江苏镇江市2025-2026学年数学八年级下册期末考试练习卷（苏科版）

**基本信息** 立足八年级下册核心知识，通过航天竞答统计、中国结几何、正方形折纸等真实情境，融合随机事件、分式运算、平行四边形性质等考点，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|随机事件、抽样调查、分式化简|结合生活实例（如铁块漂浮）考查概念辨析| |填空题|6/18|分式运算、几何面积估算、菱形性质|中国结面积计算体现文化传承| |解答题|9/72|统计分析、平行四边形证明、配方法应用|航天知识竞答统计（数据意识）、正方形折纸探究（空间观念与创新意识）|

镇江市2025-2026学年数学八年级下册期末考试练习卷 (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是 符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 B D A D B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题 卡相应位置上) 11.a-b 12.2 13.16 14.5.4 15.96 16.4/5 三、解答题（本大题共9小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 17.(本题6分)1)解：2V2×4+号 =2x2V3×V35V2 4 2 .3,5V/2 =4×4+2 =3+52. 29 (2)解：48÷√3-（√3-2）(V3+2) 48-[32-2 V =V16-(3-4) =4-(-1) =5. 18.(本题6分)解：(1)是+=1 3-2=2x-2 1/8 解得x= 经检验，X=三是原方程的解， “原方程的解为x= 2)(品-x+)*+效+ (x+1)(x-1)1 X-1 x+1 x+1]Tx2+2x+1 =()*++ x-1 1 x-1 X+1x2+2x+1 1(x+1)2 -X- X+1x-1 令x41 ,-2<X<2,且x+1≠0且x-1≠0， .整数x=0, 当x=0时，原式=片=-1 19.（本题6分)(1)解：x2+4xy+5y2-4y+4=0, x2+4xy+4y2+y2-4y+4=0. (x+2y)2+(y-2)2=0. .x+2y=0,y-2=0. X=-4,y=2, X+y=-4+2=-2. (2)解：a2+b2=12a+8b-52, a2-12a+36+b2-8b+16=0, ∴(a-6)2+(b-4)2=0, ∴.a-6=0,b-4=0, 解得：a=6,b=4, .6-4<c<6+4, 即2<c<10, 又c为最长边， 2/8 .6≤c<10. c为偶数， .c=6或c=8. 20.（本题6分)(1)解：由题意，所抽取的学生的成绩是一手数据； 12÷30%=40（人)： 答：学校抽取的八年级学生的人数为40人； (2)解：360°×着=36°， 40-4-12-16=8,™=8×10%=20%， ∴.m=20,D组的频数为8. 补全的频数分布直方图如解图所示. 不人数（频数） 16 16 12 12 8 8 4 4 0 60708090100 成绩 (3)解：400×16+8=240（人） 40 答：估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数为240人. 21.(本题8分)(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD II BC,AD=BC, .∠DAE=∠CBF, ,'DE DA=CF, .'.∠DAE=∠DEA,CB=CF, ∴.∠CBF=∠DEA,∠CBF=∠F, ∴.∠DEA=∠F, .'.DE II CF, 又DE=CF ∴.四边形EFCD是平行四边形. (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 3/8 .'.AB CD, ,四边形EFCD是平行四边形， ∴.∠CDE=∠F,DE=CF, 又，'∠F=∠CBF=∠ABG, .∠CDE=∠ABG, 在△ABG和△CDE中， (∠AGB=∠CED ∠ABG=∠CDE, AB =CD ∴.△ABG≌△CDE(AAS), ∴.BG=DE, 又DE=CF,CB=CF, ∴BG=BC, ∴.点B为CG的中点， .GE L EC, .∠CEG=90°， ∴BE=GC. 2 A E G F 22.（本题8分)(1)证明：0是AC,BD的中点， A0=C0,B0=D0, .四边形ABCD是平行四边形. ∠BED=90°， ∴.BD=2E0 .AC=2E0, .AC=BD. 4/8 又~四边形ABCD是平行四边形， :平行四边形ABCD是矩形. (2)解：四边形ABCD是矩形， ..0A OB. .·∠A0B=60 △AOB是等边三角形，即∠AB0=60°， 在Rt△ABD中，∠ADB=30°. 设AB=X,则BD=2x, AD2+AB2=BD2,即36+x2=4x2, 解得x=23,即AB=23, S矩形ABcD=AD.AB=6×2√3=123. 23.(本题10分)(1)解：a2+4a-5 =a2+4a+4-9 =(a+2)2-32 =(a+2+3)(a+2-3) =(a+5)(a-1), 故答案为：(a+5)(a-1): (2)解：a2+2a+3 =a2+2a+1+2 =(a+1)2+2, .(a+1)2≥0， ∴.(a+1)2+2≥2， .当a=-1时，代数式a2+2a+3的最小值为2， 故答案为：2； (3)解：M<N,理由如下： .M=-3a2-8,N=-12a+7 ,∴.N-M =-12a+7-(-3a2-8) =3a2-12a+15 5/8 =3(a2-4a)+15 =3(a2-4a+4-4)+15 =3(a-2)2+3, .3(a-2)2≥0， .3(a-2)2+3>0,即N-M>0, .M<N. 24.(本题10分)(1)解：设乙队每天能完成x平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成x+100平方米的绿化改造面积， 根据题意得：=×分 解得：x=300, 经检验，x=300是原方程的解， 则甲队每天能完成x+100=400平方米. 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积， (2)解：设甲工程队先做了x天， 则甲乙合作了14-x天， 则400x+(14-x)(300+400)=8000, 解得：x=6, 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：2400×6+(2400+1800)×(14-6)=48000元. 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元， 25.(本题12分)(1)解：.正方形ABCD的边长为8， ∴.BC=CD=8,∠BCD=90°， ∴.BD=BC2+CD2=V82+82=8V2, 由折叠的性质得BC=BE=8, ..DE BD-BE=82-8; (2)解：①设DF=x,则CF=8-X 由折叠性质得EF=CF=8-x 在Rt△DEF中，由勾股定理得 x2+42=(8-x)2 解得x=3 6/8 SAe=DE.DF=×4×3=6. ②点E为AD上任意一点时，△AEH的周长未发生变化，△AEH的周长为16. 理由如下： 连接EC、HC,过点C作CM⊥EI,交EI于点M, B 由折叠性质得 ∠FEI=∠FCB=90°，EF=CF ∴.∠FEI=∠CMI=90°，∠FEC=∠DCE ∴.EF∥MC ∴.∠FEC=∠MCE .∴.∠DCE=∠MCE .在△DCE和△MCE中 (∠DCE=∠NMCE ∠D=∠EMC CE=CE .△DCE≌△MCE(AAS) ∴.CM=CD,DE=ME .CB CD ..CM CB ,在Rt△CMH和Rt△CBH中，由勾股定理得 MH =/CH2-CM2,BH =/CH2-CB2 ∴.M=BH .C△ABH=AH+AE+EH =AH+AE+HM+EM =(AH+HM)+(AE EM) =(AH+HB)+(AE ED) 7/8 =AB+AD =16 ∴.点E为AD上任意一点时，△AEH的周长未发生变化，值为16. 8/8 镇江市2025-2026学年数学八年级下册期末考试练习卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．找到一个整数，它的平方是2 B．实心铁块（不借助任何外力）漂浮在水面上 C．10名同学的出生月份都不相同 D．三角形的三条中线交于一点 2．年南昌市第一次模拟考试中，全市共有约万名考生参加数学科目考试．为了解本次模考考生数学成绩的整体分布情况，市教研部门从中随机抽取了名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法错误的是（    ） A．这种调查方式是抽样调查 B．万名考生是总体 C．是样本容量 D．名考生的数学成绩是总体的一个样本 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 4．下列各式中能用平方差公式计算的是（） A． B． C． D． 5．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点．若，，则平行四边形的周长是（     ） A．28 B．24 C．14 D．12 7．某工厂原计划生产120万个零件，为了按时交货，实际每天产量比原计划提高了，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万个零件，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 9．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．若，，则的值是________． 12．计算的结果是________． 13．已知整式分解因式的结果为，则______． 14．如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 15．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 16．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1) (2) 18． （本题6分）（1）解分式方程：； （2）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 19．（本题6分）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 20．（本题6分）为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动．学校随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽取的成绩在分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，每个组都含最大值不含最小值，例如组包括70分不包括60分），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生的成绩是一手数据还是二手数据呢？请你求出学校抽取的八年级学生的人数． (2)A组所对应的扇形圆心角的度数是_____，_____，组的频数是_____，请把频数分布直方图补充完整； (3)学校将此次竞答活动的C组和D组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 21．（本题8分）如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 22．（本题8分）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 23．（本题10分）通过课堂学习可知，多项式及叫做完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，常采用配方法进行变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，保证整个式子的值不变，通过这种方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式的过程为：； 再如：求代数式最小值的过程为：，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据上述方法解决下列问题： (1)因式分解：______； (2)代数式的最小值为______； (3)若，，判断M、N的大小关系，并说明理由． 24．（本题10分）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 25．（本题12分）2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节．在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究． 【初步感知】（1）如图①，沿过点的直线折叠正方形纸片，使得点的对应点落在正方形的对角线上，且折痕与边交于点，则________；（结果保留根号） 【迁移应用】（2）如图②，点，分别在，边上，沿直线折叠正方形纸片，点的对应点为点，点的对应点落在线段上（不与，重合），交于点； ①当点为中点时，求的面积； ②当点为上任意一点时（如图③），探究的周长是否发生变化，若不变，请求出的周长；若改变，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇江市2025-2026学年数学八年级下册期末考试练习卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．找到一个整数，它的平方是2 B．实心铁块（不借助任何外力）漂浮在水面上 C．10名同学的出生月份都不相同 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，是解题的关键． 根据相关定义逐项判断，即可解题． 【详解】解： A： 不存在整数平方为2，为不可能事件，不符合题意； B： 铁块密度大于水，必然下沉，为不可能事件，不符合题意； C： 10名同学的出生月份可能相同也可能不同，为随机事件，符合题意； D： 三角形中线交于一点是必然性质，为必然事件，不符合题意； 故选：C． 2．年南昌市第一次模拟考试中，全市共有约万名考生参加数学科目考试．为了解本次模考考生数学成绩的整体分布情况，市教研部门从中随机抽取了名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法错误的是（    ） A．这种调查方式是抽样调查 B．万名考生是总体 C．是样本容量 D．名考生的数学成绩是总体的一个样本 【答案】B 【分析】根据抽样调查、总体、样本、样本容量的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：本次调查从全体考生中抽取部分考生成绩分析，调查方式为抽样调查，故A选项说法正确； 本次调查的对象是考生的数学成绩，因此总体是万名考生的数学成绩，故B选项说法错误； 样本容量是样本中个体的数量，因此是样本容量，故C选项说法正确； 抽取的名考生的数学成绩是总体的一个样本，故D选项说法正确． 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解： 4．下列各式中能用平方差公式计算的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的结构为，使用条件是两个二项式相乘，两个式子中有一项相同，另一项互为相反数，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A：，其中相同，与互为相反数，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算； B：，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算； C：，不符合条件，不能用平方差公式计算； D：，两项都互为相反数，不符合条件，不能用平方差公式计算． 5．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式加减乘除的计算规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，不能求和运算，该选项错误； B. ，该选项错误； C. ，该选项错误； D. ，该选项正确． 6．如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点．若，，则平行四边形的周长是（     ） A．28 B．24 C．14 D．12 【答案】B 【分析】根据题意可得，平分，即，由题意可得，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意可得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 7．某工厂原计划生产120万个零件，为了按时交货，实际每天产量比原计划提高了，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万个零件，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据工作时间=总工作量÷工作效率，分别求出原计划和实际的生产天数，再根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设原计划每天生产万个零件，总工作量为120万个， ∴原计划完成任务的天数为． ∵实际每天产量比原计划提高了， ∴实际每天生产零件数为万个，实际完成任务的天数为． ∵实际比原计划提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天， ∴列方程得． 8．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按因式分解规则分解整式，确定因式个数，再根据定义取，计算每个因式的值后求和得到解码值，用到因式分解的提公因式法和平方差公式． 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 9．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 10．如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过作于，先由四边形是矩形，得到，，再证明，得到，证明，得到，证明，得到，根据，，得到，，，再根据，得到． 【详解】解：过作于，过作于， ∵边长为2的菱形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， 即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．若，，则的值是________． 【答案】 【分析】结合，化简，即可作答． 【详解】解：∵，， ， 12．计算的结果是________． 【答案】2 【分析】分母相同，分子直接相减，约分后可得到解． 【详解】解：． 13．已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 14．如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 【答案】5.4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用正方形的面积乘以点落在内部的频率即可得出答案． 【详解】解：的面积约为， 故答案为：． 15．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 【答案】96 【分析】根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是． 16．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，据此可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点在上且， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题6分）（1）解分式方程：； （2）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤以及分式的混合运算法则． （1）方程两边都乘以，变形为一元一次方程，再解这个整式方程，然后验根，即可得出原方程的解； （2）先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可． 【详解】解：（1） 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； （2） ， ∵，且且， ∴整数， 当时，原式． 19．（本题6分）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质，求出，，最后代入求值即可； （2）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质得出，然后根据三角形三边关系得出，最后根据c为最长边，且c为偶数，得出答案即可． 【详解】（1）解：， ． ． ． ，， ． （2）解：， ， ， ∴，， 解得：， ， 即， 又为最长边， ． 为偶数， 或． 20．（本题6分）为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动．学校随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽取的成绩在分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，每个组都含最大值不含最小值，例如组包括70分不包括60分），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生的成绩是一手数据还是二手数据呢？请你求出学校抽取的八年级学生的人数． (2)A组所对应的扇形圆心角的度数是_____，_____，组的频数是_____，请把频数分布直方图补充完整； (3)学校将此次竞答活动的C组和D组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 【答案】(1)一手数据，40人 (2)，20，8．图见解析 (3)240人 【分析】本题考查直方图和扇形图，从统计图中有效地获取信息是解题的关键： （1）根据题意，进行判断，利用组人数除以所占的比例求出总人数； （2）360度乘以组人数所占的比例求出圆心角的度数，用总人数减去其它组的人数求出组人数，组人数除以总人数求出的值，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，所抽取的学生的成绩是一手数据； （人）； 答：学校抽取的八年级学生的人数为人； （2）解：， ，， ∴，组的频数为8． 补全的频数分布直方图如解图所示． （3）解：（人） 答：估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数为240人． 21．（本题8分）如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，，可得，由等边对等角，结合已知可得，可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合已知可得，证明，可得，可得点为的中点，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴． 22．（本题8分）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 23．（本题10分）通过课堂学习可知，多项式及叫做完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，常采用配方法进行变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，保证整个式子的值不变，通过这种方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式的过程为：； 再如：求代数式最小值的过程为：，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据上述方法解决下列问题： (1)因式分解：______； (2)代数式的最小值为______； (3)若，，判断M、N的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)；证明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，不等式的性质，完全平方公式等知识点． （1）根据题干方法求解即可； （2）根据题干方法求解即可； （3）先计算，再由配方法将其化为，最后根据平方的非负性和不等式的性质得到，即可比较大小． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， 故答案为：； （3）解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴． 24．（本题10分）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 25．（本题12分）2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节．在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究． 【初步感知】（1）如图①，沿过点的直线折叠正方形纸片，使得点的对应点落在正方形的对角线上，且折痕与边交于点，则________；（结果保留根号） 【迁移应用】（2）如图②，点，分别在，边上，沿直线折叠正方形纸片，点的对应点为点，点的对应点落在线段上（不与，重合），交于点； ①当点为中点时，求的面积； ②当点为上任意一点时（如图③），探究的周长是否发生变化，若不变，请求出的周长；若改变，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②点为上任意一点时，的周长未发生变化，的周长为16 【分析】本题考查折叠的性质 ，勾股定理，三角形全等的判定与性质； （1）由题意得，，求出，即可解答； （2）①设，则，根据题意列方程，求出x即可解答； ②连接、，过点作，交于点，证，得，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为8， ∴，， ∴， 由折叠的性质得， ∴； （2）解：①设，则 由折叠性质得 在Rt中，由勾股定理得 解得 ∴． ②点为上任意一点时，的周长未发生变化，的周长为16． 理由如下： 连接、，过点作，交于点， 由折叠性质得 ， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵在和中 ∴（） ∴， ∵ ∴ ∵在和中，由勾股定理得 ， ∴ ∴ ∴点为上任意一点时，的周长未发生变化，值为16． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $