方程连起来. 2、 二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其中有的方程也可以是一元一次方程. 知识点03 二元一次方程的解 ★二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【注意】1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来. 2、 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解. 知识点04 二元一次方程组的解 ★1、二元一次方程组的解定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. ★2、只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中每个方程的解． ★3、判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边，若左边=右边，则这对数值是这个方程的解；若左边≠右边，则这对数值不是这个方程的解. 知识点05 代入消元法 ★1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想. ★2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法. ★3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． ⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． 知识点06 加减消元法 ★1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. ★2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 知识点07 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 ★1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. ★2、找等量关系的方法： （1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有:“比”“是”“等于”等； （2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； （3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系. ★3、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 知识点08 实际问题中的基本数量关系 ★行程问题：路程=速度×时间； ★工程问题： ①工作量＝人均效率×人数×时间； ②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量； ★销售问题： ①利润＝售价﹣进价，利润率100% ②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣 知识点09 三元一次方程（组）的定义 ★1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程. 【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程． ★2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【注意】（1）三元一次方程组需满足三个条件：①一共有三个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程组中一共有三个方程. （2）组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程组一共有三个未知数即可. 知识点10 三元一次方程组的解法 ★1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. ★2、解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可． 【注意】解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”. 剖题型·讲技巧 题型1二元一次方程的识别 方法技巧 1.必须同时满足 3 点： 1）整式方程； 2）含2 个未知数； 3）含未知数的项次数为 1（xy、x² 都不行）。 2.形式：ax+by=c( a≠0,b≠0) 1．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1；⑤5x﹣3y；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2 利用二元一次方程的定义求字母参数的范围 方法技巧 1.先把方程整理成标准形式； 2.让未知数个数 = 2、次数 = 1； 3.列条件： 1）未知数系数不为 0； 2）次数等于 1； 4.解不等式 / 方程，写出参数范围。 1．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·山东聊城·期中）已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 3．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）已知方程是关于，的二元一次方程，则________． 题型3 利用二元一次方程的解求字母参数的范围 方法技巧 1.把已知解直接代入方程； 2.得到关于参数的一元一次方程； 3.解方程求参数即可。 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知是方程的解，则代数式的值是___________． 题型4 求二元一次方程的特殊解 方法技巧 1.把方程变形：用一个未知数表示另一个； 2.按要求（正整数 / 非负整数）： 1）令 x 从最小整数开始试； 2）求出对应 y，必须整数且符合范围； 3.写出所有符合条件的解。 1．（23-24七年级下·山东泰安·期中）方程的正整数解有______个． 2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）请写出满足方程的一组整数解：__________． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）写出关于的二元一次方程的所有正整数解___________． 题型5二元一次方程组的识别 方法技巧 满足 3 点： 1）共2 个未知数； 2）每个方程都是一次整式方程； 3）一共2 个方程（可用一元一次方程）。 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）下列四个方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 题型6 解二元一次方程组 方法技巧 1. 代入法： 1）选简单方程，把一个未知数用另一个表示； 2）代入另一方程消元，解一元一次方程； 3）回代求另一未知数。 2.加减法： 1）使某未知数系数相等或相反； 2）加减消元，解一元一次方程； 3）回代求另一未知数。 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知代数式与是同类项，那么、的值分别是（　 　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（    ） A．由①得 B．由②得 C．由②得 D．由①得 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）解方程组 (1)； (2)． 5．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）解方程组： (1)； (2)． 题型7二元一次方程组的特殊解法 方法技巧 1.整体代入：把((x+y)、(x-y)看成整体代换； 2.换元法：设u=ax+by、v=cx+dy，简化方程组； 3.比例型：=，设x=ak,y=bk代入。 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考： 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． (1)善于思考的小军在解方程组时， 选择将方程②进行变形，得到 把①代入③求得这个方程组的解 请思考上述小军同学的思路中，当成整体的是__________，从而求出这个方程组的解是__________． (2)请你利用“整体代入消元法”解方程组． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面的内容，利用换元法解方程组时，可以设将方程组转化为，进行求解．运用此思路解决下列问题： (1)方程组的解为______． (2)若关于、的二元一次方程组的解为，求方程组的解． 3．（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2) 运用上述方法解下面的方程组： 题型8 由方程组的解求字母参数 方法技巧 1.把已知解同时代入两个方程； 2.得到关于参数的二元一次方程组； 3.解方程组求参数。 1．（25-26七年级下·北京·期中）若关于的方程组的解为，则的值是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 3．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B．5 C．7 D．11 题型9 由实际问题列二元一次方程组 方法技巧 1.找两个关键未知量，设 x、y； 2.抓两组等量关系（关键词：比、是、共、差、倍、相等）； 3.用公式 / 题意列两个一次方程，组成方程组。 1．（2026年浙江省浙里初中升学联考仿真数学卷（五））某家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，要使1张桌面配套4条桌腿，应如何分配工人，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2．（浙江舟山市第一初级中学等校2025-2026学年第二学期九年级5月份学业水平监测数学试题卷）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆喀什·一模）新疆某干果店推出“和田红枣”与“若羌灰枣”组合优惠活动：购买3袋红枣和2袋灰枣共需158元；购买1袋红枣和4袋灰枣共需136元．设每袋红枣x元，每袋灰枣y元，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·二模）某校举办人工智能知识竞答，共25道题，答对1题得4分，答错1题扣2分，不答得0分．小明答完全部题目，得70分．设答对道，答错道，可列正确的二元一次方程组是（     ） A．B． C． D． 题型10 二元一次方程组的实际应用 方法技巧 六步：审→设→找→列→解→答； 常用模型： 行程：路程 = 速度 × 时间； 工程：工作量 = 效率 × 时间； 销售：利润 = 售价−进价。 解后检验合理性（正数、整数、符合题意）。 1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）临高县波莲镇的凤梨释迦以其高甜度和丰富营养被誉为“水果族”，某合作社销售该镇出产的甲、乙两种凤梨释迦，已知2箱甲种凤梨释迦和3箱乙种凤梨释迦的售价之和为440元，4箱甲种凤梨释迦和5箱乙种凤梨释迦的售价之和为800元，求甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价． 2．（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 4．（2026·山东淄博·一模）废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池． (1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用； 车型 甲 乙 载人数 4 6 租金（元） 50 70 (2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？ 5．（25-26七年级下·山东聊城·月考）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 题型11 二元一次方程组的方案设计问题 方法技巧 1. 设未知量，列二元一次方程（组）； 2.未知数取非负整数 / 正整数； 3.枚举所有整数解，得到可行方案； 4.再按要求选最优（省钱、最多等）。 1．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖品购买及获奖人数方案 我校举办“数学文化节”活动，对获奖同学进行表彰奖励，分别设置一等奖、二等奖和三等奖．学校准备购买若干定制笔记本与定制水笔作为奖品，需考虑奖品购买方案及获奖人数． 素材1 已知购买1包定制笔记本与4盒定制水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒定制水笔需要480元． 素材2 学校用1050元购买若干包定制笔记本与若干盒定制水笔两种奖品． 素材3 （1）1包定制笔记本有10本笔记本，1盒定制水笔有6支水笔． （2）计划设置获奖总人数为人，二等奖获奖人数是一等奖的2倍． （3）一等奖：1本笔记本，1支水笔．二等奖：1本笔记本．三等奖：1支水笔． 问题解决： (1)求出1包定制笔记本与1盒定制水笔的价格． (2)若用完1050元购买两种奖品，可以购买几包定制笔记本与几盒定制水笔？写出购买方案． (3)在任务2中购买的奖品恰好全部发完，求的值．（直接写出答案） 题型12 三元一次方程组的识别 方法技巧 满足 3 点：① 共3 个未知数； ②每个含未知数的项次数为 1； ③共3 个一次整式方程（允许含一元、二元方程）。 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型13 解三元一次方程组 方法技巧 1.思路：三元→二元→一元； 2.步骤： 1）任选两组方程，消去同一个未知数，得二元一次方程组； 2）解二元一次方程组，得两个未知数； 3）回代求第三个未知数； 4）写出方程组的解。 1．（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 4．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 题型14 三元一次方程组的实际应用 方法技巧 1. 设 3 个未知量； 2. 找三个独立等量关系，列三元一次方程组； 3.解方程组，检验实际意义； 4.写出完整答案。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 释疑惑·重难拓展 题型1 二元一次方程组遮挡问题 1．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中的值被遮住了，但仍能求出的值是（   ） A．10 B． C．8 D． 2．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 题型2 二元一次方程组的同解问题 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 3．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 题型3 二元一次方程组的看错解问题 1．（25-26七年级下·吉林白山·期中）小明在解方程组时，得到的解是小英同样解这个方程组，由于把抄错而得到的解是；求，，的值． 2．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 3．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 题型4 方程组的解满足的条件求字母参数的值 1．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 2．（25-26七年级下·重庆开州·期中）关于，的二元一次方程组的解中与的和为4，则的算术平方根为________． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知关于x，y的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)当每取一个值时，就对应一个方程，这些方程是否有公共解？如果有，请求出它们的公共解；如果没有，请说明理由． 题型5 二元一次方程组与新定义问题 1．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 2．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中其中为互不相等的常数），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足（a、b、c均为常数且不为0），直接写出与它的“镜像方程”组成的方程组的解． 3．阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 知中考·真题探源 1．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是____分． 6．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 7．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 8．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 练好题·提分培优 1．（2025九年级下·河北·专题练习）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解满足，则k的值是（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 5．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆永川·期中）对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（    ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有4组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（25-26七年级下·河南信阳·期中）已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 8．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）对于，规定一种新运算：，例如：．已知，，，则的值是________． 9．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 10．（25-26七年级下·吉林白山·期中）解方程组． (1) (2) 11．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得③第一步 得：第二步 把代入①，得： 第三步 原方程组的解为第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，第_________步是消元，消元的依据是___________，判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 13．（25-26七年级下·吉林松原·期中）已知关于的方程组的解也是方程的解． (1)求的值及方程组的解． (2)在（1）的条件下，方程组的解恰是平面直角坐标系中点的坐标，请直接写出点的坐标，并指出点所在的象限． 14．（25-26七年级上·河南·期末）灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 15．（25-26七年级下·重庆万州·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 16．（25-26七年级下·海南海口·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任王老师去文具店购买A，B两种款式的笔记本作为奖励． 素材1 买1本A款普通笔记本，2本B款普通笔记本共需14元； 买3本A款普通笔记本，4本B款普通笔记本共需32元． 素材2 为了满足市场需求，文具店推出每本1元的加印logo服务，顾客在选完款式后可以自主选择加印或者不印． 问题解决 (1)求A款普通笔记本和B款普通笔记本的销售单价． (2)在不加印的情况下，王老师购买A、B两款笔记本正好花费80元（两款笔记本都要购买），请问有哪几种购买方案？ (3)王老师购买A，B两款普通笔记本和加印笔记本各若干本，其中A款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的．B款加印笔记本购买5本．若王老师购买笔记本一共花费157元，求王老师购买笔记本的总数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二元一次方程组（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点（10大知识点） 2 剖题型·讲技巧 5 题型1二元一次方程的识别 5 题型2 利用二元一次方程的定义求字母参数的范围 6 题型3 利用二元一次方程的解求字母参数的范围 8 题型4 求二元一次方程的特殊解 9 题型5二元一次方程组的识别 10 题型6 解二元一次方程组 12 题型7二元一次方程组的特殊解法 14 题型8 由方程组的解求字母参数 17 题型9 由实际问题列二元一次方程组 19 题型10 二元一次方程组的实际应用 21 题型11 二元一次方程组的方案设计问题 24 题型12 三元一次方程组的识别 29 题型13 解三元一次方程组 31 题型14 三元一次方程组的实际应用 34 释疑惑·重难拓展 35 题型1 二元一次方程组遮挡问题 35 题型2 二元一次方程组的同解问题 37 题型3 二元一次方程组的看错解问题 38 题型4 方程组的解满足的条件求字母参数的值 41 题型5 二元一次方程组与新定义问题 43 知中考·真题探源 47 练好题·提分培优 52 课标要点 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。 2.掌握代入消元法、加减消元法，能解简单的二元一次方程组。 3.能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，解决简单的实际问题，并能检验结果是否合理。 4.了解三元一次方程组的概念，会解简单的三元一次方程组（选学）。 析知识·讲要点 知识点01 二元一次方程 ★二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. ★二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0) 【注意】（1）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． （2）“一次”是指含未知数的项的次数是 1，而不是未知数的次数.不可理解为两个未知数的次数都是1.例如: 5xy+1 =0就不是二元一次方程. 知识点02 二元一次方程组 ★二元一次方程组的定义：方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 【注意】1、二元一次方程组的特点： ①方程组中共有2个不同的未知数； ②方程组有2个整式方程； ③一般用大括号把2个方程连起来. 1. 二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其中有的方程也可以是一元一次方程. 知识点03 二元一次方程的解 ★二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【注意】1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来. 1. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解. 知识点04 二元一次方程组的解 ★1、二元一次方程组的解定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. ★2、只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中每个方程的解． ★3、判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边，若左边=右边，则这对数值是这个方程的解；若左边≠右边，则这对数值不是这个方程的解. 知识点05 代入消元法 ★1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想. ★2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法. ★3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． ⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． 知识点06 加减消元法 ★1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. ★2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 知识点07 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 ★1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. ★2、找等量关系的方法： （1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有:“比”“是”“等于”等； （2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； （3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系. ★3、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 知识点08 实际问题中的基本数量关系 ★行程问题：路程=速度×时间； ★工程问题： ①工作量＝人均效率×人数×时间； ②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量； ★销售问题： ①利润＝售价﹣进价，利润率100% ②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣 知识点09 三元一次方程（组）的定义 ★1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程. 【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程． ★2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【注意】（1）三元一次方程组需满足三个条件：①一共有三个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程组中一共有三个方程. （2）组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程组一共有三个未知数即可. 知识点10 三元一次方程组的解法 ★1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. ★2、解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可． 【注意】解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”. 剖题型·讲技巧 题型1二元一次方程的识别 方法技巧 1.必须同时满足 3 点： 1）整式方程； 2）含2 个未知数； 3）含未知数的项次数为 1（xy、x² 都不行）。 2.形式：ax+by=c( a≠0,b≠0) 1．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； B、原式变形为，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、是二元一次方程，故选项符合题意； D、含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程需满足三个条件：一是整式方程，二是含两个未知数，三是所有含未知数的项的次数为1，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程中，项的次数为2，不满足一次的要求，故A错误； B、方程只含有1个未知数，属于一元一次方程，不符合定义，故B错误； C、方程是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义，故C正确； D、方程中是分式，该方程不是整式方程，不符合定义，故D错误． 3．下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1；⑤5x﹣3y；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A． 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的概念知，①③两个方程是二元一次方程；②是一元一次方程；④中项的次数是二次，不是一次，不是二元一次方程；⑤不是方程，故不是二元一次方程；⑥是分式方程； 综上所述，是二元一次方程的有两个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，关键掌握含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 题型2 利用二元一次方程的定义求字母参数的范围 方法技巧 1.先把方程整理成标准形式； 2.让未知数个数 = 2、次数 = 1； 3.列条件： 1）未知数系数不为 0； 2）次数等于 1； 4.解不等式 / 方程，写出参数范围。 1．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由二元一次方程的定义可知，且，解出m和n的值，进而可求出． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴且， ∴，， ∴． 2．（25-26七年级下·山东聊城·期中）已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 【答案】2026 【分析】根据二元一次方程的定义，二元一次方程需满足含有两个未知数，且未知数的项的次数为，含未知数的一次项系数不为，据此列出关于，的关系式，求解后计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且，, 解得，, 则． 3．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）已知方程是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】/ 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且 由解得或， 即或 又∵， ∴，故， 由解得， ∴． 题型3 利用二元一次方程的解求字母参数的范围 方法技巧 1.把已知解直接代入方程； 2.得到关于参数的一元一次方程； 3.解方程求参数即可。 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 解得． 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组的解的定义，将已知的，的值代入原方程组，求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ，解得， ． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知是方程的解，则代数式的值是___________． 【答案】2026 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将方程的解代入方程得到系数关系，再整体代入代数式求值是解题的关键． 将方程的解代入方程得到关系式，再代入代数式求值． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为：． 题型4 求二元一次方程的特殊解 方法技巧 1.把方程变形：用一个未知数表示另一个； 2.按要求（正整数 / 非负整数）： 1）令 x 从最小整数开始试； 2）求出对应 y，必须整数且符合范围； 3.写出所有符合条件的解。 1．（23-24七年级下·山东泰安·期中）方程的正整数解有______个． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，能理解二次一次方程的解的定义是解此题的关键．先根据等式的性质进行变形得出，再求出正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 即方程的正整数解有，，共2组， 故答案为：2． 2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）请写出满足方程的一组整数解：__________． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解． 假定x的值，代入方程即可解得． 【详解】解： 当时，． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）写出关于的二元一次方程的所有正整数解___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程解的计算是关键． 根据二元一次方程的解的概念求解即可． 【详解】解：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴所有正整数解为， 故答案为： ． 题型5二元一次方程组的识别 方法技巧 满足 3 点： 1）共2 个未知数； 2）每个方程都是一次整式方程； 3）一共2 个方程（可用一元一次方程）。 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可，二元一次方程组需满足：一共含两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、方程组中共有x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； B、第一个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； C、方程组共含x，y两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数的最高次数都是1，符合二元一次方程组的定义，故该方程组是二元一次方程组； D、第二个方程中项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组． 2．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）下列四个方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数都是1，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组满足共含2个未知数，所有方程均为整式方程，未知数次数均为1， ∴A选项：方程组含x，y，z共3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B选项：第二个方程中y的次数为2，不是一次，不是二元一次方程组，不符合题意； C选项：方程组共含x，y两个未知数，两个方程都是整式方程，未知数次数都是1，是二元一次方程组，符合题意； D选项：第二个方程中是分式，不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 3．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：只有未知数x，所以A不是二元一次方程组 ； B：，不是二元一次方程，所以B不是二元一次方程组； C：两个方程中，含有三个未知数，所以C不是二元一次方程组； D：两个方程中含有，，该方程组含有两个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，所以D是二元一次方程组． 题型6 解二元一次方程组 方法技巧 1. 代入法： 1）选简单方程，把一个未知数用另一个表示； 2）代入另一方程消元，解一元一次方程； 3）回代求另一未知数。 2.加减法： 1）使某未知数系数相等或相反； 2）加减消元，解一元一次方程； 3）回代求另一未知数。 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知代数式与是同类项，那么、的值分别是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项的概念列出方程组，并求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（    ） A．由①得 B．由②得 C．由②得 D．由①得 【答案】D 【分析】利用等式的基本性质，对方程组中的两个方程分别移项变形，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：对① 移项， ， 移项得 ， ，故A错误，D正确； 对② 移项， ， 移项得 ，故B，C错误． 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组运用代入消元法解答即可； （2）方程组运用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， 所以，方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以，方程组的解为． 5．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：得，， 解得， 把代入①得，， 解得． 方程组的解为． （2）解：整理得 ， ④得 ⑤， ③+⑤得， 解得， 把代入④得， 解得． 方程组的解为． 题型7二元一次方程组的特殊解法 方法技巧 1.整体代入：把((x+y)、(x-y)看成整体代换； 2.换元法：设u=ax+by、v=cx+dy，简化方程组； 3.比例型：=，设x=ak,y=bk代入。 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考： 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． (1)善于思考的小军在解方程组时， 选择将方程②进行变形，得到 把①代入③求得这个方程组的解 请思考上述小军同学的思路中，当成整体的是__________，从而求出这个方程组的解是__________． (2)请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将方程②进行变形，得到，即，故把看成一个整体，再代入消元求解即可； （2）整理方程组得：，由②得③，再用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： 将方程②进行变形，得到， 将①代入③得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为：； （2）解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面的内容，利用换元法解方程组时，可以设将方程组转化为，进行求解．运用此思路解决下列问题： (1)方程组的解为______． (2)若关于、的二元一次方程组的解为，求方程组的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， 方程组的解满足， 解得：． 3．（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解，即可； （2）结合题意，设，，原方程组可化为，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于a，b的方程组，得， 所以， 解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于，的方程组，得， 所以， 解得． 题型8 由方程组的解求字母参数 方法技巧 1.把已知解同时代入两个方程； 2.得到关于参数的二元一次方程组； 3.解方程组求参数。 1．（25-26七年级下·北京·期中）若关于的方程组的解为，则的值是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， ． 3．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B．5 C．7 D．11 【答案】A 【分析】根据方程组的解的定义，将已知x，y代入原方程组，求出m，n的值，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】∵是二元一次方程组的解， ∴将代入方程组得， 解得． 将 代入得， ． 题型9 由实际问题列二元一次方程组 方法技巧 1.找两个关键未知量，设 x、y； 2.抓两组等量关系（关键词：比、是、共、差、倍、相等）； 3.用公式 / 题意列两个一次方程，组成方程组。 1．（2026年浙江省浙里初中升学联考仿真数学卷（五））某家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，要使1张桌面配套4条桌腿，应如何分配工人，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，使1张桌面配套4条桌腿，建立二元一次方程组即可． 【详解】解：设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人， 根据题意可得方程组：． 2．（浙江舟山市第一初级中学等校2025-2026学年第二学期九年级5月份学业水平监测数学试题卷）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设共有人，辆车， ∵每人共乘一车，最终剩余辆车空，实际使用车辆为，总人数等于乘使用车辆数， ∴， ∵每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，车上共坐人，加上步行的人等于总人数， ∴， 综上可得方程组． 3．（2026·新疆喀什·一模）新疆某干果店推出“和田红枣”与“若羌灰枣”组合优惠活动：购买3袋红枣和2袋灰枣共需158元；购买1袋红枣和4袋灰枣共需136元．设每袋红枣x元，每袋灰枣y元，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干提取两个等量关系，分别列出对应方程即可得到正确方程组． 【详解】解：∵设每袋红枣为x元，每袋灰枣为y元， 根据“购买3袋红枣和2袋灰枣共需158元”，可得方程， 根据“购买1袋红枣和4袋灰枣共需136元”，可得方程， ∴可列方程组为． 4．（2026·浙江温州·二模）某校举办人工智能知识竞答，共25道题，答对1题得4分，答错1题扣2分，不答得0分．小明答完全部题目，得70分．设答对道，答错道，可列正确的二元一次方程组是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据题意找出两个等量关系，即可列出正确的二元一次方程组，第一个等量关系为总题数关系，第二个等量关系为总得分关系． 【详解】∵总题量共25道，小明答完全部题目，答对道，答错道 ， ∴答对题目数与答错题目数的和为总题数，可得， ∵答对1题得4分，答错1题扣2分，总得分是70分， ∴总得分为答对得分减去答错扣分，可得 联立得方程组 ． 题型10 二元一次方程组的实际应用 方法技巧 六步：审→设→找→列→解→答； 常用模型： 行程：路程 = 速度 × 时间； 工程：工作量 = 效率 × 时间； 销售：利润 = 售价−进价。 解后检验合理性（正数、整数、符合题意）。 1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）临高县波莲镇的凤梨释迦以其高甜度和丰富营养被誉为“水果族”，某合作社销售该镇出产的甲、乙两种凤梨释迦，已知2箱甲种凤梨释迦和3箱乙种凤梨释迦的售价之和为440元，4箱甲种凤梨释迦和5箱乙种凤梨释迦的售价之和为800元，求甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价． 【答案】甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元 【分析】假设甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元，根据题意解方程组即可得出结果． 【详解】解：假设甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元， 根据题意可得方程组， 解得， 故甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元． 2．（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为12，宽为4 (2)60 【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，即可得出答案； （2）由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， 解得：， 答：小长方形的长为12，宽为4； （2）解：阴影部分的面积为：． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】平路的长为，山路的长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设平路的长为，山路的长为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 4．（2026·山东淄博·一模）废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池． (1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用； 车型 甲 乙 载人数 4 6 租金（元） 50 70 (2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？ 【答案】(1)方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元；方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元；方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元； (2)1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和． 【分析】（1）设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得，由x、y均为非负整数，求解即可； （2）设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】（1）解：设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得， 因为x、y均为非负整数，所以对y进行取值： 当时，；当时，；当时，； ∴有三种方案： 方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元； 方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元； 方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元； （2）解：设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和， 则， 解得， 答：1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和． 5．（25-26七年级下·山东聊城·月考）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得， 解得， 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； （2）解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， ， 解得， ∵根据题意，，都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 题型11 二元一次方程组的方案设计问题 方法技巧 1. 设未知量，列二元一次方程（组）； 2.未知数取非负整数 / 正整数； 3.枚举所有整数解，得到可行方案； 4.再按要求选最优（省钱、最多等）。 1．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； (2)租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 【分析】（1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再设租用45座客车m辆，60座客车n辆，列出二元一次方程，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：， 解得：， 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； （2）解：由题意得：， 解得：， 所以七年级共人， 设租用45座客车m辆，60座客车n辆，满足： ， 化简得：， 因为m、n为正整数， 当时，，总租金为； 当时，，总租金为； ∵， ∴租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖品购买及获奖人数方案 我校举办“数学文化节”活动，对获奖同学进行表彰奖励，分别设置一等奖、二等奖和三等奖．学校准备购买若干定制笔记本与定制水笔作为奖品，需考虑奖品购买方案及获奖人数． 素材1 已知购买1包定制笔记本与4盒定制水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒定制水笔需要480元． 素材2 学校用1050元购买若干包定制笔记本与若干盒定制水笔两种奖品． 素材3 （1）1包定制笔记本有10本笔记本，1盒定制水笔有6支水笔． （2）计划设置获奖总人数为人，二等奖获奖人数是一等奖的2倍． （3）一等奖：1本笔记本，1支水笔．二等奖：1本笔记本．三等奖：1支水笔． 问题解决： (1)求出1包定制笔记本与1盒定制水笔的价格． (2)若用完1050元购买两种奖品，可以购买几包定制笔记本与几盒定制水笔？写出购买方案． (3)在任务2中购买的奖品恰好全部发完，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1)一包定制笔记本为150元，一盒定制水笔为60元 (2)购买5包定制笔记本、5盒定制水笔，或3包定制笔记本、10盒定制水笔，或1包定制笔记本、15盒定制水笔 (3)80 【分析】（1）设一包定制笔记本的价格为x元，一盒定制水笔的价格为y元，根据购买1包定制笔记本与4盒水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒水笔需要480元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买a包定制笔记本，b盒定制水笔，根据用完1050元购买两种奖品，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论； （3）设一等奖获奖人数为n人，则二等奖获奖人数为人，则三等奖获奖人数为人，分三种情况，根据题意分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设一包定制笔记本的价格为x元，一盒定制水笔的价格为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：一包定制笔记本的价格为150元，一盒定制水笔的价格为60元； （2）解：设购买a包定制笔记本，b盒定制水笔， 根据题意得：， 整理得：， ∵a、b为正整数， ∴或或， ∴购买方案有3种： 方案一：购买5包定制笔记本，5盒定制水笔； 方案二：购买3包定制笔记本，10盒定制水笔； 方案三：购买1包定制笔记本，15盒定制水笔； （3）解：设一等奖获奖人数为n人，则二等奖获奖人数为人，则三等奖获奖人数为人， 根据奖品发放规则可知，所需笔记本总数为（本），所需水笔总数为（支）， 根据题意可知，购买笔记本包，购买水笔盒， 分三种情况： ①按方案一购买（5包定制笔记本，5盒定制水笔）， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去； ②按方案二购买（3包定制笔记本，10盒定制水笔）， 根据题意得：，， 解得：，，符合题意； ③按方案三购买（1包定制笔记本，15盒定制水笔）， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去； 综上所述，m的值为80． 题型12 三元一次方程组的识别 方法技巧 满足 3 点：① 共3 个未知数； ②每个含未知数的项次数为 1； ③共3 个一次整式方程（允许含一元、二元方程）。 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组． 根据三元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意； B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； D.，不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选A． 题型13 解三元一次方程组 方法技巧 1.思路：三元→二元→一元； 2.步骤： 1）任选两组方程，消去同一个未知数，得二元一次方程组； 2）解二元一次方程组，得两个未知数； 3）回代求第三个未知数； 4）写出方程组的解。 1．（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 4．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 【答案】(1)；； (2)3 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 题型14 三元一次方程组的实际应用 方法技巧 1. 设 3 个未知量； 2. 找三个独立等量关系，列三元一次方程组； 3.解方程组，检验实际意义； 4.写出完整答案。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 【答案】上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次组方程组是解题的关键．设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗， 依题意，得：， 解得， 答：上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ 【答案】甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划 【分析】本题的等量关系为：甲生产零件的天数+乙生产零件的天数+丙生产零件的天数=30，甲、乙、丙所生产零件个数比为3:2:1，由此可得出方程组求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三种零件各应生产天、天、天才能完成计划． 由题意，得整理，得 代入第一个方程，得，解得， 所以，即 答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划． 【点睛】本题主要考查三元一次方程的应用，用各个生产零件的个数和相对应的比例得出等量关系，根据时间列方程，从而求出解． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 释疑惑·重难拓展 题型1 二元一次方程组遮挡问题 1．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中的值被遮住了，但仍能求出的值是（   ） A．10 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把代入方程求出y的值，再把x、y的值代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， ∴． 2．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 【答案】B 【分析】先将已知的代入，求出第二个被遮盖的的值，再将和的值代入，求出第一个被遮盖的数，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入，得， 解得，即第二个被遮盖的数为， 再将，代入，得，即第一个被遮盖的数为， 因此被遮盖的前后两个数分别为、． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 【答案】A 【详解】解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 题型2 二元一次方程组的同解问题 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程，因此先联立两个不含、的方程求出公共解、，再将解代入含、的方程，即可计算得到的值． 【详解】解： 两个方程组的解相同 联立不含、的方程得 ， 得 ，解得 ． 把代入得 ，解得 ． 将，代入含、的方程得， 方程④两边同除以得 ． ． 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值. 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为. （2）解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得. 3．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个方程组的解相同，得出新的方程组，求出解，然后根据方程组的解求出参数； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：∵两方程组的解相同， ∴x，y满足， 解得， ∴方程组相同的解为， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得，代入得，． 题型3 二元一次方程组的看错解问题 1．（25-26七年级下·吉林白山·期中）小明在解方程组时，得到的解是小英同样解这个方程组，由于把抄错而得到的解是；求，，的值． 【答案】，， 【分析】将小明的解代入原方程组求得值，将小英的解代入原方程组中的第一个含有的方程，联立小明的方程即可求出的值． 【详解】解：将代入得，， 由②得， 将代入得，， 联立①，③得， 解得， ∴，，． 2．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：原方程组为：， 由题意得：将，代入②得： ， 解这个方程，得：， 将，代入①得：， 解这个方程，得：， ； （2）解：将代入原方程组：， 得： ， 解这个方程，得：， 将代入②：， 解这个方程，得：， 所以这个方程组的解是． 3．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6． (2) 【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么； （2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， ∴甲把a看成了5，乙把b看成了6； （2）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入原方程组， 可得：， 由②得：③， 由①+③，可得：， ∴， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解． 题型4 方程组的解满足的条件求字母参数的值 1．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，可得，即，先将代入第一个方程求出与的值，再代入第二个方程求解即可． 【详解】解：∵方程组的解，互为相反数， ，即， 将代入方程得，， 解得， ∴ ， 把，代入方程，得， 化简得， ， 解得． 2．（25-26七年级下·重庆开州·期中）关于，的二元一次方程组的解中与的和为4，则的算术平方根为________． 【答案】 【分析】本题可通过将二元一次方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再结合已知条件，列方程求出的值，最后计算的算术平方根． 【详解】解： 得 ， ∴ ， ∵ 与的和为4， ∴ ， 解得 ， 的算术平方根为． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知关于x，y的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)当每取一个值时，就对应一个方程，这些方程是否有公共解？如果有，请求出它们的公共解；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)有，公共解为 【分析】（1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解：联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 题型5 二元一次方程组与新定义问题 1．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到； （2）根据表格的数据求得，即可求得这个方程的共轭二元一次方程； （3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中与的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）解：方程中，当时，；当时，， ， 解得， 这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 共轭方程组的解是， ． 2．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中其中为互不相等的常数），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足（a、b、c均为常数且不为0），直接写出与它的“镜像方程”组成的方程组的解． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据“镜像方程”的定义写出“镜像方程”并组成方程组求出x，再根据a，b，c的关系即可求出y即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“镜像方程”为， 则， 由得，解得， 将代入得，解得， ∴；, （2）解：由题意可知的镜像方程为， 联立方程组得， ∵方程组的解为， ∴． 解得． ∴． 故的平方根为； （3）解： 为互不相等的常数， ，， 关于x，y的二元一次方程与它的“镜像方程”组成的方程组为， 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ， ， ， ∴方程组的解为． 3．阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 【答案】(1)方程组的解具有“单位差”；理由见解析 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）先解方程组得到，，再根据，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出，再由可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到， ，再根据解距是整数得到或，解方程即可． 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 知中考·真题探源 1．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 2．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数． 【详解】解：设购买足球x个，篮球y个， 根据题意得：，即， 则， ∵都是非负整数， 解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去）， ∴共有4种购买方案， 故选：C． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是____分． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 6．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 7．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确； (2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解 （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意可列出方程组， 解得： ∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元； 该销售经理的估计正确； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 8．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 练好题·提分培优 1．（2025九年级下·河北·专题练习）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可． 【详解】∵将代入， ∴，解得，即方程组的解为， A. 将代入，左边，不符合题意； B. 将代入，左边，不符合题意； C. 将代入，左边，不符合题意； D. 将代入，左边右边，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】甲看错①中的，但未看错②中的，因此甲的解满足方程②，可求出正确的；乙看错②中的，但未看错①中的，因此乙的解满足方程①，可求出正确的． 【详解】解：∵甲看错①中的，解得，， ∴将，代入②，得 ， 解得； ∵乙看错②中的，解得，， ∴将，代入①，得 ， 解得； ∴，． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 【答案】B 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解满足，则k的值是（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先根据方程组求出，再结合已知条件可得，求出解即可． 【详解】解：， ，得， 即． ∵， ∴， 解得． 5．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 6．（25-26七年级下·重庆永川·期中）对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（    ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有4组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件解出m和n的值，再分别验证各结论的正确性即可. 【详解】解：结论①：∵和， ∴， 解得：，故结论①正确； 结论②：∵， 得：， 解得：；与结论②一致，故结论②正确； 结论③：∵， ∴， 其正整数解为：，，，共4组，故结论③正确； 综上，正确结论为①②③共3个． 7．（25-26七年级下·河南信阳·期中）已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是利用整体思想代入求解，将已知的方程的解代入原方程，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入二元一次方程中， ∴， ∴； ∴． 8．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）对于，规定一种新运算：，例如：．已知，，，则的值是________． 【答案】 【分析】由题中新运算列关于的二元一次方程组求解，再代入解一元一次方程即可． 【详解】解：由题中新定义运算，结合，可得 ， 解得， 由得，解得． 9．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 【答案】0或或 【分析】先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得，， ∴， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，． 10．（25-26七年级下·吉林白山·期中）解方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得： 解得 将代入①得： ∴方程组的解为； （2）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为． 11．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得③第一步 得：第二步 把代入①，得： 第三步 原方程组的解为第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，第_________步是消元，消元的依据是___________，判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】一；等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立；小明的解答过程不正确，正确的解答过程见解析 【分析】先识别消元步骤，明确消元的依据，再找出小明计算过程中的错误，最后利用加减消元法正确求解二元一次方程组即可． 【详解】解：第一步是消元．消元的依据是等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立． 小明的解答过程不正确，错误出现在第一步计算．，整理得． 正确解答过程如下： 由，得． 解得． 把代入①，得． 解得． 原方程组的解为． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 【答案】原来的三位数为287． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可. 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为287． 13．（25-26七年级下·吉林松原·期中）已知关于的方程组的解也是方程的解． (1)求的值及方程组的解． (2)在（1）的条件下，方程组的解恰是平面直角坐标系中点的坐标，请直接写出点的坐标，并指出点所在的象限． 【答案】(1)；方程组的解为 (2)，在第四象限 【分析】（1）先联立不含的两个方程，求解出的值，由此可解的值． （2）根据方程组的解可得点的坐标，由此可知所在的象限． 【详解】（1）解：∵方程组的解也是方程的解． ∴联立， 由可得， 将代入可得，解得， 将代入可得， 将，代入中，可得，解得， ∴的值为3，方程组的解为． （2）解：由（1）知，点的坐标为， 横坐标，纵坐标，点在第四象限． 14．（25-26七年级上·河南·期末）灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【答案】(1)该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克 (2)九五折 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余孟津梨打折，根据获利1044元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克． （2）解： 设剩余孟津梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余孟津梨打了九五折． 15．（25-26七年级下·重庆万州·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据“变更方程”定义写出原方程的变更方程，再联立方程组，用加减消元法求解； （2）先利用条件得出，联立原方程与变更方程求出解，将解代入新方程得到代数式关系，最后化简求值． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得， ， ， ， 即， 是二元一次方程的一个解， ， 即， ． 16．（25-26七年级下·海南海口·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任王老师去文具店购买A，B两种款式的笔记本作为奖励． 素材1 买1本A款普通笔记本，2本B款普通笔记本共需14元； 买3本A款普通笔记本，4本B款普通笔记本共需32元． 素材2 为了满足市场需求，文具店推出每本1元的加印logo服务，顾客在选完款式后可以自主选择加印或者不印． 问题解决 (1)求A款普通笔记本和B款普通笔记本的销售单价． (2)在不加印的情况下，王老师购买A、B两款笔记本正好花费80元（两款笔记本都要购买），请问有哪几种购买方案？ (3)王老师购买A，B两款普通笔记本和加印笔记本各若干本，其中A款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的．B款加印笔记本购买5本．若王老师购买笔记本一共花费157元，求王老师购买笔记本的总数． 【答案】(1)A款普通笔记本的单价为4元，B款普通笔记本的销售单价为5元 (2)详细见解析 (3)32 【分析】（1）通过设未知数建立二元一次方程组，结合购买两种笔记本的总价条件，求解得到 A、B 两款普通笔记本的单价，核心是找准等量关系并正确列出方程组； （2）先根据总花费列出二元一次方程，再利用正整数解的条件，筛选出满足要求的购买方案，关键是利用参数的整数性进行分析； （3）先明确不同款式笔记本的单价，再根据总本数与花费的关系列方程求解，核心是理清各类型笔记本的数量与总价之间的关系． 【详解】（1）设A款普通笔记本的单价为元，B款普通笔记本的销售单价为元， 由题意得：， 解得：， 所以A款普通笔记本的单价为4元，B款普通笔记本的销售单价为5元． （2）设购买A款笔记本本，购买B款笔记本本． 根据题意，得：， 变形得：， 因为、均为正整数，所以必须是的倍数，且． 当时，；当时，；当时，． 所以共有三种购买方案： 方案一：购买A款笔记本5本，B款笔记本12本； 方案二：购买A款笔记本10本，B款笔记本8本； 方案三：购买A款笔记本15本，B款笔记本4本． （3）设王老师购买笔记本的总数为本． 由题意可知，A款普通笔记本单价为元，B款加印笔记本单价为元， A款加印笔记本单价为元，B款普通笔记本单价为元． A款普通笔记本有本，B款加印笔记本有本． 剩余笔记本（B款普通和A款加印）的总本数为：， 剩余笔记本的单价均为元． 所以 ， 所以王老师购买笔记本的总数为32本． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $